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CLASE CCFF 19 DE ENERO - Contenido educativo

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Subido el 23 de enero de 2026 por M.jose S.

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Bueno, revisamos un poco, hacemos un esquema o os hago un esquema de toda la parte, 00:00:00
lo que hemos ido dando en matrices y determinantes. 00:00:05
Entonces, empezamos con matrices. 00:00:11
Matrices hemos visto definición y tipos. 00:00:21
Vimos que una matriz era una serie de datos puestos y escritos en forma de tabla, 00:00:27
en forma de columnas con filas y columnas, que el número de filas y columnas podría ser cualquiera 00:00:34
y que el número de filas y columnas de una matriz define lo que conocemos como dimensión. 00:00:39
La dimensión de una matriz siempre vendrá dada m por n, donde m es el número de filas y n el número de columnas. 00:00:45
Bien, vimos que si tiene el mismo número de filas que de columnas, la matriz se llama cuadrada y entonces en vez de hablar de dimensión no hablamos de orden, es una nomenclatura específica para matrices cuadradas que se dice en vez de decir que es una matriz de 3x3, pues se dice que es una matriz de orden 3. 00:01:03
Y con eso ya directamente nos están diciendo que es una matriz cuadrada de 3x3. 00:01:21
Ya de las matrices cuadradas sale una específica y muy eso que son las matrices identidad. 00:01:28
Una matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos cero exceptuando la diagonal principal que son 1. 00:01:37
Entonces estas matrices de identidad además se nombran de otra manera todavía más específica, se nombran como I2 o I3 o I4 etcétera, donde el subíndice nos dice el orden de la matriz, 00:01:47
es decir que una matriz de identidad de orden 2 sería la matriz, es una matriz de 2 por 2 que tiene todos los elementos 0 exceptuando su diagonal principal. 00:02:05
¿De acuerdo? Bueno, después de la definición y tipos, vimos las operaciones que se pueden hacer con matrices. 00:02:17
Entonces, vimos que se podían sumar y restar, y para poderla sumar y restar sabemos que tienen que tener la misma dimensión. 00:02:24
Yo no puedo sumar ni restar dos matrices que no tengan exactamente el mismo número de filas y el mismo número de columnas. 00:02:35
En el momento en que eso cambien, uno de ellos, eso significa que no se puede hacer esa operación. 00:02:42
Y si tenemos dos matrices con la misma dimensión, sumar y restar no tiene ningún problema. 00:02:49
Se suma o se resta los elementos a elementos que están en la misma posición. 00:02:54
¿Me seguís? 00:03:00
Vimos también cómo se, el producto por un número. 00:03:02
Si yo multiplico una matriz por un número, el que sea, para hacer eso lo puedo hacer sea cual sea la matriz. 00:03:08
y esto se hace también muy sencillo, multiplico todos los elementos de la matriz por ese número, no tiene mayor. 00:03:18
Por último vimos el producto entre matrices, para multiplicar dos matrices también tenía su dimensión, 00:03:26
tenían que cumplir una característica y es que el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda, 00:03:35
Es decir que si yo quiero multiplicar dos matrices, una de dimensión m por n, la otra tiene que tener estos dos números iguales, si no, no se puede multiplicar. 00:03:43
Es decir que en el caso de las matrices no pasa como con los números, todos los números se pueden sumar y restar, todos los números se pueden multiplicar, bueno pues no, en el caso de las matrices no, en el caso de las matrices solamente se puede sumar y restar si tienen la misma dimensión. 00:03:57
y solamente se puede multiplicar si sucede esto, que el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda 00:04:13
y la dimensión del producto, de ese producto, es precisamente m por p, es decir, el número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda. 00:04:21
Eso quiere decir que aquí sale una propiedad importantísima del producto de matrices y es que no es conmutativo. 00:04:35
El producto de matrices, de aquí sale que A por B, si estos son dos matrices, es distinto de B por A. 00:04:43
No pasa como con los números, los números, si yo multiplico dos números me da lo mismo multiplicar 2 por 3 que 3 por 2. 00:04:53
En este caso, en el caso de multiplicación por matrices, no da lo mismo, ¿de acuerdo? 00:04:59
Es más, hay veces que puedes hacer A por B y sin embargo no puedes hacer B por A, porque no cumple esta condición. 00:05:05
Bueno, vimos que para multiplicar dos matrices, estuvimos viendo, hicimos algunos ejercicios sobre cómo se multiplica. 00:05:15
Para multiplicar dos matrices, cada uno de los elementos de la matriz resultante se calculan multiplicando la fila de su subíndice por la columna de su subíndice. 00:05:21
Es decir, que si yo quiero calcular un elemento que es el A3,4, tendría que multiplicar la tercera fila de la primera por la cuarta columna de la segunda. 00:05:35
¿De acuerdo? 00:05:46
Bueno, como haremos ejercicios, esto así explicado es un poco rollo, pero la cuestión es saber hacerlo una vez que es. 00:05:47
