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Ecuaciones de grado mayor que 2 y ecuaciones con radicales - Contenido educativo - Contenido educativo

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Subido el 8 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Seguimos con un nuevo vídeo, esta vez son ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2. 00:00:00
Recordad que las bicuadradas eran también de grado mayor que 2, pero eran del tipo ax a la cuarta más bx al cuadrado más c igual a cero. 00:00:08
Teníamos un término a la cuarta y un término al cuadrado. 00:00:18
Si ya aparecen términos que no son como la bicuadrada, como es en este caso aquí, tenemos una x al cubo, tenemos una x y demás, este tipo de ecuaciones se resuelven a través del método de Ruffini. 00:00:22
Es importante insistir en el término independiente porque con Ruffini nos jugamos un poco a ver cuáles son las posibles soluciones y entonces lo que tenemos que ver es los divisores del término independiente y sobre ellos probar el método de Ruffini. 00:00:36
Por lo tanto, si nosotros tenemos la ecuación polinómica x a la cuarta menos 10x al cubo más 5x al cuadrado más 40x menos 36 igual a cero, 00:00:55
pues aplicamos el método de Ruffini donde los coeficientes aquí es el 1, aquí es el menos 10, aquí es el 5, el 40 y el menos 36. 00:01:09
Recordad que si no aparece un término, se pone el 0. 00:01:19
Entonces, ¿qué ocurre con 36? 00:01:24
Pues 36, sabemos que es 6 por 6, es decir, 6 al cuadrado, es 6 al cuadrado. 00:01:26
Y 6 es 2 por 3, 2 por 3 al cuadrado. 00:01:34
Cuando tenemos una multiplicación elevada a una potencia, lo que se hace es que cada factor se eleva a esa potencia. 00:01:38
Entonces, esta es la descomposición factorial. 00:01:45
¿Cuántos divisores entonces tiene 36? Pues lo que hemos visto ya, ¿no? 00:01:48
Cojo el exponente, le sumo un 1 y cojo este exponente y le sumo un 1. 00:01:52
Por lo tanto, tenemos aquí 3 por 3, tenemos 9. 00:01:59
9 son los divisores de 36. ¿Cuáles son? 00:02:04
Pues yo tengo el 1 y el 36, el 2 como aparece aquí también y es el 18, 00:02:07
El 3 aparece aquí y es 4 por 3, 12. El 4 también porque 2 al cuadrado y aquí aparece un 9. Y luego, ¿por qué hay 9? Porque el 6 se repite. 6 por 6, 36. 00:02:13
Entonces, estos son los nueve posibles valores que son divisores del número 36, ¿vale? 00:02:31
Entonces, yo aquí, ¿qué probaría? Pues probaría más menos 1, más menos 2, más menos 3, más menos 4, 00:02:39
pero claro, el 5, el 6, el 7, el 8, yo no lo probaría. 00:02:45
El más menos 9, el más menos 12, el más menos 18 y el más menos 36. 00:02:49
Entonces, voy a empezar por el 1, y yo creo que no se cumple. 00:02:54
Vamos a ver, esto es un menos 9, esto es menos 9, esto es menos 4, ah, pues mira, esto es menos 4, esto es 36, 36 y un 0. 00:02:58
Pues mira, sí que se cumple. 00:03:10
Y entonces mi ecuación polinómica ahora mismo sería x menos 1 y esto que es x al cubo menos 9x al cuadrado menos 4x más 36. 00:03:13
¿De acuerdo? 00:03:26
Entonces nada, vamos a seguir, como encima tenemos este 36 también, pues seguimos probando valores, podemos probar el 1 otra vez, pero no sé yo por qué me da la sensación de que el 1 no es más solución. 00:03:28
Pero bueno, probamos. 1 por 1 es 1, esto es menos 8, esto es menos 8, esto es menos 12 y esto es menos 12, con lo cual no lo es. 00:03:48
Entonces, vamos a aprovechar para aprovechar espacio y vamos a irnos al 2, a ver si el 2 sí que es. 00:04:00
nos vamos al número 2, 2 por 1 es 2, esto es menos 7, esto es menos 14, esto es menos 18 00:04:10
y mirad, fijaros, 18 menos 36, pues mirad, el 2 también 00:04:18
entonces, ¿qué ocurre? que toda esta expresión de aquí se puede poner como x menos 2 por x al cuadrado menos 7x menos 18 00:04:23
entonces yo tengo ahora aquí esto, es decir, mi ecuación original 00:04:33
x a la cuarta menos 10x al cubo más 5x al cuadrado más 40x menos 36 00:04:38
yo lo puedo poner como x menos 1 por x menos 2 00:04:47
y esto de aquí es x cuadrado menos 7x menos 18 00:04:52
claro, este sí sé que es irreducible, este también es irreducible 00:04:57
Las soluciones de esta ecuación ya sabemos 2, 1 y 2, pero al ser de grado 4 puede haber 4 soluciones. 00:05:01
Entonces vamos a ver si este polinomio es irreducible o no. ¿Cómo lo hago? 00:05:08
