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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 3 - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 3

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La parte 3 del tutorial de derivación constituye el objetivo de este tutorial, 00:00:00
ser capaz de hacer derivadas más complejas que contengan varias reglas de derivación combinándose. 00:00:05
Empieza con unos ejemplos resueltos y después propone unos ejercicios. 00:00:12
Una vez realizadas tantas derivadas que combinan distintos métodos de derivación, 00:00:20
es fácil realizar cualquier tipo de derivada que las combine en otro orden o de otra manera. 00:00:25
Incluso es más compleja. Vamos a hacer para ello estos ejemplos. Empezamos con este de aquí. Tenemos el producto de dos funciones al principio y empezamos con ello. 00:00:31
Pues vamos a hacerlo. Esto sería f' por g más f por g'. f' pues sería 5x4 por g, g es elevado a x cuadrado más 3, ahora más, f es x5 por g'. 00:00:42
Para g' observamos que es de la forma elevado a f cuya derivada es elevado a f por g' pues lo ponemos elevado a f que es x cuadrado más 3 por g' que es 2x. 00:01:04
Seguimos derivando y nos queda más coseno al cuadrado de x 00:01:24
Y observamos que esa es la función coseno de x al cuadrado que es de la forma f al cuadrado 00:01:29
Pues nada, a la hora de poner eso tenemos que poner 2f por f' 00:01:39
Que sería 2 coseno de x por su derivada que es menos seno de x 00:01:50
Aquí no va a significar, son bastante complejas las derivadas 00:01:57
En la siguiente podríamos empezar con la remera 00:02:01
Aquí tenemos en el numerador un numerador y un denominador 00:02:07
Podemos hacer la regla del cociente 00:02:11
Tenemos pues f partido por g 00:02:13
Y su derivada sería una fracción 00:02:17
En el numerador tendríamos 00:02:20
f' por g menos f por g' 00:02:28
¿Cuánto vale f'? Pues f' es un producto de dos funciones. Aquí tenemos una f minúscula y una g minúscula. 00:02:32
Pues este f' tendría f' por g más f por g' y lo ponemos entre paréntesis porque luego se va a multiplicar. 00:02:47
f' es 5x4, g es el coseno al cubo de 2x elevado a 4, más f, que es x5, y ahora g'. 00:02:57
En g' observamos que tenemos que coseno al cubo es el coseno de la función al cubo, y eso transforma f al cubo. 00:03:13
Su derivada es 3f al cuadrado por f', cosa que ponemos, pues pondríamos 3f al cuadrado por 3 coseno al cuadrado de 2x4 por f'. 00:03:30
Ahora f' es el coseno de una función, cuya derivada es menos seno de f por f'. 00:03:50
Pues lo ponemos. El coseno de la derivada sería menos el seno de 2x4, ponemos paréntesis porque hay un menos, por la derivada que es 4 por 2 es 8, 8x cubo. 00:04:06
Ya tenemos esta parte de aquí, de la f', pero ahora es la parte más larga. 00:04:26
Este paréntesis que habíamos empezado lo terminamos. 00:04:35
Multiplicamos ahora por el denominador, que es e elevado a x menos 1. 00:04:39
Restamos f mayúscula, que es x5 coseno cubo de 2x4. 00:04:46
Y ahora multiplicamos por la derivada de g, que es elevado a x. 00:04:52
Por último ponemos el denominador al cuadrado. 00:04:59
Bien. 00:05:09
El último ejemplo es un cociente de funciones, f partido por g. 00:05:12
Pues hacemos una fracción larga. 00:05:18
Y ponemos aquí f' por g menos f por g'. 00:05:21
Y en el denominador g al cuadrado. 00:05:26
Y empezamos, bueno, podemos empezar con el numerador, que es la tangente de 7x al cuadrado elevado a x, todo ello al cuadrado. 00:05:29
Y ya ponemos el numerador. Tenemos f', f es un producto de dos funciones, f y g, cuya derivada sería f' por g más f por g'. 00:05:41
lo ponemos 00:05:57
f' a su vez 00:05:59
es elevado a una función 00:06:02
cuya derivada es elevado 00:06:06
bueno, vamos a ponerlo con mayúscula por ejemplo 00:06:09
para que no se confunda con lo que tenemos 00:06:11
elevado a f 00:06:14
cuya derivada es elevado a f por f' 00:06:16
lo ponemos 00:06:18
pues sería 00:06:19
elevado a x al cubo menos x 00:06:21
por 3x cuadrado menos 1 00:06:26
ahora multiplicamos por g 00:06:29
que es el logaritmo de periano de x a la 4 menos 3 00:06:34
ahora sumamos f 00:06:37
