Sistemas de Ecuaciones I - Métodos de resolución
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Bueno, en este tema vamos a ver cómo plantear un sistema de ecuaciones aparte de un problema y cómo resolver ese sistema de ecuaciones.
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Tenemos el siguiente problema. En una granja hay pollos y vacas. Si en total hay 14 animales y entre todos juntan 46 patas, ¿cuántos pollos y cuántas vacas hay en la granja?
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No sé que en total hay 14, pero no sé cuántos pollos ni cuántas vacas.
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Entonces, vamos a llamar el número de pollos X, porque no sé cuántos pollos tengo.
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El número de vacas Y, porque no tiene por qué coincidir con el número de pollos.
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X pollos Y vacas.
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¿Qué me están diciendo? En total hay 14 animales, es decir, que el número de pollos más el número de vacas es igual a 14.
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Y aquí yo tengo mi primera ecuación.
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Además nos están diciendo que entre todos, entre los pollos y las vacas, juntan 46 patas.
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Es decir, el número de patas de los pollos más el número de patas de las vacas es igual a 46.
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¿Cuántas patas tienen todos los pollos?
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Pues dos pollos, o sea, dos patas, perdón, dos patas cada pollo por el número de pollos son las patas que tienen los pollos.
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¿Cuántas patas tienen todas las vacas?
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Cuatro patas cada vaca por i, que es el número de vacas, son las patas que tiene la vaca.
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Entonces, si sumamos el número de patas que tienen los pollos, el número de patas de las vacas, llegamos a la segunda ecuación, que es 2X más 4Y igual a 46.
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Esta ecuación de aquí es la que viene impuesta por esta condición de aquí, que entre todos juntan 46 patas.
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Hemos llegado por tanto a un sistema de ecuaciones, los incógnitos, x más y igual a 14 y 2x más 4y igual a 46.
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Y esto es lo que tenemos que resolver. Me llevo este sistema aquí y vamos a ver los métodos de resolución de sistemas de paréntesis.
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El primer método es el método de igualación. El método de igualación lo que nos dice es que tenemos que despejar una de las dos incógnitas, x o y, en las dos ecuaciones y luego igualarlas.
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Es decir, si yo tengo x más y igual a 14, despejo, por ejemplo, la x.
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La x la despejo, pasando la y al otro lado.
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Si yo tengo mi otra ecuación, 2x más 4y igual a 46, voy a despejar la x también.
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Entonces, lo primero que hago es pasar el 4y al otro lado restando y luego ese 2 que está multiplicando la x pasa dividiendo, pero pasa dividiendo a todo.
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Es decir, me quedaría x igual a 46 entre 2, 23 menos 4y entre 2, 2y.
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Bien, vemos aquí que hemos llegado a que x es igual a 14y y que x es igual a 23 menos 2y.
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Lo que me quiere decir que esto de aquí es igual a eso de ahí.
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Es decir, 14 menos y es igual a 23 menos 2y.
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Y aquí ya tenemos una ecuación, una sola incógnita que es la i.
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Si yo paso este 2i al otro lado y el 14 aquí, me quedaría 2i que pasa positivo menos i igual a 23 menos 14.
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Y me quedaría que i es igual a 23 menos 14.
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Es decir, esto es lo que valdría y.
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Y yo sé que x vale 12 menos y.
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Es decir, sustituyo el valor de y que me ha salido en esta ecuación de aquí.
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El valor de Y es 9 y me sale que X es igual a 5.
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Si vuelvo a lo anterior, X es el número de pollos e Y es el número de vacas.
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Es decir, el número de pollos es 5, hay 5 pollos, y el número de vacas es 9, hay 5 vacas.
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Y este es el método de igualación.
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Vemos el método ahora de sustitución.
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El método de sustitución dice que yo voy a despejar una de las incógnitas de una de la ecuación y lo voy a sustituir en la otra.
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Es decir, yo aquí x más y igual a 14 puedo despejar cuánto vale x o cuánto vale y.
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Es exactamente lo mismo. Voy a despejar x y la y que estáis sumando pasa a restar.
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Y ahora yo tengo esta ecuación de aquí. Pero yo sé que x, la x de aquí, es esta x de aquí.
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Entonces puedo sustituir su valor donde pone x.
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Y vuelvo a tener una ecuación lineal con una sola incógnita que sí.
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Y multiplico, 2 por 14 es 28, menos 2 por i, 2i, más 4i, igual a 46.
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Y despejando, o sea, dejando las i a un lado, menos 2i, más 4i, es igual a 46, menos 28.
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Y por último, menos 2i más 4i es más 2i, igual a 46 menos 28, que es 18.
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Es decir, i es igual a 18 partido de 2, que es igual a...
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Es decir, he llegado a la misma solución de antes.
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Que i es el número de vacas, que es 9.
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Hemos llegado a la misma solución.
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¿De dónde sacamos el número de pollos? Pues igual que antes.
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Sabemos que x es igual, lo hemos despejado, a 14 menos i, es decir, es igual a 14 menos el valor de i, que es 9.
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14 menos 9 es 5. x igual a 5. Este es el número de pollos.
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Esa es la solución. Veamos el tercer método, el método de reducción. El método de reducción lo que hacemos es igualar el coeficiente de alguna de las dos incógnitas en las dos ecuaciones, es decir, el coeficiente de x, por ejemplo, en esta ecuación, igualarlo a este o el de este a este, para luego restar las ecuaciones o sumarlas y eliminar esa incógnita.
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Nosotros para tener aquí el mismo coeficiente tenemos que multiplicar la ecuación de arriba por 2.
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Es decir, si yo multiplico por 2 la primera ecuación, tendría 2x más 2y igual a 28.
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Y la segunda ecuación la ponemos tal cual, 2x más 4y igual a 46.
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Y ahora restamos las dos ecuaciones que nos han quedado.
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Si nosotros restamos estas dos ecuaciones, aquí me quedaría 2x menos 2x, 0x.
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Entonces 2i menos 4i menos 2i y 28 menos 46 menos 18.
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Obviamente 0 multiplicado por cualquier cosa es 0, entonces me quedaría menos 2i igual a menos 18.
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Puedo pasar el 2i al otro lado, el 18 al otro lado para cambiarlo de signo, es decir, el menos 2i está negativo,
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pasaría al lado de la derecha y el 18 pasaría
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al lado de la izquierda. Aquí está restando, al otro lado
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pasa su mano. Aquí está restando, pasa al otro su mano.
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Y ahora nos quedaría los i igual a 18
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entonces i es igual a 18 partido
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de 2, lo que es lo mismo i igual
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hemos llegado a lo mismo de antes.
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Y es igual a 9. ¿De dónde sacamos la X? Pues igual que en los casos anteriores. Nosotros sabemos que X más Y es igual a 14. Como X más Y es igual a 14, X es igual a 14 menos Y.
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X es igual a 14, 9. Esto es igual a 5. X es igual a 5. El mismo resultado que hemos obtenido con los métodos.
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Recapitulando, el método de igualación es despejar una incógnita, la x o la y, de las dos ecuaciones y luego igualar.
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El método de sustitución es despejar una de las incógnitas en la ecuación y sustituirla en la otra ecuación.
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y el método de reducción es conseguir que el coeficiente de una de las dos incógnitas
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sea igual en las dos ecuaciones para restarlas y así quedarnos con una ecuación en una sola incógnita.
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