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Análisis. Comentarios a ejercicios y cosas que quedaron por dar - 2º Bachillerato CT - Contenido educativo

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Subido el 9 de julio de 2024 por Jesús Pascual M.

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Análisis 2ºBach. Comentarios a ejercicios y cosas que quedaron por dar

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Hay otros ejemplos que están en la hoja que, aunque no sean de clase, se pueden deducir y se derivan de cosas que dimos en clase. 00:00:00
Los tenéis corregidos en los ejercicios, pero los explico también en este vídeo. 00:00:10
Me habéis preguntado por este límite en clase, es del ABAU, y en la hoja que os he dado no está bien. 00:00:16
Pero os voy a dar una solución correcta por vídeo porque creo que es mejor. 00:00:22
A ver, en un límite como este, pues lo mejor es calcular primero los límites naturales con la calculadora a ver qué pasa. 00:00:26
Entonces, si lo calculamos en 0,1, pues esto nos da 1,997. 00:00:36
Y si lo calculamos en menos 0,1, nos da menos 1,997. 00:00:45
Esto es aproximadamente 2 y esto menos 2, con lo cual seguramente el límite no exista. 00:00:51
Algo habrá. Ya con esto no hemos hecho nada, pero nos da una idea. 00:00:56
Lo que se me ocurre que es más fácil en este caso es sacar factor común o bien meter la x dentro de la raíz. 00:01:02
Con la x solo hay un problema y es el signo de la raíz cuadrada. 00:01:13
A ver, si hacemos el límite cuando x tiende a 0, aquí tenemos, pues esto es x cuadrado por 4 menos x cuadrado, todo y entre x, y esto es el límite cuando x tiende a 0 de raíz cuadrada de x al cuadrado, 4 menos x al cuadrado entre x, y ahora bien, esto es el valor absoluto de x. 00:01:19
Entonces, ¿y esto tiene límite? 00:01:42
Eso es el límite cuando x tiende a 0 del resultado de x entre x 00:01:48
por el límite cuando x tiende a 0 de 4 menos x al cuadrado 00:01:53
Bueno, esto lo podemos calcular, esto vale raíz de 4 que vale 2 00:02:03
Con lo cual, esto es el límite cuando x tiende a 0 de x entre x por 2 00:02:08
es decir, dos veces el límite de x partido por x 00:02:14
y esto lo conocemos, bueno, pues aquí directamente separamos 00:02:20
a ver, eso dos veces el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda 00:02:24
del valor absoluto de x 00:02:31
y dos veces el límite cuando x tiende por la derecha 00:02:33
del valor absoluto de x entre x 00:02:37
ahora bien, ¿cuánto vale el valor absoluto de x para x menor que 0? 00:02:40
por menos x, dos veces el límite cuando x tiende a 0 por izquierda de menos x entre x 00:02:44
y eso es menos 1, bueno, 2 por menos 1 que es menos 2 00:02:48
y esto es dos veces el límite cuando x tiende a 0 por la derecha 00:02:53
el valor absoluto de x cuando x es mayor que 0 es x 00:02:57
2 por 1, el límite es 1, que es 2 00:03:00
con lo cual no existe límite 00:03:05
nos da lo que vimos empíricamente, lo que pasa es que esto no nos demuestra ni calcular el límite 00:03:08
Eso es hacer una prueba a ver qué sale después. 00:03:12
Un ejercicio que le hemos dado y que está en la hoja, 00:03:21
que en el BAU, es hallar la recta tangente mínima pendiente. 00:03:25
Bueno, pues si sabemos hallar la pendiente y sabemos calcular máximos y mínimos, 00:03:30
es aplicar eso nada más. 00:03:36
A ver, la función f de x es x cubo menos x cuadrado más 8x menos 3. 00:03:37
Perdón, más 3. Su derivada es 3x cuadrado menos 2x más 8. Y su derivada segunda es 6x menos 2. 00:03:46
Bien. ¿Qué nos piden? Nos piden calcular la pendiente, que es esta. Esta es la pendiente. 00:03:59
¿Y cómo hallamos la pendiente máxima o mínima? Pues derivando la pendiente, que es la derivada segunda. 00:04:08
Y después pues hallando los ceros 00:04:15
Y viendo si son mínimos 00:04:18
