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AL2. 2 Rango de matrices - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos el rango
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de matrices. En esta videoclase vamos a estudiar el rango de matrices desde el punto de vista de
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los determinantes, pues lo que nos encontramos dentro de esa unidad. Antes de entrar en materia
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y analizar esto que tenemos aquí, vamos a volver atrás y vamos a recordar algo importante de la
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videoclase anterior. Vamos a revisar esta de las propiedades de los determinantes. Fijaos, si una
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matriz contiene una fila o columna de ceros, o bien igual a otra, o bien proporcional a otra, o bien
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igual a una combinación lineal de otras, su determinante es cero, una matriz cuadrada, por
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supuesto, porque si no, no existiría el determinante. ¿Qué es lo que quiere decir esto? ¿Qué es lo que
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quiere decir que el determinante sea cero, que nos encontramos con una fila o columna que es una
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combinación lineal de las otras, puesto que o bien es cero, o bien es igual a otra, o bien es
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proporcional a otra, o bien es combinación lineal de otras. En ese caso, desde el punto de vista del
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rango, esa fila o columna se puede eliminar y el rango no va a tomar el valor máximo posible. ¿A
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¿A qué me refiero con esto del valor máximo posible?
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Bueno, fijaos, estamos hablando, puesto que estamos calculando el determinante de una matriz,
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de matrices que son cuadradas.
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Vamos a utilizar como ayuda visual estas dos que tenemos aquí.
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Vamos a volver a recordar qué nos decía el rango.
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El rango es un número que me indica el máximo número de filas o columnas
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que son linealmente independientes.
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El rango por filas o por columnas coincidía de tal forma que hablamos del rango directamente.
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El rango podía ser cero única y exclusivamente cuando todos los elementos de la matriz fuera cero.
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En estos ejemplos que tenemos aquí, en ninguno de los dos casos todos los elementos son cero, así que el rango será al menos uno.
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¿Cuál es el máximo valor del rango? Bueno, pues será el menor entre el número de filas o columnas.
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Aquí estamos con matrices cuadradas, así que el rango será como máximo el orden de la matriz.
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Esta matriz es de orden dos, así que el rango será uno o dos.
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Esta matriz es de orden 3, así que el rango será 1, 2 o 3.
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Estamos relacionando el rango con el determinante de la matriz.
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Y lo que estamos haciendo es utilizar esta propiedad.
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Supongamos que calculamos el determinante de una de estas matrices y sale 0.
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¿Qué es lo que quiere decir?
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Bueno, pues o bien tenemos una fila o columna toda de ceros, o bien tenemos una fila o columna igual a la otra,
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o bien tenemos una fila o columna proporcional a otra, o bien tenemos una fila o columna que va a ser combinación lineal de otras.
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En cualquiera de estos casos, esa fila o columna puede ser eliminada a efectos del rango, puesto que es combinación lineal de las otras.
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Eso quiere decir que si eliminamos una fila o columna de cualquiera de estas matrices, el rango ya no puede ser el máximo.
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Si eliminamos una fila de esta, el rango ya no puede ser 2, puede ser como máximo 1.
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Y si en esta matriz eliminamos una fila o columna, el rango ya no puede ser 3, podrá ser 2, puesto que, recordemos, el rango puede ser como mucho igual al mínimo entre el número de filas y columnas.
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Si eliminamos una fila o una columna, el rango ya no puede ser igual al orden de la matriz.
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Así pues, si tenemos matrices cuadradas, calculando el determinante podemos determinar si el rango es máximo o no.
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No, eso es, adelantándome mucho, lo que venía como corolario de lo que vamos a discutir en lo que sigue de la videoclase.
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Una matriz cuadrada tiene rango máximo sí y sólo sí su determinante es no nulo.
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Y la justificación es precisamente esa propiedad del determinante que hemos discutido hace un momento.
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Vamos a ver qué es lo que podemos hacer cuando la matriz no es cuadrada, como podría ser este caso.
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¿Qué podemos hacer? No podemos calcular el rango de B en este ejemplo directamente, puesto que B no es cuadrada.
