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Sistemas de ecuaciones con reducción, igualación etc.con 3 incógnitas - Bachillerato - Contenido educativo

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Subido el 15 de septiembre de 2025 por Jesús Pascual M.

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Sistemas de ecuaciones con reducción, igualación etc.con 3 incógnitas

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Bien, vamos a explicar la resolución de sistemas de ecuaciones para tres ecuaciones o más y tres incógnitas o más. 00:00:00
Bueno, antes de nada, lo que vamos a hacer es emplear los métodos para cuando tenemos dos ecuaciones, 00:00:07
con dos incógnitas, reducción, sustitución, etcétera, y generalizarlos. 00:00:13
Vamos a comenzar resolviendo este sistema de ecuaciones por reducción. 00:00:21
Por cuestiones pedagógicas, nombramos a cada una de las ecuaciones con una letra distinta 00:00:25
Bien, el sistema únicamente consiste en ir quitando una variable, luego otra y luego otra 00:00:32
Por ejemplo, primero la x, dos ecuaciones y luego la z y así se simplifica 00:00:40
No obstante, en este ejemplo en particular vamos a empezar quitando la y 00:00:45
La razón es que aquí la Y está multiplicada por menos 1 00:00:51
Y cuando está multiplicada por 1 menos 1 00:00:57
Todo es mucho más sencillo 00:00:59
Así que pues vamos a hacerlo 00:01:01
Empezamos aquí por ejemplo 00:01:04
Pues hacemos reducción por ejemplo con la B y la C 00:01:05
Entonces cogemos por ejemplo la B la dejamos igual 00:01:11
Y aquí cogemos 3 veces la C 00:01:16
De ese modo pues tendríamos 2x más 3y más 4z igual a 7 y tres veces la c serían 9x menos 3y más 6z igual a menos 9. 00:01:18
Operamos y tenemos que 11x más 10z es igual a menos 2. 00:01:39
ahora hacemos reducción con otras dos 00:01:46
podríamos haber cogido tranquilamente para hacer reducción 00:01:52
con el sistema 00:01:54
la A y la B 00:01:55
pero 00:01:57
en este caso pues es más sencillo 00:01:58
coger 00:02:02
la A y la C 00:02:03
por lo que decíamos de que 00:02:08
la A y la B están multiplicadas por menos uno 00:02:10
así puedes 00:02:11
cogemos pues 00:02:13
la A 00:02:15
que la dejamos igual y la C por ejemplo 00:02:18
la multiplicamos 00:02:20
2 por menos 2. Y ahora tenemos, pues la es 4x menos 2y más 3z igual a menos 4. Y menos 2c es, pues menos 2 por 3 es menos 6x, menos por menos más, 2y menos 2 por 2, 4z igual a menos por menos más, 3 por 2, 6. 00:02:21
Y ahora operamos y tenemos que menos 2x menos z es igual a 2. 00:02:46
Y ahora ya tenemos dos ecuaciones con una variable de menos, o sea, dos ecuaciones con dos incógnitas que vamos a llamarle d y e. 00:03:05
Bueno, un detalle es que a esto de coger una ecuación y multiplicar por un número y otra por un número y luego sumar, tiene un número de combinación lineal, ¿vale? 00:03:17
Bueno, pues ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:03:26
Y lo que hacemos es, pues con reducción 00:03:30
Simplificarlas quitando la incógnita 00:03:35
En este caso, pues vamos a quitar la Z 00:03:39
Porque aquí está multiplicada por menos uno y eso va a simplificar las cosas 00:03:43
De modo que, pues a la D la dejamos igual 00:03:46
Y a la E vamos a multiplicarla por diez 00:03:49
Y ahora lo que tenemos es, pues cogemos, a ver, la e tendríamos 11x más 10z es igual a menos 2, y ahora la e multiplicada por 10 sería menos 20x menos 10z igual a 20. 00:03:53
operamos y obtenemos que 00:04:25
menos 9x es igual a 18 00:04:28
