Sistemas de ecuaciones no lineales_1 - Contenido educativo
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Bueno, vamos a estudiar los sistemas de ecuaciones no lineales.
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¿Qué quiere decir no lineal? Pues que las ecuaciones no son de grado 1.
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Por ejemplo, esta ecuación es de grado 2 y esta también es de grado 2.
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Entonces son ecuaciones no lineales, ¿vale?
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Para que un sistema sea lineal, las ecuaciones ambas tienen que ser de grado 1.
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Bueno, pues la forma de proceder es la misma.
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Vamos a tener los mismos métodos, igualación, sustitución y reducción.
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Normalmente los que se van a utilizar son sustitución y reducción.
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Hay veces que nos va a interesar más reducción, como en este caso, y otra sustitución.
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Pero de los tres métodos, estos son los dos que más vamos a utilizar.
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Entonces, bueno, lo primero siempre para cualquier sistema es ponerlo bonito.
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¿Qué quiere decir ponerlo bonito? Las x y las y a un lado y los números a otro.
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Por tanto, este x cuadrado pasa aquí y me quedaría menos x cuadrado menos 2y cuadrado igual a este 3 pasa aquí restando menos 8 menos 3 que es menos 11, ¿vale?
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Y ahora en esta ecuación, ¿qué hago? Paso este x cuadrado aquí restando, por tanto sería 2x cuadrado menos x cuadrado, x cuadrado menos 5y cuadrado igual a 4, ¿vale?
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Ya está bonito, es decir, x y en un miembro, en el de la izquierda y números en otro.
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Vale, pues ahora aplicamos sustitución o reducción.
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En este caso vamos a aplicar reducción, ¿por qué?
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Porque nuestro sistema ya está preparado.
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Si miramos en las x al cuadrado, esta tiene coeficiente 1, o sea, más 1, y aquí es menos 1.
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Por tanto, si yo sumo estas ecuaciones, la x al cuadrado se me va.
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La idea es que me desaparezca una de las variables.
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Esto desaparece, menos 2 menos 5 menos 7 y cuadrado, igual a menos 11 más 4 menos 7.
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Por tanto, y cuadrado es igual a menos 7 partido de menos 7 igual a 1.
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De aquí sacamos que la y es igual a más menos la raíz de 1, es decir, la y puede ser o 1 o menos 1.
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¿Vale? Entonces, igual, siempre, una vez que tengo la Y, ¿qué tengo que hacer? Calcular la X.
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Me vengo aquí a mi ecuación, estas son mis ecuaciones, ¿vale?
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Me centro en estas, ¿por qué? Porque ya son más bonitas o están más resumidas, ¿vale? En vez de en estas de aquí.
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Entonces, me vengo a cualquiera de las dos, la que queráis, y sustituyo, ¿vale?
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Voy a sustituir, por ejemplo, en la ecuación B.
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Sustituyo en B, ¿vale?
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Y puede ser 1 menos 1, pues primero, si y vale 1, pues si y vale 1, entonces sustituyo, sería x al cuadrado menos 5 por 1 al cuadrado igual a 4.
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Esto implica x al cuadrado menos, esto es 1, por tanto sería 5 por 1 menos 5 igual a 4.
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De aquí saco que x cuadrado es igual, este 5 pasa sumando a 9 y por tanto x es igual a más menos la raíz de 9, x es igual a más menos 3.
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de aquí obtenemos dos puntos
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si la x vale 3
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con la y 1
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porque partíamos de esto, esto es fijo
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entonces la x nos han salido estas dos opciones
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pues 3
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y la y 1
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o la x también puede ser menos 3
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y la y 1 porque es de lo que partíamos
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¿vale?
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ahora, pero aquí teníamos que la y podía ser menos 1
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pues hago lo mismo
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si la y es menos 1
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sustituyo en la misma ecuación
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en esta y vamos a calcular la x, sería x al cuadrado menos 5 por menos 1 al cuadrado
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igual a 4, esto vuelve a ser 1 también por ser exponente par, por tanto queda x al cuadrado
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menos 5 igual a 4, nos queda exactamente lo mismo, x es igual a 9, x al cuadrado es igual
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a 9, perdón, por tanto x es más menos 3 y de aquí obtenemos dos puntos, la x puede
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ser 3, pero la y es menos 1, o la x puede ser menos 3 y la y menos 1, ¿vale? Entonces
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tenemos cuatro soluciones, cuatro puntos de corte, cuatro soluciones, el 3, 1, el menos
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3, 1, el 3, menos 1 y el menos 3, menos 1, ¿vale? Entonces esto que gráficamente no
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sabemos lo que es y esto tampoco, ahora lo vamos a ver con GeoGebra, son dos gráficas
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que se cortan en estos puntos. Esto era igual que cuando hacíamos los sistemas lineales.
