Ecuaciones de la recta (Parte 1) - Contenido educativo
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primero para entender las ecuaciones de la recta, que son como unas recetas que
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si les damos los ingredientes adecuados nos van a permitir construir fórmulas de
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la línea recta que nosotros queramos. Vamos a estudiar las distintas
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recetas que hay para construir rectas. Y cuando digo recetas me estoy refiriendo
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a fórmulas que hay para construir rectas. Pero antes de ver esas fórmulas
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vamos a estudiar los ingredientes que son necesarios para construir una recta.
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Vale, vamos a ver. Todos sabemos que una línea recta
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está formada por muchos puntos puestos uno a continuación de otro, ¿de acuerdo?
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Entonces si yo os digo, a ver, imaginaos que yo estuviera hablando por teléfono
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con alguien y quisiera que él dibujara exactamente la recta que yo tengo en mi
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cabeza, ¿vale? Y le tuviera que describir cómo es la recta que tengo que dibujar,
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porque yo puedo dibujar esta recta o puedo dibujar esta otra recta, ¿vale?
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Hay rectas infinitas, hay infinitos tipos de rectas con distintas inclinaciones y
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colocadas en el plano en distintos lugares, ¿vale? Por ejemplo, imaginaos que
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estos son los R de coordenadas, ¿vale? Yo puedo dibujar esta recta o esta, ¿vale?
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Las líneas rectas siempre consideramos que son infinitas de largo, ¿vale? Tienen una
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longitud infinita, entonces esto se alargaría, ¿vale?
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Y bueno, podríamos continuar todo lo que quisiéramos, ¿de acuerdo? Entonces yo quiero
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que la persona que está al otro lado del teléfono dibuje exactamente la recta que
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yo quiero, ¿vale? Pues, ¿qué ingredientes le tendríamos que dar para que él supiera
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dibujarla? Y estoy hablando de dibujos, no estoy hablando todavía de fórmulas, ¿vale?
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Estoy hablando de qué necesita él para dibujarlas, ¿vale? Pues una manera,
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no sé si a alguien se le habrá ocurrido ya, pero una manera
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que tengo yo de asegurarme de que esa persona
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dibuja exactamente la recta que yo estoy pensando, es decirle dos puntos. Puedo
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darle dos puntos.
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A ver, quiero que dibujes la recta que pasa exactamente por este punto y por
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este otro punto, por el punto A y B. Le doy las coordenadas del punto A y B y
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él dibuja en los ejes de coordenadas el punto A, el punto B, con las coordenadas lo
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puede hacer perfectamente, traza la recta y va a dibujar exactamente la recta que
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yo quería que dibujara. Si le doy dos puntos lo estoy consiguiendo, ¿de acuerdo?
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Otra manera de conseguirlo, porque si le diera solo un punto,
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imaginaos que le doy el punto B. Trazame la recta que pasa por el punto B, no
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sería suficiente porque por el punto B pasa esta recta, que le puedo llamar R, y
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pasa esta otra, y pasan muchas otras más. Con un solo punto no, con dos sí, ¿vale?
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Otra manera que puedo hacer es
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darle un punto
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y un vector.
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¿Por qué un punto y un vector? Porque si le doy el punto B,
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oye, quiero la recta que pase por el punto B y que tenga la dirección, ¿vale?
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Cuando yo para construir una recta le estoy dando un vector, le estoy diciendo
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en realidad la dirección que tiene esa recta, la inclinación de la recta.
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Entonces, si le digo la recta que pasa por el
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punto B y tiene la inclinación del vector AB,
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entonces ya solo puede ser ésta, porque no hay ninguna otra recta que pase por B
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y tenga esta inclinación, la misma que este vector, porque yo puedo tener muchas
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rectas con esta inclinación, con la misma inclinación que tiene este
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vector, pero solo una pasa por aquí, porque la otra que yo dibujara pasaría
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por aquí, o por aquí, o por aquí. Hay infinitas rectas con esta inclinación,
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pero si además doy un punto, pues ya solo puede ser la recta que yo estoy pensando.
