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Matemáticas II_ Análisis 6. Representación de funciones - Irene Tuset Relaño - Contenido educativo

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Subido el 1 de noviembre de 2024 por Carolina H.

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Pasos para la representación de funciones

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Hola de nuevo, vamos a empezar ahora con la representación de funciones, que va a ser una continuación de los vídeos que habéis visto ya de primero de bachillerato. 00:00:01
Vamos a recordar brevemente cuáles son los pasos a seguir para representar una función, ¿vale? 00:00:11
Y lo primero es el dominio de definición, que ya lo hemos visto todo. Simplemente os dejo aquí un cuadro resumen, ¿vale? 00:00:16
Tienes que tener en cuenta el tipo de función, es fundamental, ¿vale? 00:00:23
Si va a ser una función racional, sabemos que el dominio van a ser toda la recta real menos los valores que hagan cero el denominador, 00:00:27
que habrá que estudiar porque son posibles asíntotas verticales, ¿vale? 00:00:36
Si tenemos una función con radicales, tenemos que tener en cuenta que si el índice de la raíz es par, ¿vale? 00:00:39
¿De acuerdo? Entonces el dominio será los valores donde el radicando sea mayor o igual que cero. 00:00:48
Igualmente, para las funciones logarítmicas, recordemos que el dominio siempre va a ser donde lo que esté en el interior del logaritmo sea estrictamente mayor que cero, 00:00:56
porque el logaritmo de cero es infinito, tiende a menos infinito por la derecha, ¿vale? 00:01:04
Entonces aquí también tenemos una posible asíntota vertical. 00:01:09
Os recuerdo también que la función tangente se hace infinito en todos los múltiplos impares de pi medios 00:01:12
¿Vale? Pues esto es lo que pone aquí, el dominio será toda la recta real menos los múltiplos impares de pi medios 00:01:22
Y que en cambio el dominio va a ser toda la recta real en las polinomios, en seno, coseno y en las exponenciales 00:01:28
¿Vale? Simplemente un repaso para que lo tengamos en cuenta, que lo primero que hay que mirar es el dominio 00:01:37
Por otro lado voy a hacer un breve repaso a las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. 00:01:41
Como ya sabemos, una función va a tener un asíntota horizontal, es el comportamiento en el infinito, 00:01:50
cuando en el límite más o menos infinito de la función me da un número a. 00:01:58
En ese caso, en esa situación, vamos a decir que x igual a a es asíntota horizontal. 00:02:03
Ojo, recordad que hay que estudiar si hay asíntotas horizontales en el más infinito y en el menos infinito por separado, 00:02:08
porque puede una función perfectamente tener dos asíntotas horizontales diferentes en cada extremo, 00:02:15
o incluso por un lado sí y por otro no, o por un lado una oblicua y por otro una horizontal. 00:02:21
Es decir, que no olvidéis estudiarlo siempre en el más y en el menos infinito. 00:02:26
Las asíntotas verticales, os recuerdo que la ecuación de una asíntota vertical es de la forma x igual a b, 00:02:30
Igual que la de la horizontal es igual a, porque en este caso es una recta vertical, 00:02:37
donde ves un punto dando función en algún límite lateral, algún límite lateral, más o menos infinito. 00:02:42
No hace falta que sea por los dos lados, ¿vale? 00:02:49
Simplemente cualquier límite lateral que dé más o menos infinito va a dar lugar a una asíntota vertical, ¿vale? 00:02:52
Yo recuerdo que para encuadrar la gráfica estudiaremos siempre los límites laterales, ¿vale? 00:02:58
Y el valor de la función cuando se va acercando a sus asíntotas, ¿sí? 00:03:07
Importante, ¿vale? Os recuerdo las asíntotas oblicuas. 00:03:12