Pues x al cuadrado menos 7x menos 18 lo igual a 0 y aplico la ecuación de segundo lado. 00:05:12
x es igual a menos b, es decir, 7 más menos b al cuadrado que es 49 menos 4 por menos 18, 00:05:19
Con lo cual, esto menos por menos es un más, y 4 por 10 y 8, vamos a hacer 4 por 20 es 80, 80 menos 8 es 72, ¿verdad? 18 por 4, 72, efectivamente, 72. 00:05:28
y lo dividimos entre, lo diré 2, entonces 72 más 49 es 121, que es la raíz de 11, ¿vale? Esto es 7 más 11 partido de 2, ¿vale? 00:05:46
Esto es la raíz de 121 es igual a 11. 00:06:06
Entonces tenemos 7 más 11, que 18 entre 2 es 9. 00:06:10
Y 7 menos 11 entre 2, que es igual a menos 4 medios, que es menos 2. 00:06:15
Con lo cual, chavales, yo un consejo que os doy es que cuando tengamos ya aquí una ecuación de segundo grado la apliquemos. 00:06:22
Entonces, ¿cuáles son las soluciones? 00:06:29
Pues las soluciones realmente son x igual a 1, x igual a 2, x igual a 9 y x igual a menos 2. 00:06:30
Es decir, yo x cuadrado menos 10x al cubo más 5x cuadrado más 40x menos 36 yo lo puedo poner como 00:06:41
x menos 1 por x menos 2 por x más 2 por x menos 9 00:06:53
¿de acuerdo? 00:07:02
venga, vamos a hacer la segunda 00:07:04
vamos a ir aquí y es 9x cuadrado ¿verdad? 00:07:10
9x cuadrado más 18x al cubo 00:07:17
Pero ya al aparecer un x al cubo, ya no puede ser b cuadrada. 00:07:25
Más 18 menos 28x al cuadrado, menos 2x más 3. 00:07:29
Menos 2x, voy a ver otra vez, menos 2x más 3. 00:07:38
Entonces, ¿qué ocurre aquí? 00:07:42
Pues igual, nos fijamos en este término independiente, pero también nos tenemos que fijar en este de aquí. 00:07:44
¿Os acordáis? 00:07:49
Entonces, 3, ¿qué ocurre? 00:07:50
Que es un número primo. 00:07:52
Aquí tienes un 1. 00:07:53
¿Cuántos divisores tiene 3? Al ser un número primo tiene el 1 y el 3. 00:07:54
Y luego el 9. ¿Qué ocurre? Que 9 es igual a 3 al cuadrado. 00:07:59
¿Cuántos divisores tiene? Pues sabemos que 2 más 1 es igual a 3. 00:08:04
¿Cuáles son los divisores de 9? Pues son el 1, el 3 y el 9. 00:08:10
Entonces, en teoría, para aplicar Ruffini, nosotros, ¿qué tenemos que hacer? Los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente de aquí. 00:08:15
Es decir, yo probaría el más menos 1, probaría el más menos 3, pero ahora también probaría 1 entre 1, que es 1, 1 entre 3, que es un tercio, y 1 entre 9, que es un noveno. 00:08:28
Y ahora 3 entre 1, que es 3, que ya lo tengo aquí. 3 entre 3, que es 1, que ya lo tengo aquí. Y ahora 3 entre 9, que es lo mismo que un tercio. Entonces estos son los que yo probaría en Ruffini. 00:08:42
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo pongo los coeficientes, ¿de acuerdo? Pongo los coeficientes y, perdonad que me habían llamado, menos 2 más 3. 00:08:54
Y entonces voy a probar a ver si tengo la suerte de que el 1 o el 3 son soluciones de Rufino. 00:09:12
Un 1, aquí un 9, perdón. 00:09:22
9 por una 9, esto es 27, esto es 27, esto es menos 1, esto es menos 1, esto es menos 3, pues mira que bien. 00:09:25
Esto es menos 3 y es un 0, ¿de acuerdo? 00:09:35
¿De acuerdo? Como seguimos con el menos 3, pues igual. Voy a probar el 3 por casualidad. 9, 3 por 9, 27. Voy a probar el menos 3. Menos 27. Esto es un 0. Esto es un 0. Esto es menos 1. Oh, qué bien. Y esto es un 3. Fijaros qué bien. 00:09:37
Entonces, ¿qué ocurre? Yo ya tengo dos soluciones, es decir, yo de aquí, si recordamos, 9x a la cuarta más 18x al cubo menos 28x al cuadrado menos 2x más 3 igual a 0. 00:09:56
Yo esto de aquí, todo esto lo puedo poner ya del tipo x menos 1 por x más 3. 00:10:11
Y aquí, ¿qué es lo que tengo, chavales? Aquí tengo 9x cuadrado menos 1 y todo esto es igual a 0. 00:10:20
Cuando yo tengo varias multiplicaciones por 0, resulta que esto es 0, que ya lo sabíamos, 00:10:28
porque si x menos 1 es igual a 0, x es igual a 1, lo tenemos aquí. 00:10:35
x más t es igual a 0 que también lo sabíamos porque x es igual a menos 3 que lo tenemos aquí 00:10:41
y ahora lo que tenemos que hacer 0 es esto de aquí ¿vale? 00:10:48
entonces 9x cuadrado menos 1 igual a 0 resulta que tenemos 00:10:53
lo voy a hacer en verde 9x cuadrado es igual a 1 00:11:00
x cuadrado es igual a 1 partido de 9 00:11:06
por lo tanto x es igual a más menos la raíz de 1 partido de 9 00:11:09
pero es que la raíz de 1 más 9 es realmente un tercio 00:11:14
