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Recta que pasa por dos puntos - Contenido educativo
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Vamos a ver cómo calcular las diferentes ecuaciones de una recta cuando el dato que nos indican es que pasa por dos puntos.
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Vamos a poner un ejemplo de puntos, por ejemplo, que pasa por el punto de coordenadas 2, 4, este es p, por ejemplo, 2, 4, y q, pues, menos 2, 1.
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o m y n, como lo queramos llamar, menos 2 o 1.
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Vamos a representar la recta que pasa, aunque no es necesario, pero eso siempre nos ayuda.
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Bueno, pues esa sería la recta que nos piden para que hallemos su ecuación.
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Bueno, pues ¿qué necesitamos para las ecuaciones de la recta?
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Lo primero que necesitamos es un punto, que ya lo tenemos, cualquiera de los dos nos valdría,
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pero necesitamos un vector director.
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Entonces, como vector director, simplemente podemos coger, por ejemplo, el vector que tiene origen en P y extremo en Q.
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Entonces, vamos a hallar ese vector.
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Este sería.
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Vamos a verlo, a dibujarlo, porque nos indica la dirección de la recta.
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Bueno, pues voy a hallar el vector PQ.
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Me da igual que hayamos pq que qp. Bueno, pues entonces lo que tenemos que hacer es restar las coordenadas del extremo menos las del origen.
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Entonces, ¿qué tendría que hacer? Coordinada, coordenada, claro, menos 2, menos 2, menos 2, menos 2 y 1, menos 4.
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Luego mi vector pq, que va a ser el vector director de la recta, va a tener coordenadas o componentes menos 4, menos 3.
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Podríamos haber escogido el qp y entonces nos habría quedado 4, 3.
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Bueno, pues entonces comenzamos por la ecuación vectorial de la recta.
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Recordemos que cualquier punto de la recta, genéricamente lo llamamos un punto X, con coordenadas XY, se puede hallar mediante el vector OP o Q, me daría igual, más un determinado número de veces, es decir, ese parámetro, el vector director.
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O x, que tiene las mismas componentes que el punto x, es un vector, aunque este es un vector y ese es un punto, o p, serían las mismas componentes que el vector, que el punto p, más t veces mi vector director, menos 4 menos 3, y esta es la ecuación vectorial de la recta.
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Bueno pues ya tenemos una ecuación y ahora lo que vamos a hallar es las ecuaciones paramétricas lo que tenemos que hacer es igualar componente a componente estos vectores x es igual a 2 más t por menos 4 entonces ponemos mejor menos 4t y sería igual a 4 y lo mismo es más t por menos 3 pues queda mejor puesto menos 3t con lo cual obtenemos las ecuaciones paramétricas.
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de la recta. Bueno, pues una vez que tenemos las ecuaciones paramétricas continuamos y lo que tenemos que hacer es despejar el parámetro t en las dos ecuaciones.
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En la primera me va a quedar t igual, sería x menos 2 dividido por menos 4.
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En la segunda me queda y menos 4 dividido por menos 3.
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Como esto es t y esto es t, las igualo y obtengo la ecuación continua de la recta.
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Bueno, pues observamos que nos aparecen aquí las coordenadas del punto P, 2, 4 y en el denominador las componentes de mi vector y vector, menos 4, menos 3.
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Bueno, pues una vez que tenemos la ecuación continua, lo que vamos a hacer es continuar.
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¿Qué tenemos que hacer? Pues ya vamos a obtener la ecuación punto pendiente.
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¿Cómo la obtenemos? Pues lo que tenemos que hacer, bueno, es preferible que pongamos primero y menos cuatro, sería, bueno, paso el menos tres al segundo miembro, pero cambio el primero por el segundo, entonces me quedaría menos tres dividido por menos cuatro y x menos dos.
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Es decir, que me queda y menos 4 es igual a 3 cuartos por x menos 2.
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Y aquí obtenemos la ecuación punto pendiente.
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¿Cuál es mi pendiente en este caso? Pues m valdría 3 cuartos.
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Mi pendiente vale 3 cuartos.
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La pendiente es positiva, creciente, se corresponde con lo que tenemos.
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Ahora que tenemos que obtener la ecuación explícita, la ecuación explícita es simplemente despejar y consiste en despejar y continúa aquí entonces despejo y igual a tres cuartos voy haciendo la multiplicación menos tres por dos seis cuartos más cuatro.
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Bueno, pues ¿qué tengo que hacer? Pues arreglar esto un poco. 3 cuartos de X, 6 cuartos es 3 medios, bueno, menos 3 medios y lo tengo que sumar a 4.
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Vamos a ver lo que nos queda. Bueno, pues entonces quedaría más 5 medios.
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pendiente 3 cuartos, ordenada en el origen 5 medios, que significa que para x igual a 0 y vale 5 medios, o sea 2,5, bueno pues esa es mi ecuación explícita, recordamos m 3 cuartos y n ordenada en el origen 5 medios,
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Bueno, pues ahora tenemos que continuar y la que vamos a hallar ya finalmente sería la ecuación general o implícita.
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¿Cómo se halla esta? Bueno, pues lo que tenemos que hacer es pasar todo al primer miembro y hallar el mínimo como múltiplo, que sería 4 en este caso.
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Entonces multiplico toda la ecuación por 4. ¿Qué me queda? Me va a quedar 4y igual a 3x más, entonces 4 entre 2, 2.
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10. Bueno, lo paso todo al primer miembro y lo ordeno. ¿Qué tengo que poner primero?
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Pues el término en x. Bueno, vamos a ponerlo menos 3x más 4y, lo podríamos haber hecho
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de la otra forma, pero bueno, ahora lo cambio, ¿vale? Para ver que es lo mismo uno que el
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otro, ¿vale? Estamos pasando ahora al primer miembro. Como parece que queda un poco mejor
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poniéndolo así es 3x menos 4y más 10 igual a 0, me da igual cualquiera de las dos, cualquiera de las dos, pues lo que me va a quedar es la ecuación general o implícita de la recta, cualquiera de estas.
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y bueno pues estas serían todas las ecuaciones que podemos
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si solo me piden una de ellas pues no hace falta seguir todos los pasos
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pero partimos básicamente de la ecuación vectorial
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y acabamos en la ecuación general implícita
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- Autor/es:
- CTH
- Subido por:
- M.rosario T.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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- Fecha:
- 21 de mayo de 2024 - 20:07
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- Duración:
- 08′ 23″
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