Igual que los problemas de maximización 00:04:20
Bueno, pues lo hacemos 00:04:22
Igualamos esto a cero 00:04:23
Y eso se iguala a cero 00:04:25
Si, solo si 00:04:26
6x es igual a 2 00:04:27
Lo que ocurre es que si solo x es igual a 2 estos 00:04:28
Que es un tercio 00:04:32
Y ya está 00:04:33
Entonces ya tenemos el candidato a mínimo 00:04:35
Lo siguiente es 00:04:38
Ver si es un mínimo o no 00:04:42
De esta función 00:04:43
Entonces, cogemos la tabla, aquí tenemos g' y g', y tenemos un tercio, y la función entre menos infinito y un tercio, y entre un tercio e infinito. 00:04:44
Podemos representar esta función, que en un tercio es una recta, y aquí es positiva y aquí es negativa, y ya sabemos que esos son los intervalos de crecimiento. 00:05:03
Aquí es negativa, decreciente, aquí es positiva, decreciente 00:05:15
Pero también podemos hacerlo calculando un valor entre medias 00:05:21
Y hallando esto aquí, por ejemplo, en el 0, que vale menos 2 00:05:25
Y por ejemplo en el 1, que es la primera prima de 1, que vale 4 00:05:32
Entonces aquí es positivo y aquí es negativo 00:05:38
Aquí vale 0 y esto nos indica que es un mínimo 00:05:41
Por tanto, en x igual a un tercio está la recta tangente de mínima pendiente. 00:05:46
Pues ya está. 00:06:05
Vamos a hacerlo. 00:06:09
Pues en x igual a un tercio, ¿cuánto parece dx? 00:06:12
Pues cogemos la calculadora y lo calculamos. f nos da 151 partido por 27, por lo que es lo mismo 5,592 periodo. 00:06:15
Si queréis redondear, 5,59, a veces haría 2,5, etc., pues redondamos hasta el 3. 00:06:32
vale, ahora la derivada f' de x 00:06:40
¿cuánto vale? 00:06:46
ponemos la calculadora y nos da 00:06:47
que esto es 00:06:49
23 tercios 00:06:52
por lo otro mismo 00:06:54
7,6 periodo 00:06:55
que por ejemplo podemos poner como 00:06:57
7,667 00:06:59
y ya con esto podemos calcular 00:07:01
la recta tangente 00:07:04
en un punto cualquiera 00:07:05
la recta tangente 00:07:07
en un punto pistero 00:07:08
la recta tangente es 00:07:10
Y igual a f de x0 más f' de x0 por x menos x0, que es 1 tercio, sería y es igual a f de x0, que sería 23 tercios, más f', que es 151 partido por 17, por x menos 1 tercio. 00:07:12
Esto es igual a 23 tercios más 151 partido por 27X menos 151 partido por 81. 00:07:31
Esto nos da 151 partido por 27X más, y ahora ponemos la fracción, 00:07:42
23 por 27 es 621 menos 151, que nos da 151 partido por 27X menos 470 partido por 81. 00:07:54
Entonces esa es la recta tangente. 00:08:09
Y es igual a 151 partido por 27X menos 470 partido por 81. 00:08:11
Si alguien quiere hacerlo con el reclutador directamente, pues también puede hacerlo. 00:08:18
También hay un problema que sería de máxima a pendiente, que lo suele hacer por mínima, 00:08:28
lo suele hacer por máxima. Sería lo mismo, solo que busca la máxima. 00:08:31
Por ejemplo, si cogéis menos g , que sería menos f , 00:08:35
menos x cubo menos x cuadrado, perdón, más x cuadrado menos 8x menos 3, 00:08:40
esta función tiene 00:08:48
máxima pendiente y mínima mínima. Otro problema que aparece relacionado con 00:08:51
Bolzano y el teorema de Rolle es ver cuando dos funciones se cortan y es que 00:08:59
la idea es la siguiente ¿qué significa que dos funciones se cortan a un punto? 00:09:06
significa que f es igual a g en un punto x. 00:09:10
Bueno pues esto es lo mismo que decir que f de x menos g de x vale 0 00:09:15
Con lo cual lo que vamos a hacer es definir una función h de x igual a f de x menos g de x 00:09:20
Que en este caso sería x al cubo más 13x menos 6x cuadrado más 10 00:09:26
La f y la g 00:09:35
Que sería x al cubo menos 6x cuadrado más 13x menos 10 00:09:37
y ver pues que esta función h tiene un solo cero 00:09:44
y ya está 00:09:49
vamos a verlo 00:09:51
pues primero 00:09:53
límite cuando x tiende a infinito de h de x 00:09:55
