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Truco para el cálculo de áreas entre dos funciones - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Truco para el cálculo de áreas entre dos funciones

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Hay un truco para poder resolver problemas de este modo, de forma bastante rápida. 00:00:00
Nos dan dos funciones, f y g, y nos piden calcular el área de región acotada entre las dos curvas dadas por igual a f y g de x y esas dos rectas verticales. 00:00:08
Bueno, si representásemos las curvas, obtendríamos lo siguiente. 00:00:23
esta es la función y igual a f de x 00:00:27
esta es la función y igual a g de x 00:00:33
la recta x igual a 1 00:00:35
y la recta x igual a 7 00:00:36
y va a haber dos puntos de intercedión 00:00:38
y vamos a tener tres áreas 00:00:41
que calcular 00:00:43
bueno 00:00:45
hay un método para hacer todo de forma más rápida 00:00:48
y el método sería el siguiente 00:00:52
la idea es convertir el problema de dos funciones 00:00:55
como acabamos de ver 00:00:59
en el área de una sola función y el eje X, como acabamos de poner abajo. 00:01:01
De modo que aquí tendríamos la función F, aquí la función G y aquí la función H 00:01:09
y definimos H de forma que este área sea igual a este área, este área sea igual a este área 00:01:15
y este área sea igual a este área. 00:01:22
Y entonces haríamos exactamente lo mismo, solo que de forma un poco más rápida. 00:01:25
¿Qué función es la función h que vamos a tener? Pues la función h va a ser h de x igual a f de x menos g de x. 00:01:31
Y cuando tengamos un problema con este enunciado de la acotada entre las dos curvas y rectas de la forma x igual a algo en uno de los dos lados, 00:01:39
entonces pues siempre va a ser el mismo r que el que está aquí abajo. 00:01:54
La razón, básicamente, es que cuando hagamos la definición integral, que ya conocemos como este tipo de cosas, 00:01:58
el área aquí también se puede hacer con estos rectángulos, haciéndolos por acá, que van a ser los mismos que estos. 00:02:06
Lo mismo va a pasar con aquí, que van a ser los mismos que estos, y con los rectángulos que están aquí, que van a ser los mismos. 00:02:13
Esa es la idea que hay detrás. 00:02:21
Bueno, podríamos hacerlo en este caso con los cálculos exactos y ya está 00:02:22
Ya sabemos que hay unos puntos, en este caso vamos a ver ya que son 3 y 5 00:02:31
Que van a ser aquí los mismos, 3 y 5 00:02:36
Vamos a resolver el problema y veamos que es lo que sale 00:02:41
Hemos disminuido las gráficas para poder escribir a la derecha 00:02:46
pero recordamos que este es el punto 3 00:02:52
el punto 5, bueno aquí lo mismo 00:02:55
3, 5 y las rectas 00:03:00
x igual a 1, x igual a 7 00:03:02
empezamos pues 00:03:04
definimos 00:03:09
la función 00:03:10
h de x igual a 00:03:13
f de x menos g de x 00:03:16
y esto es 00:03:18
x cuadrado menos 3x 00:03:21
más 4 00:03:23
menos 5x menos 11 00:03:24
y esto es igual a x al cuadrado menos 3x más 4 00:03:28
menos 5x más 11 00:03:32
que es igual a x al cuadrado menos 8x más 15 00:03:34
bueno, lo siguiente no hace falta escribirlo, lo pongo en otro color 00:03:40
porque es para explicar, pero no sería necesario 00:03:43
el área pedida es la misma que la que tiene 00:03:47
la curva 00:03:57
igual a h de x 00:04:01
el eje x y las rectas 00:04:04
igual a 1, perdón, x igual a 1 00:04:08
y x igual a 7 00:04:13
entonces igual que antes, pues 00:04:16
lo que hacemos es igual que los problemas de ese tipo 00:04:19
Pues hacemos x cuadrado menos 8x más 15 es igual a 0 00:04:23
Lo cual ocurre si solo si x es igual a 8 más menos raíz cuadrada de 64 menos 60 entre 2 00:04:28
Igual a 8 más menos raíz cuadrada de 4 entre 2 00:04:39
8 más menos 2 partido por 2 00:04:42
Que tiene dos soluciones que son 3 y 5 00:04:44
