21-04-26 Parte 1 Aproximación de la binomial - Contenido educativo
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Bueno, pues en la clase de hoy voy a explicar el último contenido de teoría que nos falta,
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que es la aproximación de una distribución binomial a través de una distribución normal.
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Abrid el libro en la página en que viene aproximación de la binomial por la normal,
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que no sé ahora mismo qué página es, pero os doy tiempo para buscarla,
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está al final del tema porque tengo puesto el libro digital y no vienen las páginas aquí numeradas,
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O sea que buscadlo, venga, con tranquilidad, y si no, paráis el vídeo, ¿vale?
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Venga, pues lo tenéis muy bien explicado en el libro, de todas formas, os lo explico yo.
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Dice, vamos a ver que para ciertos valores de n, el número de veces que se repite el experimento, y p, la probabilidad de éxito,
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las distribuciones binomiales tienen un extraordinario parecido con las correspondientes distribuciones normales.
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Fijaos, aquí tiene dibujadas unas distribuciones binomiales
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Esta es una distribución binomial de n5 y probabilidad 1 medio
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Esta de n10 y probabilidad 1 medio
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Y a medida que se repite el experimento cada vez más veces, ¿vale?
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O sea, cada vez más, esta es una binomial de n20 y probabilidad 1 medio
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¿Qué va pasando? Pues que la forma de la distribución se va aproximando cada vez más a la forma de la distribución normal
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dice, puedes observar, bueno, el mismo efecto con binomiales
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si el valor de n es cualquiera y la probabilidad un quinto, ¿vale?
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¿cómo al aumentar el valor de n, la repetición del experimento
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las curvas se parecen cada vez más a la normal?
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dice, bueno, dice, míralas bien, la primera que tenéis aquí
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n igual a 5 para n igual a 5, cuando el experimento se repite 5 veces
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en una binomial con probabilidad 0,2, pues dice que no se parece mucho, es la amarillita, a la curva normal,
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pero poco a poco, a medida que n aumenta, cuando n es igual a 50, fijaos que es casi exactamente una curva normal.
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Entonces, resumiendo, en general una distribución binomial se parece a una curva normal tanto más
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cuanto mayor es el producto n por p o n por q, si q es menor que p.
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¿Cómo sé si en un problema puedo aproximar una distribución binomial mediante la distribución normal?
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Pues haciendo una simple comprobación, cogiendo el número de veces que se repite el experimento,
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la probabilidad de que ocurra y multiplicando n por p y n por q.
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Si ambos productos son mayores que 3, puedo decir en el problema que la aproximación es bastante buena
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y puedo utilizar ya la aproximación binomial, o sea, la aproximación, puedo aproximar la distribución binomial por la normal,
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pero es que si n por p y n por q son mayores que 5, dice la aproximación es ya casi perfecta,
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por lo que de ahora en adelante tomaremos el valor 3 como referente para aproximar una distribución binomial por una distribución normal, ¿vale?
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Muy importante, si voy a aproximar una distribución binomial por una normal, la media y la desviación típica de esa distribución normal que voy a utilizar van a ser las respectivas de la distribución binomial.
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Es decir, la media mu va a ser n por p, que era la media de la distribución binomial, y la desviación típica sigma va a ser la raíz de n por p por q.
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¿Vale? Venga, en la siguiente página tenemos regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal. Esto es lo más delicado, lo más delicado de aproximar una binomial por una normal, ¿vale?
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¿Vale? Dice, en el caso de que yo pueda aproximar la distribución binomial mediante una normal,
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viendo que n por p y n por q son mayor que 3, ¿vale? Eso es lo primero,
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pues dice, claro, hay una cosa delicada aquí, y es que las distribuciones binomiales son de variable discreta,
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mientras que las distribuciones normales son de variable continua.
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Entonces ya sabemos que en la variable continua la probabilidad de que x sea igual a un valor concreto es cero.