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Os he escrito aquí resumido lo que hace falta en realidad para poderle explicar
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a otra persona cuál es la recta que tiene que dibujar y que la pueda dibujar
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sin lugar a dudas. Entonces, antes habíamos dicho que o dos puntos o un
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punto o un vector director, para ser más exactos y más concretos, lo que hace
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falta siempre siempre es un punto por el que pase la recta y luego algo que nos
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dé la inclinación de la recta. Si tú tienes un punto, por ese punto pueden
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ser infinitas rectas las que podamos dibujar, cada una con una inclinación
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distinta, pero si damos las dos cosas, el punto por el que tiene que pasar la
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recta y la inclinación que tiene, ya quien sea va a poder dibujar exactamente
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la recta en la que nosotros estamos pensando. ¿Vale? Un punto y la inclinación.
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Pues si tiene que pasar por este punto y la inclinación es ésta, ésta es la recta
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que tiene que dibujar, pero si la inclinación es ésta otra, ésta o ésta, ¿vale?
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Ya sabéis, dos cosas. Siempre, siempre, para dibujar una recta necesitamos
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dos tipos de información, ¿vale? Un punto por el que pasa y la inclinación, pero pasa...
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hay un temilla, ¿vale? Es que la inclinación, la inclinación nos la pueden dar de
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distintas formas, ¿vale? Hay muchas maneras de darle inclinación. Vosotros conocéis
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algunas de ellas, ¿vale? Me he parado a pensar y se me ocurren todas
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estas formas en las que nos pueden indicar la inclinación que debe tener
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una recta, ¿vale? Y todas estas formas vamos a tener que saber manejarlas y no
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sólo manejarlas, sino que si nos dan una, con esa, vamos a tener, vamos a tener que
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ser capaces de averiguar todas las otras formas, ¿vale? Porque cada receta que
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estudiaremos, cada fórmula utiliza unos ingredientes distintos, ¿vale? Esto es
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como si, como si fuera lo que hay en la tienda, ¿vale?
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Y estos son los ingredientes que tendremos que coger los que sean
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adecuados para la receta que nosotros queremos hacer, para los distintos tipos
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de ecuaciones de la recta que hay, ¿vale? Que veremos más adelante. Entonces, ahora
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mismo nos vamos a centrar con los ingredientes, ¿vale? Un punto, todos sabemos
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un punto lo que es y lo que nos tienen que dar son las coordenadas, ¿vale?
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Entonces vamos a llamarle a 1 y a 2 a las coordenadas del punto A, ¿vale?
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Una primera manera de darnos la inclinación de la recta es que nos dieran
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otro punto. Si nos dan un punto y además otro, si nos dan dos puntos en total, ya
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podemos dibujar la recta adecuada. ¿Vale? Si nos dan este punto y además este otro
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punto, en el fondo nos están dando la inclinación, porque si tienen que pasar
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por estos dos puntos, la recta a la fuerza tiene que tener una determinada
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inclinación. Y si nos dan este punto y este otro punto, para la fuerza, la recta
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que sale es ésta, ¿vale? Y no hay ninguna otra. O sea que si nos dan dos puntos ya
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nos están dando un punto y además información sobre la inclinación, ¿vale?
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Eso sin problemas. Todos sabemos lo que son los puntos, nos darían las
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coordenadas de los puntos y yo os explicaría la manera de, a partir de ahí,
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construir la receta que vosotros quisierais. Muy bien. El vector director,
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que es el ejemplo que os ponía antes, tengo un punto y un vector director se
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llama vector director porque va en la misma dirección de la recta, ¿vale? Un
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vector director, imaginaos que yo os digo que este es el vector director de una
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recta. Le llamo D. O sea, yo quiero construir una recta que vaya en esta
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dirección, ¿vale? Que vaya en esta dirección tenemos esta recta, o esta, o
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esta, infinitas, y las que hay entre medias, ¿vale? Infinitas rectas, todas paralelas
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entre sí porque todas tienen la misma dirección, la misma inclinación, entonces
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todas estas rectas con la misma dirección son paralelas porque este
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vector es libre, lo podemos poner donde queramos, es un vector libre que no tiene
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punto de aplicación. Pero si le damos ese punto de aplicación, o si le damos un
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punto por donde tiene que pasar la recta y además que tiene que tener esta
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inclinación, el punto y la inclinación con el vector director ya sólo puede ser
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esta recta, ¿vale? O sea que recordad que vector director, que también tendrá sus
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coordenadas de 1 y de 2, vamos a llamarle,
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es una información que nos pueden dar para construir la recta que nosotros
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queramos, ¿vale? El vector normal es un poco más rebuscado pero en el fondo es
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lo mismo que el vector director, ¿vale? Pero es que hay ecuaciones en las que
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interesa utilizar el vector normal en lugar del vector director, ¿vale?