¿Vale? Bueno, otra operación extraña que ya se hace solo con matrices es la transposición de matrices, que consiste en cambiar las filas por las columnas de una matriz. 00:05:54
Yo tengo una matriz A y cambio sus filas por sus columnas, la convierto en la traspuesta de la matriz que se escribe de esta manera. 00:06:18
Y ya por último la otra operación que hicimos con matrices fue la triangulación de una matriz por el método de Gauss 00:06:27
¿En qué consiste esto? 00:06:45
Esta operación consiste en que si yo tengo una matriz, la que sea 00:06:55
triangular a una matriz significa coger su diagonal principal 00:07:00
y convertir en ceros todos los elementos que hay por debajo o por encima 00:07:20
esto se hace calculando, haciendo combinaciones de sumas 00:07:26
de multiplicaciones y sumas y vamos convirtiendo estos elementos en cero 00:07:33
eso ya tenemos hecho unos cuantos 00:07:39
Entonces, con estas operaciones de aquí sacamos también lo que era el rango de una matriz. 00:07:42
El rango de una matriz nosotros lo calculábamos, hay otras maneras de calcularlo y ahora lo vemos que es con el trabajo con determinantes, 00:07:56
pero si trabajo con matrices, el rango de una matriz es el número de filas distintas de cero que quedan cuando he triangulado la matriz. 00:08:06
Si al triangular la matriz a mí me quedan tres filas, en este caso serían tres filas que no tienen todos sus elementos cero, pues el rango es tres. 00:08:15
Si solamente hay dos, el rango es dos y si solamente hay una, pues el rango es uno. 00:08:26
¿Para qué utilizaremos el rango de la matriz? Pues de momento para nada. 00:08:32
Cuando la semana que viene empecemos a ver ya las aplicaciones directas de las matrices, o sea, cómo vamos a utilizar las matrices, 00:08:35
O sea, ¿qué tipo de ejercicios nos van a caer en el examen sobre matrices? 00:08:45
Pues entonces ya veremos para qué utilizamos el rango de una matriz. 00:08:50
Bueno, esto es, en resumen, todas las cosas que hemos visto sobre matrices. 00:08:54
Todo esto está en el aula virtual. 00:09:01
Ya os comenté el otro día que yo el aula virtual, a partir del momento en que ha sucedido todo este caos, 00:09:03
Lo he rehecho y entonces he puesto una serie de secciones que son conocimientos previos, que es lo que habíamos dado los que estaban haciendo matemáticas inicialmente conmigo las semanas anteriores. 00:09:12
Y hemos empezado lo que he llamado semana 1, que es la semana pasada y ahí tenéis todo esto, ¿de acuerdo? 00:09:32
Y luego está lo que vimos la semana pasada, que son los determinantes. 00:09:42
Bueno, los determinantes es una operación que se hace en una matriz, pero ojo, esto se hace solo y exclusivamente, solo para matrices cuadradas. 00:09:48
Las matrices que no son cuadradas no tienen determinantes. 00:10:00
Entonces, solo para matrices cuadradas. 00:10:05
El determinante, vimos que el determinante de una matriz es un número y se realiza de forma distinta según que la matriz tenga, sea de orden 2 o sea de orden 3 o sea de distinto orden. 00:10:08
Nosotros ya os dije que en principio íbamos a trabajar con matrices hasta orden 3 00:10:27
Porque las matrices de orden 4 ya el trabajo es sencillo pero es muchísimo más largo 00:10:34
Y en principio yo creo que una matriz de más de un orden 3 no os va a salir 00:10:42
¿Cómo se hace el determinante de una matriz de orden 2? 00:10:46
Lo primero es, se escribe, la matriz se escribe, el determinante de una matriz se escribe con los elementos de la matriz entre dos líneas 00:10:50
La matriz se escribe entre dos paréntesis y el determinante entre dos líneas 00:11:01
Entonces, si yo tengo una matriz de 2 por 2, el determinante de esto se hace esta multiplicación, es decir, a1,1 por a2,2 menos esta de aquí, a1,2 por a2,1. 00:11:04
Y en la matriz de orden 3 la cosa se complica un poco, bueno, vimos que lo tenéis también en el aula habitual, la regla de Sharpe que dice que el determinante este se calcula, 00:11:31
primero calculo esto por esto por esto, luego esto por esto por esto y luego esto por esto y por esto, ¿de acuerdo? 00:11:58
¿De acuerdo? ¿Vale? Y ahora, una vez hecho eso, le tengo que restar, le tengo que restar, 00:12:10
Le tengo que restar, si antes lo he hecho en esta dirección, ahora en esto. 00:12:38
Esto por esto por esto, esto por esto por eso de ahí arriba y esto por esto por esto de aquí abajo. 00:12:42
El resultado de esta operación es un número. 00:12:50
Y eso sería si es el determinante de esa matriz. 00:12:54
Así se calcula, lo tenéis en el este, es una cosa muy sencilla, es una cosa totalmente, siempre está igual. 00:12:59
que no tiene mayor interés, nada más que aprendérselo, hacer unos cuantos y aprenderse cómo se hace y ya está. 00:13:06
Ahora veremos alguno y veréis que es muy sencillo. 00:13:14
Esto es lo que vimos el otro día, también vimos que, ¿para qué utilizamos los determinantes? 00:13:17
Pues los determinantes los utilizamos para dos cosas importantes, 00:13:24
que luego vamos a utilizar bastante en las aplicaciones de trabajo con matrices. 00:13:28
El determinante de una matriz lo utilizamos para calcular el rango de la matriz. 00:13:35