¿lo veis? como al final si yo probaba esto podía salir 00:11:20
por lo tanto si yo aquí tengo esto 00:11:23
pues resulta que 9x al cuadrado menos 1 00:11:29
yo lo puedo poner, recordamos este 9 00:11:32
y aquí las dos soluciones, es decir, x menos un tercio y x más un tercio, ¿de acuerdo? 00:11:34
Esto también si os fijáis es una identidad notable, es una identidad notable, ¿por qué? 00:11:43
Porque tengo 9x cuadrado menos 1, que esto es 3x al cuadrado menos 1 al cuadrado, 00:11:57
Y esto que es suma por diferencia. Entonces, yo lo que tengo aquí es 3x menos 1 por 3x más 1. 00:12:06
Que si esto es igual a 0, tengo que x es igual a un tercio. Y si esto es igual a 0, x es igual a menos un tercio. 00:12:17
¿De acuerdo? Entonces, ¿cuáles son las soluciones realmente? ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación? 00:12:24
Pues teníamos x igual a 1, x igual a menos 3, x igual a un tercio y x igual a menos un tercio. 00:12:34
Como es de grado 4, como máximo, tengo cuatro soluciones reales. 00:12:44
¿De acuerdo? Vale. 00:12:49
Venga, vamos a pasar, esto lo dejo para que lo hagáis vosotros. 00:12:55
Venga, ecuaciones con radicales. 00:13:00
Y aquí, si antes era muy bueno y recomendable comprobar cada una de las soluciones, ahora ya es imprescindible. 00:13:02
Y vamos a ver por qué. 00:13:13
Una ecuación con radicales que era un radical, un radical era una raíz. 00:13:14
Pues entonces aquí vemos ejemplos donde en una ecuación nosotros nos aparece raíces cuadradas. 00:13:18
Entonces, ¿cuál es el método? 00:13:25
Pues primero lo que hacemos es poner la raíz en un miembro de la ecuación y todo lo que no lleve raíz y todo lo que no lleve raíz en el otro miembro. 00:13:28
Por ejemplo, en el A, pues si yo tengo x menos raíz de 2x menos 3 igual a 1, yo lo que hago es esto de aquí lo voy a pasar al otro miembro y este 1 lo voy a pasar al primer miembro. 00:14:04
Por lo tanto, tengo x menos 1 y esto aquí es igual a la raíz de 2x menos 3. 00:14:26
Es decir, he pasado el 1 al primer miembro y todo lo que tengo raíz lo paso al otro miembro. 00:14:34
¿Y ahora qué ocurre? ¿Cómo me puedo yo quitar la raíz? 00:14:42
Pues, segundo paso es elevamos al cuadrado, elevamos al cuadrado ambos miembros. ¿Por qué? Porque, chavales, si yo tengo que una cosa es igual a otra, su cuadrado, sus cuadrados también son iguales, ¿verdad? 00:14:46
Pues entonces, no sé, lo que hacemos aquí es x menos 1 al cuadrado igual a la raíz de 2x menos 3, todo ello al cuadrado. 00:15:10
Esto que es una identidad notable y esto realmente que hace es quitarme la raíz. 00:15:21
Por lo tanto, yo ahora lo que tengo aquí es cuadrado del primero más cuadrado del segundo menos el doble producto del primero por el segundo. 00:15:27
Y aquí ¿qué es lo que ocurre? Pues realmente yo con este 2 me puedo quitar la raíz y me queda simplemente 2x menos 3. 00:15:38
Entonces aquí ¿qué ocurre con mi identidad notable? Pues que esto es x cuadrado menos 2x más 1 y esto es igual a 2x menos 3. 00:15:50
Y ahora, ¿cómo hacemos? Pues es como una ecuación que nos va a salir de segundo grado. 00:15:59
Vamos a llevarnos todo al primer miembro. Por lo tanto, tengo x cuadrado menos 2x más 1. 00:16:08
Este 2x pasa al otro lado restando y esto pasa sumando. 00:16:15
Al grupo, x cuadrado menos 4x más 4 igual a 0. 00:16:20
A lo mejor ahí harían aquí que ve la identidad notable, pero si no lo vemos, ¿qué es lo que vamos a hacer? 00:16:27
Pues la ecuación de segundo grado. 00:16:32
Por lo tanto, x aquí es igual a menos b, que es 4, más menos b al cuadrado, que es 16, menos 4 por a por c, que es también 16, partido de 2. 00:16:34
Entonces esto que es 4 más menos 0 de 2, por lo tanto tengo 4 más 0 de 2, esto es 2, 00:16:46
y 4 más 0 entre 2 que es igual a 2, es decir, tengo el 2 de forma doble, es lo que os decía. 00:16:54
Esto realmente de aquí es lo mismo que x menos 2 al cuadrado. 00:17:02
x menos 2 al cuadrado es una identidad notable que me dice cuadrado del primero más cuadrado del segundo 00:17:06
menos el doble producto del primero por el segundo que es x cuadrado menos 4x más 4, ¿de acuerdo? 00:17:13
Entonces, ¿cuáles son las soluciones que me dan? Pues me da x igual a 2 con multiplicidad 2, ¿vale? Doble, multiplicidad 2, raíz doble, que se llama. 00:17:24
