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Teoría de grafos: uniones invisibles. - Contenido educativo

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Subido el 20 de diciembre de 2025 por Ies villadevaldemoro valdemoro

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Proyecto de investigación de Iván Rodríguez Alonso, alumno de 2º de Bachillerato de Excelencia del IES Villa de Valdemoro en el curso 2025-26.

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Durante la etapa escolar, una de las preguntas más frecuentes entre los estudiantes es 00:00:00
¿para qué sirve? 00:00:04
Esta pregunta aparece especialmente en matemáticas, una asignatura en la que a veces cuesta ver 00:00:05
su aplicación práctica. 00:00:09
Sin embargo, la teoría de grafos es una de esas ramas en las que las matemáticas se 00:00:10
conectan directamente con la realidad. 00:00:14
Se aplica tanto en la búsqueda de rutas óptimas como en el estudio de las relaciones humanas. 00:00:16
Buenas tardes, soy Iván Rodríguez y les presento mi proyecto Teoría de Grafos y Niños Invisibles. 00:00:19
Comenzaré explicando el origen de esta teoría para luego desarrollar sus aspectos fundamentales. 00:00:24
Posteriormente, describiré cuatro tipos de grafos que sean esenciales para la comprensión de la parte práctica, 00:00:28
que consistirá en la realización de un sociograma. 00:00:33
El origen de esta teoría se remonta al siglo XVIII, en la ciudad de Konigsberg, Rusia. 00:00:36
La ciudad estaba atravesada por el río Preler, que se dividía en varios brazos formando dos siglas, unidas por siete puentes. 00:00:40
Los habitantes se preguntaban si sería posible atravesar todos los puentes sin repetir ninguno. 00:00:46
Esta pregunta despertó el interés de Leonhard Euler, quien en 1736 demostró que era imposible, 00:00:50
pero lo importante fue su forma de razonar. 00:00:55
representó las zonas de tierra con vértices y los puentes con aristas, creando así un grafo. 00:00:58
Pero, ¿qué es un grafo? 00:01:04
Un grafo es un conjunto de vértices, también llamados nodos, los cuales representan elementos reales, 00:01:05
como pueden ser ciudades, un grupo de personas o en general el elemento que queramos estudiar, 00:01:10
y un conjunto de aristas que representan las conexiones entre esos elementos. 00:01:15
En cada vértice podemos contar cuántas aristas llegan o salen de él. 00:01:18
A ese número se le conoce como grado. 00:01:21
El grado indica la cantidad de conexiones que tiene un vértice. 00:01:23
Por ello, si un vértice no tiene ninguna conexión, se le denomina vértice de grado. 00:01:26
A partir de aquí surge el lema del apretón de manos, que afirma que la suma de los grados de todos los vértices de un grafo es igual al doble del número de aristas. 00:01:29
Se puede visualizar con el hilo de una fiesta. Cada apretón de manos une a dos personas, por lo que es lo mismo. 00:01:37
Cada arista une dos vértices. Por ello, si contamos todas las aristas de un grafo, contaríamos cada vértice dos veces. 00:01:44
Por eso, la suma de todos los grados de un vértice de un grafo es igual a un número par. 00:01:49
Otro concepto fundamental son los subgrafos, que son parte de un grafo original formado 00:01:55
por un subconjunto de vértices y de listas. Los subgrafos permiten estudiar secciones 00:01:59
aisladas del grafo y analizar patrones específicos de conexión. 00:02:03
Por último, una lista puente es una conexión cuya eliminación provoca que el grafo se 00:02:07
divida en dos o más partes, dejando de estar completamente conectado. De manera análoga, 00:02:11
un nodo cuya desaparición también rompe con la conexión del grafo actúa como un 00:02:15
vértice puente. 00:02:18
A partir de los elementos fundamentales se pueden distinguir distintos tipos de grafos. 00:02:21
Cada tipo posee propiedades que resultan útiles para entender la estructura del grafo y el tipo de conexiones entre sus vértices. 00:02:25
Uno de los tipos más conocidos son los grafos eulerianos, en los que se pueden recorrer todas las aristas del grafo una sola vez. 00:02:31