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El vector normal simplemente es un vector que no va en la dirección de la
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recta sino que es perpendicular a la recta, es decir, forma 90 grados con la
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recta. Es otra manera un poco rara y un poco rebuscada de dar también la
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inclinación porque si el vector siempre tiene que formar 90 grados con la recta,
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si yo cambio la dirección del vector también tenemos que cambiar la
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dirección de la recta. Entonces es otra manera también de decirme cómo tiene que
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ser la inclinación de la recta. Entonces con el vector normal y un punto, ¿vale?
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Porque con este vector normal también hay infinitas rectas normales a ese
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vector. Normal, cuando decimos normal, es un sinónimo de perpendicular, ¿vale? Más o
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menos, para que nos entendamos. Entonces hay muchísimas rectas infinitas que
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son, que estarían relacionadas con este vector normal, que tendrían la
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inclinación que indica este vector normal, ¿vale? Pero solo una de ellas pasará por
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un punto que nosotros digamos y además tendrá esta inclinación. Así que otro
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ingrediente que debemos conocer y que os voy a explicar cómo se maneja es el
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vector normal. Vector director, vector normal, otro punto, la pendiente de la
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recta. La pendiente de la recta es un numerito que ya habéis utilizado a veces
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en la ecuación punto pendiente que estudiamos otros años. Es un número, ¿vale?
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Nosotros hemos estudiado muchas veces la ecuación de una recta con esta fórmula,
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¿vale? Que será una de las que veamos este año también, ¿vale? Este número que
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acompaña a la x le llamamos pendiente.
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Y este número que estaba sin la x era la ordenada en el origen.
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¿Vale? Y con estos dos numeritos, la pendiente y la ordenada en el origen,
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podíamos construir una línea recta porque la ordenada en el origen, en el
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fondo, es un punto también. Vamos a ver, lo voy a poner aquí.
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La ordenada en el origen, si nos dan que n es igual a 2, por ejemplo, n igual a 2,
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en realidad lo que nos están diciendo es que la ordenada cuando la x es 0,
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la y es 2, n igual a 2. O sea que lo que nos están dando es un punto, el punto
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0, 2. Y la pendiente, imaginaos que la pendiente es 3, indica cuánto avanzamos
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en la y por cada unidad que avanzamos en la x. Es decir, si yo parto de este
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punto y avanzo una unidad hacia la derecha, hacia arriba avanzaré 3. 1, 2 y 3.
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Así que el siguiente punto sería este. La recta que yo busco es esta de aquí.
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¿Vale? Si la pendiente, esta es la recta, este dibujo que he hecho, sería la recta y
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igual a 3x más 2, porque la m es 3 y la n es 2. Pasa por el 2 cuando la x es 0 y
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tiene una inclinación tal que cada vez que avanzamos una unidad hacia la
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derecha en las x avanzamos 3 hacia arriba. ¿Vale? Si la inclinación, si ahora
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quiero construir otra recta que también tenga ordenada en el origen 2, pero la m
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es menos 1, menos x, más 2. Fijaos que aquí la n sigue siendo 2, pero la
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pendiente es menos 1. ¿Qué significa que sea pendiente menos 1? Va a pasar por
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aquí, porque la ordenada en el origen es la misma, pero cada vez que avanzamos un
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paso hacia la derecha lo que hacen las is es bajar una unidad. Así que en este
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caso la recta de la que nos están hablando es esta de aquí. Esa es la
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pendiente, es otra manera de indicarnos lo inclinada que está la recta. ¿Vale?
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Vale, eso para recordarlo, porque esto ya lo habéis visto, pero bueno,
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haremos ejercicios que os ayudarán a entenderlo mejor y si no me podéis
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preguntar siempre que queráis. La pendiente de la recta es otra manera de
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dar la inclinación de la recta y el ángulo que forma la recta con el eje de
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ascisas. ¿Vale? Imaginaos que nos dicen que la recta pasa por 2 igual
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y tiene un ángulo con el eje de ascisas, que es lo mismo que con una línea
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horizontal, tiene un ángulo de 45 grados.