Y ahora, ¿qué tengo que hacer sí o sí? Sustituirlo en la original. ¿Lo tengo que sustituir? ¿Por qué? Porque lo que no puede ser es que no me den, a la hora de sustituirlo, una raíz negativa, ¿vale? 00:17:41
Entonces, si yo sustituyo, lo voy a hacer aquí en negro que tengo. ¿Es verdad que 2 menos raíz de 2 por 2 menos 3 es verdad que es igual a 1? 00:17:52
Pues vamos a verlo. Yo aquí tengo un 2 y aquí que tengo menos la raíz de 4 menos 3 y esto aquí es igual a 2 menos la raíz de 1 y la raíz de 1 que es 2 menos 1 es igual a 1. 00:18:05
Por lo tanto, es correcto. ¿De acuerdo? Venga, vamos a hacer otra base. 00:18:19
Vamos a hacer la... voy a hacer primero la c, ¿vale? La c y la d y luego voy al b, 00:18:33
porque es un caso donde aquí, si nos fijamos, tenemos dos raíces y hay que proceder de otra forma. 00:18:42
El c, tengo la raíz de x al cuadrado más 2x más 9, menos 7 igual a 2x. 00:18:49
¿Cuál es el primer paso que hemos dicho? 00:18:59
Pues todo lo que tenga raíz lo dejamos en un miembro y todo lo que no tenga raíz lo pasamos al otro miembro. 00:19:01
En este caso, lo que he hecho es el menos 7 lo he pasado al segundo miembro. 00:19:12
¿Y ahora qué es lo que hacemos? 00:19:17
Pues elevamos al cuadrado ambos miembros. 00:19:19
Y no cambia la igualdad. 00:19:25
De hecho, si tú tienes que 3 es igual a 3, pues el cuadrado de 3 es igual que el cuadrado de 3. 00:19:27
Pues aquí lo que pasa es que tenemos una expresión que es igual a otra expresión. 00:19:34
Y si ambas cosas son iguales, al elevar al cuadrado, pues también se mantiene la igualdad. 00:19:38
Entonces, ¿aquí qué es lo que ocurre? 00:19:43
Que este 2 se carga a la raíz y entonces me queda que x cuadrado más 2x más 9, ¿a qué es igual? 00:19:45
Yo ahora tengo aquí, ¿qué es lo que tengo? Una identidad, identidad notable. 00:19:56
Como es el cuadrado de una suma, ¿qué es? El cuadrado del primero, 2x al cuadrado. 00:20:05
Y aquí cuando yo elevo 2x al cuadrado, esto tened mucho cuidado que hay mucha gente que falla, esto es 2 al cuadrado por x al cuadrado, es decir, esto es 4x al cuadrado, se eleva al cuadrado ambos factores, ¿de acuerdo? 00:20:11
¿De acuerdo? Venga, más cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo. 00:20:26
Por lo tanto, ¿qué tengo? x cuadrado más 2x más 9 es igual a 4x cuadrado más 49 más 2 por 2, 4 por 7 más 28x. 00:20:36
¿de acuerdo? 00:20:50
entonces ahora agrupo 00:20:52
y lo que voy a hacer es llevarme todo esto 00:20:54
aquí al primer miembro 00:20:56
y luego le doy la vuelta ¿vale? 00:20:57
entonces lo voy a hacer por paso 00:20:58
porque hay gente que se pierde 00:21:00
pero lo suyo es hacerlo del tirón 00:21:01
entonces este x cuadrado pasa aquí 00:21:03
como 3x al cuadrado 00:21:05
este 2x pasa restando 00:21:07
entonces esto es más 26x 00:21:09
y este 9 pasa restando 00:21:12
por lo tanto es más 40 00:21:16
Y aquí, ¿qué es lo que tengo, chavales? Pues una ecuación de segundo grado. 00:21:18
Lo voy a hacer aquí para que me quepa todo. 00:21:23
Y entonces, yo ahora voy a resolver 3x al cuadrado más 26x más 40 igual a 0. 00:21:26
x es igual a menos b más menos b al cuadrado menos 4 por a y por c. 00:21:33
Esto no tiene solución. Fijaros que no tiene solución. 00:21:42
Esto de aquí. 00:21:48
Si lo he copiado bien, a ver, voy a repasarlo por si me he equivocado. 00:21:51
Es x cuadrado más 2x más 9 es 2x más 7. 00:21:56
Esto es x cuadrado más 2x más 9, esto es 4x cuadrado más 49 más 28x. 00:22:01
Esta x cuadrada pasa aquí restando 3x al cuadrado, 2x, 26x y este 9, 40. 00:22:09
¿Vale? Entonces, menos b más menos b al... ¡Ah, no! ¡Eh, eh, eh! ¡Que me he equivocado! 00:22:16
Vale, vale, vale, vale. ¿Qué decía yo? Perdón, que me he equivocado. 00:22:23
Tened mucho cuidado, ¿eh? Es menos b, que es menos 26, ahora sí, más menos, menos 26 al cuadrado, menos 4 por 3 y por 40. 00:22:29
Vale, esto ya me cuadra un poquito más. Y esto es 2 por 3. 00:22:41
entonces, esto que es x igual a menos 26 más menos 00:22:45
voy a hacer todo esto con la calculadora 00:22:53
es 26 por 26 menos 4 por 3 por 40 00:22:56
es 196, ¿vale? 00:23:03
voy a borrar aquí un poquito, 196 00:23:06
196 partido de 6 00:23:10
Y 196 su raíz es 14, ¿vale? Entonces tengo menos 26 más menos 14 entre 6, ¿vale? 00:23:14
Y ¿qué ocurre? Que x es igual, x sub 1, ¿no? Es menos 26 más 14 entre 6, esto que es menos 12 sextos, que es menos 2. 00:23:24