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O bien, vamos a ver qué es lo que podemos hacer si calculamos el determinante de una matriz que es cuadrada y sale cero.
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El rango no es máximo, pero entonces, ¿cuál va a ser el rango?
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Para poder hacer la discusión vamos a dar en primer lugar algunas definiciones.
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Vamos a definir una submatriz de una matriz.
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Básicamente una submatriz es cualquier matriz que resulta de seleccionar de esa matriz un cierto número de filas y columnas.
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Por ejemplo, vamos a tomar esta matriz B y vamos a considerar la submatriz que se obtiene tomando las dos primeras filas y las tres primeras columnas de B.
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Serían los elementos que estarían aquí, en la fila 1, 0, menos 1 y en la siguiente fila 2, menos 1, 2.
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Lo que tendríamos es una matriz contenida dentro de M, una submatriz, en este caso 2 por 3.
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Las submatrices pueden tener cualquier tamaño, rectangulares de cualquier tamaño.
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Y por cierto, no necesariamente el primer elemento tiene que ser el 1, 1 y no necesariamente podemos o debemos tomar filas y columnas consecutivas.
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Podríamos haber tomado, por ejemplo, la fila 2 y la fila 4 y en cuanto a columnas, la columna 2 y las columnas 4 y 5.
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En ese caso tendríamos una submatriz también 2 por 3 con los elementos menos 1, 1, 3 y en la siguiente fila menos 2, 4, 9.
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Un tipo especial de submatriz que a nosotros nos va a interesar especialmente,
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puesto que estamos hablando de determinantes y los determinantes solamente se definen en matrices cuadradas,
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son las submatrices cuadradas contenidas dentro de una matriz.
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A eso se le llama menor de orden k.
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Por ejemplo, si nosotros tomáramos de esta matriz B la segunda fila y cuarta fila
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y también la segunda columna y cuarta columna, lo que tendríamos es un menor de orden 2 de esta matriz B.
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Puesto que tendríamos los elementos por filas menos 1, 1, y en la siguiente fila menos 2, 4.
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Tendríamos cuatro elementos en dos filas y en dos columnas, contenido dentro de B,
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lo que tenemos es un 1 de los posibles menores de orden 2 de esta matriz B.
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Insisto en que no necesariamente tienen que empezar en el primer elemento, en la primera fila, en la primera columna,
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y no necesariamente las filas y las columnas tienen que ser adyacentes.
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Bien, pues el rango de una matriz va a coincidir con el orden del mayor de los menores que puede formarse con determinante no nulo.
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Para poder determinar utilizando menores, utilizando el determinante de los menores, el rango de una matriz,
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podemos utilizar dos técnicas.
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Una en orden creciente y otra en orden decreciente.
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Por ejemplo, supongamos que tenemos esta matriz A cuadrada y nos piden que determinemos el rango de esta matriz.
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Bueno, podemos empezar en orden creciente comenzando por ¿son todos los elementos cero?
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Si lo fueran, el rango es cero, hemos terminado.
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Si no lo son, vamos a tomar un elemento de la matriz que sea distinto de cero.
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Ese elemento lo que nos va a dar es un menor de orden 1, una fila y una columna.
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Por ejemplo, aquí, por comodidad, vamos a tomar el elemento a sub 1, 1.
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Este elemento 1 es distinto de 0.
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Bien, pues al menos el rango va a ser 1.
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Porque este menor de orden 1, con un único elemento que es 1,
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tiene determinante distinto de 0, en este caso coincide con 1.
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A partir de aquí nos preguntamos, ¿el rango va a ser al menos 1?
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Puede llegar hasta 3, puesto que esta matriz A es de orden 3.
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¿Es de orden 2? ¿Vamos a ir creciendo de 1 en 1?
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Bueno, pues tomando este elemento, ¿podemos ampliar a un menor de orden 2 con este elemento,
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incluido que tenga determinante distinto de 0?
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Lo más habitual es, tenemos la primera fila, la primera columna,
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vamos a añadir una fila más, por ejemplo, la segunda, una columna más, por ejemplo, la segunda.
