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Posiciones de tres planos - Contenido educativo

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Subido el 22 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Bueno, buenos días. Hoy es 21 ya, ¿no? 21 de noviembre. 00:00:00
Oh, yeah. 21 de noviembre del 25. 00:00:06
Entonces, importante, lo que vamos a ver son las posiciones relativas... 00:00:10
Por favor, silencio. 00:00:14
Las posiciones relativas de tres planos en el espacio, ¿vale? 00:00:16
Entonces, nosotros, ¿qué es lo que ocurre? 00:00:22
Pues que vamos a estudiar la posición relativa de tres planos, 00:00:24
pero en algunos casos vamos a tener que estudiar, dependiendo del caso, 2 a 2. 00:00:29
Ahora lo vais a entender. 00:00:37
Entonces, a mí me dan tres planos, alfa, beta y gamma, con el... 00:00:38
Entonces, tenemos tres planos, alfa, beta y gamma, y nos lo dan en su ecuación implícita. 00:00:51
Entonces nosotros lo que tenemos que ver son las matrices asociadas 00:01:02
Aquí al final es lo que tenemos 00:01:06
Ahí yo he puesto el teorema, en la pizarra he puesto el teorema de Rochefrobenio 00:01:08
Genérico para n ecuaciones con n incógnitas 00:01:12
Y nosotros lo que tenemos que saber en Rochefrobenio es comparar 00:01:15
El rango de la matriz M es igual al de la ampliada 00:01:18
Y además igual al número de incógnitas 00:01:21
Que en ese caso sería n, aquí sería n igual a 3 00:01:23
Pues entonces un sistema compatible determinado tenemos una solución única 00:01:26
si nosotros el rango de A 00:01:31
de M es igual que el rango 00:01:33
de la M ampliada pero distinto a N 00:01:35
que es el número de ecuaciones de incógnita 00:01:37
en este caso también, sistema compatible 00:01:39
indeterminado, tenemos infinitas soluciones 00:01:41
y si el rango de M no coincide con 00:01:43
la ampliada en un sistema incompatible 00:01:45
entonces eso nosotros tenemos que saber como el come 00:01:47
entonces ¿qué es lo que ocurre? 00:01:49
pues lo que ocurre es que nosotros 00:01:51
hacemos las matrices asociadas a la M 00:01:53
tiene precisamente los 00:01:55
tres vectores normales de 00:01:57
planos, acordáis ¿no? los tres vectores 00:01:59
normales del plano. Y luego, la matriz ampliada se le añade precisamente los términos independientes. 00:02:01
Nosotros ahora lo que vamos a hacer es comparar rangos. Vamos a hacer el rango de la M y comparar 00:02:09
el rango de la M ampliada. Entonces, tenemos, digamos, cinco casos principales que nos pueden 00:02:16
ocurrir y luego, dentro del caso 2, 3 y 4, tenemos que ver que hay dos subcasos, si existe esa palabra, 00:02:23
¿De acuerdo? Y vamos a tener que analizar los planos 2 a 2. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre, chavales, si yo tengo tres planos? El rango de M es 3. ¿Qué significa que el rango de esta matriz sean 3? Pues que su determinante, ¿cuánto valdría? Distinto de 0. Y si son distintos de 0, ¿cómo son esos tres vectores? Linealmente independientes. ¿De acuerdo? 00:02:30
Son tres vectores linealmente independientes, el rango de M es 3, el de la ampliada tiene que ser, Paula dice, tiene que ser 3 sí o sí, no puede ser 4 nunca, ¿de acuerdo? Entonces, ¿en qué caso estamos? En el primer caso de Roche-Frobenius, donde el rango de M es igual a la ampliada, es igual a 3, que es el número de incógnitas, un sistema compatible determinado, solución única. 00:02:56
Y hay esa solución única en que se traduce, chavales, en que se intersecan en un punto. 00:03:19
Hay un punto común de los tres planos, ¿de acuerdo? 00:03:25
Si me piden cuál es el punto común de los tres planos, pues yo resuelvo el sistema de ecuaciones por Cramer, ¿vale? 00:03:28
Y obtengo el valor de la X y de la Y y de la Z, tengo el punto de intersección de los tres. 00:03:36
Y luego, geométricamente, vamos a ver que está relacionado también con un trihedral. 00:03:40
Entonces, lo único que yo quiero que sepáis de aquí es, evidentemente, resolverlo, 00:03:45
que ya deberíamos de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 00:03:49
por ejemplo, con Cramer o por Gauss, el método que mejor nos venga, 00:03:53
pero sobre todo lo que quiero que también veáis es su interpretación geométrica, 00:03:57
que está relacionado con el vértice de un trihedral, que ahora lo vemos, ¿vale? 00:04:01
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:04:05
En el caso de que el rango de la matriz M sea 2, ¿qué significa que el rango de esta matriz sea 2? 00:04:07
¿Qué significa? Que es su determinante como hecha, ¿vale? 00:04:14
0. ¿Y qué significa que sea rango 2? 00:04:17