que es elevado a x al cubo menos x 00:06:43
y ahora tenemos g' 00:06:47
y ahora observamos que g 00:06:49
es una función de la forma logaritmo de periano de f 00:06:50
cuya derivada es f' partido por f 00:06:54
Pues ponemos ese f' partido por f, donde f' sería 3x4 y f sería x4 menos 3. 00:06:57
Y ya hemos terminado con este f'. 00:07:10
Hay que poner un paréntesis porque tenemos una suma y luego vamos a tener un producto. 00:07:14
Y ahora multiplicamos por g, que es el denominador, que es la tangente de 7x cuadrado elevado a x. 00:07:21
Bien, ahora restamos, ponemos f, que sería el numerador, que es la mayúscula, elevado a x al cubo menos x logaritmo hebreano de x4 menos 3. 00:07:33
Y ahora falta g', que sería esta función. Dentro de la derivada tenemos que es de la forma tangente de una función cuya derivada puede ponerse como 1 partido por coseno al cuadrado de f por f', o como 1 más tangente al cuadrado de f por f'. 00:07:48
De hecho, esto también se podría poner como f' entre coseno al cuadrado de f. 00:08:14
Bueno, voy a utilizar por ejemplo esta fórmula por ser la que cubre menos espacio. 00:08:21
Ponemos arriba f' y abajo el coseno al cuadrado de 7x al cuadrado elevado a x. 00:08:26
f' que es esta función, es un producto de dos funciones, vamos a ponerlas con mayúsculas, f y g, 00:08:44
cuya derivada es f' por g más f por g'. 00:08:51
¿Cuál es f'? Pues 7x cuadrado cuya derivada es 14x. Ahora ponemos g. Ahora ponemos f. 7x cuadrado. Y ahora ponemos g otra vez. Y ya hemos terminado. 00:08:56
Proponemos ahora tres ejercicios con dificultad creciente. Igual que en otras ocasiones, paráis la grabación, los hacéis y luego corregimos. 00:09:19
Bien, corregimos. Empezamos con esta parte de aquí y eso es un producto de una función por otra. 00:09:31
Pues ponemos f' por g más f por g'. f es muy sencilla, con lo cual su derivada es 5x4, que es el logaritmo de x cuadrado más 3, más f, que es x5. 00:09:46
y a la hora de llegar a g observamos que es el logaritmo neperiano de una función 00:10:04
cuya derivada es f' partido por f. 00:10:10
Pues lo ponemos, f' es 2x y f es x cuadrado más 3. 00:10:15
Seguimos con lo que queda, que sería la derivada de menos 7x, que es menos 7. 00:10:24
Pasamos a la segunda función 00:10:30
Igualmente empezamos con un producto 00:10:33
Tenemos aquí f y g 00:10:39
Y ponemos f' por g más f por g' 00:10:41
f es x al cubo, su derivada es 3x al cuadrado 00:10:48
y g es elevado al coseno de x al cuadrado 00:10:56
Ahora ponemos f y nos quedaría g'. 00:11:03
Observamos que g es de la forma e elevado a f, cuya derivada sería e elevado a f por f'. 00:11:09
Lo ponemos elevado al coseno de x al cuadrado y ahora nos queda f'. 00:11:21
pero f' también es el coseno de una función cuya derivada es menos seno de f por f' 00:11:29
ahora bien, como tenemos un menos y estamos en un producto, ponemos un paréntesis 00:11:40
menos seno de x al cuadrado por f' que es 2x 00:11:45
y esta derivada ya está 00:11:51
vamos con... ah bueno, seguimos 00:11:53
Nos queda acabar la derivada, tenemos un cociente, f partido por g, cuya derivada es f' por g menos f por g' entre g al cuadrado. 00:11:56
pues lo ponemos 00:12:13
g al cuadrado es muy sencillo 00:12:15
x al cuadrado 00:12:18
f' es 00:12:19
1 partido por x 00:12:21
g es x 00:12:23
menos f es el logaritmo 00:12:26
de piano de x 00:12:28
y g' pues es 00:12:29
esto no hay falta ponerlo 00:12:36
y esto pues se puede 00:12:38
simplificar poniendo 1 00:12:41
pero bueno, no vamos a simplificar ahora 00:12:42
también se puede sacar este signo 00:12:44
que ponerlo aquí, etc. Sigamos. La última derivada es más compleja. Aquí tendríamos 00:12:46
un cociente f partido por g. Pues vamos a hacerlo. El cociente sería f' por g menos 00:12:55
f por g' y en el denominador g cuadrado. 00:13:14
Ponemos la raíz de la fracción, podemos poner el cuadrado, sería el logaritmo de periano 00:13:21
de x más 4 raíz cuadrada al cuadrado, pero en este caso raíz y cuadrado se van. 00:13:30
Podemos poner directamente el logaritmo de periano de x más 4. 00:13:37
Ahora ponemos f' para ello sabremos que f es un producto de funciones f y g 00:13:41
