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4MAC - 01 - Números reales - 01 - Radicales como potencia y radicales equivalentes - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a empezar a ver la teoría de radicales de cuarto de la ESO en matemáticas académicas.
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Bueno, esto ya lo hemos contado en clase, ya hemos hablado de que nosotros podemos, sabemos, expresar un radical como una potencia de exponente fraccionario, ¿vale?
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Lo de exponente fraccionario es importante, ¿vale? La forma que tiene ese exponente es la de una fracción.
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Sabemos que para pasar de radical a potencia lo que tenemos que hacer es transformar la información del índice y del exponente que puede tener el radicando,
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transformarla en un denominador y un numerador respectivamente de una fracción que está en el exponente.
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De tal forma que el índice del radical pasa a ser el denominador y el exponente, si lo hay, pasa a ser el numerador.
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Ya sabéis que si no encontramos exponente, como tenemos aquí, en este ejemplo de raíz enésima de a,
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dado que aquí no hay exponente, sabemos que todo número naturalmente está elevado a 1
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y por tanto el numerador de la fracción sería 1.
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Si como veis aquí, encontráis simplemente una raíz de las de toda la vida, raíz cuadrada de un número o el que sea,
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dado que no tenemos índice, como la raíz es cuadrada, el índice es 2, ¿vale?
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Cuando no encontramos índice entendemos que el índice es 2,
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mientras que si no encontramos exponente sabemos que naturalmente el exponente es 1, ¿de acuerdo?
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Bueno, vamos a ver aquí unos ejemplitos de cómo podemos traducir esto a, bueno, estos radicales a potencias de exponente fraccionario, ¿vale?
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Pues sería tan sencillo como escribir aquí 2 elevado a una fracción donde el denominador es el índice, en este caso 3, y el numerador es el exponente que ya tenía el radicando, que es en este caso 4.
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Tenemos aquí otro ejemplo donde tenemos raíz quinta de 7, pues nada, escribiríamos el 7 elevado a una fracción donde el denominador es el índice, un 5 chiquitín, y el numerador sería el exponente.
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Como 7 no aparece elevado a nada, entendemos que está elevado a 1 y por eso tendríamos aquí 7 elevado a 1.
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Mirad, si veis este ejercicio es un pelín más complicado, ¿vale?
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Porque tenemos una raíz cuadrada de una raíz sexta de 3 elevado a 5
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Lo que vamos a hacer aquí es entender que lo primero que tenemos aquí es una raíz cuadrada, ¿vale?
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Una raíz cuadrada de una expresión que yo voy a poner aquí en verde, ¿vale?
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Por tanto, lo primero que voy a hacer es traducir la raíz cuadrada, ¿vale?
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De tal forma que todo lo que tengo ahí marcado en verde queda elevado a un medio, tal y como vimos en este ejemplo de aquí arriba.
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Solo que bueno, yo no tengo un punto gordito verde, sino que realmente lo que tengo es raíz sexta de 3 elevado a 5.
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Entonces todo esto, la raíz cuadrada de toda esa expresión es lo mismo que tener toda esa expresión elevada a un medio.
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Lo que voy a hacer en un siguiente paso es transformar todo esto que tengo aquí marcado en verde en una nueva potencia de exponente fraccionario, ¿vale?
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Solo que ahora ya tengo elevado a un medio, pues mantengo el paréntesis y el exponente un medio y voy a traducirlo de dentro, que sería tan sencillo como coger 3 y elevarlo a 5 sextos, ¿vale?
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Índice 6 pasa a ser denominador, exponente 5 pasa a ser numerador.
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Podríamos dejarlo así escrito o podemos también acordarnos de una propiedad de las potencias
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Que decía que cuando yo tenía la potencia de una potencia
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Era lo mismo que tener esa potencia con los exponentes multiplicados
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¿Vale? Potencia de una potencia se multiplica en exponentes
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Cuando teníamos una multiplicación en este caso de fracciones
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Para poder multiplicar los exponentes
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Me acuerdo que multiplico numerador con numerador
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es decir, 5 por 1, 5, y denominador con denominador, 6 por 2, 12, ¿de acuerdo?