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Vamos a tomar este menor de orden 2 comenzando, o tomando como semilla, el menor de orden 1 que teníamos anteriormente
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y que ya nos daba un rango al menos 1 porque su determinante es distinto de 0.
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Vamos a calcular su determinante. En este caso, 1 por 5 es 5, menos 2 por 4 que es 8.
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El valor concreto no nos importa, vemos que va a ser distinto de 0, de hecho es menos 3.
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Bien, pues como hemos encontrado dentro de la matriz A un menor de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0, podemos garantizar que el rango de esta matriz va a ser al menos 2, porque al menos estas dos filas o al menos estas dos columnas van a ser linealmente independientes.
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seguimos ampliando, podrá ser el rango igual a 3
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bueno, pues lo que vamos a hacer es tomando como semilla
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este menor de orden 2, el que tiene las dos primeras filas y dos primeras columnas
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vamos a ver si le podemos añadir una fila más, en este caso solo podemos añadir la tercera
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y una columna más, en este caso solamente podemos añadir la tercera
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y nos preguntamos si el determinante es 0 o distinto de 0
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si calculamos el determinante y es distinto de 0
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bien, tenemos garantizado que el rango de la matriz es al menos 3, puesto que el máximo rango de A es 3, porque es de orden 3,
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tenemos que el rango de esta matriz es 3, igual al máximo.
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¿Que el determinante es igual a 0? Bueno, pues entonces el rango de A no puede ser 3, puesto que A es la única forma, el único menor,
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contenido dentro de ella de orden 3, la misma matriz.
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No puede ser 3, al menos es 2, en ese caso habríamos garantizado que el rango es 2.
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Esto lo vamos a discutir en clase y en alguna videoclase posterior.
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La técnica inversa consiste en comenzar por el máximo valor del rango e ir yendo hacia abajo.
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Empezamos por la matriz A.
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Vamos a calcular directamente como primer paso el determinante de A.
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Porque si el determinante de A es distinto de 0, tenemos garantizado que el rango es 3, el valor máximo.
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Y a partir de aquí, se acabó.
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Si el determinante de A no fuera, perdón, fuera igual a 0, el rango de A no podría ser 3 y entonces teníamos que ir hacia abajo y preguntarnos ¿será 2 una unidad inferior?
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En ese caso lo que tenemos que hacer es tomar una submatriz de orden 2, eliminando una fila y una columna de A, calcular el determinante y ver si ese determinante es distinto de 0 o no.
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Si es distinto de 0, garantizamos que el rango de A es 2, puesto que al menos tenemos un menor de orden 2 con determinante distinto de 0.
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Si es 0, tendríamos que probar otro.
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Tan solo cuando todos los menores de un cierto orden tienen determinante igual a 0,
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tenemos garantizado que el rango no puede ser igual a ese orden.
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Tan solo cuando todos los determinantes de orden 2, de todos los menores de orden 2, perdón, son 0,
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podemos deducir que el rango no va a ser 2 y bajamos una unidad a ver si el rango fuera 1.
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Con 1 que haya con determinante distinto de 0 ya tenemos garantizado que el rango es igual a ese orden.
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Esta técnica es útil, especialmente útil, cuando tenemos matrices cuadradas.
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Cuando tenemos matrices rectangulares como esta, lo más habitual es empezar con el criterio creciente.
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En este caso, con esta matriz B, 4 por 5, el rango como mucho va a ser 4.
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Podríamos empezar con el máximo valor posible del rango, que fuera 4, y considerar qué pasa,
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cómo podría calcular el determinante de esta submatriz de orden 4, tomando las cuatro primeras filas y cuatro primeras columnas.
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Pero lo más habitual, ya os digo, en este caso va a ser utilizar el término creciente.
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Como decía, estos ejemplos los resolveremos en clase y también los discutiremos en videoclases posteriores.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 24
- Fecha:
- 22 de agosto de 2024 - 16:12
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 13′ 13″
- Relación de aspecto:
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- Resolución:
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- Tamaño:
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