y ya tenemos una ecuación incógnita que es trivial 00:04:32
operamos y tenemos que x es 18 entre menos 9 00:04:36
que es menos 2 00:04:41
con cualquiera de estas, por ejemplo con esta que es más sencilla 00:04:43
podemos resolver la z 00:04:47
entonces hacemos, por ejemplo, pasamos la z al otro lado 00:04:51
z es igual a menos 2x menos 2 00:04:54
z es igual a menos 2 por menos 2 menos 2 00:05:01
y es 4 menos 2 que es 2 00:05:05
y ahora pues la y la podemos coger con cualquiera de estas ecuaciones 00:05:07
están aquí 00:05:13
cogemos esta por ser la más sencilla 00:05:14
pasamos por ejemplo a la del otro lado 00:05:17
y es igual a 3x más 2z más 3 00:05:19
Sería 3 por menos 2 00:05:24
Más 2 por 2 00:05:27
Más 3 00:05:29
Esto es menos 6 más 4 00:05:30
Más 3 que es 1 00:05:33
Y hemos obtenido 00:05:35
Que 00:05:37
X vale menos 2 00:05:40
Y vale 1 00:05:44
Y Z 00:05:46
Vale 2 00:05:47
Pues esto es 00:05:49
La única 00:05:52
Bueno, unas observaciones 00:05:54
Antes de nada 00:05:59
En primer lugar, hemos hecho reducción 00:05:59
¿Vale? Podríamos haber visto también 00:06:02
Al principio 00:06:04
Otro método, por ejemplo 00:06:05
Que fuese sustitución 00:06:08
Bueno, pues aún así hubiéramos llegado a unas ecuaciones 00:06:14
Muy parecidas a las que tenemos 00:06:16
¿De acuerdo? 00:06:18
Lo que sí que es importante notar, por ejemplo 00:06:22
Es que una vez que he llegado a un sistema de dos ecuaciones 00:06:24
Con dos incógnitas 00:06:26
Hacer todo con reducción es hacer lo que hemos hecho 00:06:27
Pero también se podría hacer aquí, por ejemplo 00:06:31
una sustitución, por ejemplo. 00:06:33
O sea, no se pueden hacer métodos mixtos, ¿vale? 00:06:35
Bueno, sigamos. 00:06:39
Bien, otra observación 00:06:42
es que si aquí no hubiera estado multiplicando 00:06:43
la i por 1, por ejemplo, sino por otro número, 00:06:46
por ejemplo, un 5, 00:06:48
entonces, 00:06:51
pues, bueno, nos ve un poco de igual con que 00:06:53
para el empezar. De hecho, a lo mejor hubiera sido 00:06:55
más fácil empezar por esta o por esta, 00:06:57
dado que aquí tenemos un 4 y un 2 00:07:00
y multiplicamos solo por 2. 00:07:01
Pero, 00:07:04
La reducción tampoco se hubiera complicado mucho. Si hubiera un menos 5, se hubiera multiplicado aquí por 5b y aquí por 5a y todo se hubiera mantenido igual. 00:07:05
Pero bueno, solo se hubiera complicado un poco. Lo digo esto porque va a pasar cuando explique la sustitución. 00:07:21
Ahora vamos a resolver el mismo sistema pero empleando sustitución. 00:07:28
Vais a ver que aparecen unos números muy parecidos a los de antes. 00:07:34
Eso tiene mucho sentido, si se usa un poco de algebra lineal se ve muy rápidamente que no puede ser de otra manera. 00:07:38
Primero, igual que antes, elegimos una variable a sustituir, en este caso la i, porque está multiplicada por , y eso simplifica notablemente los cálculos. 00:07:45
Bueno, pues, significamos, voy a hacerlo en dos pasos, por la gente le cuesta un poco más. 00:07:58
Menos i es igual a menos tres, menos tres x, menos dos z, multiplicamos todo por menos uno, 00:08:05
i es igual a tres, más tres x, más dos z. 00:08:12
Aunque yo hubiera pasado directamente de aquí a aquí. 00:08:17
Si pasas la i a la derecha, ya pasas quitándole menos, esto lo dejas igual, 00:08:19
y el menos 3 lo pasas a la izquierda 00:08:25
siendo más 3 00:08:28
bueno, ya tenemos con qué sustituir 00:08:30
y ahora sustituimos 00:08:35
cogemos aquí y hacemos 4x menos 00:08:37
ahora sustituimos la y dos veces 00:08:41
3 más 3x más 2z 00:08:44
