Ejercicio propiedades de los logaritmos | Mediateca de EducaMadrid

Hola chicas, hola chicos. Vamos a hacer este ejercicio que nos dice que si el logaritmo en base 3 de un número a que no conocemos vale 0,2 00:00:00

y el logaritmo en base 3 de otro número b que tampoco conocemos vale 1,6, calculemos el logaritmo de esa expresión que está escrita ahí. 00:00:09

Vale, para calcular ese logaritmo tenemos que aplicar las propiedades de los logaritmos que he escrito a la derecha en azul. 00:00:20

Esas son las propiedades que vamos a tener que aplicar para recordarlas. 00:00:25

Entonces, fijaros, ¿qué operación tenemos dentro del logaritmo? 00:00:28

Perdonad que aquí falta la base, es el logaritmo en base 3 00:00:33

¿Vale? ¿Qué operación tenemos dentro del logaritmo? 00:00:36

Pues tenemos una división, ¿vale? 00:00:39

Entonces tendremos que aplicar esta propiedad 00:00:41

Que nos dice que el logaritmo de una división es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador 00:00:43

¿Vale? Pues aplicando eso, esto nos quedaría 00:00:49

Que el logaritmo, este logaritmo es igual al logaritmo en base 3 de la raíz cuarta de 9ab cubo menos el logaritmo en base 3 de la raíz cuadrada de 27a a la quinta. 00:00:52

Y vamos paso por paso aplicando las propiedades. 00:01:13

Entonces ahora en el primer logaritmo, dentro del primer logaritmo que tenemos una raíz cuarta, pues vamos a aplicar esta otra propiedad de aquí. 00:01:16

que nos dice cómo calcular el logaritmo de una raíz, en el que tendremos ahora que el primer logaritmo, el índice, lo tenemos que escribir aquí delante como una fracción. 00:01:24

Entonces nos quedará un cuarto del logaritmo en base 3 de lo que tenemos dentro de la raíz, 9ab³, menos, y en esta aplicamos la misma propiedad, 00:01:36

Tenemos una raíz cuadrada, pues nos quedará un medio del logaritmo en base 3 de 27a a la quinta. 00:01:49

Bueno, y ahora, dentro de los logaritmos, ¿qué tenemos ahora? 00:01:58

Pues dentro del primer logaritmo tenemos un producto y en el segundo tenemos un producto también. 00:02:01

Pues vamos a aplicar la primera de las propiedades que hemos escrito, que nos dice cómo hacer el logaritmo de un producto. 00:02:06

Y transformaremos el logaritmo de un producto en la suma del logaritmo de cada factor. 00:02:13

Con lo cual nos quedará 1 cuarto. Este 1 cuarto va a multiplicar a toda la suma, con lo cual la suma posterior vamos a ponerla entre paréntesis. 00:02:18

Nos quedará 1 cuarto del logaritmo en base 3 de 9 más el logaritmo en base 3 de a más el logaritmo en base 3 de b al cubo. 00:02:27

Y lo mismo hacemos con el segundo logaritmo, nos quedará un medio que multiplica el logaritmo en base 3 de 27 más el logaritmo en base 3 de a a la quinta. 00:02:39

Bueno, y aquí ya podemos ir sustituyendo cosas por números, ¿vale? 00:02:52

Nos queda un cuarto, el logaritmo de 9 en base 3 es 2, ¿vale? 00:02:57

Porque el 3 lo tengo que elevar al cuadrado para que me dé 9, ¿no? 00:03:02

Entonces ahí queda 2 por la definición del logaritmo 00:03:07

El logaritmo en base 3 de a nos dice el enunciado que vale 0,2 00:03:09

Pues ya lo vamos poniendo 00:03:14

¿Vale? Y aquí tenemos una potencia, ¿de acuerdo? 00:03:15

Pues ahora tendremos que aplicar esta propiedad de aquí 00:03:18

para que nos dice cómo calcular el logaritmo de una potencia. 00:03:21

El exponente lo podemos poner delante del logaritmo multiplicando. 00:03:25

Con lo cual nos quedaría 3 logaritmo en base 3 de b, que luego lo sustituyo. 00:03:30

Y aquí nos quedó un medio de el logaritmo de 27 en base 3 es 3, porque 3 elevado a 3 da 27. 00:03:36

Y aquí aplico la misma propiedad que antes. Tengo una potencia, luego esto me quedaría 5 veces el logaritmo en base 3 de a. 00:03:42

Y con esto ya puedo sustituir todos los números, ¿vale? Fijaros, me quedaría un cuarto, ¿vale? Esto ya lo puedo ir sumando, 2 más 0,2 es 2,2, más 3 veces por el logaritmo de b, que el logaritmo de b vale 1,6, menos un medio de 3 más 5 por el logaritmo de a, que es 0,2, ¿vale? 00:03:50

Y esto ya, pues es hacer las cuentas de los números, ¿de acuerdo? Con lo cual nos quedaría un cuarto de, a ver, 3 por 1,6 es 4,8, ¿vale? 4,8 más 2,2 da 7, ¿vale? Con lo cual esto me queda por 7. 00:04:16

menos 1 medio y 5 por 0,2 es 1 00:04:33

más 3, 4, ¿no? con lo cual, fijaros, esto me quedaría 00:04:40

7 cuartos y 1 medio por 4 son 2 00:04:44

¿vale? o directamente puedo poner denominador común 00:04:48

que me quedaría 8 cuartos, ¿vale? 00:04:51

y 7 cuartos menos 8 cuartos es menos 1 cuarto 00:04:55

y esta sería la respuesta al ejercicio. ¡Un saludo! 00:04:58