Entonces f' sería f' por g más f por g' 00:13:57
f es esta función y a su vez sabremos que f es el coseno de elevado a x más 3 todo ello elevado a 4 00:14:07
Es de la forma f elevado a 4, cuya derivada es 4f al cubo por f'. Pues lo ponemos. Serían 4 coseno al cubo de elevado a x más 3. 00:14:26
f' sería la derivada de esto que está aquí dentro 00:14:51
como es el coseno de una función 00:14:55
su derivada es menos seno de f por f' 00:15:00
pues lo ponemos 00:15:04
ponemos un paréntesis porque hay un menos 00:15:05
menos seno de elevado a x más 3 00:15:07
por la derivada de lo de dentro que es elevado a x 00:15:10
y ya tenemos la parte más complicada de la derivada hecha 00:15:13
ahora ya seguimos 00:15:18
Bueno, hemos hecho este f', así que ahora hay que multiplicar por g, que es elevado a x6, para sumar f, coseno 4 de elevado a x más 3, y multiplicamos por la derivada de g. 00:15:23
g es elevado a f, cuya derivada es elevado a f por f'. Esto es elevado a x6 por 6x5. 00:15:43
Y como tenemos un producto después por esta z mayúscula, lo ponemos, ponemos un paréntesis. 00:15:56
Ahora ponemos el denominador, la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de x más 4. 00:16:10
Ahora restamos f, que es el coseno 4 elevado a x más 3 por elevado a x6. 00:16:19
Y ahora falta g', que es la derivada del denominador. 00:16:31
El denominador es de la forma raíz cuadrada de f, cuya derivada es 1 partido de 2 raíz de f por f'. 00:16:35
Podemos ponerlo 00:16:47
1 partido por 00:16:50
2 la raíz del logaritmo de periódico de x 00:16:52
Más 4 00:16:56
Falta multiplicada por f' 00:16:57
Que sería la derivada de esta función 00:16:59
Que es 1 partido por x 00:17:02
Y ya hemos terminado 00:17:04
Otra derivada interesante 00:17:06
Es la de la composición de 3 o más funciones 00:17:10
Veamos un par de ejemplos 00:17:13
Empecemos con el primero 00:17:15
Tenemos 00:17:21
la raíz cuadrada de una función f 00:17:22
cuya derivada es 00:17:25
1 partido por 2 raíz de f por f' 00:17:28
pues lo ponemos 00:17:33
1 partido por 2 raíz cuadrada de 00:17:35
elevado al coseno de x al cuadrado más x 00:17:43
ahora faltaría poner f' que es 00:17:47
lo de dentro 00:17:51
Pero lo de dentro es de la forma e elevado a f minúscula, cuya derivada es e elevado a f por f'. 00:17:53
Pues lo ponemos, e elevado a f, donde f es el exponente, y ahora faltaría poner la f'. 00:18:06
Ahora bien, si observamos la f minúscula, que es esta, esta derivada se descompone en dos. 00:18:20
Tenemos la suma de una función que es una composición y la suma de una función sencilla, con lo cual habría que poner un paréntesis y la primera función es de la forma coseno, podemos poner coseno de g, coseno de h o lo que queramos e incluso también otra vez coseno de f porque la f mayúscula ya no se utiliza, ya está utilizada antes. 00:18:35
Pues vamos a poner esa 00:18:58
Y la derivada es 00:19:00
Menos seno de f por f' 00:19:02
Pues lo ponemos 00:19:04
Menos seno de x cuadrado 00:19:06
Por la derivada de x al cuadrado 00:19:10
Que es 2x 00:19:12
Y ahora continuamos la función que teníamos en el exponente 00:19:13
Con lo que nos quedaba 00:19:16
La derivada de x 00:19:19
Que es 1 00:19:20
Y ya hemos terminado 00:19:21
La siguiente derivada será igual 00:19:26
En primer lugar observamos 00:19:29
Que es la raíz cuadrada de una función 00:19:33
cuya derivada es 1 partido 2 raíz de f por f', pues lo ponemos, 00:19:35
1 partido por 2 raíz cuadrada de coseno 5 de elevado a x al cubo más x al cuadrado, 00:19:50
y ahora habría que poner f'. 00:20:00
Entonces habría que derivarlo de dentro. 00:20:06
Ahora bien, observamos que f es la suma de dos funciones, una que es una composición, un coseno, elevado a 5, y una muy sencilla. 00:20:09
Bueno, pues habría que empezar por esta de aquí. Bueno, podemos empezar por x cuadrado y hacerlo antes, pero bueno, voy a seguir el orden. 00:20:20
y os hablamos que esto es coseno de elevado a x al cubo, todo ello elevado a 5, 00:20:27
lo cual quiere decir que es una función que es el coseno elevado a 5, 00:20:39
de la forma f elevado a 5, cuya derivada es 5f4 por f', pues lo ponemos, 00:20:46
por 5 00:20:56
coseno 4 00:20:58