Hemos dicho antes que si yo quiero calcular el rango de una matriz, que insisto es una cosa que vamos a tener que utilizar cuando hagamos las aplicaciones, los ejercicios de matrices, 00:13:46
entonces yo puedo hacerlo, el rango de una matriz lo puedo hacer por el método que se conoce como el método de Gauss. 00:13:57
El método de Gauss que consiste, ya hemos hecho algún ejercicio sobre esto, consiste en triangular la matriz y una vez triangulada ver el número de filas distintas de cero que me quedan y ese es el rango de la matriz. 00:14:03
Pero también hay otra manera de calcular el rango, que es por su determinante. 00:14:16
El rango de una matriz es el orden del mayor de sus determinantes distintos de cero. 00:14:21
¿Qué quiere decir esto? 00:14:46
Quiere decir que yo si tengo una matriz de 2 por 2, ahí dentro hay un determinante de 2 por 2 y 4 determinantes de un elemento. 00:14:47
A ver, si yo tengo una matriz 3, 4, 5, 7, yo de aquí puedo sacar un determinante que sería este 00:15:03
y cuatro determinantes de uno que sería este, ¿no? 00:15:19
¿A lo de separar por un grupo? 00:15:27
Claro, por determinantes de orden 1 y de orden 2. 00:15:29
¿No? Entonces, yo aquí puedo calcular este determinante, este determinante es 3 por 7 menos 5 por 4, esto es igual a 21 menos 20 a 1. 00:15:33
Como veis, dentro de esta matriz hay un determinante de 2 por 2 que es distinto de 1, luego su rango es 2, el rango de esta matriz es 2. 00:15:46
Hemos dicho que el rango de una matriz es el orden del mayor determinante que es distinto de cero, que hay dentro de la matriz. 00:15:57
Yo he dicho que dentro de la matriz, si yo cojo sus elementos de 1 en 1, luego de 2 en 2, o sea, no de 2, de 1 en 1, luego de 4 en 4, luego de 9 en 9, 00:16:13
O sea, voy creando determinantes con los elementos de la matriz. 00:16:26
Entonces, si yo calculo esos determinantes, el que sea distinto, si tiene alguno que es distinto de cero, 00:16:31
el mayor de esos, o sea, el orden del mayor de esos es el rango de la matriz. 00:16:39
Por ejemplo, vamos con una de 3x3. 00:16:45
2, 1, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 2. 00:16:49
Por ejemplo, esta matriz, yo quiero saber el rango de esta matriz. 00:16:54
Entonces yo, en esta matriz, lo primero que tengo es un determinante de 3x3, que es cogiendo todos sus elementos. 00:16:58
Eso es lo primero. Siempre empiezo por los grandes, porque así me evito el tenerme que hacer todos los demás. 00:17:05
Voy a calcular el determinante de 3x3 que hay aquí, que es este, ¿no? 00:17:11
¿Dónde está vuestro componente? 00:17:16
Mira, dime cómo lo haces tú, tú, que me... 00:17:17
Es que él tiene un método distinto. 00:17:20
Y a lo mejor a vosotros se os da mejor el método suyo o el mío. 00:17:22
Es un método de magia que yo no había visto en mi vida. 00:17:25
¿Cómo haces este determinante? 00:17:28
Yo voy copiando todo otra vez aquí abajo. 00:17:30
Voy copiando 2 por 0 por 2. 00:17:37
Y ahora vemos cómo lo haces. 00:17:44
0 por 1 por 4. 00:17:47
por 4 00:17:48
y ahora qué? 00:17:50
por 0 00:17:53
por 2 00:17:55
ahora multiplico este 00:17:58
aquí me da 0 00:18:00
0 también 00:18:02
y 0 00:18:03
ahora multiplico este también 00:18:06
que este me da 0 aquí 00:18:09
20, 40 00:18:10
a ver, a ver 00:18:12
a ver que ya me entere 00:18:14
A ver que ya me entero 00:18:15
O sea, tú lo repites esto y haces primero 00:18:16
Este por este, este por este, este por este 00:18:19
Y esos son los positivos 00:18:21
Claro, si él en vez de hacer el triángulo 00:18:23
Hace esto 00:18:25
Y luego 00:18:26
Y luego resta 00:18:27
Este, este, este 00:18:32
Y este 00:18:35
A ver 00:18:36
Yo, vuelvo 00:18:37
Ahora ya sé como lo hace 00:18:40
Hago moviola, vale 00:18:41
A lo mejor os resulta más sencillo hacerlo 00:18:44
así, fijaros, yo lo que hago es, es aplicar directamente la regla de Sarro que es esto 00:18:46
0, 5, 2, entonces yo digo, lo que va en la dirección, en esta dirección que es la dirección 00:18:54
principal, este por este por este, 2 por 0 por 2 más, ahora sigo en la dirección, este 00:19:04
por este y ahora salto ahí arriba para hacer el triángulo y entonces multiplico por 0, 00:19:12
sería 3 por 5 por 0, este por este y por este, ¿vale? Y ahora sigo, lo otro que me 00:19:18
queda es esta por esta más 1 por 4 y ahora salto aquí para hacerlo por 0, digo por el 00:19:25
vale, de acuerdo, en vez de hacer esto, lo que hace es esto, coge su, y lo vuelve a escribir aquí abajo, y ahora hace esto, este por este por este, este por este por este, 00:19:35
Este por este por este 00:19:59
Este por este por este 00:20:04
Y ya está 00:20:08
¿De acuerdo? 00:20:12
¿Pero las rayitas me las pasas a ver para que multiplicas? 00:20:14
Tú las rayitas en el examen ni si te ocurra poner 00:20:16
Ahorita las pongo para que veáis vosotros 00:20:18
Pero si las ponemos para que veáis 00:20:19
Bueno, pero es que las haces en sucio 00:20:21
Tú las rayitas las pones en sucio 00:20:23
Pero tú no te puedas hacer rayitas en el examen 00:20:26
Es que con las rayitas me he rayado 00:20:28
Que flipas 00:20:30