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Pues si tiene un ángulo de 45 grados y pasa por ese punto, por el 0,2, pues es
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esta recta. Si nos dicen que el ángulo no es de 45, que es de 60 y sigue pasando
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por el mismo punto, pues más inclinada. ¿Vale? Sabríamos, si nos dan cualquiera
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de estas informaciones, nosotros sabríamos dibujar, sabríamos dibujar la
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recta que nos están pidiendo, pero ¿sabríamos averiguar su ecuación? Pues
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ese va a ser el objetivo de este tema. ¿Vale? Viendo un dibujo, saber deducir la
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ecuación y viendo la ecuación, saber hacer el dibujo, saberlo deducir y para
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eso tenemos que manejar muy muy bien todos estos ingredientes y os voy a
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explicar ahora cómo pasar de uno de los ingredientes a el otro. ¿Vale? Voy a daros
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algunos apuntes y lo iremos viendo mejor cuando veamos ya las ecuaciones, pero de
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momento vamos a ver si nos dan otro punto. ¿Cómo averiguamos un vector
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director? ¿Vale? ¿Cómo averiguamos la pendiente de la recta? ¿Cómo averiguamos
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un vector normal a partir de un vector director o a partir de dos puntos?
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Eso es importante que sepamos manejar estos ingredientes a la perfección. ¿Vale?
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Bueno, vamos a ver esas formas de dar la inclinación de la recta.
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Imaginamos que nos dan dos puntos. Los he dibujado aquí. El punto A que tiene
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coordenadas 1, 1. Lo veis. Y el punto B que tiene coordenadas 5, 3. ¿De acuerdo?
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Y con esos dos puntos, que hemos dicho que teniendo dos puntos ya tenemos
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información sobre la inclinación de la recta, vamos a intentar sacar, por ejemplo,
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la pendiente de la recta. ¿Vale? Hay que recordar que hay varias maneras de
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saber la inclinación de la recta. Dos puntos o el vector director o el vector
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normal, o la pendiente, o el ángulo. El ángulo con la horizontal.
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Bueno, vamos a ver si tenemos dos puntos. Bueno, mira, con dos puntos, había dicho
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la pendiente, pero es que el vector director es muy fácil. A ver, una recta
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que pasa por estos dos puntos. ¿Verdad? Tenemos los dos puntos. ¿Cómo podríamos
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sacar el vector director? Pues un vector director de la recta, un vector que tenga
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la misma inclinación de la recta, puede ser perfectamente el vector que vaya de A
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hasta B. Así que el vector director de la recta puede ser el vector AB. Y teniendo
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dos puntos, hemos estudiado cómo se sacan sus coordenadas, ¿no? Las coordenadas
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del vector que los une. B menos A, las del extremo menos las del origen. Entonces 5,
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3, menos 1, 1. Las coordenadas del vector directo serían 4, 2. Perfecto. ¿Vale?
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Fijaos que hemos relacionado ya estas dos formas. ¿Cómo podemos sacar un vector
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normal a partir del vector director? Bueno, pues el vector director, que es este,
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el vector normal tiene que formar 90 grados con el director. ¿Vale? Un vector normal.
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Nos da igual cómo sea de grande, lo único que queremos es que forme 90 grados con el
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vector director. Cuando hablamos de ángulos entre vectores, a mí enseguida me viene a
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la cabeza una fórmula. ¿Vale? Que es la fórmula del producto escalar. Entonces podríamos
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plantear la fórmula del producto escalar entre los dos vectores, entre el director
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y el normal. A ver cómo sería esa fórmula. El vector director multiplicado por el vector
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normal escalarmente sería el módulo del vector director por el módulo del vector
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normal por el coseno del ángulo que forman el vector director y el vector normal. ¿Vale?
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Pues esto no parece que me haya ayudado mucho, ¿no? Porque no sé ni... bueno, podría saber
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el módulo del vector director, porque lo puedo calcular aquí, pero el del vector
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normal en principio podría tener cualquier módulo, eso me daría igual, porque me da
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igual lo largo que sea el vector normal, lo único que quiero es que forme 90 grados.