Es realmente, la palabra se hace más que proporcional, es una combinación lineal a los otros dos. 00:04:24
Hay dos vectores que son linealmente independientes, ¿vale? Por eso el rango es 2. 00:04:30
Pero hay un tercer vector que es combinación lineal de los otros, ¿de acuerdo? 00:04:34
Entonces, ¿qué ocurre? Que si yo el rango de la matriz M es igual a 2 00:04:40
y el rango de la matriz ampliada es 3, que sí puede ser 3, ¿vale? 00:04:45
Entonces, un sistema incompatible. 00:04:50
Entonces, no tenemos, digamos, ninguna solución. 00:04:52
Pero, ¿qué ocurre? 00:04:54
Que aquí tenemos que ver, ahora lo vamos a ver mejor con dibujos y demás, 00:04:55
vamos a ver que tenemos dos casos, ¿de acuerdo? 00:05:00
Dos casos y lo que tenemos que ver si hay dos planos que son paralelos o no, ¿vale? 00:05:04
Sabemos que dos planos son paralelos, ¿sí qué? 00:05:11
Si tienen proporcional el vector normal al plano y lo que difieren es en el término independiente, ¿vale? 00:05:14
¿Sí? Esto está subido, Martín, a YouWant, pero está subido. 00:05:22
No sé si estás copiando esto o estás con otra asignatura. 00:05:26
¿Eh? 00:05:29
Te hace ilusión, ¿no? 00:05:30
Venga, yo no te la voy a quitar. 00:05:31
Vale, pero te digo porque está subido. 00:05:32
Entonces, chavales, otro caso, otro caso. 00:05:34
Pues que el rango de M sea 2, pero también el rango de la M ampliada sea 2, ¿de acuerdo? 00:05:37
Al ser distinto del número de incógnitas, realmente hay un plano que no me está aportando información ninguna, ¿vale? Es combinación lineal de los otros dos. Lo que sí sé es que al ser, estamos en el segundo caso, es un sistema compatible indeterminado, tenemos infinitas soluciones y esas infinitas soluciones se traduce en una red R, ¿vale? 00:05:42
Y lo que tenemos que ver es 2 a 2 los planos a ver si existe o no planos coincidentes. ¿Qué son planos coincidentes, chavales? Que son el mismo, ¿vale? El cuarto caso, fijaros, siempre nos vamos ahí a los rangos. El rango de la matriz M sea 1 y de la ampliada sea 2. 00:06:04
¿Qué significa, chavales, que el rango de esta matriz sea 1? ¿Qué es lo que significa? Su determinante, evidentemente, es 0. Pero si es 1, ¿qué quiere decir? Que hay realmente un vector. Los otros dos vectores son proporcionales a él. ¿Lo veis? Son proporcionales a él. No me aporta información ninguna. Entonces, ¿cómo son esos tres planos entre sí? 00:06:25
pueden ser o paralelos 00:06:52
al tener o coincidentes 00:07:01
¿vale? o coincidentes 00:07:03
¿qué ocurre? si yo ahora me voy 00:07:05
al rango de la M ampliada 00:07:07
y es 2, yo sé 00:07:09
que los 3 no son coincidentes 00:07:11
¿lo veis? hay 2 que son 00:07:13
paralelos y perdón 00:07:15
hay 2 que sí pueden 00:07:17
ser coincidentes y 1 00:07:19
que sea paralelo a los coincidentes 00:07:21
¿de acuerdo? ahora lo vamos a ver mejor 00:07:23
porque así dicho nos parece un lío, ¿vale? 00:07:25
Pero lo que yo creo que razona ahí es que al final estamos aplicando en todo momento 00:07:27
el teorema de Roche-Frobenius, sobre todo su interpretación geométrica en estos casos. 00:07:31
Y entonces ahora sí, si el rango de la M es 1 y de la ampliada es 1, 00:07:35
pues ¿qué ocurre? Que los tres planos son coincidentes, son el mismo plano, 00:07:41
no me están aportando los otros dos información ninguna, ¿de acuerdo? 00:07:45
Entonces, en los casos 2, 3 y 4 sí que voy a tener dos subcasos y en el caso 1 y en el caso 5 es un caso único, ¿vale? Entonces, vamos a verlo aquí. El caso primero. El caso primero son planos secantes en un punto. Es el trihedral que os comento, ¿no? 00:07:49
Entonces, el rango de M es igual a 3, que es igual al rango del ampliado. Un sistema compatible determinado tiene una solución única. Entonces, los planos se cortan en un único punto P. La intersección de los tres planos de alfabeto y gamma es en un único punto. Aquí tengo tres planos y entre los tres son linealmente independientes entre ellos, se cortan en un plano. 00:08:08
¿De acuerdo? Entonces, vamos a hacer, por ejemplo, este caso de aquí para ver que efectivamente es el caso 1, ¿vale? 00:08:30
Entonces, esto es la posición de tres planos, ¿no? Posición de tres planos. 00:08:47
Entonces estamos en el caso 1 00:08:57
¿De acuerdo? 00:08:59
Donde, vamos a ver, yo tengo aquí mi plano alfa es x igual a 1 00:09:02
Mi plano y es igual a y igual a 2 y z es igual a 3 00:09:07
¿Cuál es mi matriz M, chavales? 00:09:11
Pues esto es 1, 0, 0, 0, 1, 0 y 0, 0, 1, ¿verdad? 00:09:14
¿Sí o no? 00:09:19
Mi matriz ampliada, ¿qué es? 00:09:20
Es 1, 0, 0, aquí un 1 00:09:23
Esto es 0, 1, 0 00:09:26
Aquí un 2, 0, 0, 1 00:09:28
Y aquí un 3 00:09:30
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? 00:09:31
