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Análisis Madrid Ext 2018 - Contenido educativo
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Bien, en este problema propuesto en la EVAO de Madrid en julio del 2018 nos piden estudiar la continuidad de la siguiente función y bueno pues se trata de una función definida a trozos que tiene el salto en el 2.
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antes del 2 no hay ningún problema en la continuidad
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porque se trata de una exponencial que siempre es continua
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y después del 2 al ser una racional podría haber problemas cuando el denominador se anule
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pero como el denominador es 2 pues tampoco hay problema
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porque para números mayores que 2 esto nunca vale 0
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para ver la continuidad vamos a ver si tiene límite en el 2
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entonces vamos a estudiar el límite de la siguiente forma
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límite de f de x cuando x tiende a 2 por la izquierda
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y límite de f de x cuando x tiende a 2 por la derecha
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si estos dos coinciden podremos decir que existe límite en el 2
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en el 2 por la izquierda esto aproximadamente será 8
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por e elevado a 4 menos 4 que es 0, esto nos va a dar 8
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y por la derecha este límite es x al cubo
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menos 4x, bueno podemos dar ya el valor
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y escribir 2 al cubo menos 4 por 2
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partido por 2 menos 2
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que lógicamente esto es 0 entre 0 que es una indeterminación
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podemos arreglarlo de muchas formas
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ya sabéis que la herramienta más potente para hacer esto
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es la regla del lopital
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y esa regla lo que dice es que el límite de f de x cuando x tiende a 2 por la derecha
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bueno, por la derecha o por la izquierda, estamos estudiando por la derecha
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es igual que el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de la derivada de lo de arriba y la derivada de lo de abajo
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en este caso 3x cuadrado menos 4 partido por 1
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si ahora vuelvo a dar valores tenemos que 2 al cuadrado es 4 por 3, 12 menos 4, 8 partido por 1
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pues también es 8, es decir, ambos límites coinciden. Por esto y por esto podemos deducir que existe el límite de f de x cuando x tiende a 2.
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Recordamos la definición de continuidad. Es continua si existe límite y además coincide con la función.
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Como tenemos aquí la igualdad, sabremos que la f de 2 es lo mismo que arriba, es decir, 8 por e elevado a 4 menos 4,
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que es 8. Como f de 2 coincide con el límite de f de x cuando x tiende a 2
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podemos decir que f de x es continua en x igual a 2 y por tanto es continua en todo r.
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- Subido por:
- Pedro L.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 74
- Fecha:
- 8 de febrero de 2021 - 22:10
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ATENEA
- Duración:
- 03′ 10″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 17.35 MBytes