más 3z igual a menos 4 00:08:47
y aquí lo mismo 00:08:51
2X más 3 veces 00:08:53
3 más 3X más 2Z 00:08:57
más 4Z igual a 7 00:09:00
y ahora pues nada, simplificamos estas dos ecuaciones 00:09:10
4X menos 6 00:09:14
menos 6X menos 4Z 00:09:25
más 3Z es igual a menos 4 00:09:30
Ahora pues, voy a hacer dos pasos, se puede hacer en uno solo lo siguiente 00:09:32
4x menos 6x menos 4z más 3z es igual a menos 4 00:09:42
Y ese 6 pasa sumando 00:09:50
Y ahora ya menos 2x menos z es igual a 2 00:09:54
Bueno, habéis observado que esta ecuación es la misma que teníamos antes 00:10:01
No es casualidad, ¿vale? 00:10:11
Es que tiene que dar lo mismo o una que es multiplicada por un número positivo o negativo, ¿vale? 00:10:13
O bien, tendría que ser la misma con los signos cambiados o la misma multiplicada por un número, ¿vale? 00:10:18
Cuando digo signos cambiados me refiero a que aquí más, más y aquí un menos 00:10:24
Todo multiplicado por menos uno o todo multiplicado por más cinco, por menos tres o lo que sea 00:10:27
Tiene que ser así 00:10:31
Bien, ahora cogemos la otra 00:10:33
2X más 6 00:10:36
Perdón, no he escrito 00:10:40
Más 9, más 9X, más 6Z 00:10:42
Más 4Z igual a 7 00:10:47
2X más 9X 00:10:51
Más 6Z más 4Z igual a 7 menos 9 00:10:54
11X más 10Z 00:11:00
es igual a menos 2. Nuevamente obtenemos 00:11:04
una ecuación igual a la anterior, pero bueno, como os he dicho antes 00:11:13
tendría que ser igual o la otra multiplicada por un número. Bueno, ahora podemos 00:11:17
seguir haciendo otra vez sustitución 00:11:21
porque tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Aunque bueno, un sistema 00:11:25
de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver con cualquier método, con sustitución, con igualación 00:11:29
con reducción, que queráis. Aquí no hay reglas para hacerlo, ¿no? Salvo que os piden 00:11:33
explícitamente que se haga con un método en particular. Bueno, pues vamos a hacerlo 00:11:39
otra vez con sustitución, ¿vale? Vamos a estudiar, por ejemplo, la z, ya que aquí 00:11:43
esta es para muy sencilla, ¿no? Tenemos que menos z es igual a 2 más 2x, lo indicamos 00:11:49
todo por menos 1, z es igual a menos 2, menos 2x. Voy a verse todo hecho de forma más sencilla 00:11:58
pasando directamente de aquí a aquí, pasando la z a la derecha y el 2 a la izquierda, pero 00:12:05
bueno, como hay gente que lo cuesta un poco más, lo hago en dos pasos. Y ya está, pues 00:12:10
ahora sustituimos la z en esta ecuación y tenemos que 11x más 10 veces menos 2 menos 00:12:16
2x tiene que ser menos 2. 11x menos 20 menos 20x es igual a menos 2. Y ahora ya pues el 00:12:28
20 al otro lado. 11x menos 20x es igual a menos 2 más 20 menos 9x es igual a 18. Obtenemos 00:12:40
nuevamente lo de antes y ahora ya resolvemos la X. X es igual a 18 partido por menos 9 00:12:56
que es menos 2. Lo que tiene un poco de ventaja en este punto de la igualación es que ya 00:13:04
están despejadas las variables. Aquí lo que tenemos, podemos aquí con eso hallar 00:13:13
la Z, menos 2 menos 2 veces menos 2, menos 2 más 4 que vale 2. Y aquí nuevamente podemos 00:13:17
a hallar otra vez la y, 3 más 3 veces menos 2, más 2 veces 2, que nos da 3 menos 6 más 00:13:29
4, que es 1. Y tenemos que x vale menos 2, y vale 1, y z vale 2. Bueno, ya está resuelto, 00:13:40
vamos a hacer algunas observaciones. Observación número 1. ¿Qué ocurriría si aquí tuviéramos otro 00:14:00
número? Por ejemplo, un 5. Pues lo que ocurriría es que aquí tenemos un 5, aquí un 5 y aquí diríamos 00:14:10