¿No? Y yo, yo tengo aquí 00:09:34
Mi ecuación del plano 00:09:36
No voy a poner alfa, voy a poner 00:09:37
Eh... 00:09:40
Dieguito 00:09:42
Delta, vamos a poner delta 00:09:43
Mejor, para que sea 00:09:46
Delta, ¿vale? De Diego 00:09:48
Entonces esto sería AX más BI 00:09:49
Más CZ 00:09:52
Más D igual a 0, ¿verdad Diego? 00:09:54
Y entonces aquí nada más que tengo la x, ¿verdad? 00:09:56
Entonces la x, ¿cuánto vale el coeficiente que acompaña a la x, Gorrión? 00:09:59
¿Y el de la y? 00:10:04
El de la y. 00:10:08
Aquí ya tiene sí. 00:10:09
¿Y el de la z? 00:10:12
¿Y el independiente? 00:10:14
Pues pone aquí, aquí da igual, pone 1 menos 1. 00:10:17
¿Vale? 00:10:20
Si vamos a la implícita, esto tendría que ser todo negativo. 00:10:21
¿Vale? 00:10:25
Porque aquí mi ecuación implícita sería x menos 1 igual a 0, y menos 2 igual a 0, y z menos 3 igual a 0, ¿vale? 00:10:25
Pero no nos afecta de cara al rango, ¿vale? De cara al rango, que es lo que nosotros estamos estudiando. 00:10:34
¿Vale? Si yo hago este determinante, esta matriz como es, triangular, ¿verdad? 00:10:40
Y si yo tengo una matriz triangular, el determinante que era precisamente la multiplicación de la diagonal principal, ¿sí o no? 00:10:44
Entonces la matriz de M es 1, que es distinto de 0, eso que implica que el rango de M, ¿verdad? El rango de M es 3, ¿vale? Y entonces ¿qué ocurre? Que el de la M ampliada, como es una 3 por 4, también es igual al rango de la M ampliada, que además es igual al número de incógnitas, ¿lo veis? 00:10:52
entonces un sistema 00:11:14
compatible determinado, solución 00:11:16
única, por favor en el examen no me pongáis 00:11:18
SCD, solución 00:11:20
única y 00:11:22
tengo que resolver este sistema 00:11:23
pero es que este sistema es tan 00:11:26
sumamente fácil que ya me lo 00:11:28
están dando, ¿no? X es igual 00:11:30
a 1 y es igual a 2 00:11:32
Z es igual a 3, ¿cuál 00:11:34
es el punto? El punto de 00:11:36
corte es el punto es 1, 2, 3 00:11:38
respondo a 2 00:11:40
¿vale chavales? ¿lo veis? 00:11:42
¿Lo veis? Entonces, ¿yo qué tengo que hacer siempre? Analizo, escribo mi matriz M, escribo mi matriz M amplia, hallo el determinante de M. Lo primero siempre es hallar el determinante de M, ¿vale? Y después, sabiendo el determinante de M, yo tengo que hallar el rango de M. 00:11:44
Y siempre, ¿cómo hallo el rango de M? Aplicando menores, ¿vale? Aplicando menores. La M siempre va a ser con tres planos, va a ser tres por tres, ¿vale? Y yo te reviento. Va a ser tres por tres, con lo cual el rango de M va a ser uno, dos o tres, ¿vale? 00:12:03
si me sale un determinante de M distinto de 0 00:12:20
es el mejor caso porque son solución única 00:12:24
¿lo veis? la única posibilidad, perdonad, aquí 00:12:26
aquí la única posibilidad cuando el rango de M 00:12:29
es 3, el de la ampliada tiene que ser 3 y ya estoy 00:12:32
en un punto P, lo soluciono como un sistema 00:12:35
de ecuaciones lineales de 3 incógnitas y ya está, ¿vale? 00:12:38
no tengo que analizar planos 2 a 2 00:12:41
¿vale? es un sistema compatible determinado y ya está, ¿de acuerdo? 00:12:44
venga, nos vamos a ir al caso 2 00:12:48
En este caso 2, ya sí que tenemos dos subcasos, ¿vale? 00:12:50
Dos subcasos. 00:12:54
Tenemos el rango de la M vale 2, pero el rango de la M ampliada vale 3. 00:12:55
¿Eso qué es? 00:13:01
Estamos en el tercer caso del Roche-Frobenius, 00:13:02
en el que el rango de M es distinto del rango de la M ampliada. 00:13:04
Es un sistema incompatible, no tenemos solución. 00:13:09
¿Pero qué ocurre? 00:13:12
¿Qué ocurre? 00:13:13
Y aquí por eso tenemos que analizar los planos 2 a 2, que se corten. 00:13:13
Es decir, los tres no tienen solución, pero puede ocurrir que nos la encontremos los planos de dos en dos formando un prisma. ¿Lo veis? Entonces el plano 1 y el plano 2 sí que serían secantes y se cortarían en una recta. 00:13:18
El plano 1 y 3 serían secantes y se cortan en esta recta de aquí y el plano 2 y 3 también serían secantes y se cortan en esta recta de aquí. No tienen ninguna recta común los tres, pero entre ellos son secantes y forman una superficie prismática que se llama. ¿Lo veis? ¿Sí? 00:13:36
Entonces, este es el ejemplo, pero yo me gustaría, ahora de hacer ese, me gustaría otra posibilidad. Si el rango de M es 2 y el rango de la ampliada es 3, ¿qué puede ocurrir? ¿Qué nos puede ocurrir? Que entre ellos no se corten los tres, ¿vale? No hay una solución común a los tres, pero pueden ser que dos planos, perdona la foto que está un poco chunía, hay dos planos que son paralelos, son paralelos y luego hay un plano que los interseca. 00:13:57