Las asíntotas oblicuas, la definición general es que es una recta de la forma igual a mnx más n, ¿vale? 00:03:16
Y esto que significa realmente que cuando una función se acerca a su asíntota oblicua, 00:03:24
la diferencia entre ellas, ¿vale? Sería justamente la longitud de este segmento, la diferencia entre ellas tiende a cero. 00:03:32
Como veis, eso es lo que significa tener una asíntota, que la función se va aproximando cada vez más a su asíntota, ¿vale? 00:03:42
Esto implica que el límite de la función menos la ecuación de su asíntota tiene que ser cero. 00:03:49
Y de esta igualdad se derivan dos. Una, que el límite cuando x tiende a más o menos infinito de la función partido por x va a ser m. 00:03:58
Eso simplemente resulta al dividirlo entre x. Y la segunda, que el límite de f de x menos mx tiene que ser n. 00:04:08
Si estos dos límites existen y tienen un valor numérico, entonces la ecuación de la asíntota oblicua va a ser, como aquí viene expresado, igual a mx más n. 00:04:17
Entonces, depende de qué tipo de función tenemos que utilizar la expresión general de una asíntota oblicua calculando estos dos límites. 00:04:35
O podemos, como hemos visto en otros vídeos, si en nuestra función es una fracción algebraica, podemos dividir el numerador entre el denominador y el cociente va a ser mi asíntota oblicua. 00:04:45
Y esto va a ser así siempre y cuando el grado del numerador sea uno mayor que el grado del denominador. 00:05:00
¿Vale? ¿Sí? Así que tenemos estas dos opciones. Primero, para que exista asíntota oblicua tiene que pasar ¿qué límite en más infinito o menos infinito de infinito? 00:05:09
¿Qué límite de la función partido por x de un valor y qué límite de la función menos ese valor menos x también de otro valor? 00:05:20
al que vamos a llamar n, ¿vale? 00:05:27
Y simplemente en el caso de que sea una fracción algebraica va a ser más rápido 00:05:31
si calculamos la asíntota oblicua dividiendo con la división de caja el numerador entre el denominador, ¿vale? 00:05:35
Bueno, por otro lado, todo este cálculo de asíntotas va a requerir del cálculo de muchos límites, ¿vale? 00:05:45
Y entonces la diferencia respecto al año pasado es que ahora tenemos una nueva herramienta que son el cálculo de límites mediante la regla del hospital, ¿vale? 00:05:51
Entonces esto nos permite realizar el estudio de funciones más complejas, diferentes a las del año pasado. 00:06:01
Así que simplemente os dejo aquí un resumen de cuándo se puede aplicar la regla del hospital y cuáles son las estrategias, ¿vale? 00:06:08
Recordemos que de forma directa solo se puede utilizar en el caso infinito partido por infinito y cero partido por cero, ¿vale? 00:06:17
Y que los otros límites infinito menos infinito habrá que multiplicar y dividir entre el conjugado si tiene radicales o sumar fracciones. 00:06:25
Y de ahí puede ser que nos quede un límite directo o que tengamos que aplicar la regla de la hospital, ¿vale? 00:06:33
Si tenía una indeterminación del tipo 1 elevado a infinito, ¿vale? 00:06:38
Lo más práctico suele ser aplicar la regla de los límites tipo número e 00:06:42
Es cierto que también se pueden tomar neperianos, como en otras indeterminaciones 00:06:46
Pero normalmente lo más rápido es aplicar la regla de los límites tipo número e 00:06:51
Aunque es posible que al aplicarla a su vez en el exponente tengamos que aplicar de nuevo la regla del hospital 00:06:55
Os recuerdo que si teníamos de cero por infinito 00:07:01
Había que transformarla en un límite tipo cero partido por cero o infinito partido por ciento 00:07:04
reordenando numerador y denominador, ¿vale? 00:07:09
Os recuerdo que simplemente A por B lo puedo expresar como A partido por 1 partido por B 00:07:13