Y esto de aquí, x sub 2, es menos 26 menos 14 partido de 6. Esto es menos 40 sexto menos 26 menos 14 entre 6. Esto es menos 20 tercios. 00:23:40
Lo voy a comprobar. A ver si cumple esto. A ver, lo voy a comprobar. El menos 2, esto es 3 por 4, menos 52 más 40, sí, esto es 0. Eso está bien. 00:24:03
Y esto de aquí es un poquito más complicado porque es 3 partido de 409 más 26 por menos 20 tercios más 40 y esto es 0. 00:24:21
Lo voy a hacer con calculadora, ¿vale? Entonces 3 por 400 entre 9 menos 26 por 20 entre 3 es menos 40. Fijaros, todo esto es menos 40. 00:24:38
Menos 40 más 40 es igual a 0. Por lo tanto, sí, son las soluciones, pero recordad, son las soluciones de esta ecuación de aquí. 00:24:56
Y mi ecuación original no es esa. Mi ecuación original es esto de aquí. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Que vamos a ver si estas soluciones, sobre todo lo que me preocupa es lo que haya dentro del argumento. 00:25:07
¿Vale? Entonces, con el menos 2, pruebo con el menos 2, x igual a menos 2, esto sería la raíz de menos 2 al cuadrado más 2 por menos 2, 00:25:24
ahora lo que estoy haciendo es sustituir aquí en la original las posibles soluciones a ver si se verifica o no, ¿vale? 00:25:37
Más 9 menos 7, esto es igual a 2 por menos 2, pues no tenemos muy buena pinta, ¿no? 00:25:47
Porque esto es 4, esto es menos 4 y esto es raíz de 9 y raíz de 9 así pues se cumple. 00:25:57
3 menos 7, ¿es verdad que es igual a menos 4? Pues sí, menos 4 es igual a menos 4, se cumple. 00:26:03
Vamos a ver el x igual a menos 20 tercios, ¿no? Menos 20 tercios. Esto me acojona un poquillo más, ¿eh? 00:26:11
Entonces sería menos 20 tercios al cuadrado más 2 por menos 20 tercios más 9, ¿no? Sí. 00:26:19
Menos 7. Esto es verdad que es igual a 2 por menos 20 tercios, punto y coma. 00:26:32
Voy a hacerlo de dentro de la raíz, ¿vale? 20 tercios al cuadrado, menos 40 tercios, más 9, esto me da miedo, raíz tal, menos 7, y esto es menos 2 tercios. 00:26:39
¡Wow! Esto es menos 2 tercios, pero que es distinto a menos 40 tercios. 00:27:10
Lo voy a hacer otra vez, ¿vale? Porque no me fiasería. 00:27:17
Menos 20 entre 3, sí, sí, no, es que está bien. 00:27:20
20 entre 3 al cuadrado, menos 40 tercios, más 9. 00:27:26
Hago la raíz de todo esto y le resto 7 y me queda menos 2 tercios. 00:27:37
Y menos 2 tercios no es lo mismo que menos 40 tercios, por lo tanto, no es solución. 00:27:45
Súper importante aquí comprobar siempre, la comprobación. 00:27:53
Voy a hacer otra y lo vemos, ¿vale? 00:28:00
Voy a hacer la d, la d es, a ver si me acuerdo, la d es la raíz, vamos a ver, la raíz de 20, ¿verdad? 00:28:04
Menos x es igual a x menos 8, x menos 8. 00:28:20
Vale, voy a borrar aquí un poco para hacer bien la raíz, borrar ahí. 00:28:29
aquí lo bueno, si os fijáis, es que ya tengo separado, ya tengo hecho el primer paso 00:28:33
aquí todo es con raíz y aquí sin raíz, por lo tanto elevo al cuadrado 00:28:38
entonces lo que tengo aquí, que hace en verde, es raíz de 20 menos x todo y al cuadrado 00:28:43
x menos 8 al cuadrado, ¿y esto qué es? 00:28:52
pues sabemos que esto se va con esto, con lo cual me queda aquí 20 menos x 00:28:56
Y esto es una igualdad notable, es cuadrado del primero más cuadrado del segundo, 8 por 8 es 64, menos 2 por 8 que es 16, 16x. 00:29:02
Paso todo esto de aquí al otro miembro y me queda 0 es igual a x al cuadrado menos 16 más 1 menos 15x y 20 más 44. 00:29:14
¿Verdad? Esto pasa sumando y esto pasa restando. 00:29:31
Entonces, ¿qué ocurre? Pues nada, hago mi ecuación de segundo grado. 00:29:37
x es igual a menos b más menos b al cuadrado menos 4 por 44 partido de 2. 00:29:41
Y ahora voy a hacer con la calculadora igual, 15 al cuadrado, 15 al cuadrado, 15 al cuadrado, y que 225 menos 4 por 44 es 49. 00:29:54
Muy bien, entonces todo esto da 49, ¿vale? 00:30:14
Todo esto es 49, que resulta que la raíz de 49 es igual a 7. 00:30:19
Entonces aquí que tengo 15 más menos 7 medios, 00:30:27
yo aquí tengo 15 más 7 entre 2, 15 más 7 es 22, 1, 11, ¿verdad? 00:30:34
y esto es 15 menos 7 entre 2, esto es 8, esto es un 4. 00:30:41
Pero ¿qué ocurre? Que estas son las soluciones de esta de aquí. 00:30:49
De hecho, si lo comprobamos rápido, 11 al cuadrado menos 15 por 11 más 44, 00:30:52