entonces, ¿qué vamos a hacer realmente 00:14:26
chavales? ¿qué vamos a hacer realmente 00:14:30
cuando nos encontremos 00:14:32
el caso de rango igual a 2 y ampliada 00:14:33
igual a 3? lo que vamos a ver 00:14:36
si hay planos paralelos 00:14:38
o no, ¿vale? 00:14:40
si hay planos paralelos o no 00:14:41
si no hay planos paralelos 00:14:44
estamos en el caso de que es una superficie 00:14:45
prismática, se cortan 2 a 2 00:14:47
¿de acuerdo? que además la posición 00:14:49
entre dos planos, acordáis 00:14:51
¿no? la posición entre dos planos es 00:14:54
Fijarnos precisamente en la proporcionalidad o no de los vectores normales del plano. 00:14:55
¿Os acordáis de eso, no? 00:15:02
Entonces, si son paralelos, ¿qué ocurre? 00:15:03
Que es que son proporcionales los vectores directores. 00:15:06
Y encima ya es lo que pasa que en este caso, al ser rango de la M ampliada a 3, 00:15:09
no puedo tener nunca coincidentes, ¿vale? 00:15:16
Yo puedo tener dos paralelos a los sumos, pero no son coincidentes. 00:15:20
Porque si fuesen coincidentes dos de ellos, el rango de la M ampliada sería 2. 00:15:24
¿Lo entendéis eso, chavales? 00:15:30
¿Sí? 00:15:32
¿Sí o no? 00:15:33
Vale. 00:15:34
Entonces, venga, vamos a intentar hacer este ejemplo. 00:15:35
Pero ya os digo, vivo con el miedo de que no me dé el resultado que yo quiero, 00:15:37
pero juraría que sí, ¿vale? 00:15:43
Entonces, esto lo voy a coger aquí, ¿vale? 00:15:45
Entonces, chavales, venga, lo primero que tenemos que hacer cuando nos dan tres planos, 00:15:49
Vamos a hallar mi matriz M, mi matriz M. 00:15:53
Este es el caso 2, ¿no? 00:15:57
Caso 2. 00:15:59
Diego, ¿tú me sabrías decir la matriz M cómo es? 00:16:01
Aparte de fantástica. 00:16:05
1, 1, 0, perfecto. 00:16:07
1, 0, 1. 00:16:09
Venga, del carajo. 00:16:11
Vale, muy bien, guillo. 00:16:13
Y la ampliada es prima hermana, pero añado. 00:16:16
Aquí sería menos 1. 00:16:21
aquí 1, 0, 1, menos 1 00:16:22
y aquí 1, 1, 1, menos 5 00:16:25
en el examen os lo digo 00:16:29
yo aquí me ponéis los positivos 00:16:31
y no lo voy a tener en cuenta 00:16:33
porque al final cuando tenemos un sistema de tres ecuaciones 00:16:35
aquí si poníamos precisamente 00:16:39
el término independiente 00:16:42
lo que pasa es que si nos vamos a la ecuación implícita del plano 00:16:44
lo suyo es poner aquí realmente porque esta ecuación sería 00:16:47
x más y menos 1 igual a 0 00:16:51
esto sería x más z 00:16:53
menos 1 igual a 0 00:16:55
y x más y más z 00:16:56
menos 5 igual a 0 00:16:59
pero como nosotros lo que estamos estudiando es precisamente 00:17:00
el rango, este menos 00:17:03
o este más no me va a ver afectado 00:17:05
¿vale? si somos puristas 00:17:07
deberíamos de poner el negativo 00:17:09
y yo voy a poner el negativo 00:17:11
¿vale? pasando a mí los números negativos 00:17:12
me encuentro que tenéis todavía muchos fallos con los signos 00:17:15
entonces 00:17:17
vamos a ver, bueno, vamos allá 00:17:19
si yo hago 00:17:22
el determinante 00:17:24
de m, si yo hago yo el determinante 00:17:26
de m, esto es 00:17:28
0, esto es 0, esto es un 1 00:17:29
¿verdad? menos 0 00:17:31
esto es un 1 y esto es un 1 00:17:34
menos 2 00:17:36
me sale menos 1 ¿verdad? 00:17:37
es distinto de 0, no, no puede ser 00:17:39
he equivocado ¿no? 00:17:41
a ver, esto 00:17:44
es 0, esto es 0 00:17:46
y esto es 1 00:17:47
Esto es 0, esto es 1 00:17:49
Pues este ejemplo no me vale, ¿no? 00:17:51
Este ejemplo no está bien 00:17:54
Este ejemplo no está bien 00:17:55
Aquí lo que pasa es que yo creo que sería una i 00:17:58
¿Vale? Esto lo tengo que corregir 00:17:59
Ya os digo que yo los ejemplos 00:18:01
Aquí serían dos paradas 00:18:04
No, este i tampoco podría ser 00:18:06
Vale, pues me lo voy a inventar 00:18:08
¿Vale, chavales? Es lo que decía 00:18:10
No me fiaba mucho de estos ejemplos 00:18:12
¿Vale? 00:18:14
Vamos a ver para que me salga 00:18:16
2 a 2 00:18:18
ay que coraje 00:18:21
estos son los fallos del directo 00:18:23
no me gusta 00:18:26
esto, aquí tendríamos 00:18:28
uno de solución única ¿vale? sería 3-3 00:18:35
entonces podría ser 00:18:37
esto natillas danone 00:18:38
¿vale? que cortasen 2 a 2 00:18:40
sería 00:18:43
por ejemplo xy 00:18:45
igual a 1 00:18:47
y que cortara 00:18:49
por ejemplo si se podría hacer 00:18:51
x más z igual a 1 00:18:52
pero ahora es que ocurre 00:18:55
que este 00:18:57
tendría que ser 00:18:59
x más 00:19:00
no pueden ser proporcionales, se tienen que cortar 00:19:05
ay que coraje 00:19:10
que sabía que me podía pasar esto 00:19:16
que no tengo aquí un libro 00:19:23
que coraje, ¿tenéis un libro ahí ustedes? 00:19:24
