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Indeterminaciones tipo uno elevado a infinito - Contenido educativo
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Demostración de la fórmula que utilizamos para resolver indeterminaciones del tipo uno elevado a infinito
Hola chicas, hola chicos. Vamos a demostrar esta fórmula que hemos utilizado que nos sirve para resolver indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito.
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Queremos calcular el límite cuando x tiende a infinito o cuando x tiende a un número de una función elevado a otra y la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito.
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¿Vale? Entonces, hemos visto y vamos a demostrar ahora que el límite, bien cuando x tiende a infinito, bien cuando x tiende a un número de f elevado a g, me da lo mismo que e elevado al límite cuando x tiende a infinito a un número de f de x menos 1 multiplicado por g.
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Y podemos usar esta fórmula para resolver la indeterminación 1 elevado a infinito, que es lo que nos interesa.
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Ahora voy a cambiar de color. Indeterminaciones, perdón, voy a poner aquí el lápiz. Esto es indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito.
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Bueno, entonces, para hacer esto vamos a basarnos en una propiedad que conocemos, que es que el límite cuando x tiende a infinito de 1 más 1 partido por x elevado a x, esto por definición es el número e.
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Y en general, si tenemos el límite cuando x tiende a infinito de 1 más 1 partido por una función, que voy a llamar h, elevado a h, y cuando x tiende a infinito, h también tiende a infinito, entonces esto también da el número e.
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Vamos a poner aquí h de x, h de x, h de x tiende a infinito cuando x tiende a infinito.
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Entonces vamos a basarnos en esto para transformar nuestra potencia en una cosa que sea similar a esta.
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Nosotros partimos de que tenemos, lo voy a hacer solo con el límite, cuando x tiende a infinito, como lo he hecho arriba,
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pero si fuera cuando aquí, cuando x tiende a un número, la función tiende a infinito, pues eso también da el número e.
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entonces la demostración con x cuando x tiende a un número sería similar
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siempre que la función h repito tiende a infinito cuando x tiende a ese número
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bueno entonces partimos de lo que tenemos que es esto de aquí
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recordamos que f tiende a 1 y g tiende a infinito que es lo que tenemos puesto arriba
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vale y vamos a transformar esta potencia que tenemos aquí para que nos salga algo parecido a esto que tenemos aquí
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Entonces, ¿qué nos falta? Pues lo primero que nos falta es este, el primer 1 sumando, este de aquí, ¿vale?
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Pues eso vamos a ponerlo de la siguiente forma.
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Vamos a calcular el límite cuando x tiende a infinito y a la base le sumo y le resto 1.
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Si le sumo y le resto 1, pues las cosas se quedan como están, ¿vale?
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Bueno, este 1 de aquí va a ser ese 1 de aquí, que ya lo tengo.
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Vale, ¿y ahora qué tengo que tener? Fijaros, tengo que tener aquí en la suma un 1 en el numerador.
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Pues lo que voy a hacer para eso es que voy a poner en el denominador la inversa de esto que tengo aquí, de f de x menos 1, ¿vale? Y esto lo escribo de esta manera, el límite cuando x tiende a infinito de 1, vamos a poner un paréntesis más grande, bueno, lo voy a dejar así de momento, 1 partido por 1 más, y ahora escribo la inversa de eso que tengo ahí, 1 partido por f de x menos 1.
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Vale, fijaros, si yo te hiciera toda esta operación de aquí dentro, ¿vale?
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Eso me daría f, ¿vale?
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Lo podéis desarrollar si queréis comprobarlo, que eso da f elevado a g de x.
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Vale, entonces fijaros, la base ya la tengo escrita de esta manera,
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porque esta función, como f de x tiende a 1,
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1 menos 1, 0, 1 partido por 0, eso va a tender a infinito, ¿vale?
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Igual que la función h, esto tiende a infinito,
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y todo esto que tengo en el denominador también tiende a infinito.
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lo único que me falta es que en el exponente aparezca la misma función
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¿vale? bueno, entonces para eso lo que voy a hacer es
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que voy a multiplicar y a dividir el exponente por eso que tengo ahí
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por lo que tengo en el denominador
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entonces me quedaría el límite cuando x tiende a infinito
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de 1 más 1 partido por 1 f de x menos 1
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¿vale? el exponente lo voy a multiplicar por esto
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para tener lo mismo
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¿Vale? Y lo voy a multiplicar por la inversa también
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¿Vale? Puedo poner aquí un corchete para que esté más claro
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Y por el exponente que ya teníamos, g de x
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¿Vale? Aquí he multiplicado por una cosa y su inversa
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Con lo cual es lo mismo que si hubiera multiplicado por uno
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Pero fijaros, voy a cambiar de color
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Ahora, este límite que tengo aquí
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¿Vale? Eso que tengo ahí es similar a este que tengo aquí
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¿Vale? 1 más 1 partido por una función elevado a una función ¿Vale? Así que todo eso da el número e
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Entonces ¿Qué me va a quedar? Pues me va a quedar que todo eso es el número e y me queda por calcular el límite de lo que me sobra
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Fijaros que es el límite cuando x tiende a infinito de f de x menos 1 por g de x
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Y eso es lo que queríamos demostrar, ¿vale? Que también podemos calcular el límite de esa manera y se obtiene el mismo resultado.
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En otros vídeos voy a calcular límites de este tipo para funciones concretas utilizando todo este método de demostración.
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Lo voy a desarrollar con una función concreta por si lo queréis usar de manera alternativa a esta fórmula que acabamos de ver.
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De todas maneras, esos límites siempre se pueden calcular también utilizando esta fórmula.
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un saludo, hasta luego
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Francisco Javier Majadas García
- Subido por:
- Francisco J. M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 27
- Fecha:
- 5 de octubre de 2024 - 14:26
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES SAN ISIDRO
- Duración:
- 05′ 51″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 1152x720 píxeles
- Tamaño:
- 23.66 MBytes
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