entre 5. Volveríamos a hacer otra vez sustitución, pero se complicaría un poco porque tendría más 00:14:19
fracciones. Es algo a tener en cuenta. Esto es muy fácil cuando no tenemos esa cosa, pero cuando la 00:14:28
tenemos la cosa se complica y ya igual que antes se puede hacer método mixo, primero sustitución y 00:14:34
luego igualación, etcétera. Se puede hacer igualación desde el principio y pues también, 00:14:44
pero bueno se complicaría un poco más. Despejaríamos la i por ejemplo con estas dos 00:14:50
ecuaciones aquí y aquí, igual a lo que sea, igual a lo que sea, igualaríamos estos y perderíamos una 00:14:55
variable. Haríamos lo mismo con otras dos ecuaciones, por ejemplo estas dos, y 00:15:03
perdemos otra variable. Entonces, también se puede hacer con igualación, pero se 00:15:12
complica. Reducción es realmente sencillo, aunque hay veces en que la sustitución 00:15:15
puede ser fácil. Por ejemplo, en el siguiente ejemplo. Y hacemos un último 00:15:20
ejemplo, donde vamos a ver que es mucho más sencillo emplear la sustitución 00:15:26
Porque podemos, si nos fijamos, en la segunda ecuación no hay y en la tercera ecuación no hay z. 00:15:33
Entonces lo que podemos hacer siempre es x más otra variable, x más otra variable. 00:15:42
Y podemos poner todo en función de x. 00:15:48
Es decir, aquí podemos quitar la z haciendo 3z es igual a 3 menos 2x. 00:15:50
esto es z es igual a 3 menos 2x partido por 3 00:15:59
y aquí podemos quitar la y haciendo y igual a 4 menos 3x 00:16:03
y ahora podemos sustituir en esta ecuación la y y la z en un solo paso 00:16:12
haciendo 4x que se queda igual 00:16:22
más ahora la y, 4 menos 3x 00:16:29
Y ahora la z más 5 veces 3 menos 2x partido por 3 00:16:34
Y eso tiene que ser igual a 2 00:16:43
Bueno, pues ahora por ejemplo, vamos a multiplicar un poco este terminado aquí 00:16:50
O directamente, vamos a multiplicar todo por 3 00:16:58
Para que se quede un poco más sencillo, vale 00:17:03
Esto por 3 entre 3 00:17:06
Y esto por 3 entre 3 00:17:08
Y así nos quitamos esos tres treses, este, este y este. 00:17:11
Y ahora tenemos que 12x más 12 menos 9x más 15 menos 10x, esto es igual a 6. 00:17:16
ahora pasamos las x a un lado como siempre 00:17:32
2x menos 9x menos 10x 00:17:37
es igual a 6 menos 12 menos 15 00:17:40
ahora 12 menos 10 es 2 00:17:45
esto sería menos 7x 00:17:49
y ahora tendríamos 00:17:51
a ver, 12 menos 6 es 6 00:17:53
15 y 6 es 21 00:17:57
menos 21 00:17:59
Y ahora x sería menos 21 partido por menos 7, que es 3 00:18:01
Ya tenemos la x resuelta 00:18:07
Y ahora, pues nada, las otras las tenemos ya puestas 00:18:10
Esto ya sería, la y sería 4 menos 3 veces 3 00:18:14
4 menos 9, que es menos 5 00:18:18
Y también es esta resuelta 00:18:21
Porque sería 3 menos 2 veces 3, entre 3 00:18:24
Esto es 3 menos 6 partido por 3 00:18:29
Menos 3 partido por 3 que es menos 1 00:18:33
Y ya tenemos que x vale 3 00:18:36
Y vale menos 5 00:18:41
Y z vale menos 1 00:18:44
Y ya está 00:18:48
En cada momento se puede utilizar un método mejor o peor 00:18:49
Y bueno, también se podría haber hecho reducción 00:18:54
aunque hubiera habido más pasos, etcétera. Pero tened en cuenta que un paso no lo ahorramos. 00:18:58
Evidentemente, si hubiera que hacer, por ejemplo, reducción, ¿qué habríamos hecho? Pues quitaríamos 00:19:02
o bien la i o bien la z. ¿Por qué? Porque aquí, por ejemplo, vamos a quitar, por ejemplo, la z, 00:19:09
¿no? Si yo quito aquí la z, aquí la z está quitada, me ahorro un paso. Lo que pasa es que 00:19:15