Los puntos que decíamos 00:04:47
Bien, pues ahora ya el área es 00:04:49
Bueno, observamos en primer lugar que 3 y 5 están dentro de las rectas 00:04:54
x igual a 1 y x igual a 7 00:04:59
De modo que se puede hacer, porque si tuvieramos, por ejemplo, yo que sé, como soluciones 00:05:01
3 y 10, pues ya no estaríamos calculando entre estas dos rectas 00:05:06
Si el 10 no lo tendríamos en cuenta 00:05:16
Pero bueno, no es el caso 00:05:20
Entonces el área sería la integral entre 1 y 3 de la función h de x, que es x cuadrado menos 8x más 15 diferencial de x. 00:05:23
En este caso es positiva porque se sabe, pero no le falta calcular los signos, porque si ponemos un valor absoluto fuera, ya el signo va a estar, quiero decir. 00:05:52
Dentro del intervalo 1 y 3 la función no cambia de signo 00:06:01
Por lo tanto es lo mismo que poner el valor absoluto dentro 00:06:05
Pero como no cambia de signo en toda la integral pues se puede salir fuera 00:06:09
Pero solo por esa causa 00:06:12
Por eso dividimos en tres partes el intervalo 1, 7 00:06:13
Más la integral entre 3 y 5 00:06:17
De x al cuadrado menos 8x más 15 00:06:21
Diferencial de x en valor absoluto 00:06:25
más la integral entre 5 y 7 de x cuadrado, perdón, menos 8x más 15 diferencial de x. 00:06:29
Y esto es igual, pues ahora ya calculamos. 00:06:45
Valor absoluto, cerramos corchetes, x cubo partido por 3, menos, bueno, tenemos 8x cuadrado partido por 2, que nos da 4x cuadrado. 00:06:47
menos 4x cuadrado más 15x entre 1 y 3 más, valor absoluto, lo mismo, x cubo partido por 3 menos 4x cuadrado más 15x entre 3 y 5 más x cubo partido por 3 menos 4x cuadrado más 15x entre 5 y 7. 00:07:02
Y esto ya sería, pues, calcularlo. 00:07:35
Voy a escribirlo todo porque lo estoy explicando, pero hombre. 00:07:39
Tendríamos 3 al cubo partido por 3 menos 4 por 3 al cuadrado menos 15 por 3 menos 1 al cuadrado partido por 3 menos 4 por 1 al cuadrado, perdón, aquí un más, más 15 por 1. 00:07:43
Bueno, todo esto me lo absoluto, más 5 al cubo partido por 3, menos 4 por 5 al cubo, más 15 por 5, menos 3 al cubo partido por 3, menos 4 por 3 al cuadrado, más 15 por 3, 00:08:06
más 7 al cubo partido por 3, menos 4 por 7 al cubo, más 15 por 7, menos 5 al cubo partido por 3, menos 4 por 5 al cuadrado, más 15 por 5, en todo un valor absoluto. 00:08:33
Cogemos la calculadora y esto nos da ser igual a valor absoluto 54 menos 46 partido por 3 más 350 partido por 3 menos 54 más 638 partido por 3 menos 350 partido por 3. 00:09:05
Os haremos que se repiten algunos de los cálculos, ya que se repiten también algunos de los que están aquí. 00:09:39
Bueno, sigamos. 00:10:03
Y esto nos da 116 partido por 3 en valor absoluto, más menos 118 partido por 3 en valor absoluto, más 96 en valor absoluto. 00:10:06
Entonces lo que hay que quitar será este signo, porque esta es la parte negativa. 00:10:25
Con el truco de los valores absolutos no hay que ver los signos de cada cosa, se puede hacer directamente. 00:10:29
Y esto nos daría 116 partido por 3, menos 118 partido por 3, más 96, perdón, más 198 partido por 3, más 96, y la suma de esas fracciones es 174. 00:10:34
Por lo tanto, el área es 174. Y ya está. 00:10:51
bueno, pues ese es el truco 00:11:02
es más sencillo hacerlo todo mismo 00:11:04
con una sola función, la función h 00:11:07
que ir haciendo todo el rato la f menos la g 00:11:08
etc, etc, etc 00:11:17
esto es mucho más rápido 00:11:19
lo cual viene muy bien para el lavabo 00:11:20
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
6
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 23:10
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Truco para el cálculo de áreas entre dos funciones
Duración:
11′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
106.22 MBytes

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