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Inecuaciones racionales con una incognita - Contenido educativo

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Subido el 20 de febrero de 2022 por Pablo V.

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Bien, voy a explicar ahora el apartado 6.3 del tema 3, que son las inecuaciones racionales con una incógnita. 00:00:00

Vuelvo a subrayar aquí la palabra racionales, ¿vale? 00:00:12

Porque es algo que sé que se nos va a olvidar muchas veces. 00:00:17

A ver, que no he cogido la herramienta adecuada. 00:00:22

Racionales, como hemos dicho ya en otras ocasiones, racional, la palabra racional viene de razón, ¿vale? 00:00:24

Viene de razón, ¿y qué es una razón? Una razón es una división, es un cociente, no es una fracción porque la fracción es un término más estrecho, más particular, 00:00:39

solamente para cuando en el numerador y en el denominador aparecen números enteros, ¿vale? 00:00:53

Una razón es más general, ¿vale? 00:00:59

Cuando estábamos hablando de segmentos, por ejemplo, hablábamos de la razón de los segmentos 00:01:03

y para ese ámbito nos valía la palabra razón y también nos vale para cuando tenemos una división de polinomios, 00:01:08

O sea, que se sigue hablando de razón y por lo tanto racional, una inequación racional es una división de polinomios, ¿vale? 00:01:16

Aquí tenemos un polinomio en el numerador y un polinomio en el denominador. 00:01:27

Y tenemos que resolver una ecuación racional con dos polinomios, uno en el numerador y otro en el denominador. 00:01:32

Y vamos a hacer lo mismo que hacíamos cuando teníamos una inequación polinómica. 00:01:41

Tenemos que factorizar tanto el numerador como el denominador, ¿vale? Hay que factorizar numerador y denominador, que os lo ponen aquí también, ¿vale? 00:01:45

Factorizando numerador y denominador 00:02:14

Para después estudiar el signo de cada uno de los factores 00:02:18

Tal y como hacíamos con las inequaciones polinómicas 00:02:22

¿Vale? 00:02:26

Entonces, ahora tenemos aquí un ejemplo 00:02:26

Que vamos a resolver 00:02:28

Voy a borrar todo esto 00:02:29

Y vamos a resolver esta inequación racional 00:02:32

¿Vale? 00:02:38

Vamos a tapar la solución 00:02:39

Del libro 00:02:40

Y aquí le vamos a dejar esto en blanco, así, por ejemplo. 00:02:42

Se transparenta un poco, pero bueno, no pasa nada. 00:02:50

No, y vamos a quitar también el escrito este. 00:02:54

Vamos a dejarlo así. 00:03:00

Entonces, ¿cómo se resolvería esta inequación? 00:03:02

Lo primero que tenemos que hacer es factorizar numerador y denominador. 00:03:05

Vale, para factorializar el numerador yo lo tengo aquí, yo lo tengo aquí, a ver si esto me deja, que factorializar este polinomio x cubo menos 3x cuadrado más 2x, yo esto lo tengo que factorializar, ¿no? 00:03:09

Por lo tanto, lo voy a expresar, o voy a realizar los pasos que realizábamos siempre, que teníamos que factorizar un polinomio. 00:03:28

Lo primero era sacar factor común si era posible. ¿Puedo factorizar esto? O sea, ¿puedo sacar un factor común aquí? Sí. 00:03:36

¿Cuál? La x. Entonces, x de factor común, que multiplica a paréntesis, x cuadrado menos 3x más 2, ¿vale? 00:03:44

El siguiente paso, ¿cuál era? Ver si había alguna identidad notable, que no es nuestro caso, y si teníamos un polinomio de grado 3 o superior, aplicábamos un Ruffini, y si teníamos grado 2, resolvíamos la ecuación de segundo grado. 00:03:54

Es decir, yo aquí voy a resolver esta ecuación de segundo grado. x cuadrado menos 3x más 2 igual a 0. Eso implica que x es igual a menos b, que es 3, más menos la raíz cuadrada de 9 menos... 00:04:09

esto no, algo está aquí mal 00:04:27

x cuadrado menos 3x 00:04:32

más 2 menos b 00:04:37

más menos raíz cuadrada de b cuadrado 00:04:40

menos 4, si está 00:04:42

menos 4 por 1 00:04:43

y por 2, ¿vale? 00:04:46

bien, dividido entre 2a que es 2 00:04:49

y esto me queda 3 más menos la raíz cuadrada 00:04:52

de 9 menos 8 dividido entre 2 00:04:56

y esto es igual a 00:05:01

x es igual a 3 más menos 1 00:05:02

dividido entre 2, por lo que es lo mismo 00:05:06

esto me da 3 y 1, 4 entre 2, 2 00:05:08

y 1 00:05:12

porque 3 menos 1 es 2, entre 2, 1 00:05:14

¿vale? 00:05:17

entonces, este polinomio quedaría factorizado 00:05:19

como x que multiplica a x-2 y x-1. Ya tendríamos factorizado el numerador. Y faltaría el 00:05:23

numerador, ¿vale? Para ello vamos a ver cómo podemos factorizar este polinomio. 2x cuadrado 00:05:39

menos 2X menos 24, que esto si nos damos cuenta podemos sacar factor común al 2 que multiplica 00:05:48

