Vídeo propiedades de los determinantes - Contenido educativo
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Buenas tardes, me llamo David y soy profesor de matemáticas en un instituto público del sur de la Comunidad de Madrid.
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Esta tarde vamos a resolver este ejercicio.
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Estamos aquí utilizando para ello las propiedades de los determinantes.
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Como vemos, consta de dos apartados.
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Y vamos a empezar resolviendo en primer lugar el apartado A.
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Si nos fijamos, el dato que nos dan es que el determinante de la matriz cuyos elementos son mnpq es menos 5 y nos piden que calculemos primeramente el determinante de m más 3n, de p más 3q y el afilado de dicho determinante de orden 2 tenemos niq.
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Este determinante lo podemos desarrollar como suma de determinantes en el que la primera fila de dicho determinante será
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M, P, N, Q, más 3N, 3Q y en la fila 2 N, Q.
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Si nos fijamos en este segundo determinante de orden 2, podemos ver que la fila primera es proporcional a la fila segunda.
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Es decir, la fila primera es tres veces la fila segunda.
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Como bien recordamos, hay una propiedad de los determinantes en los que nos decía que cuando en un determinante haya una fila o columna que es proporcional a otra fila o columna, el valor del determinante era cero.
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Por tanto, el valor de dicho determinante es mpnq.
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Si nos fijamos en los elementos de este determinante, vemos claramente que los elementos que tiene son exactamente iguales que los elementos del determinante de la matriz A.
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Pero lo que tenemos cambiado son la fila 1 pasa a columna 1 y la fila 2 ha pasado a ser columna 2.
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Vemos con esto que nos está indicando, pues que este determinante que tengo aquí es el determinante de la matriz traspuesta de A.
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Y como bien sabemos, había una propiedad de los determinantes que nos decía que el determinante de la traspuesta de una matriz era igual al determinante de dicha matriz.
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Por tanto, el valor de este determinante es menos 5.
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Si nos vamos al segundo determinante, cuyos elementos tiene por fila 1 3n menos m y por fila 2 3q menos p,
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como podemos observar en dicho determinante, todos los elementos de esa primera columna están multiplicados por 3.
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Y además, también vemos que todos los elementos de la segunda columna están multiplicados por menos uno.
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Por tanto, como bien sabemos, hay una propiedad de los determinantes que nos decía que cuando todos los elementos de una fila o de una columna están multiplicados por un mismo número,
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podemos sacar, extraer fuera dicho número del determinante.
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De manera que el valor del determinante quedará multiplicado por dicho número.
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Por tanto, atendiendo a lo dicho, si en la primera columna está multiplicada por 3 todos los elementos,
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pues saco el 3 de la primera columna y si los elementos de la segunda columna están multiplicados todos por menos 1,
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pues saco el menos 1 de dicha columna y lo multiplico por el valor del determinante que será N, M, Q, P.
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Si ahora nos fijamos en los elementos del determinante de la matriz A, que son M, N, P, Q,
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pues lógicamente que tenemos, los elementos son los mismos pero están cambiados de columnas.
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Por tanto, ¿qué tenemos que hacer?
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Pues lo que tenemos que hacer aquí sería un cambio de columnas, es decir, la columna 2 la tendríamos que cambiar a columna 1.
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De manera que, como bien sabemos, cuando permutamos o cambiamos dos filas o columnas de un determinante, el valor del determinante cambia de signo y eso matemáticamente lo expresamos multiplicando el valor de dicho determinante por menos uno.
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Es decir, esto será 3 por menos 1 que es menos 3, por el cambio de columnas que vamos a hacer, que es menos 1, por el valor del determinante que será mpnq.
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Y por tanto, pues ya vemos que esto que tengo aquí, que es esto, es el dato que nos dan en el enunciado, que es el determinante de la matriz A, que vale menos 5.
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Es decir, el resultado final será 3 por menos 5, que será menos 15.
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Por tanto, ya hemos resuelto este primer apartado de este ejercicio.
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A continuación vamos a resolver este apartado en el que nos dice que notando matrices B y C que son cuadradas de orden 2
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y que además su determinante son menos 2 y 2 respectivamente para las matrices B y C.
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El primer ítem nos pide que calculemos el determinante de B por la traspuesta de C
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El segundo que sería el determinante de la inversa de B por C
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Y el tercero el determinante de 3 por B
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Previamente a dar respuesta a lo que nos piden en la actividad os voy a recordar esta propiedad
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Y así podremos resolver este apartado.
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¿Qué nos dice esa propiedad?
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Pues sean A y B dos matrices cuadradas, del orden que sea, tales que los determinantes de A y de B son distintos de cero.
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Es decir, tanto la matriz A como la matriz B serían matrices regulares.
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Cuando a mí me pregunten el determinante de una matriz A por B, pues esto será igual al determinante de la matriz A por el determinante de la matriz B.
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Una vez que os he recordado esta propiedad, pues rápidamente vamos a poder dar respuesta a los que nos piden en el apartado B.
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Bien, aquí tengo un producto de B por C y tenemos que calcular su determinante atendiendo a lo comentado.
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Pues esto será el determinante de la matriz B por el determinante de la traspuesta de C.
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y yo sé que esto será igual al determinante de B por el determinante,
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como bien sabemos el determinante de la traspuesta es lo mismo que el determinante de dicha matriz
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y si ahora introducimos los datos que nos dan en el enunciado, que los tengo aquí,
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pues nada más que tengo que sustituir el determinante de B, que es menos 2,
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por el determinante de C que es 2 y por tanto esto será menos 4.
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Si nos vamos a la segunda, tengo que, tengo también un producto y por tanto esto será el determinante del primero,
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el determinante de la inversa de B, por el determinante de la matriz C.
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Como bien sabemos, el determinante de la inversa de una matriz que es regular y además es cuadrada, pues lógicamente esto será 1 partido del determinante de dicha matriz por el determinante de la matriz C.
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Y por tanto, sustituyendo 1 partido de menos 2 por 2, esto será igual a 2 partido de menos 2, que es igual a menos 1.
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De manera que ya hemos dado respuesta a este apartado que nos solicita el determinante de la inversa de b por c.
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Si nos vamos al tercer ítem de este apartado, nos pide el determinante de un número real por una matriz.
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Pues esto será igual al número real, que en este caso es 3, elevado a qué?
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Pues al orden o dimensión que tiene dicha matriz.
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En este caso, en el enunciado nos dice que es de orden 2, por tanto, lo tendremos que elevar a ese orden por el determinante de la matriz B.
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El determinante de la matriz B lo tengo arriba y esto será 9 por menos 2, de manera que el valor de dicho determinante será menos 18.
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y con esto pues ya habremos terminado de resolver este ejercicio de propiedades de los determinantes
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que como podéis ver no tiene mayor dificultad
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- David Fernández Sánchez
- Subido por:
- David F.
- Licencia:
- Todos los derechos reservados
- Visualizaciones:
- 32
- Fecha:
- 18 de noviembre de 2022 - 15:29
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES DIONISIO AGUADO
- Duración:
- 12′ 43″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 22.78 MBytes