y de esta forma podíamos reordenar el producto para que me quedara bien 0 partido por 0 o infinito partido por infinito. 00:07:20
Y que cuando teníamos 0 elevado a 0 o infinito elevado a 0 tomábamos logaritmos y aplicábamos la regla del hospital, ¿vale? 00:07:29
Bueno, os dejo también aquí un esquemita de todos los límites de la raíz, del logaritmo, de la exponencia, ¿vale? Para simplemente que lo tengáis resumido, ¿vale? Resumido todos estos conceptos sobre límites, cuánto se ha elevado a más infinito, cuánto se ha elevado a menos infinito, cómo depende de la base, lo mismo con el logaritmo, ¿vale? 00:07:39
Simplemente para que tengáis un esquema que os facilite el cálculo de límites 00:08:03
Y bueno, el siguiente punto a la hora de representar funciones sería calcular los puntos de corte con los ejes 00:08:08
Que como sabéis, hay puntos de corte con el eje X y puntos de corte con el eje Y 00:08:16
Entonces simplemente recordaros que donde la X se hacía 0 era donde cortaba el eje Y 00:08:24
y donde la y se hacía era 0 era donde cortábamos al eje x, por lo tanto tendríamos que hacer f de 0 y tendríamos el corte con el eje y 00:08:32
y resolver la ecuación f de x igual a 0 y entonces tendríamos calculados los puntos de corte con el eje x. 00:08:45
Fundamental que lo hagamos siempre que representemos 00:08:58
Y bueno, pues para recordar un poco la tabla para los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión 00:09:06
Y puntualizar algunos aspectos, ¿vale? 00:09:13
Bueno, como ya sabíais, para que una función sea creciente su derivada debe ser mayor que 0, ¿vale? 00:09:16
Y si ocurría que la primera derivada era 0 y la segunda menor que 0 00:09:21
significaba que esa función era convexa, como aquí, entonces teníamos un máximo relativo. 00:09:26
Si teníamos la primera derivada igual a cero y la segunda mayor que cero, 00:09:34
entonces teníamos un punto de extremo relativo donde la función es cóncava, 00:09:39
por lo tanto teníamos un mínimo relativo. 00:09:45
Recordemos que los puntos de inflexión son aquellos donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa, 00:09:48
con lo cual son los puntos donde la recta tangente atraviesa a nuestra gráfica y para que localizar 00:09:54
un punto de inflexión teníamos que ver que la primera derivada valía cero y simplemente que 00:10:04
la tercera fuera distinta de cero, sea cóncava o sea convexa y que teníamos las tablas de 00:10:11
crecimiento y las tablas de concavidad. Entonces os recuerdo que poníamos el dominio de la función 00:10:19
normalmente de más infinito menos infinito pero en general el dominio de la función y que tendríamos 00:10:25
que ir estudiando el signo de la derivada en función de f. ¿En qué valores diferenciábamos 00:10:31
la recta real? Pues por un lado si teníamos alguna asíntota vertical por ejemplo habría que ponerlo 00:10:38
diferenciarlo puesto que el crecimiento de una función puede variar por una asíntota vertical 00:10:45
y por otro lado tendríamos que poner los puntos donde la derivada se haga cero. 00:10:50
Y a partir de ahí pues iríamos viendo cómo va cambiando el signo de la derivada 00:11:00
y deduciendo el crecimiento. 00:11:06
Tenemos que tener siempre en cuenta si cuando ha cambiado de creciente a decreciente 00:11:14
ha sido debido a un punto donde la derivada se hacía cero 00:11:18
o un punto simplemente donde un trozo de función se enlaza con otro trozo de función 00:11:23
o si es una asíntota vertical, porque en este caso, a pesar de que haya un cambio en el crecimiento, 00:11:28
no va a ser un extremo relativo, no hay ni un máximo ni un mínimo relativo. 00:11:34
Por eso es importante que lo distingamos. 00:11:39