Su nombre proviene del propio Euler, ya que se pretende hacer lo mismo que en el problema de los siete puentes. 00:02:37
La principal curiosidad de los grafos eulerianos es que se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel. 00:02:42
Otro tipo de grafo y símbolo de alta conectividad son los grafos hamiltonianos, 00:02:47
en los que se pueden recorrer todos los vértices del grafo una sola vez, 00:02:51
a diferencia de los soberanos que solo se recorren las aristas una vez. 00:02:53
Si su recorrido termina en el vértice inicial, se obtiene un ciclo hamiltoniano. 00:02:57
Su nombre proviene del matemático William Hamilton, 00:03:01
quien en 1859 creó el famoso juego de Coche and Game, 00:03:04
que consistía en recorrer un dodecaedro pasando exactamente una vez por cada uno de sus 20 vértices. 00:03:07
Un ejemplo cotidiano del grafo hamiltoniano se encuentra en la red de transporte de autobuses, 00:03:12
en la que se busca diseñar un recorrido que pase por cada parada exactamente una vez, 00:03:16
antes de regresar al punto de inicio, creando así un ciclo. 00:03:20
Ahora nos centramos en los árboles, un tipo de grafo que permite ilustrar relaciones jerárquicas. 00:03:24
Los árboles son un tipo de grafo con eso y acíclico, es decir, no tienen ni ciclos ni circuitos. 00:03:29
A las aristas de un árbol se le llaman tamas y los vértices con una sola conexión, hojas. 00:03:33
Un grafo enraizado es una forma especial de llamar a un árbol donde se elige un vértice especial llamado raíz 00:03:38
a partir del cual se enlazan los vértices restantes del grafo. 00:03:43
De los árboles nos centramos en los dígrafos, o grafos dirigidos, que son los utilizados en mi parte práctica 00:03:46
Los grafos dirigidos, las aristas, tienen un sentido determinado, marcado por un extremo de llegada y un extremo de salida 00:03:52
Se debe distinguir entre el grado de entrada, aristas que llegan al vértice, y grado de salida, aristas que parten del vértice 00:03:58
Si la suma de ambos da como resultado 0, se obtiene un vértice de grado, ya que reciben y proporcionan conexiones 00:04:04
Por último, paso a explicar la parte práctica de mi proyecto 00:04:11
El objetivo es estudiar la estructura social de un grupo mediante la teoría de grafos, 00:04:14
identificando los elementos que he explicado anteriormente. 00:04:18
Para ello se utilizó un sociograma, una herramienta utilizada en psicología para detectar cómo influye cada persona en un grupo. 00:04:20
El primer paso fue realizar una encuesta a 28 miembros de un aula de bachillerato con un total de 12 preguntas, 00:04:26
clasificadas en cuatro categorías, académicas, personales, viajes y deportivas. 00:04:31
Una vez recogidos los datos, se organizaron en matrices simétricas. 00:04:35
En ellas, las columnas representan los votos de cada persona, 00:04:38
mientras que las filas reflejan los votos restringidos de cada miembro. 00:04:42
Posteriormente se llevó a cabo la realización de los 12 grafos, correspondientes cada uno a una pregunta. 00:04:48
Para profundizar la estructura del grupo, bueno, para estudiar la organización del grafo, 00:04:53
se dividió en dos grupos, un grafo positivo con las 7 preguntas favorables 00:04:58
y un grafo negativo con las 5 preguntas desfavorables. 00:05:02
Al realizar el análisis comparativo entre ambos grupos, 00:05:05
se pudieron observar diferencias significativas en la distribución de elecciones. 00:05:08
En el grafo positivo, las elecciones se encuentran más repartidas entre los nodos, destacando 00:05:11
los vértices 21, 10, 7 y 14, con grados moderados entre 4 y 7. 00:05:15
Esto indica que las elecciones no se concentran en unos pocos individuos, sino que existe 00:05:20
una variedad de nodos que son considerados positivamente dentro del aula. 00:05:23
Como resultado de ello, en el grafo positivo solo se encuentra un vértice en grado, el 00:05:28
número 8, coloreado de rojo. 00:05:31
Por el contrario, en el grafo negativo se observa una mayor concentración de elecciones 00:05:34