No hay nada más lógico que rayarse con la rayita, es lo más lógico. 00:20:31
A ver, yo este lo pongo para que veáis por qué. 00:20:37
No, no, pero sigue viendo rayita, escúchame. 00:20:41
Mira, mira, tú sigue con la rayita, verás, porque ahora, no hemos acabado, no hemos acabado. 00:20:43
Entonces, esto es 2, 1, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 2. 00:20:52
Y ahora, a lo que da aquí, hay que restarle lo que da en el otro sentido 00:20:57
Este por este por este, más este por este por ese de ahí arriba 00:21:04
Más este por este y por ese de ahí arriba 00:21:15
Y en su caso 00:21:21
Hace lo mismo pero multiplica 00:21:25
Este por este por este 00:21:28
Este por este por este 00:21:29
Este por este por este 00:21:31
Y este por este por este 00:21:32
¿De acuerdo? 00:21:33
Y lo resta 00:21:36
No sé cuál de las dos queréis que utilicemos habitualmente 00:21:37
A mí me da bastante 00:21:40
A mí se me ha quedado la que dijiste tú 00:21:41
Pero me da bastante 00:21:43
De todas maneras esto lo tenéis en el aula habitual 00:21:44
Lo tenéis 00:21:49
O sea, tenéis exactamente hecho el esquema de lo que hay que hacer. 00:21:49
Entonces, si yo hago esto, si yo hago esto, esto es 0 y esto es 3 por 2, 6, 6 más 5 por 4, 20, 40, esto es 46. 00:21:55
Que si lo resto, ese determinante vale menos 46, ¿de acuerdo? 00:22:10
calculo el determinante, que es a lo que iba yo fundamentalmente, 00:22:16
el determinante yo para saber el rango de esta matriz, 00:22:21
calculo el determinante de 3 por 3 que hay ahí dentro, 00:22:24
y me da 46 o menos 46, luego el rango de esta matriz es 3. 00:22:28
Eso ya sigue volviendo. 00:22:38
Claro, yo lo que no entiendo es... 00:22:40
Eso, o sea, no entiendo eso. 00:22:42
¿Por qué? Pues porque dentro de esta matriz hay un determinante que es este, 00:22:45
Que es distinto de 0 y el... 00:22:49
O sea, que si la dimensión fuera 4 sería rango 4. 00:22:52
Sí, pero de 4 no vamos a trabajar porque el determinante de 4 por 4 no te ha enseñado cómo se calcula. 00:22:55
Se calcula de otra manera distinta. 00:23:00
Entonces, ¿qué pasaría si esto fuera 0? 00:23:02
Si aquí me hubiese dado 0, pues que el rango ya no sería 3. 00:23:06
Sería 2 si yo encuentro aquí dentro algún determinante de 2 por 2. 00:23:10
yo puedo coger este, este no es 0, luego si eso me hubiese dado 0, el rango de esta sería 2. 00:23:16
Yo voy diciendo, dentro de una matriz puede haber una matriz de 3x3 que estamos trabajando, 00:23:26
hay un determinante, solo un determinante de 3x3, yo lo calculo. 00:23:32
¿Que es distinto de 0? Yo ya sé que el rango de la matriz es 3. 00:23:37
¿qué es cero? 00:23:40
tengo que buscar un determinante 00:23:42
ahí dentro, o sea, coger cuatro 00:23:44
elementos de eso 00:23:46
que me den 00:23:48
distinto de cero, que todos 00:23:49
los que pruebe y todos los que hay ahí 00:23:52
son cero, pues ya el rango 00:23:54
es uno, ¿de acuerdo? 00:23:56
es decir, vamos 00:23:57
¿puedes repetir eso? 00:23:58
¿estos son matemáticas? 00:24:03
no os asustéis 00:24:07
Ni con las rayas, ni con las rayitas, ni con los números, son matemáticas, son matemáticas. 00:24:08
Seguro que Raffo se ha puesto muchos menos números, pero muchas más letras que yo. 00:24:15
A ver, insisto, insisto, el rango de una matriz, el rango de una matriz es un número, es decir, que como máximo, como máximo es un número de filas. 00:24:21
Es decir, una matriz que tiene tres filas no puede tener, o sea, tiene que tener, bueno, tres filas y tres columnas, es decir, si tiene tres filas o tres columnas, su rango es como máximo tres, pero puede ser dos o puede ser uno, nunca puede ser cuatro. 00:24:39
En una matriz de tres filas o de tres columnas, el rango puede ser tres, nunca puede ser cuatro, ¿de acuerdo? 00:24:57
Entonces, yo el rango de una matriz lo puedo calcular de dos maneras, de hecho, vais a tener que calcularlo de dos maneras, 00:25:06
o sea, los ejercicios de aplicación de la teoría de matrices y determinantes, vais a tener que, dependiendo del ejercicio y el tipo de ejercicio, 00:25:14
vais a tener que hacerlo de dos, aprender a hacerlo de las dos maneras. 00:25:22
La primera manera es triangulando la matriz y una vez triangulada ver el número de filas distintas de cero que os quedan. 00:25:26
Y entonces el número de filas distintas de cero es el rango de la matriz. 00:25:36
¿Qué trianguláis os quedan tres distintas de cero? Matriz de rango tres. 00:25:40
que trianguléis y os queda la matriz 00:25:46
con 2 00:25:48
matriz de rango 2 00:25:49
y que os queda solo una 00:25:52
matriz de rango 1 00:25:54
una matriz que como esa 00:25:55
puede tener rango 3, rango 2 o rango 1 00:25:58
¿de acuerdo? ¿vale? 00:26:00
y hay otra manera de hacerlo 00:26:02
lo mismo 00:26:04
que es dentro de la matriz 00:26:05
dentro de la matriz 00:26:08
ver lo primero 00:26:10
si tengo una matriz 00:26:12
de 3 filas a 3 columnas 00:26:14
ver si dentro, si con sus elementos 00:26:15
puedo formar un determinante 00:26:17
cuyo valor sea distinto de 0 00:26:19
si es así, el rango es 3 00:26:21
que el determinante 00:26:23
de 3 es 0, entonces tengo que pasar 00:26:26