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El coseno del ángulo que forman, el coseno del ángulo que forman sí que es algo... esto
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tampoco lo sé en el producto escalar, pero el coseno del ángulo que forman, como forman
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90 grados es el coseno de 90 grados, porque son perpendiculares. ¿Cuánto era el coseno
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de 90 grados? Seguro que no os acordáis. Vamos a ponerlo en la calculadora. Coseno
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de 90 grados. ¿Cero? ¡Cero! El cero es un número guay para hacer cuentas, porque, fijaos,
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si estoy multiplicando por cero, que es el coseno de 90, valga lo que valga esto, ¿qué
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va a pasar? Que va a dar cero. O sea que, si dos vectores... y esto metéroslo en la
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cabeza porque sale un mogollón de problemas, ¿vale? Esto grabadlo en rojo, en fosforito,
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como queráis. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar da cero. Siempre da cero,
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¿por qué? Porque como tienen un ángulo de 90 grados entre sí, el coseno de 90 es
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cero y siempre va a dar cero, ¿vale? Dos vectores son perpendiculares y su producto
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escalar da cero y viceversa, ¿vale? El producto escalar de dos vectores perpendiculares da
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cero. Y ahora es cuando va a llegar todo lo que esperabais vosotros. Tenía que haber
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preparado una musiquita porque es la sección favorita de todos vosotros. El mateconsejo.
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El mateconsejo del día. Si tenemos que el producto escalar de dos vectores tiene que
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dar cero, vamos a imaginarnos las coordenadas del vector director y las coordenadas del
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vector normal. Las coordenadas del vector director le llamamos d1 y d2. Las coordenadas
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del vector normal n1 y n2, ¿vale? ¿Cómo se hace el producto escalar? Pues ya explicamos
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la fórmula fácil, d1 por n1 más d2 por n2. Y esto tiene que dar cero porque el producto
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escalar de dos vectores perpendiculares tiene que dar cero, ¿vale? Y es que nos da igual
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cuáles sean las coordenadas mientras esto dé cero. Eso quiere decir que d1 por n1
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tiene que ser lo mismo que menos d2 por n2, pasándolo al otro lado y viéndolo. Vamos
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a ponerlas en ese lado y las des al otro. ¿Qué me doy cuenta aquí? Fijaos, las coordenadas
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del vector normal podrían ser las mismas que del vector director pero dadas la vuelta
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y con el signo negativo. Bueno, aquí no sé si os estaréis dando cuenta o no, pero
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a lo que yo iba, al mateconsejo. Esta es la explicación del mateconsejo, pero el mateconsejo,
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como todos los mateconsejos, es muy fácil. Si yo tengo un vector director, por ejemplo
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el que nos ha salido antes, que tiene coordenadas 4, 2, una forma fácil, fácil, muy fácil
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de encontrar un vector perpendicular a éste es, tachán, darle la vuelta a sus coordenadas
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y a una de las dos, la que más rabia nos dé, le cambiamos el signo. Es decir, por
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ejemplo yo podría poner 2, 4, le he dado la vuelta, y a una de las dos, por ejemplo
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al 4, le cambio el signo. Podría haberselo cambiado al 2 perfectamente. Y yo sé que
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éste y éste forman 90 grados con ese sencillo truco. ¿Vale? Comprobémoslo. Vamos a calcular
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su producto escalar. A ver si da 0. Seguro que sí. Mirad. 4 por 2 más 2 por menos 4,
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es que tiene que dar 0, claro, es 8 menos 8, 0. Es un truco muy fácil y nos permite
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cuando tenemos un vector director averiguar un vector normal. Y si tienes un vector normal
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también te sirve para hallar un vector director. Es darle la vuelta a sus coordenadas y le
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cambiamos el signo a una. De esta manera cuando hagamos esta operación va a dar 0 a la fuerza
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porque son los mismos números pero he cambiado el signo. Entonces cuando se suman da 0. ¿Vale?
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Es un truco muy fácil. Entonces tienes dos puntos. Puedes averiguar fácil el vector
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director. Del vector director puedes averiguar el vector normal. ¿Cómo es la pendiente?
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¿Qué hay que hacer para averiguar la pendiente? La pendiente es muy fácil. La pendiente lo que
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indica es que por cuánto avanza la I, vamos a ver, por tantas unidades que avancemos hacia
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la derecha, cuántas avanzamos hacia arriba. La fórmula de la pendiente es esta, que la sabéis
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de otros años. M es igual al incremento de la I dividido entre el incremento de la X. ¿Vale?