en torno a unos pocos nodos, que acumula un número considerablemente superior respecto 00:05:37
a los demás, siendo estos los nodos 20, 22, 3 y 4, alcanzando en el nodo 20 un grado máximo 00:05:40
de 17 lecciones. Como resultado de esta mayor compactación, se obtiene un elevado número 00:05:47
de vértices aislados, habiendo un total en el grafo negativo de 8, frente a uno que hay 00:05:52
en el grafo positivo. Para profundizar en la estructura del grupo, se estudió la conectividad 00:05:56
del grafo. Una de las claves para este análisis es la reciprocidad, que muestra que relaciones 00:06:02
son mutuas y permite identificar los subgrafos presentes, mostrándose los diferentes niveles 00:06:06
de conexión. Para este paso se priorizaban las preguntas 3 y 4, ya que están relacionadas 00:06:10
con aspectos personales entre los compañeros. Al realizar la conectividad del grafo se pueden 00:06:16
observar 6 subgrafos, diferenciados por colores, cada uno con diferentes niveles de conexión 00:06:20
y relación interna. Por ejemplo, el subgrafo rojo, formado por 4 vértices, presenta un 00:06:24
vértice fuente, el 1, que conecta con el subgrafo azul. El subgrafo morado, formado 00:06:28
por los vértices 4, 25, 22 y 26 presenta un ciclo, lo que indica un alto nivel de conectividad 00:06:33
interna, ya que todos los vértices están conectados de manera que se pueden recorrer 00:06:38
todas las aristas y regresar al punto de inicio. Otros subgrafos, como el verde, el naranja 00:06:42
o el rosa, presentan una menor conectividad interna. En el caso del rosa, el 18 actúa 00:06:47
como vértice puente conectado con el subgrafo azul y el 6 conectado con el morado. Por otro 00:06:52
lado, en el caso del naranja, el 21 también actúa como puente conectado con el azul y 00:06:57
el 12 conectando con el verde. En este grafo 3, el subgrafo azul no presenta ninguna cualidad 00:07:00
destacable. Sin embargo, en el grafo 4, cuya pregunta está relacionada con un vínculo 00:07:06
de amistad, el subgrafo azul es el que mayor número de vértices posee, que además es 00:07:10
el que mayor conectividad genera dentro del aula, ya que actúa como intermediario entre 00:07:14
los subgrafos. Posee dos vértices fuente, el 21, el 27, que no está con el subgrafo 00:07:18
naranja, y el 7, que no está con el subgrafo rosa. Por último, se pueden observar estructuras 00:07:23
tipo árbol, concretamente árboles enraizados, en los que los nodos 24, 11 y 16 actúan como 00:07:28
raíces, realizando elecciones que no son correspondidas. Esto representa un tipo de 00:07:35
conexión unidireccional, es decir, que no es mutua. 00:07:40
En conclusión, la teoría de grafos me ha demostrado que las matemáticas no solo sirven 00:07:44
para resolver operaciones, sino también para comprender mejor la realidad que nos 00:07:48
rodea. Gracias a los grafos podemos representar de forma visual y precisa las relaciones 00:07:51
humanas, cómo se forman los grupos y cómo cada persona influye en los demás. Aplicar 00:07:56
esta teoría al estudio social del aula me ha permitido identificar que algunos actúan 00:08:00
como puentes entre sus grafos, donde hay mayor cohesión, en qué zona del grafo hay un mayor 00:08:03
aislamiento. Por ello, los grafos no son únicamente un concepto matemático, sino una herramienta 00:08:07
muy útil para comprender cómo nos conectamos y a partir de ahí mejorar nuestro entorno 00:08:12
y nuestra convivencia diaria. Muchas gracias por su atención y estoy a su disposición 00:08:15
para cualquier tipo de pregunta. 00:08:18
Idioma/s:
es
Materias:
Tecnologías de la Información
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
IES VILLA DE VALDEMORO
Subido por:
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Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
20 de diciembre de 2025 - 21:11
Visibilidad:
Público
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Centro:
IES VILLA DE VALDEMORO
Duración:
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