si yo hago reducción, bueno, va a ser más fácil quitarla ahí, vamos a quitarla ahí 00:19:24
pero ya veremos que si hacemos un paso más, ¿vale? 00:19:30
vamos a hacer, esta la sumamos, 4x 00:19:36
más y más 5z es igual a 2 00:19:40
restamos la otra, menos 3x menos y 00:19:43
es igual a menos 4 00:19:48
y tenemos que x más 5z 00:19:52
es igual a menos 2 00:19:57
y ahora tenemos 00:19:59
dos ecuaciones que están con la z 00:20:01
esta y esta 00:20:03
reducción también es sencilla 00:20:06
porque hemos quitado un paso 00:20:09
que es despejar la z en una ecuación 00:20:10
pero cuando hacemos reducción de la y 00:20:12
nos va a aparecer la z 00:20:13
y aquí ya pues yo que sé 00:20:15
podemos hacer reducción por ejemplo con la x 00:20:18
el primero lo dejamos igual 00:20:20
2x más 3z es igual a 3 00:20:21
el segundo lo multiplicamos por menos 1 00:20:24
menos 2X menos 10Z que es igual a 4 00:20:26
y obtenemos que menos 7Z es igual a 7 00:20:30
Z es igual a 7 entre menos 7 que es menos 1 00:20:35
y ya está, y ahora ya pues lo demás es igual 00:20:38
hacemos sustituciones como antes, de hecho como ya hemos hecho los pasos de la sustitución 00:20:42
en este caso por ejemplo la Y se podía sacar haciendo esto 00:20:46
y obtendríamos que es menos 5, bueno no, con la X perdón 00:20:51
tendríamos que hacer sustitución con la z, pues yo que sé 00:20:54
despejaríamos la x con la z aquí 00:20:57
entonces por ejemplo aquí mismo se puede sacar la x con la z 00:21:01
5z es igual a menos 2 menos x 00:21:08
que esto es menos 2 menos menos 1 00:21:21
perdón, lo he visto otra vez 00:21:25
quiere decir 00:21:27
x es igual a menos 2 menos 5z 00:21:31
que es menos 2 menos 5 por menos 1 menos 2 más 5 que vale 3 00:21:36
y ya tenemos la x y ahora por ejemplo la y si que se puede sacar con la x 00:21:46
pero si ya lo tenemos resuelto de antes que sería esto 00:21:52
y tendríamos que y vale menos 5 y ya lo tendríamos 00:21:57
pero he visto que en este caso con sustitución era muy sencillo 00:22:02
Bueno, pues con esto hemos explicado toda la teoría. 00:22:05
Bueno, ya por último, ¿qué ocurre con más incógnitas? 00:22:14
Bueno, pues se puede hacer lo mismo. 00:22:17
Primero vemos una variable, luego otra y luego otra. 00:22:20
En este caso particular, la más fácil sería empezar por la z, porque aquí hay una. 00:22:22
Y además aquí no hay z. 00:22:27
Entonces, por ejemplo, podemos hacer pones a 3 o sustitución o reducción, etc. 00:22:31
Y aquí nos quedaremos con tres variables 00:22:43
Y cuando nos quedamos con tres variables 00:22:45
Porque hemos quitado la z 00:22:47
Tenemos tres ecuaciones, pues hacemos lo mismo 00:22:48
Y ya está 00:22:51
También se puede hacer gauss 00:22:52
Quitando primero la x 00:22:54
En tres 00:22:57
Luego en dos y luego en una 00:22:58
Etcétera 00:23:01
O sea, con más incógnitas se funciona igual 00:23:02
Podemos hacer reducción 00:23:05
Con esas dos y por ejemplo 00:23:07
Quitarnos una variable, la t 00:23:09
Con estas dos y nos quitamos la t 00:23:10
con estas dos que nos quitamos la t 00:23:12
y tenemos tres ecuaciones con tres variables 00:23:14
x y z 00:23:17
bueno, pues será igual 00:23:18
pero con más complicación 00:23:23
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
8
Fecha:
15 de septiembre de 2025 - 0:07
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARÍA GOYRI GOYRI
Duración:
23′ 30″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
164.30 MBytes

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