vale, bueno, vamos a pasar chavales 00:19:26
a lo que me interesa que es esto 00:19:28
De aquí a ver si este sí que funciona, ¿vale? 00:19:30
A ver si este lo miro. 00:19:32
Este sí va a funcionar, ¿vale? 00:19:34
Vamos a pasar de ese caso 2A. 00:19:36
Ahora a ver si lo veo. 00:19:38
Y nos vamos a ir a este de aquí, ¿eh? 00:19:40
Perdonad. 00:19:42
Nos vamos a ir a este de aquí. 00:19:44
¿Vale? 00:19:47
Este de aquí. 00:19:49
Dime, hijo. 00:19:49
Lo primero que me hiciste en el examen, ¿qué era? 00:19:50
Fantástico. 00:19:53
No llamo, pero después te explico. 00:19:54
Uf. 00:19:56
Ah, por cierto, chavales. 00:19:57
¿Cuáles son las posiciones entre dos planos? 00:19:58
¿Qué tres posibilidades hay? 00:20:01
Secantes, paralelos. 00:20:03
¿Dos planos se pueden cruzar? 00:20:10
Pues eso lo he visto. 00:20:13
Así. 00:20:16
Los planos no se cruzan nunca. 00:20:17
Las rectas sí, los planos no. 00:20:19
Los planos son secantes, que se cortan ¿dónde? 00:20:21
En una recta. 00:20:25
se cortan en una recta 00:20:25
son paralelos 00:20:28
o son coincidentes 00:20:29
¿vale? pero los planos nunca se cruzan 00:20:31
eso lo he visto así 00:20:33
vamos, corregí y he corregido dos 00:20:35
pero sí que es verdad que me ha llamado mucho 00:20:37
la atención, las rectas 00:20:39
sí se pueden cruzar, dos planos siempre 00:20:41
o son paralelos 00:20:43
o son secantes 00:20:45
o son secantes 00:20:46
posiciones de dos planos 00:20:49
no, no, eso es otra cosa 00:20:52
¿vale? 00:20:57
venga, vamos a hacer 00:20:58
este ejemplito, ¿vale? 00:21:01
que este sí está bien, el otro yo creo que 00:21:04
lo he copiado mal 00:21:05
ay, qué coraje, es que las bullas 00:21:06
perdonadme, ¿eh? 00:21:10
venga 00:21:12
vale, es este de aquí 00:21:12
aunque aquí ya no lo dicen, pero bueno 00:21:15
a ver, chavales, si yo parto de aquí 00:21:19
si yo parto 00:21:23
de aquí, entonces tengo mi M 00:21:25
aquí, uy, rojo 00:21:27
Otro color. 00:21:29
Ay, qué coraje. 00:21:31
Un coraje que no ves. 00:21:32
1, 1, 1. 00:21:35
1, 1, 0, Jesús. 00:21:36
1, 1, 0. 00:21:38
¿Alguien ve cómo son beta y gamma? 00:21:41
¿Cómo son beta y gamma, chavales? 00:21:45
Igual. 00:21:48
Paralelos. 00:21:52
¿Por qué son paralelos? 00:21:53
Efectivamente, cambia la D. 00:21:57
Pero el ABC son iguales. 00:21:59
¿Lo veis, chavales? 00:22:01
¿Sí o no? 00:22:02
Entonces, un haz de planos secantes, ¿qué es un haz de planos secantes? 00:22:03
Un haz de planos secantes, paralelo, perdona, 00:22:07
haz de planos paralelos, son aquellos planos de este tipo. 00:22:12
Esa es una Z. 00:22:28
¿Vale? 00:22:35
Donde K pertenece a los números reales. 00:22:35
Es decir, son todos los planos que comparten el mismo vector normal, 00:22:38
El ABC, donde difieren es en el término independiente, esa es una de planos paralelos, ¿vale? 00:22:43
Entonces aquí si os fijáis, el ABC de aquí son iguales, 1, 1, 0, lo único que difiere es el término independiente, ¿vale? 00:22:50
Chavales, si yo hago el determinante de M, el determinante de M, fijaros, lo voy a desarrollar por esta columna, ¿vale? 00:23:00
Entonces eso aquí es igual a 1 que multiplica, si yo lo desarrollo por el 1, me queda 1, 1, 1, 1, ¿verdad? 00:23:06
Y esto que es 0. Entonces eso significa que el rango de M es distinto de 3. 00:23:16
Ahora que tengo que encontrar, chavales, un menor de orden 2 que sea distinto de 0. 00:23:25
Si os fijáis, si yo cojo, chavales, lo voy a poner en este color, este, este, este y este, por ejemplo, ¿lo veis? Si yo hago el menor 1, 1, 1, 0, ¿qué ocurre? Que esto precisamente es menos 1, es distinto de 0. 00:23:36
Yo ya que puedo decir, chavales, que el rango de M ¿cuánto es? 2. El rango de M es 2 porque tengo un menor de orden 2 cuyo determinante distinto es 0, ¿vale? El rango de M es 2, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Yo ahora tengo que hallar el rango de la M ampliada y aquí volvemos a lo mismo, chavales. 00:23:53
Yo tengo cuatro columnas, uno, dos, tres, cuatro columnas, y entonces si queréis fijaros en Kramer, ¿vale? Yo ya os dije las posibilidades. La 1, 2, 3 yo ya la he probado, ¿verdad? Aquí tenemos cuatro posibilidades. La 1, 2, 3 yo ya la he probado. ¿Cómo hacía Kramer? Ponía la cuarta donde estaba la primera, ¿verdad? Entonces una posibilidad es 4, 2, 3. 00:24:14
Bueno, la otra era donde había la segunda columna, el 4, pues entonces es 1, 4, 3, ¿lo veis? La tercera para la Z ponía la cuarta columna en la tercera, ¿verdad? Entonces 1, 2, 4. Estas tres posibilidades, estos tres menores, son los que yo tengo que hacer el determinante, ¿de acuerdo? Para ver si hay alguno que es distinto de 0, ¿sí o no? 00:24:36