esto es verdad que es igual a 0, pues lo vamos a comprobar. 00:31:01
Esto es 121. Esto es 150 menos 165 más 44. Precisamente esto de aquí es 165. Esto es cero, esto es verdad. 00:31:04
Y si yo compruebo el cuadro, esto es 4 al cuadrado menos 15 por 4 más 44. Es verdad que es cero. 00:31:18
entonces esto es 16, esto es 60 más 44 y efectivamente esto es 60 pues es 0 00:31:29
entonces este 4 y el 11 son solución pero de esta ecuación de aquí 00:31:41
y yo lo que tengo es esta 00:31:47
entonces ¿cómo hago la comprobación? 00:31:50
pues vamos a hacer la comprobación 00:31:54
Vamos a hacer la comprobación primero con x igual a 4. Entonces donde tenga aquí una x pongo 20 menos 4. ¿Eso es verdad a que es igual a 4 menos 8? Pues vamos a ver. 00:31:56
Esto es 16. A raíz de 16 es verdad que es 4 menos 8 es menos 4. Pues resulta que esto es 4, que es distinto de menos 4. ¿Lo veis? 4 es distinto de menos 4. 00:32:18
¿Y eso qué significa? Pues que entonces este de aquí, que es solución de esta, no es solución. 00:32:32
Por eso es muy importante hacer las comprobaciones, porque nos da el resultado de una solución de una ecuación de segundo grado, 00:32:42
pero nuestra ecuación original no es de segundo grado, es un radical. 00:32:52
¿De acuerdo? Vamos a hacer la misma comprobación, pero para x igual a 11. Entonces, ¿qué tengo? La raíz de 20 menos 11, fijaros que yo siempre que sustituyo en una x lo pongo entre paréntesis. 00:32:56
¿Vale? Entonces, esto es igual a 11, me pregunto, ¿esto es igual a 11 menos 8? Pues resulta que esto es la raíz de 9, ¿es igual que 3? Pues sí, resulta que 3 es igual a 3, por lo tanto, 11 sí es solución. 00:33:15
¿Vale? Entonces x es igual a 11. ¿Lo veis? Esta de aquí pues la hemos descartado. Vamos a hacer entonces el último ejemplo, que es otro caso, porque si os fijáis aquí, a ver, esto de aquí me lo voy a llevar a aquí. 00:33:36
fijaros, recopilando aquí tenemos una raíz 00:34:06
aquí tenemos una raíz y aquí tenemos una raíz 00:34:11
nosotros ahora tenemos dos raíces 00:34:14
entonces la solución, para allá la solución 00:34:18
es un proceso un poquito más tedioso, más largo 00:34:21
entonces primero, pues igual 00:34:24
aislamos una de las raíces 00:34:27
la que queremos, una de las raíces 00:34:32
Yo aquí creo que es más fácil aislar esta de aquí. ¿Qué significa aislar? Pues que en el primer miembro nos quedamos con raíz de x más 4 y ahora esto de aquí nos lo llevamos al segundo miembro. 00:34:35
Entonces esto sería menos 2, como esto es un menos, aquí pasa sumando más raíz de x menos 6. Fijaros, esto de aquí y esto de aquí. 00:34:52
¿Qué creéis que voy a hacer? Pues segundo, se eleva al cuadrado. 00:35:05
Entonces yo aquí ¿qué tengo? Pues tengo la raíz de x más 4 al cuadrado, que esta es fácil, ¿por qué? 00:35:17
Porque este 2 y esta raíz se van, pero sin embargo yo ahora lo que tengo aquí es menos 2 más raíz de 6 menos x al cuadrado. 00:35:25
Aquí una cosilla, yo os aconsejo que esto de aquí, que ustedes veis como una suma, esto realmente yo lo puedo poner como raíz de 6 menos x partido de menos 2, ¿vale? 00:35:35
¿Sí? De menos 2, ¿de acuerdo? Y entonces es mucho más fácil de ver. 00:35:54
lo voy a hacer de las dos formas porque esto es un fallo también bastante común 00:36:00
entonces lo voy a hacer aquí en verde 00:36:06
si yo esto lo veo como suma aquí lo que tenemos que tener cuidado es que a vale menos 2 00:36:09
y que b vale raíz de 6 menos x 00:36:16
si esto es así y esto es una suma 00:36:19
lo verde lo voy a hacer aquí sería 00:36:22
A el primero al cuadrado, es decir, menos 2 al cuadrado, más el segundo al cuadrado, que es raíz de 6 menos x al cuadrado, 00:36:25
más, porque es una suma, el doble producto del primero, que es esto, por el segundo, que es raíz de 6 menos x. 00:36:37
¿Y esto qué me queda? Esto me queda un 4 más esto, con esto se me va, me queda 6 menos x y aquí me queda menos 4 raíz de 6 menos x. 00:36:49
Esto que es 4 más 6 es un 10, que 10 es la nota que vais a sacar si veis estos vídeos y lo comprendéis, ¿de acuerdo? 00:37:03
menos x menos 4 partido de raíz de 6 menos x 00:37:13
y ahora lo voy a hacer con la resta 00:37:18
que yo creo que es más fácil que lo veáis así 00:37:20
y lo voy a hacer en este color 00:37:23
es el cuadrado del primero 00:37:25
más el cuadrado del segundo 00:37:27