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Los sistemas lineales, esto es recordatorio, estaban formados por rectas y la solución
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era cuando se cortaban. Si las rectas eran paralelas no se cortaban, si eran secantes
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Se cortaban en un punto, que esta era la solución, y luego podían ser la misma recta, por tanto se cortaban en infinitos puntos, ¿vale?
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Pues esto es igual, la única diferencia es que nosotros no sabemos gráficamente lo que es, tendríamos que usar con jojebra, ¿vale?
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Porque no tenemos suficiente información, entonces esto, sea lo que sea, y esto también, son dos gráficas que se cortan en estos puntos, ¿vale?
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Vamos a ver estas gráficas que son, pues aquí yo he dibujado en azul está mi primera ecuación, yo tenía esto en mi sistema, esta era mi primera ecuación y esta la segunda, ¿vale?
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Mi primera ecuación dibujada es esto de aquí, ¿vale? Lo azul es una, se llama elipse, ¿vale? Pero esto no vamos a aprender a dibujarlo, lo veréis más adelante.
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Y la segunda ecuación, que es la roja, ¿vale? La roja está formada por dos trayectorias, dos gráficas, y se llama hipérbola.
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Entonces, yo aquí, ¿qué he calculado al resolver el sistema? ¿Cuándo se corta esta elipse con esta hipérbola?
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Pues ¿dónde se cortan? Pues tengo que ver donde lo rojo se corta con lo azul
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En este punto, en este, en este y este de aquí, ¿vale?
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¿Cuál es este punto? Pues el 3, 1, ¿vale?
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Este punto es el 3 también pero la I menos 1, el 3 menos 1
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este de aquí, el C, es menos 3 a la izquierda, 1 arriba, el menos 3, 1
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y este es 3 a la izquierda, 1 abajo, el menos 3, menos 1
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que justo estos 4 puntos eran mis 4 soluciones del sistema
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entonces esto podemos usar GeoGebra para comprobar, para demostrar
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pero nosotros no vamos a aprender a dibujar este tipo de geometría
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las helices, hipérbola, circunferencia, pero bueno, que lo vayáis conociendo
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Entonces, hay cuatro puntos de corte que son mis cuatro soluciones, ¿vale?
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Luego una cosa, por ejemplo, cuando yo tenía ecuaciones de grado 2, por ejemplo,
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y igual a x cuadrado menos 5x más 1, eso al dibujarla tenía un aspecto, pues así, por ejemplo, ¿vale?
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Esta era su gráfica, una parábola, que además de ser una gráfica, era una función, ¿vale?
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Sin embargo, la elipse y la hipérbola son gráficas, ¿vale?
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Todas mis ecuaciones van a ser gráficas, van a tener su gráfica asociada
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Pero no son funciones, ¿por qué?
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Porque si yo me pongo aquí el x igual a 1, para x igual a 1 me choca aquí arriba y me toca aquí abajo
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Es decir, un valor de x toca dos veces a mi gráfica, tiene dos is, ¿vale?
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Y eso no lo podía cumplir una función. Una gráfica es función si para un valor de x toca solo una vez en la gráfica, ¿vale?
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Sí, bueno, este no puede ser 1, este es 5.
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Para x igual a 5 toca en este punto, pero solo en este punto, no toca ni más arriba ni más abajo.
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Para x igual a 6, pues solo toca aquí, a mi gráfica, ¿vale?
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Entonces, esto sí es una función, una parábola sí es una función, sin embargo, una elipse no, ¿vale? Porque para un mismo punto toca dos veces. Para este punto, para el menos uno, también toca arriba y abajo, ¿vale? Y una función no, o sea, por definición no es función, ¿vale? Es gráfica, pero no es una función.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Laura Sanchez Diaz-Pintado
- Subido por:
- Laura S.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 23
- Fecha:
- 20 de octubre de 2024 - 22:21
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- CP INF-PRI-SEC SUAREZ SOMONTE
- Duración:
- 08′ 56″
- Relación de aspecto:
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- Resolución:
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- Tamaño:
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