para ver el rango de la matriz ampliada. 00:25:02
¿Lo recordáis eso o no? 00:25:05
Sí. 00:25:06
¿Puedes dejar al final la columna? 00:25:07
Sí, sí, yo lo hago así. 00:25:11
Yo lo hago así, pero ya que sabemos Kramer 00:25:13
y no sabemos... 00:25:15
Hay gente que se lía aquí en las combinaciones. 00:25:17
Yo siempre la dejo para el final. 00:25:19
Pero es lo que te digo. 00:25:20
Si quieres con Kramer, 00:25:22
pues es lo que hacemos con la X y Z, 00:25:23
pues igual, ¿vale? 00:25:26
Entonces, si yo hago, yo qué sé, 00:25:27
el 1, 2, 5 00:25:29
y ahora pongo aquí 00:25:32
1, 1, 1 00:25:33
y 1, 0, 0 00:25:35
pues igual, este es el determinante 00:25:37
de 1 por 2, 1 00:25:39
5, 1, ¿verdad? 00:25:41
estoy desarrollando por esta tercera columna 00:25:43
y entonces esto, chavales 00:25:46
es menos 3 00:25:48
que es distinto de 0, con lo cual yo ya 00:25:49
tengo un 00:25:51
determinante de orden 3, el rango 00:25:53
de m ampliada, ¿vale? es 3 00:25:55
¿lo veis? ¿si o no? 00:25:57
Entonces, ¿qué ocurre? 00:26:00
Que el rango de M es igual a 2, que es distinto de 3, que es el rango de la M ampliada. 00:26:01
Esto que es un sistema incompatible no tiene solución. 00:26:11
No tiene solución, entonces tengo que estudiar, se estudian los planos 2 a 2. 00:26:16
Se estudian los planos 2 a 2. 00:26:22
Esto de aquí también nos saldría en el ejemplo anterior que lo he puesto mal, ¿vale? Seguramente lo haya yo copiado mal, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Aquí lo que tenemos que ver, chavales, para distinguir este caso de este de aquí es si nos encontramos dos que sean paralelos o no. 00:26:25
fijaros aquí dice aquí en este caso dice analizar la existencia de pares de planos paralelos lo veis 00:26:48
estamos en el caso 2 y en este caso 2 me dice analizar la existencia de pares de planos paralelos 00:26:55
entonces yo ahora lo que tengo que estudiar cuando me sale 2 y 3 es ver que realmente tengo planos 00:27:02
paralelo lo veis y entonces no sé si veis aquí perfectamente en beta y el gamma son paralelos 00:27:10
porque son paralelos chavales porque realmente tienen proporcional el normal es decir en beta 00:27:21
es proporcional 00:27:30
a n 00:27:32
gamma. ¿Lo veis? 00:27:34
¿Sí o no? 00:27:37
Pero los términos independientes son 00:27:38
pero 00:27:41
los términos independientes 00:27:42
son distintos. 00:27:44
Son distintos. ¿Lo veis, chavales? 00:27:56
¿Sí o no? 00:27:59
Entonces, como ya son paralelos, 00:28:00
estoy en este caso de aquí. 00:28:02
¿Sí? 00:28:05
¿Alguien tiene alguna duda hasta el momento? 00:28:08
y ya está, tú ya dices que 00:28:09
entonces haces el dibujito 00:28:13
dibujas dos planos paralelos 00:28:15
este plano aquí 00:28:18
este plano aquí 00:28:19
y otro que lo cortes así 00:28:21
y este dibujo es fatal, precisamente 00:28:23
esto es un mojón, habrás visto el dibujo 00:28:25
¿verdad? 00:28:28
estas son las dos restas y encima 00:28:28
estas dos restas también se cumplen que son paralelas 00:28:31
¿vale? 00:28:33
perdonad el ejemplo de antes 00:28:36
vamos al siguiente, puedo pasar al siguiente 00:28:37
Dios, qué dibujo fatal 00:28:39
quien dibuje bien 00:28:47
que lo haga, porque he visto 00:28:50
dibujos monísimos en el 00:28:52
examen, monísimos 00:28:54
Dios, qué dibujo 00:28:57
sí, sería un detalle 00:28:59
¿eh? 00:29:01
quien no tenga la habilidad 00:29:05
de dibujar, que lo explique 00:29:06
toco en palabras, ¿vale? 00:29:08
A ver, yo lo que hemos puesto aquí. 00:29:10
Tenemos 00:29:13
dos planos paralelos y otro 00:29:13
que los interseca, ¿vale? 00:29:16
¿Sí? ¿Paso? 00:29:19
No. 00:29:20
Distinto. 00:29:23
Voy a poner esto bien, porque 00:29:32
esto es un mojón. 00:29:34
Son 00:29:38
distinto. 00:29:38
Dos. 00:29:44
A fin, sí, ¿verdad, hija? 00:29:45
A fin, sí. 00:29:47
Venga, os vais a pasar al siguiente, ¿vale, chavales? 00:29:49
¿Sí? 00:29:52
Venga. 00:29:53
Entonces, chavales, yo ahora me voy a ir al caso 00:29:54
de tener el rango de M sea 2 y el de la ampliada son 2, ¿vale? 00:29:57
Entonces, realmente se intersecaría en una recta. 00:30:05
Dice, el sistema es compatible e indeterminado, ¿vale? 00:30:08
Porque el rango de M es igual al rango de ampliada, 00:30:11
pero distinto a 3, que es el número de incógnita. 00:30:13
Claudia, estás bien, madre. 00:30:16
El sistema es compatible e indeterminado 00:30:17
con una recta de soluciones, ¿vale? 00:30:20
Es decir, los tres planos se intersecan en una recta. 00:30:23
Dice, al ser un sistema compatible e indeterminado, 00:30:26
existen dos ecuaciones independientes y otra 00:30:28
que es combinación lineal de las otras, ¿vale? 00:30:31