exactamente igual va a pasar cuando estudiemos la concavidad, ¿vale? 00:11:41
Si estudiamos el signo de la segunda derivada 00:11:46
pondremos, si el dominio es toda la recta real 00:11:48
también si tenemos alguna asíntota vertical 00:11:52
también puede cambiar la concavidad en una asíntota vertical 00:11:55
y los puntos, que puede ser uno o ninguno o dos, ¿vale? 00:11:59
donde la segunda derivada se haga cero, ¿vale? 00:12:04
los puntos donde la segunda derivada se haga cero 00:12:07
y lo mismo pues vamos estudiando como van cambiando 00:12:13
el signo de la segunda derivada y deduciendo de ahí 00:12:16
si mi función va a ser cóncava o convexa 00:12:21
y ver que donde va a haber punto de inflexión 00:12:25
pues en los puntos donde pase de ser cóncava a convexa 00:12:29
pero que no tenga una asíntota vertical 00:12:32
Bueno, esto solo es un repaso de todo lo que hemos estudiado previamente, ¿vale? 00:12:35
Recordar un poco el concepto de simetría, que si nos la piden o simplemente porque puede ser interesante analizar para nosotros mismos, 00:12:41
para estudiar la función, si nuestra gráfica presenta una simetría, ¿vale? 00:12:51
Recordar que una función es simétrica cuando se verifica que f de menos x es igual a f de x, ¿vale? 00:12:56
Va a ser una simetría respecto al eje y, como veis aquí, para cualquier valor x, esta va a ser una función simétrica, si yo tomo cualquier valor x, va a ser exactamente igual su imagen que el de menos x, van a tener la misma imagen, ¿vale? 00:13:02
Entonces eso significa que es simetría. 00:13:24
¿Por qué me va a ayudar esto a hacer una gráfica? 00:13:25
Porque si tiene un máximo relativo a la derecha, tiene que tener otro a la izquierda. 00:13:27
Si tiene un asiento horizontal por la derecha u oblicua, lo mismo va a tener por la izquierda. 00:13:31
Entonces si ya sé que es simétrica, me va a evitar tener que hacer el estudio en ambos extremos. 00:13:36
También decíamos que una función era antisimétrica si f de menos x era menos f de x. 00:13:42
lo que equivale a decir que es simétrica, pero respecto a un punto, respecto al origen de coordenadas. 00:13:48
Si este valor es x, este es menos x, como vemos, tiene la misma imagen en valor absoluto, pero con diferentes signos. 00:13:55
Lo mismo, esto también nos va a ayudar a poder estudiar de forma global una función, 00:14:06
puesto que si tiene un máximo en un lado, sabemos que de forma simétrica va a tener un mínimo. 00:14:12
¿De acuerdo? Y entonces nos va a ayudar. Y bueno, y por último vamos a recordar lo que es una función periódica. 00:14:17
Una función periódica es una función donde f de x es lo mismo que f de x más n por k o n por t, que se suele poner más frecuentemente el periodo, ¿vale? 00:14:26
de periodo k. Vamos a cambiarlo porque como 00:14:39
estáis acostumbrados a tener el periodo que llamamos t 00:14:43
como en física, pues vamos a llamarle t 00:14:46
periodo t. Vamos a cambiarlo 00:14:50
y así no hay confusión. Por ejemplo, la función 00:14:55
seno, coseno, tangente son funciones periódicas de periodo 00:15:02
2pi, que serían radianes el equivalente a dar 00:15:06
Una vuelta completa, por lo tanto, cada vez que pasamos 0, pi medios, pi, 3 pi medios, 2 pi, cada vez que damos una vuelta entera, la función se repite indefinidamente, ¿vale? 00:15:10
Con lo cual, simplemente tenemos que estudiar la gráfica de la función en un periodo, puesto que el resto se va a repetir de forma indefinida, ¿vale? 00:15:34
Y bueno, simplemente recordar que si dos funciones son inversas, eso significa que su composición es la identidad, ¿vale? 00:15:43
Esta es la definición de funciones inversas, ¿sí? Y que solemos expresarlo como que g es igual a f a la menos uno, ¿vale? 00:15:54