a ver si es de rango 2, para eso 00:26:27
tengo que buscar dentro de la matriz 00:26:29
organizar 00:26:31
determinantes de 2 por 2 00:26:32
de manera que alguna me dé distinto 00:26:35
de 0, si todos me diesen 00:26:37
0, entonces la matriz sería 00:26:39
de rango 1 00:26:41
¿de acuerdo? 00:26:42
Pero si, nos quedaría mucho para llegar a esa conclusión 00:26:45
Vamos a ir despacito 00:26:57
Por ejemplo 00:26:59
Por ejemplo, vamos a calcular 00:27:04
El rango, me piden el rango 00:27:09
De la matriz 00:27:12
1 menos 2 00:27:13
Tres menos dos, cero, uno, cinco, menos dos, uno. 00:27:15
Me piden el rango de esa matriz. 00:27:24
Esa matriz puede tener rango tres, rango dos o rango uno. 00:27:26
¿De acuerdo? Eso lo tenéis claro, ¿no? 00:27:32
Tenéis claro que esa matriz nunca puede ser de rango cuatro. 00:27:34
Porque para que fuese de rango cuatro tendría que tener cuatro filas o cuatro columnas. 00:27:38
Y solo tiene tres, ¿vale? 00:27:41
Entonces, voy a hacerlo por el método de Gauss, voy a aplicar los dos métodos. 00:27:43
Por el método de Gauss, yo tengo, si esta es mi diagonal principal, si esta es la diagonal principal de esa matriz, 00:27:48
tengo que convertir en ceros estos tres elementos, es decir, tengo que triangular la matriz, ¿vale? 00:27:58
Tengo que triangular esa matriz, ¿vale? 00:28:05
Ok, entonces voy a empezar con este elemento, voy a empezar con este elemento, voy a convertir en cero este elemento y entonces para convertir en cero ese elemento yo digo, como el elemento está en la primera columna tengo que trabajar con la primera fila y esta, es decir, con F1 y con F2. 00:28:08
Y además multiplico cruzado, cruzado, esta por menos 2 y esta por 1 y lo resto 00:28:34
¿Eso qué es? Tengo que multiplicar por menos 2 la fila de arriba y me quedaría menos 2, 4 y menos 6 00:28:44
Y por 1 la fila de abajo, menos 2, 0 y 1 00:28:52
Y ahora los resto, esto me queda 0, esto me queda 4 y esto me queda menos 7 00:28:58
Luego, 1, menos 2, 3, 0, 4, menos 7, 5, menos 2, 1. 00:29:04
¿De acuerdo? 00:29:18
Lo estoy grabando, ¿eh? 00:29:19
O sea que si no queréis copiar, lo estoy grabando. 00:29:23
No, no, yo solo grabo la pizarra y mi voz. 00:29:26
Bueno, y tú, y las voces vuestras. 00:29:28
No, no, no tiene cámara. 00:29:30
no, no hay cámaras, no se os graba a vosotros 00:29:32
ni a mí, se graba la pizarra 00:29:34
y mi voz y la apuestas 00:29:36
bueno, están subidos los vídeos 00:29:37
de la semana pasada, si los queréis ver están ahí 00:29:40
bueno 00:29:42
hemos convertido esto en cero 00:29:43
vamos a convertir este 00:29:46
entonces 00:29:48
como está en la primera columna 00:29:50
voy a trabajar también con la primera fila 00:29:52
vale, y una pregunta 00:29:55
¿por qué vas a, como has dicho, a convertir 00:29:56
ese punto 5 00:29:58
y no en uno de arriba y abajo 00:30:00
pues por lo que te he dicho al principio 00:30:03
porque 00:30:04
yo voy a triangular 00:30:06
triangular es coger la diagonal principal 00:30:08
y convertir en cero 00:30:11
es más difícil 00:30:12
es igual pero se complica más la vida 00:30:14
visualmente es más complicado 00:30:16
es más fácil hacerlo con los de abajo 00:30:19
bueno, entonces 00:30:21
he convertido este 00:30:22
ahora me toca este 00:30:25
entonces yo siempre digo, miro lo mismo 00:30:26
El método es, yo cojo, esto está en la primera columna, el elemento que yo quiero cambiar está en la primera columna, luego tengo que trabajar esa fila y la primera fila y ahora multiplico cruzado, es decir, la primera fila lo multiplico por ese 5 y la tercera fila lo multiplico por ese 1 y luego la resto. 00:30:28
Entonces si multiplico la de arriba por 5 esto me queda 5 menos 10 y 15 y la de abajo me queda 5 menos 2 y 1 y si los restos me queda 0 menos 8 y 14. 00:30:49
Y entonces, esta fila, esta fila, esta fila la sustituyo por esto, es decir, me queda 1, menos 2, 3, 0, 4, menos 7 y esta fila donde está el elemento que quiero hacer 0, lo sustituyo por lo que me ha dado aquí. 00:31:07
Y ahora por último voy a convertir en cero este, que es el otro que me queda. 00:31:24
Entonces, como está en la segunda columna, tengo que trabajar con la segunda fila, es decir, f2 y f3. 00:31:32
Y multiplico cruzado, la de arriba la multiplico por menos 8 y la de abajo por 4 y lo resto. 00:31:40
Si multiplico la de arriba por menos 8 me queda 0, menos 32 y 56, ¿no? 00:31:48
Este es un 7, ¿vale? 00:31:56
Multiplicando por 8, estoy haciendo esta operación. 00:31:59
Multiplicar la fila 2 por menos 8 y la de abajo por 4. 00:32:01
0, 4 por menos 8 menos 32. 00:32:05
Y 14 por 4 es 4, 16, 4, 56. 00:32:11
vale 00:32:18
cuidado, esto queda 0 00:32:19
esto 00:32:22
me queda 0 00:32:23
y esto me queda 0 00:32:25
fijaros que me quedan todas 0 00:32:27
porque has multiplicado, o sea, la fila 00:32:29
yo las cambio, las cambio 00:32:32
o sea, yo empiezo diciendo 00:32:35
si, si, pero que porque no las he multiplicado 00:32:36
que es que no lo veo, ah, esto, ah, un 4 00:32:38
o sea, es, las multiplico cruzadas 00:32:40
la de arriba por esta y la de abajo 00:32:42