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Para que lo entendáis mejor, si yo tengo dos puntos, si yo tengo dos puntos, a ver, a ver, a ver, a ver,
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si yo tengo el punto A,
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el punto A que tiene coordenadas a1 y a2, y el punto B que tiene coordenadas b1 y b2. ¿Vale?
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Fijaos. ¿Vale? ¿Cuánto se ha incrementado la I? ¿Vale? La I es esto, lo que ha subido para pasar
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de A a B, ¿cuánto hemos subido? Hemos subido este trozo, este es el incremento de la I. ¿Vale?
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Para saber lo que ha incrementado la I, esto hay que restar la coordenada I de la B, es decir, b2, 3,
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menos la coordenada I de la A. ¿Vale? Si de la A hemos pasado la B, hemos pasado de 1 hasta 3.
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Lo alto que estaba el B menos lo alto que está la B2 menos A2, y en las X, ¿de dónde hemos ido?
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Pues de 1 hasta 5, es decir, B1 menos A1. Es decir, 3 menos 1 es lo que se ha incrementado la I,
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partido de 5 menos 1, que es lo que se ha incrementado la X. ¿Vale? Todo este trozo es lo que hemos incrementado la X.
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Es decir, dos cuartos, la pendiente es un medio. ¿Vale? ¿Esto cómo se relaciona con los vectores?
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¿Vale? Fijaos, este es el vector. Fijaos también que lo que se ha incrementado la I es justo la coordenada I
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del vector. Y lo que se ha incrementado la X, fijaos que este es el vector AB.
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Esta es la coordenada I del vector y esta es la coordenada X del vector, que es 4. Fijaos que está aquí abajo.
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Entonces la M y la D también están muy relacionadas. La M, la pendiente, se puede obtener como
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la coordenada I del vector director entre la coordenada X del vector director. ¿Ves? 2 entre 4.
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2 entre 4. A partir del vector director sale muy fácil también la pendiente. ¿Vale?
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Y una última cosa, el ángulo que forma con la horizontal. Fijaos, el ángulo que forma con la horizontal es este.
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Por la trigonometría que hemos estudiado en el tema anterior, ¿qué razón trigonométrica podemos obtener con estos dos lados que conocemos?
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Pues este es el cateto opuesto. Este es el cateto contiguo. La tangente de alfa del ángulo que nosotros buscamos es...
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Pues eso. D2 entre D1, es decir, la pendiente. La pendiente no es ni más ni menos que la tangente del ángulo que forma con la horizontal.
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Entonces si quiero saber el ángulo que forma con la horizontal, solo tengo que hacer el arcotangente de la pendiente, que es esto.
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Entonces, para resumir. Una pequeña chuletilla resumen. Lo tenéis aquí todo, pero al final, con la explicación, se me ha quedado un poquito...
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¿Vale?
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Inclinación de una recta.
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¿Vale? Tenemos dos puntos. El punto A, que tiene coordenadas a1, a2. El punto B, que tiene coordenadas b1, b2.
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La pendiente. ¿Cómo se obtiene?
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b2 menos a2 partido de b1 menos a1, que esto es el incremento de las is entre el incremento de las x.
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O bien, también es la coordenada y del vector director entre la coordenada x del vector director.
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O también es la tangente del ángulo alfa.
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Entonces, D, que tiene coordenadas de 1 y de 2, es vector director de la recta.
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M es la pendiente de la recta.
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Y alfa es el ángulo de la recta con la horizontal.
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Y por último, el vector normal se obtiene como, por ejemplo, vamos a poner, menos d2 entre, o sea, coma, d1.
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¿Vale? ¿Veis? Al vector director le damos la vuelta a las coordenadas.
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Y a una de las dos, podría ser esta o la otra, le cambiamos el signo.
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Y este es un resumen de cómo manejar los ingredientes que hablan de la inclinación de una recta.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Elías Martí Borredà
- Subido por:
- Elias M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
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- Fecha:
- 20 de octubre de 2023 - 16:44
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES VILLA DE VALLECAS
- Duración:
- 32′ 44″
- Relación de aspecto:
- 3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
- Resolución:
- 720x480 píxeles
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