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Teoremas 1 - Contenido educativo

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Subido el 15 de octubre de 2023 por Maria Isabel P.

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Vamos a ver qué tal se oye así. 00:00:00

Vamos a ver. 00:00:04

Aquí hay preparados cinco ejemplos. 00:00:05

Este primero, pues aquí pone, te pide usar el teorema de Bolzano. 00:00:09

La variedad de anunciados es muy amplia. 00:00:13

Hay veces que te dicen qué teorema tienes que usar, veces que no. 00:00:15

Pero si no te lo dicen, siempre tienes que indicar qué teorema usas. 00:00:20

Y es muy frecuente que pida enunciarlo. 00:00:26

Bueno, denunciarlo significa establecer las hipótesis y las conclusiones, ¿vale? En general y en particular. 00:00:29

Bien, entonces aquí sí que nos dice qué teorema hay que usar, que es el de Bolzano, y es para demostrar que esta ecuación tiene al menos una solución, 00:00:40

llamémosla A, ¿vale? En este intervalo entre 1 y 2. 00:00:49

Entonces, esta es la situación en la que me dan la pista de qué intervalo de valores de la x yo tengo que usar 00:00:54

¿Vale? Entonces, para llevarlo al terreno y poder aplicar Bolzano necesitamos una función 00:01:00

Entonces, como Bolzano lo que hace es asegurarnos 00:01:06

Donde la función va a valer 0, es decir, va a atravesar su gráfica, el eje x 00:01:09

Pues lo que se hace es que se define una función que va a ser f de x 00:01:16

precisamente esta parte de la ecuación. 00:01:21

Si aquí tuviéramos algún otro número, con pasarlo a la izquierda para que salga un cero, 00:01:26

Bolzano se aplica buscando que la función valga cero. 00:01:31

Bien, entonces, cojo esa función, que es este polinomio, 00:01:34

y como polinomio que es, es una función continua en todo R. 00:01:39

En particular, al ser continuo en todos los números reales porque es un polinomio, pues también es continuo en cualquier intervalo cerrado que se nos pida. 00:01:47

En este caso, como nos dice en el intervalo, a veces hay que buscarlo, luego hay otro ejemplo donde hay que buscarlo, es continuo en el intervalo que nos dice. 00:01:59

Con lo cual ya tenemos que se cumple la primera hipótesis de Bolzano, la función continua en el intervalo cerrado. 00:02:08

Ahora, para poder aplicar Bolzano, falta comprobar qué signo toma la función en los extremos de ese intervalo de valores de x que nos dan, que es el 1, 2. 00:02:14

Entonces, ¿cuánto vale esa función en el 1? Sería 1 al cubo, que es 1, más 1 menos 5, sale menos 3, que es negativo. 00:02:27

Bien, y para 2 sería 2 al cubo, que es 8, más 2, menos 5, 8 y 2, 10 menos 5, 5, positivo. 00:02:45

Bien, pues vemos que se cumple la otra hipótesis de González, que es que si la función toma valores de distinto signo en ese intervalo, 00:02:55

pues entonces sí que existe ese valor donde va a valer 0. 00:03:06

Entonces, ¿qué ocurre? Tenemos, para resumir, una función que es continua en el intervalo cerrado 1, 2. 00:03:10

Y tenemos que f de 1 es negativo y f de 2 es positivo. 00:03:20

Entonces, por el teorema de Bolzano, en el que nos apoyamos para sacar esta conclusión, sabemos que existe un valor a, 00:03:27

aquí es que lo llama a, por eso he puesto a, que está dentro de ese intervalo, en intervalo abierto, perteneciente al intervalo 1, 2, tal que la función en a vale 0. 00:03:38

Pero decir esto es completamente equivalente a que la ecuación x cubo más x menos 5 igual a 0 00:03:55

tiene solución x igual a, porque para eso habíamos definido nuestra función precisamente con esta parte de la ecuación. 00:04:05

Bien, pues este es un primer ejemplo. 00:04:19