por esta, o sea, yo siempre si estoy trabajando con 00:32:44
dos filas, multiplico cruzado. Siempre. ¿De acuerdo? Entonces, resulta que tengo que poner 00:32:46
1, menos 2, 3, 0, 4, menos 7 y 0, 0, 0. La tengo triangular. ¿Cuántas filas distintas 00:32:55
de 0 hay aquí? 2. Luego el rango de esta matriz. Pues yo haciéndolo de otra forma 00:33:11
me salía 3. ¿De qué forma? De la otra de los... Ah, de los determinantes. Sí. Vamos 00:33:18
a ver. Vamos a ver. No, no, se lo habré liado yo para ahí, pero... No, vamos a ver. Vale, 00:33:23
está claro cómo se calcula el rango de una matriz triangulándola y sobre todo cómo 00:33:29
se triangula una matriz, porque la triangulación de matrices la vamos a utilizar para la 00:33:35
resolución de sistemas de ecuaciones. 00:33:40
Dos cosas. 00:33:43
¿El rango lo saca 00:33:44
porque has cambiado dos filas, no? 00:33:47
No. El rango lo saco porque 00:33:48
una vez que yo he triangulado la matriz 00:33:50
resulta que miro 00:33:52
las filas distintas de cero, es decir, 00:33:54
las filas en que hay algún 00:33:56
elemento distinto de cero y ese es 00:33:58
el rango de la matriz. De estas 00:34:00
tres filas, esta es todo cero. 00:34:02
No me entra. No entra. Entonces entrarían 00:34:04
estas dos que son distintas de cero. 00:34:06
Ese es el rango de la matriz. 00:34:08
¿Y la fila esa 3, lo que te había preguntado de 4, por qué las multiplica por 4? 00:34:09
Porque yo lo que hago es, estoy trabajando, a ver, el proceso una vez que está escrito lo repito. 00:34:14
Yo lo primero que hago es ver qué elementos tengo que convertir en ceros. 00:34:20
Entonces, tengo que convertir en ceros, cojo la diagonal principal y los elementos que hay por debajo tengo que convertirlos en ceros. 00:34:25
Eso es lo que tengo primero. Y entonces ahora empiezo y digo, voy con un poco de orden y digo, bueno, pues ahora voy a empezar, ¿por cuál voy a empezar? Voy a empezar por este. 00:34:37
Entonces yo siempre actúo de la misma manera. Digo, ¿dónde está el elemento ese? En la primera columna, ¿no? 00:34:48
Pues entonces, como está en la primera columna, yo voy a trabajar con esa fila, la fila 2 y con la fila 1. 00:34:55
y entonces pongo fila 1 y las voy a restar, pero tengo que, para que aquí me quede un 0, tengo que multiplicar las cruzadas, 00:35:01
es decir, esta lo multiplico por menos 2 y esta por 1, ¿veis? y lo resto, yo lo hago aquí y entonces me queda esto, 00:35:09
esto que me queda aquí es lo que voy a poner en vez de la fila donde está el elemento que yo quiero ceros, ¿vale? 00:35:20
Yo las otras dos las dejo igual y esta fila, esta fila la cambio por esto, ¿vale? 00:35:27
Primer elemento. 00:35:36
Segundo elemento, ahora este. 00:35:38
Este elemento está en la primera columna, sigo trabajando con la primera fila y entonces digo fila 1 y fila 3 y ahora vuelvo a hacer lo mismo. 00:35:40
Este por 5 y este por 1, es decir, no tengo nada que pensar. 00:35:49
No tengo nada que pensar, yo los multiplico cruzados. 00:35:52
Lo hago, multiplico la fila 1 por 5, la fila 2, digo la fila 3 por 1 y lo resto. 00:35:55
Y me queda esto. Bueno, pues esta fila la sustituyo por esta. 00:36:04
Sería menos 10 menos 12. 00:36:09
Estoy restando. 00:36:10
Menos 10 menos menos 12. 00:36:11
Claro. Estoy restando, no estoy sumando. 00:36:13
Si estuviese sumando, sí, si estuviese sumando serían menos 10 más menos 2 serían menos 12. 00:36:15
Pero que estoy restando, es menos 10 menos menos. 00:36:21
A ver, esto no tiene ninguna importancia. 00:36:23
Esto no tiene ninguna importancia porque tenéis una calculadora. 00:36:28
Es decir, aquí... 00:36:32
También os digo que la calculadora más vale que os empecéis a traer la que vais a utilizar en el examen. 00:36:37
Porque si no, yo no hago más que deciroslo, cuando lleguéis al examen no vais a saber manejar la calculadora. 00:36:45
Esto se permite, ¿no? 00:36:50
La científica no se lo haría. 00:36:51
Pero esta no. 00:36:53
¿Esta no vale? 00:36:55
No, no. 00:36:56
Entonces tiene la forma de datos que es horrible. 00:36:57
Introduces las fracciones, las introduces. 00:37:01
La que es de la científica de toda la vida, esa no vale. 00:37:04
¿Pero de qué vida? ¿De toda la vida cuál? 00:37:07
Esta tampoco. Tiene que ser la que tiene José Luis. 00:37:11
La importante es que la tecla de las fracciones la tenga en forma de fracción. 00:37:14
¿Vale? Bueno, habéis visto cómo se calcula el rango de una matriz mediante Gauss, ¿vale? 00:37:23
Vamos a hacer ahora lo mismo, pero con determinante. 00:37:34
A ver, uy, madre mía. 00:37:38
Bueno, tenemos esa matriz, entonces yo en esa matriz tengo 1, menos 2, 3, menos 2, 0, 1, 5, menos 2, 1. 00:37:40
Bueno, yo en esta matriz, que es una matriz cuadrada, solo hay un determinante de 3 por 3, entonces voy a ver si ese determinante me da distinto de 0, entonces la matriz tendría rango 3. 00:37:51
Voy a ver, lo hago, esto es, este por este por este, 1 por 0 por 1, más este por este por este, menos 2 por menos 2 por 3, más este por este por este, menos 2 por 1 y por 5. 00:38:03
Y ahora, por el otro lado, este por este por este, 5 por 0 por 3, más este por este por este, menos 2 por 1 y por 1, y más menos 2 por menos 2 por 1. 00:38:25
