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Teorema del valor medio del cálculo integral. - Contenido educativo

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Subido el 12 de diciembre de 2021 por Víctor V.

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El teorema del valor medio del cálculo integral dice que si f es una función continua en el intervalo cerrado a b, existe un número c que verifica que la integral entre a y b de f de x diferencial de x es igual a f de c por b menos a. 00:00:01
Fíjense que esto, la integral entre a y b de f de x diferencial de x, no es otra cosa nada más que el área que había bajo esta curva entre los puntos a y b. 00:00:19
Entonces lo que me dice aquí es que este área es igual a la longitud del intervalo por el valor de la función en un punto. 00:00:28
La interpretación geométrica es esta. 00:00:40
La integral entre a y b de f de x es el área de la zona verde. 00:00:43
Y lo que me dice es que el área de esta zona verde es igual al área de este rectángulo. 00:00:50
que está formado, la base es P-A y la altura es F de C. 00:00:58
Lo que me garantiza el teorema es que existe un punto C, 00:01:07
de manera que yo puedo construir este rectángulo que coincide su área con el de la zona verde. 00:01:10
La demostración. 00:01:17
Como F es una función continua en A-B, yo puedo asegurar que esa función tendrá un mínimo y tendrá un máximo en A-B. 00:01:19
he puesto esto así para simplificar un poco la demostración 00:01:27
el mínimo lo voy a llamar M 00:01:31
y el máximo lo voy a llamar M 00:01:33
M minúscula y M mayúscula 00:01:36
yo puedo asegurar que el área de este rectángulo 00:01:37
es más pequeña que el área de la zona que me piden 00:01:40
y a su vez esto es más pequeño que el área de este otro rectángulo 00:01:50
es decir, la función, el área que me piden a mí 00:01:55
está comprendida entre el rectángulo pequeño y el rectángulo grande. 00:01:58
El área de este rectángulo pequeño será B-A por M 00:02:03
y el área de este otro será B-A por M mayúscula. 00:02:08
Entonces yo puedo asegurar que M por B-A, que es lo rojo, 00:02:14
es más pequeño que lo verde y a su vez esto es más pequeño que lo azul. 00:02:20
Entonces tengo esta desigualdad. 00:02:27
Si divido en los tres miembros por b menos a, me queda esta otra. 00:02:29
Entonces yo aquí lo que tengo, esto, al fin y al cabo, no es más que un número. 00:02:33
Es un número que está comprendido entre este y este. 00:02:37
Es decir, todo esto es un número que la función va a alcanzar por el teorema de los valores intermedios. 00:02:42
Porque si yo tenía un valor que estaba entre otros dos, y la función es continua y tiene que pasar de aquí a aquí, 00:02:51
tiene que pasar por este del medio, es decir, existe un punto C 00:02:59
en el que f de C será igual a todo esto 00:03:02
esto simplemente era el valor intermedio 00:03:06
de la función, con lo cual existe un punto C 00:03:10
de manera que f de C es igual a todo esto 00:03:15
pasando b-a aquí me queda el enunciado 00:03:18
del teorema del valor medio del cálculo integral 00:03:23
Autor/es:
Víctor Valentín Bayón
Subido por:
Víctor V.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
99
Fecha:
12 de diciembre de 2021 - 0:34
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARGARITA SALAS
Duración:
03′ 28″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
66.26 MBytes

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