Entonces, los planos independientes se cortan en una recta, 00:30:35
que es la recta de soluciones, 00:30:39
Y el otro plano pasará entonces por esa misma recta. Vamos a verlo dibujado. Aquí también tenemos dos casos, ¿vale? Entonces, aquí tenemos planos distintos, pero que se secan en unas secantes, en unas rectas. Esto es lo que se llama un haz de planos secantes. Esto es un haz de planos secantes. Esto de aquí, ¿vale? 00:30:40
Es decir, esto de aquí es realmente lo que se conoce como un haz de planos secantes. ¿Por qué? ¿En un haz de planos secantes cuántos planos hay? 00:31:02
infinitos 00:31:20
infinitos, ¿vale? 00:31:25
esta es la representación gráfica 00:31:28
de un haz de plano secante, entonces 00:31:30
hay infinitos planos que se cortarían 00:31:32
por esta resta, ¿eh? imaginaros 00:31:34
es que 00:31:36
soy muy joven, Eguillo 00:31:38
¿habéis jugado alguna vez al juego de las ranas? 00:31:39
este y que hay una ruletita 00:31:42
así que va dando huertas 00:31:44
¿sabéis? que son varias palas, son 00:31:45
dos o tres palas así precisamente 00:31:48
como estos y que van haciendo 00:31:50
así? No, ¿no? Pues eso 00:31:52
es un haz de planos secante. 00:31:54
Y yo, ¿no tienes infancia aquí, John? 00:31:56
Madre mía. Es que somos 00:31:58
antiguos. Eso cuando yo era chico lo había en todos lados. 00:32:00
¡Ah! En el feto. 00:32:04
En el feto ya estaba estudiando. 00:32:06
Pero lo habéis visto alguno, ¿no? Eso 00:32:07
antes era un peligro 00:32:09
porque yo nos pegábamos cada opción porque las monedas 00:32:12
eran de... 00:32:14
Eso ya está prohibido. 00:32:16
Pero ahí nos pegábamos cada opción 00:32:18
cuando te enfadabas con Argelet y empezabas 00:32:20
a tirar las monedas 00:32:21
esas de las ranas y 00:32:23
bueno, más de un shisho nos hemos llevado. 00:32:25
¿Vale? Entonces, bueno, esto 00:32:28
es el que sepáis que es una de planos 00:32:29
secantes, ¿vale? Entonces, ¿qué 00:32:31
es lo que ocurre en este 00:32:33
caso, chavales? El rango 00:32:35
de M, el rango 00:32:37
de M es 00:32:39
2, el rango de la M 00:32:40
ampliada también es 2 00:32:43
y no sé si veis aquí en este ejemplito 00:32:45
que realmente el gamma 00:32:47
que es la suma de arza 00:32:49
más beta. ¿Lo veis que 00:32:51
aquí es la suma de arza más beta? 00:32:53
¿Lo veis, chavales? 00:32:56
¿Sí o no? 00:32:57
Dime, hija. 00:32:59
No, no, no es. 00:33:04
No es. 00:33:06
Esto también está mal copiado. 00:33:07
Esto sería 2. 00:33:10
Esto sería 2. ¿Vale? 00:33:11
Esto sería un 2. 00:33:14
¿Vale? 00:33:16
Lo tengo que corregir 00:33:17
Tengo que corregir el otro y este de aquí 00:33:19
Entonces, no os bajéis todavía ese PDF, ¿vale? 00:33:21
Estos de aquí son ejercicios típicos 00:33:28
Lo que pasa es que estos de aquí yo no los había comprobado 00:33:31
Entonces, también, pasándolo y demás 00:33:33
Pues, sabía que alguno no se iba a cumplir, ¿vale? 00:33:35
Entonces, chavales, esto que ocurre 00:33:40
Que si yo tengo aquí la M, ¿verdad? 00:33:42
Esto es 1, 1, 1 00:33:45
esto es 2, 2, 1 00:33:47
y esto es 3, 3, 2 00:33:50
¿vale? 00:33:52
esto tiene que ser un 2 ¿vale chavales? 00:33:53
aquí se me ha ido ordeo 00:33:56
1, 1, 1 00:33:57
menos 1 00:33:59
2, 2, 1 00:34:01
menos 2 00:34:03
3, 3, 2, menos 3 00:34:04
¿vale? si yo hago este 00:34:07
determinante chavales y este de aquí 00:34:09
como sabemos realmente 00:34:11
fijaros, si yo esto intento 00:34:13
aplicar Gauss, si yo intento 00:34:15
aplicar Gauss, esto es 00:34:17
1, 1, 1, menos 1 00:34:19
esto es 0 00:34:21
esto es 0, esto es 00:34:23
menos 1, o bueno los restos 00:34:25
para que sea aquí positivo 00:34:30
menos 4 00:34:32
3, 3 00:34:37
y esto es 00:34:41
este me tiene que salir 00:34:44
también, a ver 00:34:49
pero este me sale 00:34:50
a ver, esto es un 2 00:34:52
un 2, menos 2, 2 menos 2 00:34:55
2 menos 1, menos 2 00:34:58
más 2 00:35:00
ah, esto es un 0, perdón 00:35:02
y esto es otro 0 00:35:03
¿vale? 00:35:05
¿sí? entonces, fijaros chavales 00:35:07
esto si 00:35:12
yo vuelvo a 00:35:14
hacerlo, esto es 1, 1, 1 00:35:15
menos 1, esto es 00:35:17
0, 0, 1 y esto es 00:35:20
0, 0, 0, 0 00:35:21
¿lo veis? ¿sí o no? 00:35:22
Entonces, ¿cuál es el rango de...? 00:35:25
¿Sabéis lo que he hecho? 00:35:28
Esto lo habéis perdido 00:35:29
Lo que he hecho es como el método de Gauss 00:35:31
Para escalonarlo, ¿vale? 00:35:33
Lo he escalonado, entonces este es equivalente 00:35:35
Aquí lo que he hecho es 00:35:37
Ecuación 2 es igual a 00:35:39
Ecuación 2 es la ecuación 1 00:35:43
Menos la ecuación 2 00:35:46
Y la ecuación 3 es 3 veces 00:35:49
La ecuación 1 menos la ecuación 3 00:35:52