esto sin varias rayitas 00:38:44
¿vale? 00:38:49
¿habéis visto como lo he hecho? 00:38:51
¿sí? os aseguro 00:38:53
que si en casa os ponéis con un poco de tranquilidad 00:38:54
y os hacéis un par de ellos 00:38:57
hechos dos, hechos todos 00:38:59
son todos iguales 00:39:01
no te vas a ir a por la ventana, yo no he contenido ningún alumno 00:39:03
que para aprender determinantes 00:39:05
tenga que tirarse por la ventana 00:39:07
eso no, habrá otras cosas 00:39:08
a lo mejor si por hacer determinantes 00:39:11
no he visto a nadie que se pide por la ventana 00:39:13
Entonces aquí calculo esto, esto es 0, esto es 4 por 3, 12 y esto es 2, luego esto es menos 10, o sea que son 2, ¿vale? 00:39:14
Y estos son 0, estos son menos 2 y esto es 4, luego esto es 2, luego 2 menos 2, 0. 00:39:27
Luego, este matriz no tiene orden 3, o sea, no tiene rango 3. 00:39:38
¿Por qué? Porque el único determinante de 3 por 3 que hay dentro es 0. 00:39:43
Voy a ver si ahora tengo que ver si tiene rango 2. 00:39:49
Para eso, ¿qué hago? Empiezo a coger, yo empiezo como quiera, digo, bueno, voy a coger estos 4. 00:39:52
A ver, 1 menos 2, menos 2, 0. Esto es 1 por 0 menos menos 2 por menos 2. Esto es menos 4. 00:39:57
Efectivamente, hay un determinante de orden 2, luego el rango de esta matriz. 00:40:10
A ver, yo aquí dentro, con estos elementos, con estas filas y estas columnas, yo solo tengo un determinante. 00:40:17
que es este. No puedo hacerlo 00:40:27
de otra manera. ¿De acuerdo? 00:40:29
¿Vale? Porque, 00:40:32
a ver, para hacer los determinantes 00:40:34
yo no puedo, o sea, yo no puedo 00:40:35
enjuagar esto, ¿eh? O sea, yo tengo 00:40:37
que cogerlos en su sitio. 00:40:39
De cuadrado a cuadrado. O sea, 00:40:41
¿cómo? 00:40:43
Sí, claro. 00:40:45
Es que no me voy a explicar. 00:40:46
A ver, el de 3 por 3 00:40:49
está claro que solo hay ese. 00:40:51
¿Cómo que 3 por 3? 00:40:54
3 por 3 es 00:40:56
A ver, chicos y chicas, estamos hablando de matrices, por lo tanto, estamos hablando de dimensiones de número de filas por número de columnas. 00:40:57
Cuando yo digo 3 por 3 es porque es un determinante de 3 filas y 3 columnas. 00:41:08
Dentro de esta matriz solo hay este. 00:41:13
Yo veo mucho un número. 00:41:19
Pero de 3 por 3 solo hay este. 00:41:21
Ah, claro, tiene un número. 00:41:23
O sea, 3 filas y 3 columnas. 00:41:24
Ah, ahí va. 00:41:26
Solo hay este. 00:41:26
Solo hay esto, ¿de acuerdo? Ahora, de 2 por 2 hay muchos, porque de 2 por 2 yo puedo coger, y volvemos a las rayitas, yo puedo coger esto y tengo un determinante de 2 por 2, ¿vale? 00:41:27
Yo puedo coger este, ¿no? Y tengo un determinante de 2 por 2 también, ¿no? Yo puedo coger esto y tengo otro determinante de 2 por 2 que hay ahí dentro, ¿no? Luego puedo coger este y es otro. Es decir, si el primero que cojo me da 0, tendría que ir cogiendo más a ver si hay alguno ahí dentro. También puedo coger esto con esto, ¿no? 00:41:43
De ahí dentro hay muchos 00:42:08
Es que en una matriz de 3x3 00:42:13
De 2 hay muchos 00:42:15
Vale, y si yo quiero coger 00:42:18
S5 y S-2 puedo 00:42:19
Depende para qué 00:42:22
Tú tienes que coger 4 elementos 00:42:24
Y no puedes cambiarlos de sitio 00:42:26
Es decir, yo puedo coger 00:42:29
Yo no los puedo cambiar de sitio 00:42:31
Yo puedo coger este 00:42:32
Con este 00:42:33
claro, o sea, no podrías coger ese 5 00:42:34
con ese menos 2 y luego 00:42:39
el de ahí arriba con el 1 abajo 00:42:40
no, tiene que ser de la misma fila 00:42:43
vale, efectivamente 00:42:45
de acuerdo 00:42:46
claro, tú lo que haces es 00:42:49
quitas esta y coges 00:42:53
esta con esta, esta con esta, esta con esta 00:42:55
y ya está, luego quitas esta 00:42:57
y coges esta con esta 00:42:59
sabes, o sea, eso es lo que 00:43:01
Así es como se hace, se va quitando las filas, una fila o una columna y vas más, más. 00:43:02
Si alguno de esos determinantes nos da distinto de cero, que es el caso, porque este me ha dado distinto de cero, 00:43:10
he visto que el determinante de 3 por 3 da cero, luego eso no tiene rango 3. 00:43:15
Pero ya tengo un determinante de orden 2, que tiene luego el rango de esta matriz, es 2. 00:43:21
¿Pero y por qué es 2 si hay una matriz 4? 00:43:27
Porque yo no estoy diciendo que el rango de la matriz sea el valor del determinante, sino el orden del determinante. 00:43:30
Como ese determinante es de orden 2, escúchame, como el determinante es de orden 2, entonces el rango es 2. 00:43:38
Yo no he dicho que juguemos con este valor en absoluto, sino con el orden del determinante que es distinto. 00:43:49
¿De acuerdo? ¿Vale? Bueno, eso es para calcular el rango. Y por último, que era lo que yo quería que viéramos hoy, hay muchísimo más. Así que no os vengáis abajo que no pasa nada. 00:43:57
Es decir, estáis haciendo un nivel de segundo de bachillerato, el nivel de segundo de bachillerato y es lo que hay, y el temario es muy amplio, pero rebajaros y disfrutad haciéndolo. 00:44:12