¿vale? espérate, lo voy a hacer aquí abajo 00:37:32
hay que coraje, esperad 00:37:34
a ver aquí, lo voy a hacer un poquito 00:37:38
más abajo para que veáis, ¿vale? 00:37:41
Es que creo que quepa a la derecha. Ahí yo creo. El cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos, que es este menos de aquí, aquí la a vale raíz de 6 menos x y aquí la b vale 2, no vale menos 2, aquí la b vale 2. 00:37:45
Aquí está la recta. Entonces, menos el doble producto del primero por el segundo. Y esto que es 6 menos x más 4 menos 4 raíz de 6 menos x. Es decir, 10 menos x menos 4 raíz de 6 menos x. 00:38:05
Si os fijáis, esto y esto es exactamente lo mismo, ¿de acuerdo? 00:38:24
Entonces, vamos a volver a la ecuación. 00:38:31
Yo tengo esto de aquí, parto de aquí, ¿de acuerdo? 00:38:34
Y ahora me lo llevo aquí. 00:38:38
¿Qué tengo? x más 4, porque se me va. 00:38:40
Y ahora todo esto de aquí, que es 10 menos x, menos 4 raíz de 6 menos x. 00:38:44
¿Qué nos hemos encontrado que hemos mejorado? Pues que hemos pasado de tener dos raíces ahora a tener uno. 00:38:53
Entonces, ¿qué hacemos? Pues todo lo que nos lleve raíz lo pasamos al otro miembro, ¿vale? 00:39:04
Entonces tengo x más 4 menos 10 más x y esto es igual a menos 4 que multiplica a raíz de 6 menos x. 00:39:10
Esto que es 2x menos 6 es igual a menos 4 raíz de 6 menos x. 00:39:24
¿Y qué vamos a hacer chavales? Pues lo que vamos a hacer es ahora elevarlo al cuadrado. 00:39:32
¿Vale? Elevarlo al cuadrado. Mira, lo que voy a hacer es para que quede más limpio, esta página de aquí la voy a copiar, ¿vale? La voy a copiar, la tengo aquí copiada, ¿verdad? Y lo que voy a hacer es esta parte de aquí la voy a eliminar, esta parte de aquí la voy a eliminar también para que quede más limpio, ¿vale? 00:39:42
Y lo que voy a intentar hacer es todo esto de aquí lo voy a subir, ¿de acuerdo? 00:40:20
Entonces, si yo elevo al cuadrado, tengo aquí el cuadrado de una recta, es decir, el cuadrado del primero, 4x cuadrado, 00:40:28
más el cuadrado del segundo, 6 al cuadrado es 36, menos el doble producto del primero por el segundo, 00:40:37
2 por 2 es 4, 4 por 6 es 24, menos 24x. 00:40:44
Y aquí mucho cuidado, si yo elevo esto al cuadrado, este menos menos por menos es más y 4 por 4 es 16. 00:40:48
Esto realmente, chavales, lo voy a hacer despacito. Esto de aquí había una propiedad que decía que a por b elevado a m, esto es igual a a elevado a m por b elevado a m. 00:40:58
Entonces esto que es, es menos 4 al cuadrado por la raíz de 6 menos x al cuadrado. 00:41:10
¿Y esto qué es igual? Pues 4 al cuadrado es 16 y aquí se me va esto con esto, me queda 6 menos x, ¿vale? 00:41:22
Entonces, si yo recopilo que tengo 4x cuadrado más 36 menos 24x es igual a 16 por 6 menos x. 00:41:32
¿Y esto aquí qué me va a dar? Al final me va a dar una ecuación de segundo grado. 00:41:46
Tengo 4x cuadrado menos 24x más 36. 00:41:51
¿Cuánto es 16 por 6? 6 por 6 es 36. 00:41:57
me llevo 3, es bueno, 96, porque esto es 96 menos 16x, ¿vale? 00:42:01
Entonces me llevo aquí el 96, me llevo aquí la 16x y aquí me falta más x. 00:42:10
Entonces tengo 4x al cuadrado, menos 24 más 16 es menos 8x, ¿no? 00:42:17
Y esto es menos 60, que es igual a 0. 00:42:27
¿Vale? Entonces, esto es un poco más tedioso. Yo tengo dos raíces, aislamos primero una de las raíces, la llevo aquí, por ejemplo, y elevo al cuadrado. 00:42:32
Cuando elevo al cuadrado, resulta que una de ellas todavía perdura, la raíz, ¿de acuerdo? 00:42:44
Y vuelvo a hacer, aíslo otra vez todo lo que no tenga raíz a un lado y lo que tenga raíz y el producto al otro lado. 00:42:51
Vuelvo a elevar al cuadrado y ahora fijaros que me da esta ecuación de segundo grado, que me la voy a copiar. 00:43:01
Esta ecuación de segundo grado, yo me la copio aquí. 00:43:11
La voy a subir, ¿vale? 00:43:19
Y aquí, pues nada, yo puedo aplicar mi fórmula, pero si veo que 60, me refiero que tengo el 4, el 8 y el 60, ¿qué es lo que ocurre aquí? 00:43:22
Yo puedo dividir entre 4, ¿vale? Puedo dividir entre 4. 00:43:39
Si yo divido entre 4, tengo 4x cuadrado partido de 4, menos 8x partido de 4, menos 60 partido de 4, igual a 0 partido de 4. 00:43:44
Pero es que 0 partido de 4, esto es 0. 00:43:56
y esto que ocurre, esto se me queda x cuadrado, 8 entre 4 es 2, menos 2x y 60 entre 4 es menos 15, igual a 0 00:43:59