¿Vale? Y luego aquí lo que he hecho es la ecuación 3 menos la ecuación 2. Esto es igual a la ecuación 3. Por eso me sale 0, 0, 0. 00:35:55
Entonces, si ahora yo voy a hacer el rango de aquí, ¿cuánto es el rango de esta matriz? ¿Vale? ¿Cuántos? 2. ¿Por qué? Porque son aquellos que no son nulos. 00:36:04
¿Lo veis? Que no son nulos. Paula, ¿te has perdido o qué? ¿Sí? Vale, como yo aquí ya lo tengo escalonado, ¿de acuerdo? Y nada más que tengo un vector nulo, el rango de M es 2 y el rango de la ampliada es que, fijaros, también es 2. ¿Lo veis? 00:36:15
¿Sí o no? Entonces aquí que estamos, rango de M es igual al rango de la M ampliada, que es 2, pero es distinto de 3, que es igual al número de incógnita, ¿vale? 00:36:33
Entonces es un sistema compatible e indeterminado, infinita solución. 00:36:47
¿Y qué es lo que ocurre en este caso? 00:36:52
Cuando estamos en este caso de 2x2, lo que tenemos que ver es si alguno de ellos es coincidente o no, ¿vale? Cuando estamos en este caso que estamos aquí, en el 3, lo que tenemos que ver es si algunos son coincidentes o no. 00:36:54
¿Veis algún plano que es exactamente igual? Proporcional todo. Natillas Danone, ¿verdad? O sea, falso, Diego. Pero, ¿os fijáis aquí, chavales, que ninguno es proporcional al otro en todos los términos, el A, B, C y el D? ¿Lo veis? Entonces, no hay ninguno coincidente. 00:37:10
Pero eso lo tenéis que explicar, ¿vale? Por ejemplo, 1 entre 2 es distinto de, bueno, igual a 1 entre 2, pero es distinto de 1 entre 1, el alfa y el beta, ¿vale? Entonces, no son coincidentes, no son coincidentes. 00:37:33
lo veis, el 2, lo voy haciendo con todo, el 2 y el 3 es igual a 2 a 3 pero es distinto de 1 y 2, 00:37:52
estoy comparando los vectores normales, lo veis, entonces beta y gamma no son coincidentes, 00:38:08
¿Lo veis chavales? Y luego cojo el alfa y el gamma y veo que un tercio sí que es igual a un tercio, pero es distinto de un medio. Aquí tengo que poner un 2. ¿Lo veis chavales? Entonces no son alfa y gamma, no son coincidentes. 00:38:18
¿Tengo alguno coincidente? ¿Tengo alguno coincidente? ¿De 2 a 2? No, ¿verdad? Pues entonces tenéis que decir, es un haz de plano secante. Si lo dibujáis, pues como siempre, orgánico, ¿no? Pero si no tenéis la capacidad de dibujar, pues por lo menos escribidlo, es un haz de plano secante. ¿Vale, chavales? ¿Sí? 00:38:34
venga, vamos a seguir 00:39:04
en el mismo caso 00:39:07
en el que tengamos rango de 00:39:09
m es igual a 2 00:39:11
igual al rango de la m ampliada 00:39:13
nos puede ocurrir este caso 00:39:15
de aquí, donde dos planos 00:39:17
si sean secantes, esto no es un 00:39:19
haz de plano, ¿vale? 00:39:21
esto no es un haz de plano, pero 00:39:23
resulta que tenemos dos que si son 00:39:25
coincidentes 00:39:27
y de nuevo, me he vuelto a equivocar 00:39:29
madre mía 00:39:30
en un... sí, no me he equivocado aquí. 00:39:33
Chavales, esto de aquí. 00:39:37
Esto de aquí, ¿vale? 00:39:39
El rango de M es igual al rango de la M ampliada, 00:39:42
pero ¿por qué, chavales, es el rango de M igual que el rango de la ampliada? 00:39:48
Porque hay una ecuación que es proporcional a otra. 00:39:51
Ahora sí que hay una ecuación que es proporcional a otra. 00:39:55
Un plano es proporcional. 00:39:58
Al ser proporcionales, resulta que, por ejemplo, beta y en este caso alfa y beta son coincidentes, es el mismo plano. Y luego el otro, como el rango de la M es 2, no pueden ser los tres coincidentes. ¿Lo veis? 00:39:59
¿entendéis que si el rango de M 00:40:18
no pueden ser, el rango de M 00:40:21
es 2, los 3 no pueden ser coincidentes? 00:40:23
¿vale? pues entonces 00:40:26
estaríamos en este caso 00:40:27
¿vale? entonces chavales, echadle un 00:40:29
vistazo por favor a esto 00:40:31
de aquí 00:40:33
pero el ejercicio 00:40:34
leéroslo de cara al lunes 00:40:37
pero el ejercicio como he detectado 00:40:39
dos mal, no lo hagáis 00:40:41
si lo podéis hacer pero 00:40:43
si lo podéis hacer sería un puntazo 00:40:44
Me escribí, oye profesor, que este no 00:40:47
Que este tampoco 00:40:50
De todas formas yo lo haré 00:40:52
Todos los ejercicios, pero es que seguramente 00:40:54
Me habré equivocado al transcribirlo 00:40:55
¿Eh? 00:40:57
No, no es el tema 7, chavales 00:41:00
Esto entra en la recuperación 00:41:02
¿Vale? 00:41:04
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Idioma/s:
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Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
13
Fecha:
22 de noviembre de 2025 - 18:23
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
41′ 08″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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