X cuadrado menos X menos 12, ¿vale? Y ahora esto, ¿cómo se resuelve? ¿Cómo se factoriza? 00:05:55

Pues aplicando la ecuación de segundo grado, bien, esto es X es igual a menos B, que es 00:06:04

Menos menos 1, que se queda 1, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, que es 1 menos 4 por a, que es 1, y por c, que es menos 12. 00:06:12

¿Sí? Vale. 00:06:30

dividido entre 2a, que es 2, y esto queda igual a 1 más menos la raíz cuadrada de 1 más 48, 49, partido por 2. 00:06:32

Es decir, esto es igual a 1 más menos raíz cuadrada de 49, 7, partido por 2, y esto es igual a 1 y 7, 8 entre 2, 4, 1 menos 7, menos 6, entre 2 menos 3. 00:06:45

Por lo tanto, esto es igual a 2 que multiplica a x menos 4 por x más 3. 00:07:02

Y la ecuación racional quedaría así. 00:07:13

El primer numerador, que sería x que multiplica a x menos 2 por x menos 1, dividido entre 2 que multiplica a x menos 4 por x más 3. 00:07:17

Debe ser menor o igual que 0. 00:07:37

Esta es mi ecuación racional. 00:07:40

Entonces vamos a hacer lo mismo que hacíamos si todos estos factores, es decir, yo en el numerador tengo tres factores que se están multiplicando 00:07:45

Y en el denominador tengo tres factores contando el 2 00:07:53

Si fuera una única ecuación polinómica, es decir, si en vez de tener una división lo tuviéramos todo multiplicando 00:07:57

Yo aquí tendría estos factores, x, x menos 2, x menos 1, x menos 4 y x más 3, ¿vale? 00:08:07

Y luego aquí tendría la multiplicación de todo. 00:08:22

Lo que pasa es que ahora, en vez de tener la multiplicación, voy a tener la división. 00:08:25

x por x-2 por x-1 partido por 2 que multiplica x-4 por x más 3, ¿vale? 00:08:28

Bien, voy a ver si puedo bajar el ancho del trazo. 00:08:42

Vale, entonces, ahora aquí voy a poner todas las raíces que tenemos, ordenadas. 00:08:55

¿Cuál es la raíz más pequeña que tenemos? 00:09:01

Es decir, las raíces son 00:09:05

Por un lado tenemos 00:09:07

Tenemos la raíz 0 00:09:11

Voy a hacer una pequeña tabla 00:09:14

Tenemos, por un lado 00:09:17

Raíces 00:09:23

Y factores 00:09:26

¿Cuál es la raíz más pequeña? 00:09:30

Menos 3, ¿no? 00:09:39

Menos 3 00:09:41

Luego va 0 00:09:42

Y luego ya son todos positivos 00:09:43

1, 2 y 4 00:09:46

¿Vale? 00:09:48

3, 0, 1, 2, 4 00:09:50

Y los factores son 00:09:52

X más 3 00:09:54

X, X menos 1 00:09:55

X menos 2 00:09:58

Y X menos 4 00:10:01

¿Vale? 00:10:04

Pues entonces yo las raíces las voy a poner en ese orden 00:10:04

Teniendo en cuenta que lo primero de todo es el menos infinito 00:10:07

Menos infinito, 3, 0, 1, 2, 4, más infinito 00:10:10

¿Vale? Bien 00:10:19

Hago igual que si fuera una ecuación polinómica 00:10:24

Exactamente igual 00:10:30

¿Vale? Eso no cambia nada 00:10:31

Esto es todo igual 00:10:34

Ahí así que voy a hacer un poquito de zoom 00:10:38

¿Vale? 00:10:48

¿Cuál es el signo del factor x? 00:10:52

Pues va a ser negativo, negativo, aquí se hace 0 y aquí ya es positivo siempre. 00:10:55

¿Cuál es el signo de x menos 2? 00:11:03

Pues sabemos que se va a hacer 0 en 2 y hasta entonces es negativo y a partir de ahí es positivo. 00:11:06

¿Cuál es el signo de x menos 1? 00:11:13

Pues sabemos que se va a hacer 0 en 1 y hasta entonces es negativo y a partir de entonces es positivo. 00:11:16