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¿Vale? ¿Cómo solventamos esto? Pues muy fácil
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Fijaos, dice aquí, para cuando calculemos la probabilidad de que x sea igual a un valor concreto
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Lo que hacemos es transformarlo en un intervalo restándole acá 0,5 por un lado y sumándole acá 0,5 por otro lado
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¿Vale? Y fijaos que la variable que antes llamábamos x al aproximarla por la distribución normal la llamamos ahora x'
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prima esto vale pues lo voy a tener que hacer en la mayoría de los casos en que
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tenga bueno en todos los casos en que tenga que aproximar la binomial por una
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normal fijaos aquí están los diferentes casos
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si quiero calcular la probabilidad de que x sea mayor o igual que a y menor
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que b aquí está muy bien explicado para asegurarme que a está incluido en el
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intervalo y que b no está incluido porque es menor estrictamente que b pues
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Pues a A le resto 0,5 y entonces estaría aquí el comienzo de mi intervalo donde A queda incluido y a B le resto también 0,5 para que no esté incluido en el intervalo.
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Hago esa pequeña transformación. Si es al contrario, es decir, si quiero que B sí esté incluido y A no porque estos casos sí que los contempla la distribución binomial, pues ¿qué hago?
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pues a A le sumo 0,5 para que quede fuera del intervalo que estoy calculando y a B le sumo 0,5
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para que quede dentro del intervalo, ¿lo veis? Más casos posibles, la probabilidad de que, bueno,
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esto yo lo escribiría al revés, pero bueno, de que X sea mayor que A, es decir, quiero que sea
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mayor estrictamente que A, que A no esté incluido, ¿qué hago? Pues a A le sumo 0,5 y de ese modo A
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no está incluido, ¿vale? Pero medio punto más allá sí está incluido. Bueno, aquí
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vienen algunos ejemplos, algunos ejercicios resueltos, vamos a verlos, ¿vale? Si quiero
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calcular, por ejemplo, en una binomial que la probabilidad esté entre 3 y 5, ¿cómo
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lo transformo eso en una distribución normal? Pues bueno, aquí pone probabilidad de que
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x igual a 4, ¿vale? Que es lo que sería en una distribución binomial y para asegurarme
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de que el 4 está incluido pero el 3 y el 5 no pues a 3 le sumó 0 5 entonces
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sería la probabilidad de que x prima esté entre 3 con 5 y a 5 le restó 0 5 y
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me queda 4 con 5 vale de esa forma pues únicamente me quedaría en la binomial
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sería calcular la probabilidad de que x sea igual a 4 pero como eso es 0 en la
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distribución normal pues le sumo por la izquierda y le resto por la derecha para que me quede el
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4 incluido y el 3 y el 5 no. ¿Cómo calcularía la probabilidad de que x sea mayor o igual que 3
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pero menor que 5? Pues como quiero que el 3 sí esté incluido y el 5 no, resto 0,5 a la izquierda
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de 3 y me queda 2,5 y resto también a 5, 0,5 y así me queda la probabilidad de que
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x' esté entre 2,5 y 4,5. Venga, un último caso, la probabilidad de que x sea mayor o
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igual que 3 y menor o igual que 5, que esto en la distribución normal me daría igual
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que fuese menor o igual o menor estricto, pero aquí no, claro, pues para asegurarme
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de que el 3 y el 5 están incluidos, ¿qué hago? A 3 le resto 0,5 y lo transformo en
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2,5 y para que el 5 esté incluido también le sumo 0,5 y me queda 5,5.
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Entonces la probabilidad de que X sea mayor o igual que 3 y menor o igual que 5 en la distribución normal que voy a utilizar va a ser igual a que X' sea mayor estrictamente que 2,5 y menor estrictamente que 5,5.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- ABN (matemáticas)
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- Bachillerato
- Segundo Curso
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- Cristina T.
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- 17 de abril de 2026 - 20:22
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- IES MIRASIERRA
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