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Por tanto, la raíz cuadrada de la raíz sexta de 3 elevado a 5 es lo mismo que tener 3 elevado a 5 doceavos.
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Vamos a ver ahora a qué llamamos radicales equivalentes.
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Venga chicos, radicales equivalentes son dos radicales o más
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que cumplen que yo he tomado el índice y el exponente del radicando y los he multiplicado por un mismo número, ¿vale?
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En este caso os indico el número como un número p, que es igual, ¿vale?
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Es un mismo factor por el que multiplico, en este caso, al índice, que he llamado n, y al exponente, que en este caso se llama n.
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¿Por qué sucede esto?
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Bueno, esto no es magia, sino que esto tiene que ver con las propiedades de las fracciones
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¿Vale? Mirad, si nosotros tomamos estos radicales, uno radical que sea
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Y yo los transformo en forma de potencia de exponente fraccionario
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Resulta que las fracciones que voy a tener en los exponentes van a ser equivalentes
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¿Vale? ¿Os acordáis de aquello de cuando teníamos una operación combinada de fracciones que acabábamos siempre?
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Pues venga, que hay que simplificar o vamos a amplificarla para poder sumar o restar, ¿vale?
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Pues van por ahí los tiros.
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Mirad, si yo por ejemplo tengo aquí, como tengo aquí escrito raíz cúbica de 3 al cuadrado, ¿vale?
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Y raíz esta de 3 a la cuarta, yo sé que son equivalentes porque si los traduzco a potencia de exponente fraccionario,
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el primero sería 3 elevado a 2 tercios, ¿vale?
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Índice 3 pasa a ser denominador, exponente 2 pasa a ser numerador
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y el segundo radical sería 3 elevado a 4 sextos, ¿de acuerdo?
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¿Y qué sucede? Que las fracciones 2 tercios y 4 sextos son fracciones equivalentes, ¿vale?
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Porque yo simplifico 4 sextos y obtengo 2 tercios, o si aplicaba la regla de los productos cruzados
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también obtenía los mismos valores, ¿vale?
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¿Para qué vale esto? Pues para algo tan útil como poder simplificar o amplificar radicales.
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Por ejemplo, mirad, aquí tengo el radical raíz de índice 12 de 3 elevado a 15.
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Bueno, si os dais cuenta, 12 es lo mismo que 3 por 4, ¿vale?
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Y 15 es lo mismo que 3 por 5, ¿de acuerdo?
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El 3 es, bueno, ya os adelanto, perdón, he puesto 3 por 15, pero que ya os adelanto que en este tema va a haber que factorizar muchísimo, muchísimo, ¿vale?
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Entonces, si yo me doy cuenta que tanto 12 como 15 son múltiplos de 3, yo puedo simplificar, ¿vale?
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Y eliminar aquí un 3 del índice y un 3 del exponente y reescribir este radical como raíz cuarta de 3 elevado a 5, ¿de acuerdo?
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De esta manera he simplificado este radical porque me he dado cuenta que tanto índice como exponente son múltiplos de un mismo número, ¿vale?
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12 lo puedo dividir entre 3 y obtengo 4, y 15 lo puedo dividir también entre 3 y obtengo 5.
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De igual modo, si a mí me pidieran amplificar un radical, como este segundo ejemplo que tengo por aquí,
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pues es tan sencillo como escribirme mi radical, ¿vale?
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Y, bueno, si me interesa amplificarlo, tomar un valor el que a mí me apetezca
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y multiplicar ambos valores, tanto al índice como al exponente, ¿vale?
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Al exponente del radicando.
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De esta forma puedo obtener, por ejemplo, el radicando raíz sexta de 7 elevado a 4 que va a ser equivalente a raíz cúbica de 7 al cuadrado, ¿vale?
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Si en lugar de este yo quisiera hacer, por ejemplo, pues escribo todo como estaba y que me apetece a mí amplificar multiplicando por 5, pues multiplico por 5 tanto el índice como el exponente, ¿vale?
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Entonces obtendría, en este caso, raíz de índice 15 de 7 elevado a 10, ¿vale?
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Y como he multiplicado por un mismo número índice y exponente,
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este radical que acabo de obtener también es equivalente al primero.
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- 28 de septiembre de 2020 - 22:04
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