Significa que van a ser simétricas respecto a la recta igual a x, ¿vale? 00:16:02
Entonces, por ejemplo, esta sería la función elevada a x y neperiano de x, que como sabéis son simétricas respecto a la recta igual a x y son funciones inversas. 00:16:08
El neperiano de la exponencial es x y la exponencial del neperiano pues también es x. 00:16:23
Lo mismo pasaría aquí con x al cuadrado y raíz de x, ¿vale? 00:16:28
Aunque una estaría con un dominio desde cero más infinito y solamente se podría definir la inversa en ese dominio, ¿vale? 00:16:34
Entonces, como veis, también son simétricas. 00:16:42
¿Y qué tema se verifica esta propiedad? 00:16:45
Que el dominio de una resulta ser la imagen de su inversa y al revés, el dominio de la inversa es la imagen de la otra. 00:16:47
Simplemente son aspectos que nos pueden ser útiles a la hora de representar funciones. 00:16:57
Recordad también, aunque ya lo hemos repasado este curso, como se calcula o se estudia una función valor absoluto, 00:17:04
Recuerdo que tenemos que separarla en distintos intervalos para que no aparezca el signo del valor absoluto, 00:17:11
teniendo en cuenta que el valor absoluto de una función va a ser la misma función donde la función sea positiva o cero 00:17:20
y la función cambiada de signo donde la función se haga negativa o cero. 00:17:26
Como ya lo hemos visto bastantes veces, porque realmente el valor absoluto implica que toda la parte negativa de la función se va a convertir en positiva. 00:17:31
Simplemente recordaros, porque va a ser muy útil, que os apoyéis en esta parte del temario, en el programa GeoGebra, para la presentación de funciones. 00:17:42
¿Cómo se introducían funciones valor absoluto en el ordenador? 00:17:53
Simplemente si ponemos apps absoluto, ya podemos poner valor absoluto de lo que queramos, lo podemos teclear, 00:18:00
pero también en el teclado que aparece en el GeoGebra clásico podéis localizar en este botón el símbolo de valor absoluto 00:18:06
y así podemos introducir función valor absoluto, ¿vale? 00:18:15
Como veis aquí, por ejemplo, valor absoluto de x cuadrado menos uno y ya me va a aparecer la gráfica de la función. 00:18:18
¿Qué este tipo de funciones que va a tener? Pues frecuentemente lo que tiene son puntos no derivables, ¿vale? 00:18:25
Esos picos que decíamos, ¿sí? 00:18:31
Y por otro lado, voy a repasar cómo se introduce una función definida a trozos en el programa GeoGebra. 00:18:33
Empezamos a teclear en la barra detallada la palabra función y nos va a aparecer esta opción 00:18:41
que es función, valor inicial y valor final, ¿vale? 00:18:46
Porque como solo es una variable nos vale. 00:18:52
Por ejemplo, aquí pongo la función x cuadrado más x desde el menos 10 hasta el 1, ¿vale? 00:18:54
Entonces yo cada trozo, como veis aquí en la gráfica, me va a salir hasta el 1, que es donde yo quería acabar mi función. 00:19:00
Y a continuación puedo introducir otro trozo, en este caso g de x, lo vamos a hacer x más 1 entre el 1 y el 2, o 7 menos x cuadrado entre el 2 y el 10. 00:19:09
Y como veis así ya puedo conseguir tener mi función definida a trozos que me va a permitir visualizar si eso no es continuo, si eso no es derivable y poder comprobar si todo el estudio que he hecho yo es correcto. 00:19:23
Idioma/s:
es
Materias:
Ciencias
Etiquetas:
Operaciones matemáticas
Niveles educativos:
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Autor/es:
Irene Tuset Relaño
Subido por:
Carolina H.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
19
Fecha:
1 de noviembre de 2024 - 22:23
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
19′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
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