elevado a x al cubo 00:21:01
y ahora voy a poner un paréntesis 00:21:04
porque luego va a haber que sumar esta derivada 00:21:06
y ahora que nos queda f' 00:21:08
pero f' cual es? 00:21:12
la derivada 00:21:15
de lo que está dentro 00:21:16
con lo que está dentro 00:21:18
de e elevado a x al cubo 00:21:18
pero e elevado a x al cubo es una función 00:21:20
podemos ponerlo de la forma 00:21:23
e elevado a f 00:21:26
Podemos ya cambiar otra vez a la mayúscula, cuya derivada es elevado a f por f', pues elevado a x al cubo por 3x al cuadrado. 00:21:27
Y ya toda esta derivada que está aquí ya está hecha. 00:21:40
Nos faltaría sumar la derivada de esto, que es más 2x, cierra paréntesis, y ya hemos terminado. 00:21:46
proponemos los siguientes ejemplos para practicar 00:21:55
dos del tipo que acabamos de dar 00:21:59
y uno que mezcla lo que acabamos de dar 00:22:02
con los ejemplos anteriores 00:22:05
aunque faltaría ampliar la barra de la fracción 00:22:07
bueno, ya dije antes que el más 5 que está después 00:25:51
se desvanece, quiere decir 00:25:54
si hubiese sido otra función habría habido que sumarla 00:25:56
aquí 00:26:00
pero bueno, como se va a sumar más 0 00:26:01
pues nos olvidamos de ella 00:26:05
vamos con la 00:26:08
tercera y última derivada 00:26:10
es la tangente 00:26:12
de una función 00:26:14
cuya derivada es de la forma 00:26:15
1 partido por coseno cuadrado de f 00:26:19
por f' 00:26:22
que en este caso voy a ponerla como f' 00:26:24
partido por coseno cuadrado de f 00:26:26
para 00:26:28
ahorrar un poco de espacio 00:26:30
con lo cual 00:26:32
ponemos abajo el coseno 00:26:33
cuadrado de 00:26:36
elevado a x cuadrado a coseno de x 00:26:37
logaritmo de x más 3 00:26:40
bueno, vamos a 00:26:42
mirar 00:26:46
la f prima 00:26:47
f es la función 00:26:49
que está dentro del coseno cuadrado 00:26:53
o esta de aquí 00:26:56
que es un producto 00:26:57
de una función f por una función g 00:26:59
más luego una constante cuya derivada 00:27:02
se va a desvanecer 00:27:04
va a hacerse cero 00:27:05
bueno, pues ponemos 00:27:06
la f' por g más f por c'. 00:27:09
Pues sería, ¿f' cuál es? 00:27:14
Pues elevado a otra función, vamos a poner otra vez, ya hemos utilizado la mayúscula 00:27:21
pues la podemos reutilizar, es de la forma elevado a f, pues su derivada es elevado a 00:27:28
f por f'. Lo ponemos elevado a x cuadrado coseno de x y ahora hay que poner la g' que he puesto 00:27:36
en paréntesis porque es un producto. f' es de la forma f partido por g. Aquí sí que utilizo 00:27:51
dos funciones 00:27:57
hemos visto ya la f 00:28:00
y es f' por g 00:28:02
más f por g' 00:28:05
que sería 00:28:07
por coseno de x 00:28:12
más x cuadrado 00:28:14
por menos seno de x entre paréntesis 00:28:16
y ahora cierro 00:28:18
bien, ya tenemos 00:28:19
g es fácil 00:28:24
que es el logaritmo europeano de x 00:28:25
ahora más f 00:28:29
que es e elevado a x cuadrado por 1 de x 00:28:31
y ahora multiplicamos por la derivada de g 00:28:34
que es el logaritmo 00:28:37
y la derivada del logaritmo es 1 partido por x 00:28:39
habría que hacer ahora la derivada de más 3 que es 0 00:28:42
pero eso no se pone 00:28:46
y ya hemos terminado 00:28:47
un último apunte 00:28:50
se han hecho ya derivadas bastante complejas 00:28:55
la última especialmente, si uno ha sido capaz de realizar todo esto, pues es capaz de derivar 00:28:58
cualquier cosa realmente, porque ya las siguientes derivadas solo son complicación de estas, 00:29:06
no tiene más. Si alguien quiere, de forma voluntaria, podría realizar el cuarto y último 00:29:12
tutorial, que ya es de ampliación y ya son un par de ejemplos ya bastante más complejos 00:29:19
de lo anterior, pero eso ya es forma voluntaria. Con esto ya se puede considerar que se sabe 00:29:25
derivar perfectamente. 00:29:35
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Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
7
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:24
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 3
Duración:
29′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
234.11 MBytes

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