¿de acuerdo? entonces lo voy a hacer de las dos formas, pero vais a ver que da exactamente lo mismo 00:44:10
pasa que aquí los números son más manejables, entonces mi ecuación de segundo grado 00:44:18
x igual a menos b, que es un 2, más menos, b al cuadrado, que es un 4, menos 4ac, menos por menos es más, más 60, partido de 2. 00:44:21
entonces esto es 2 más menos la raíz de 64 es 8 00:44:34
partido de 2 00:44:39
y esto que es 2 más 8 que es 10 entre 2 00:44:41
esto es un 5 00:44:45
y esto es 2 menos 8 entre 2 00:44:46
que esto es menos 6 entre 2 es menos 3 00:44:49
si yo hago aquí la ecuación de segundo grado 00:44:52
x es igual a menos b que es 8 más menos 00:44:55
b al cuadrado que es 64 00:44:59
menos por menos más es 4 por 4 es 16 y 16 por 60 es 960 00:45:01
veis que los números son mucho más grandes 00:45:12
partido de 2 por a que es 2 por 4 es 8 00:45:15
entonces x es igual a 8 más menos la raíz de 1024 partido de 8 00:45:20
x que es igual a 8 más menos la raíz de 1024 es 32 partido de 8 00:45:32
entonces aquí que tengo 8 más 32 partido de 8 es 40 entre 8 que es 5 00:45:42
fijaros que me da lo mismo pero los números son mucho más grandes 00:45:49
y 8 menos 32 partido de 8 es menos 24 partido de 8 que es igual a menos 3 00:45:53
¿Vale? Que me da exactamente los mismos valores. ¿De acuerdo? Pero volvemos a lo de siempre. Estas son las soluciones de la ecuación. Voy a ponerla aquí. 4x cuadrado menos 8x menos 60 o lo que es lo mismo de x cuadrado menos 2x menos 15 igual a 0. 00:46:01
¿Vale? Pero ¿qué ocurre? Que yo tenía mi ecuación original, era esta de aquí, voy a ver si la recuerdo, raíz de x más 4, voy a apuntar aquí en verde, raíz de x más 4, es que como no tengo mucho espacio abajo por eso ocupo esto así, menos raíz de 6 menos x, ¿verdad? 00:46:29
Menos raíz es igual a menos 2, igual a menos 2. 00:46:59
Pues venga, comprobación, comprobación. 00:47:03
Comprobamos primero con x igual a 5. 00:47:10
Entonces, raíz de 5 más 4 menos la raíz de 6 menos 5, ¿esto es igual a menos 2? 00:47:13
Me pregunto, 5 más 4 es 9, la raíz de 9 es 3, menos 6 menos 5 es 1, raíz de 1 es, ¿esto es igual a menos 2? Pues resulta que no, que 2 es distinto de menos 2, por lo tanto, el x igual a 5 no es solución. 00:47:25
Ahora lo compruebo con el x igual a menos 3. ¿Qué hago? Pues tengo menos 3 más 4 menos 6 menos menos 3. 00:47:43
¿Esto es igual a menos 2? Me pregunto. 00:48:02
Menos 3 más 1, menos 3 más 4 es 1, raíz de 1 es un 1. 00:48:06
6 menos menos 3 es 9, la raíz de 9 es 3. 00:48:11
¿Esto es verdad a menos 2? Pues resulta que 1 menos 3 es menos 2, es igual a menos 2. 00:48:15
Por lo tanto, x igual a menos 3 sí es solución. 00:48:22
Entonces las radicales tener mucho cuidado porque no todas las soluciones que me dan son solución de la ecuación original. 00:48:27
Entonces, muy importante este paso de aquí. Es lo que nos decía aquí el libro de la importancia de siempre, de siempre es imprescindible, es imprescindible comprobar todas las posibles soluciones. 00:48:41
¿De acuerdo? Porque lo que estamos haciendo en las operaciones con las ecuaciones con radicales, al elevarlas al cuadrado, lo que nos va a resultar son ecuaciones normalmente de segundo grado, ¿vale? Puede ser que nos dé algunas de primer grado, pero seguramente nos dé ecuaciones de segundo grado, nos puede dar ecuaciones de tercer grado, incluso bicuadrada, nos puede dar otro tipo de ecuaciones. 00:49:06
lo que hacemos es convertirla en otro tipo de ecuaciones 00:49:30
que ya no tengan radicales 00:49:32
entonces las soluciones finales 00:49:34
las tenemos que probar en la ecuación original 00:49:36
porque como hemos visto 00:49:40
no siempre todas valen 00:49:42
¿de acuerdo? 00:49:44
bueno, son 50 minutos de vídeo 00:49:45
espero que os haya servido 00:49:49
ahora haré otro sobre otras ecuaciones 00:49:51
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Idioma/s:
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Idioma/s subtítulos:
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Segundo Ciclo
        • Cuarto Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
8 de noviembre de 2025 - 22:09
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
49′ 55″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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