x al cubo menos x y por su lado más 13x menos 10 00:10:00
¿esto cuánto vale? pues infinito 00:10:06
límite cuando x tiende a infinito de h de x 00:10:09
perdón, a menos infinito 00:10:12
¿cuánto es ese límite? 00:10:13
cuando x tiende a menos infinito de x al cubo menos 6x cuadrado más 13x menos 10, lo importante es esto, que es menos infinito. 00:10:16
Con lo cual, por el teorema de Bolzano, existe un c perteneciente a toda la recta real, tal que h de c vale 0. 00:10:25
¿Qué nos queda ahora? Pues ver la unicidad que hay en un único, entonces para ello utilizamos el teorema de Rolle. 00:10:45
¿Cuánto vale h' de x? Pues 3x cuadrado menos 12x más 13. 00:10:51
¿Cómo vemos que no se anula nunca? Pues con la ecuación del segundo grado. 00:11:02
x es igual a 12 más menos raíz cuadrada de 144 menos 4c, perdón, si menos 4c, que sería 13 por 3, que es 39, y luego por 4, lo que nos da 156. 00:11:06
156, todo ello, entre 2a que es 6. Esto es 12, más o menos la raíz cuadrada de menos 8 partido por 6, y esto no existe. 00:11:22
Por tanto, h' de x no se anula. 00:11:32
Entonces, por el teorema de Rolle, como mucho, hay un c perteneciente a menos infinito infinito, 00:11:40
tal que h de c es 0. Por lo tanto, uniendo estos dos teoremas tenemos que h de x se anula en un único punto. 00:11:56
Eso quiere decir que f de x menos g de x es igual a 0 en un solo punto, o mejor dicho, en un único punto, que es lo mismo. 00:12:14
es decir, que f de x es igual a g de x en un solo punto 00:12:29
bueno, podéis pasar directamente de aquí a aquí 00:12:45
y entonces ya está demostrado 00:12:47
con lo cual la idea es definir esta función 00:12:51
en la función pregunto por el dominio de esta función 00:12:57
y luego los puntos donde no es variable y no es continua 00:13:02
Bueno, en la bau se lo preguntan por el dominio. 00:13:05
Lo otro lo dice por resolver el resultado de ese mundo. 00:13:08
Lo que pasa es que en este caso se complica teóricamente el asunto. 00:13:11
Así que, para evitar líos, voy a resolver solamente la parte del dominio. 00:13:15
Entonces, pedimos que x6 menos 4x4 sea mayor o igual que 0. 00:13:20
Factorizando estos x4 por x cuadrado menos 4. 00:13:26
Y esta tiene factorización x4 por x menos 2 por x más 2. 00:13:30
Bien, viendo que esto es x cuadrado menos 2 al cuadrado, que diferencia de cuadrados es diferencia por suma, ¿no? 00:13:35
Y, o bien, pues, haciendo que es x cuadrado menos 4 igual a 0, x cuadrado es igual a 4, x es más o menos la cuadrada de 4 más menos 2. 00:13:48
Sea como fuere, esta función es esta. 00:13:58
Y si pedimos que sea mayor o igual que 0, eso lo podemos hacer con la tabla, del menos 2 al 0 y al 2, o bien representándola a ojo, menos 2, 2 y 0, viendo que como aquí tiene grado de 4, pues se aplasta bastante, y es positivo, negativo, positivo. 00:14:00
de modo que los signos son positivo, negativo, negativo, positivo 00:14:22
anulándose en el de menos 2, 0 y 2 00:14:26
de modo que el dominio será los lugares donde esto está por encima del eje 00:14:31
incluyendo esto, o bien donde es positiva, incluyendo los ceros 00:14:37
el dominio de f sea desde menos infinito hasta menos 2 00:14:43
unión el cero, que se pone entre llaves porque es un único punto 00:14:48
unión de cero e infinito 00:14:52
el tema de la derivabilidad, bueno continuidad es la función continua en su dominio 00:14:55
pero el tema de la derivabilidad aquí es un poco más complicado 00:15:00
así que no voy a decir nada por ahora y haré algún comentario 00:15:04
después del examen 00:15:08
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
4
Fecha:
9 de julio de 2024 - 18:07
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Duración:
15′ 11″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
108.89 MBytes

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