¿Cuál es el signo del factor x menos 4? 00:11:24

Sabemos que se hace 0 en 4 00:11:28

Y hasta entonces es negativo 00:11:30

Y a partir de ahí positivo 00:11:33

Y el signo de x más 3 00:11:35

Pues sabemos que va a ser 0 en x menos 3 00:11:38

Hasta entonces negativo 00:11:42

Y a partir de ahí positivo 00:11:44

¿Vale? 00:11:46

Bien 00:11:48

Y cuál va a ser el signo de la razón, de la división del numerador entre el denominador 00:11:49

Pues el producto de todos los signos 00:11:58

Aquí que tenemos tres signos negativos 00:12:00

Luego va a ser, no, perdón, tres y dos, cinco 00:12:03

Cinco negativos, como es un número en par va a ser negativo 00:12:06

Si queréis lo vemos, menos por menos, más por menos, menos por menos, más por menos, menos 00:12:09

¿Vale? 00:12:17

Ahora, ¿cuál va a ser el signo en este intervalo entre menos 3 y 0? Pues el producto de todos los signos. Como tenemos 4 signos negativos multiplicándose, que es un número par, y luego un factor positivo, esto va a ser positivo. 00:12:19

Y aquí, pues tenemos tres signos negativos y dos positivos 00:12:38

Como los negativos son impares, va a ser negativo 00:12:43

A continuación, más por menos, menos, más por menos 00:12:46

O sea, aquí tenemos dos negativos 00:12:49

Que son los que marcan el signo 00:12:52

Luego vamos a tener menos por menos, más 00:12:54

Y en el siguiente producto vamos a tener 00:12:57

Un número impar de factores negativos 00:13:00

Luego el resultado va a ser negativo 00:13:05

y aquí todos positivos, luego positivo 00:13:07

aquí ya no podemos decir tan fácilmente 00:13:09

como en las funciones polinómicas 00:13:13

que la función aquí va a ser 0 00:13:15

solamente va a ser 0 00:13:17

cuando 00:13:19

los factores del denominador 00:13:20

sean 0 00:13:23

perdón, los factores del numerador 00:13:24

que son estos 3 00:13:27

es decir 00:13:29

aquí será 0 00:13:31

porque un factor del numerador 00:13:32

es 0 00:13:35

Aquí también va a ser 0, y aquí, en 2, también va a ser 0. 00:13:36

Pero, donde los ceros del denominador, esto es el numerador, y esto es el denominador. 00:13:41

Cuando el denominador se hace 0, es decir, en menos 3 y 4, esto se va a hacer infinito. 00:13:51

¿Vale? Pero ya no lo vamos a estudiar. 00:14:01

cuando los denominadores hacen cero 00:14:03

es cuando tenemos problemas 00:14:06

la función 00:14:09

o la razón 00:14:11

se va a ir a más infinito 00:14:14

o menos infinito 00:14:16

depende 00:14:17

los ceros del numerador no son problema 00:14:17

porque anulan toda la razón 00:14:21

toda la división 00:14:23

pero los ceros del denominador son problemáticos 00:14:24

porque tenemos infinito 00:14:27

o menos infinito 00:14:29

¿Vale? Luego, como a mí, volviendo ya al tema, lo que me están pidiendo es dónde la división es negativa, pues lo marco negativa o cero. ¿Vale? Negativa o cero. 00:14:30

Bueno, pues la solución será desde menos infinito a 3, menos infinito a 3 abierto, no, a menos 3 cerrado, porque el 0 nos vale, no, no, perdón, perdón, que estoy diciendo yo, esto no es un 0, ¿vale? 00:14:42

Porque aquí hemos dicho que la función se hace infinito. Luego aquí el menos 3, el menos 3 no nos vale, porque la función no se hace 0. Luego el menos 3 es abierto, menos 3 abierto, ¿vale? No es un 0. 00:15:06

Pero, sin embargo, entre 0 y 1 sí que vamos a coger tanto al 0 como al 1, ¿vale? 00:15:22

Unión, intervalo semicerrado desde el 2 hasta el 4 y en el 4 abierto, porque el 4 es un 0 del denominador, no lo podemos coger, ¿vale? 00:15:34

porque ahí la función, la división 00:15:49

no se hace cero, sino que se va a infinito 00:15:54

luego eso tiene que ser un intervalo semiabierto 00:15:56

por si a alguien le ha costado entender 00:16:00

qué es lo que está pasando en menos 3 00:16:06

que lo voy a subrayar, lo voy a poner de otro color 00:16:09

lo voy a recuadrar, ¿por qué lo voy a recuadrar? 00:16:14

porque son los ceros del denominador, ¿vale? Estos son los ceros del denominador, que son problemáticos. 00:16:17

Entonces, aquí, esto es infinito. El valor de la división es infinito, ¿vale? 00:16:24

Por eso no estamos cogiendo ni el 4 ni el menos 3, ¿vale? 00:16:34