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EvAU Matemáticas II 2017 Junio coincidentes B 2 Geometría - Contenido educativo

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Subido el 18 de marzo de 2018 por Pablo Jesus T.

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Este es el ejercicio de la EBAU de Madrid, de Matemáticas 2, del año 2017, del examen de junio, coincidentes, el modelo B, el ejercicio 2. 00:00:02
Nos dicen, dado el punto 5, 7, 10 y el plano x más 2 y más 3 de t igual a 7, se pide, calcula el punto p' simétrico de p respecto a pi. 00:00:17
Este es el plano y vamos a alejarnos para que se vea bien el punto P 00:00:30
Y entonces lo que tenemos que hacer es calcular el punto simétrico 00:00:38
Para ello, ya sabéis que lo que tenemos que hacer es calcular la perpendicular al plano que pasa por P 00:00:45
para ello lo que hacemos es simplemente utilizar el punto P, 5, 7, 10 00:00:52
y como vector director de la recta el normal al plano 00:01:00
x más 2y más 3z, 1, 2, 3 00:01:05
así que ya tenemos la recta R 00:01:08
lo siguiente que vamos a hacer es calcular el punto de corte de esa recta con ese plano 00:01:11
para poder calcular el simétrico 00:01:16
Lo hacemos con el CAS de GeoGebra. Todo lo que he hecho ha sido meter la recta en forma paramétrica. 5 más lambda lo he sustituido en x. 7 más 2 lambda lo he sustituido en y. Y 10 más 3 lambda lo he sustituido en z. 00:01:20
Simplificado la ecuación, la resolvemos y nos dice GeoGebra que lambda tiene que valer menos 3 00:01:38
Si yo sustituyo lambda por menos 3 en la ecuación de la recta, calculo el punto M que sería la proyección de P sobre pi 00:01:46
Suponiendo que eso fuera lo que me pidiera 00:01:58
Y para calcular el punto simétrico, pues no es demasiado complicado porque lo que vamos a hacer es decir, utilizando los vectores directores de los puntos, si yo para llegar a M tengo que hacer OP menos 3 veces lambda, para llegar a prima tendré que hacer menos 6 veces lambda. 00:02:01
esto es una fórmula que funciona siempre 00:02:27
si yo he utilizado para la expresión de la recta 00:02:31
el punto del que quiero hacer el simétrico 00:02:34
siempre me valdrá para calcular el simétrico el doble de lambda 00:02:37
así que voy a sustituir lambda por menos 6 00:02:42
y tengo el punto menos 1 menos 5 menos 8 00:02:46
si lo intentáis hacer con vectores pues os saldrá lo mismo 00:02:49
Aquí se ve perfectamente que P' es el simétrico a P y que el ejercicio está correcto. 00:02:53
Pues con esto habríamos acabado el apartado A. 00:03:02
Vamos con el apartado B. 00:03:09
Ahora me dice que hallemos la posición relativa del plano con la recta que pasa por el punto 1, 1, 1 00:03:11
y el punto 1, 1, 1 y tiene dirección menos 10, 2, 2 00:03:18
bueno, vamos a acercarnos un poquito 00:03:26
ahí tenemos el plano y la recta 00:03:28
hemos construido la recta a partir del punto 1, 1, 1, Q 00:03:32
y del vector V que nos dan 00:03:37
con lo cual esa es la recta 00:03:39
uno podría pensar, si mira GeoGebra 00:03:41
que está sobre el plano 00:03:44
Pero si somos cuidadosos y nos ponemos así, nos seguimos acercando, resulta que vemos que no es cierto, que la recta está paralela al plano, ¿de acuerdo? 00:03:47
Vamos a hacerlo con GeoGebra para hallarlo. 00:04:05
Entonces lo que hacemos es, en el plano x más 2y más 3z menos 7 igual a 0, 00:04:11
que era el plano que nos da en principio pi, 00:04:19
sustituyo la recta de sempramétricas, 00:04:23
x por 1 menos 10 lambda, y por 1 más 2 lambda, y z por 1 más 2 lambda, 00:04:28
Resuelvo, veo que se me va lambda 00:04:35
Y lo que me queda es mentira 00:04:38
Menos 1 igual a 0 00:04:41
Eso ya sabéis que si al sustituir lambda 00:04:43
Se me va lambda y lo que me queda es verdad 00:04:45
Es un sistema compatible indeterminado 00:04:48
Y sería que la recta está sobre el plano 00:04:51
Si se me va lambda y me queda una cosa que es mentira 00:04:52
Como aquí, es que es un sistema incompatible 00:04:56
Y la recta es paralela al plano 00:04:58
Y por último, si no se me va lambda 00:05:00
Hay un punto de corte 00:05:03
y la recta es secante al plano, esa es la teoría que hemos aplicado para el apartado B 00:05:04
así que la respuesta es que es paralela al plano 00:05:09
vamos ya con el punto C y nos piden que calculemos el área de este triángulo 00:05:15
de acuerdo, formado por el origen P y Q 00:05:23
entonces yo he decidido utilizar como fórmula 00:05:27
pues el módulo del producto vectorial 00:05:30
que es el área del paralelogramo definido por OP y Q 00:05:35
dividido por 2 porque me piden de un triángulo 00:05:38
bueno, pues eso hacemos la matriz para el producto vectorial 00:05:41
IJK, OP que es 5, 7, 10 y OQ 1, 1, 1 00:05:47
por eso he elegido también acero P por Q en vez de PO por PQ o alguna cosa de estas, 00:05:53
me sale este vector, menos 3, 5, menos 2, si calculo su módulo por Pitágoras me da raíz de 38, 00:06:02
dividido por 2, me dice que el área del triángulo es un medio de la raíz de 38. 00:06:10
Por cierto, que lo tenemos aquí, que GeoGebra cuando lo ha construido nos ha dicho 3,08, 00:06:16
que es exactamente lo que estábamos buscando 00:06:20
así que ya hemos terminado también el apartado C 00:06:27
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
278
Fecha:
18 de marzo de 2018 - 10:09
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
06′ 32″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
24.61 MBytes

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