No tiene ningún, de verdad que no tiene ningún, lo vais haciendo con mucha tranquilidad, tenéis los apuntes en el aula virtual, tenéis las clases grabadas, tenéis ejercicios, podéis por el aula virtual preguntarme cosas, es decir, a veces sí os tenéis que sentar a trabajar, eso sí. 00:44:38
O sea, con lo que yo os explico aquí, lo único que vais a hacer, si solamente os quedáis aquí, liaros, pues claro, esto va aumentando, pero sí, después de que yo os doy la clase, no os digo mañana, pero sí a lo largo de la semana, os sentáis media hora a hacer unos cuantos, veréis que la cosa no está complicada, es bastante sencillo, bastante sencillo. 00:44:58
Bueno, entonces, última, última, última, lo diré, última aplicación de los determinantes. 00:45:22
Es inversa de una matriz. 00:45:32
Bueno, esto también se aplica, además es lógico pensarlo, puesto que vamos a trabajar con determinantes, 00:45:41
Solo para matrices cuadradas. 00:45:52
Las matrices que no son cuadradas no tienen determinante y no tienen inversa. 00:45:55
Entonces, solo matrices cuadradas. 00:46:00
Entonces, se llama inversa de una matriz A y se escribe como A elevado a menos uno de mi cabeza. 00:46:03
Esta salió de mi cabeza. 00:46:13
Yo podría poner en vez de A, puedo ponerte B. 00:46:15
O C, o D, o E. 00:46:18
como tú te dé la gana 00:46:22
las matrices en matemáticas siempre se nombran 00:46:23
con una letra mayúscula 00:46:25
o sea las matrices cuando os la den en los ejercicios 00:46:27
veréis que os dicen dada la matriz A 00:46:30
dada la matriz B 00:46:32
dada la matriz C 00:46:33
que se nombran así 00:46:34
entonces si te dan una matriz cualquiera 00:46:36
cuadrada 00:46:39
por supuesto porque ya os he dicho 00:46:41
que solamente tienen 00:46:43
inversa las matrices cuadradas 00:46:45
y no todas 00:46:47
y no todas 00:46:48
No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Se dice que dada una matriz A, la matriz A elevada a menos 1 es su inversa si al multiplicarlas lo que nos da es la matriz identica. 00:46:50
¿Cómo se llamaba la matriz de identidad? 00:47:11
Ah, la diagonal principal, ¿de acuerdo? 00:47:15
No, no conviene, o sea, lo de la identidad. 00:47:19
Sí, claro, por eso, es una matriz de identidad. 00:47:21
Entonces, ¿cuál es la inversa de 3? 00:47:25
¿Cuál es el inverso, el número inverso de 3? 00:47:33
Es el opuesto, 1 partido de 3. 00:47:36
¿Por qué? 00:47:41
¿Por qué? 00:47:44
¿Por qué? 00:47:46
¿Por qué? 00:47:49
¿Por qué? 00:47:51
Y ahora yo no estoy hablando de matices 00:47:53
¿Por qué? 00:47:54
¿Cuál es? 00:47:56
Es 1 00:47:58
Es 1 00:47:59
Es 1 00:48:01
Entonces, la inversa de algo 00:48:03
Es aquello, la inversa de un número 00:48:05
Es aquel número que multiplicado por él 00:48:08
Da 1 00:48:10
el opuesto es el número 00:48:11
que es sumado a cero 00:48:13
y esos son conceptos 00:48:14
que permanecen 00:48:17
esos son conceptos que permanecen 00:48:19
a lo largo de todas las matemáticas 00:48:21
el inverso de algo 00:48:24
es aquello que multiplicado por él 00:48:25
da la unidad 00:48:27
en el caso de los números es el uno 00:48:28
en el caso de las matrices 00:48:32
es la matriz identidad 00:48:33
el inverso 00:48:35
de un 00:48:37
es el inverso de un número 00:48:38
o del inverso de la matriz 00:48:41
o el inverso del seno 00:48:43
o el inverso de lo que sea 00:48:45
es aquello que multiplicado 00:48:46
ya está 00:48:48
pero que seno, eso ahora que es 00:48:50
ya está, tú si no entiendes 00:48:52
tú escúchame, tú escúchame 00:48:54
porque estás más a decir que no sabes 00:48:56
que aprender 00:48:59
entonces 00:49:00
si tú, claro, que da la unidad 00:49:01
entonces si multiplicas 00:49:05
Una matriz, por su inversa, te da la unidad de matriz, que es la matriz identidad. 00:49:06
¿De acuerdo? 00:49:13
¿Pero eso no se lo ha dividido? 00:49:14
¿El qué? 00:49:16
¿Eso ya ha dividido? 00:49:17
¿El qué? 00:49:18
Lo de la inversa, claro. 00:49:18
El inverso de un número, o de una matriz, o de algo, es aquello que multiplicado por él da la unidad. 00:49:21
No dividido, que multiplicado por él da la unidad. 00:49:31
¿Y la unidad qué es? 00:49:35
¿De acuerdo? La unidad si estamos hablando de números es 1. 00:49:35
Si estamos hablando de matrices es la matriz de identidad. 00:49:39
¿De acuerdo? Entonces, ¿cómo se calcula la inversa de una matriz? 00:49:43
No todas las matrices tienen inversa. 00:49:50
De hecho, hay un problema típico, un ejercicio típico de examen que es 00:49:55
decir si una matriz 00:50:02
tiene inversa, si esta matriz 00:50:05
una determinada matriz tiene inversa 00:50:07
o lo que es lo mismo 00:50:08
es invertible 00:50:10
que tenga inversa y que sea invertible 00:50:12
es lo mismo 00:50:15
¿de acuerdo? entonces hay un ejercicio 00:50:16
típico del examen que es 00:50:19
dar a la matriz no sé qué 00:50:21
decir si es invertible o no 00:50:22
¿y cómo sabemos? 00:50:25
¿cómo sabemos? pues primero 00:50:26
¿cómo se calcula la matriz inversa? 00:50:28
La matriz inversa, la matriz inversa de una matriz es, tú copiadlo, copiadlo, copiadlo, adjunta, adj, adjunta, matriz adjunta de A, 00:50:31
traspuesta y dividida por el determinante de A. 00:50:49
¿Y adjunta se refiere a qué es? 00:50:54
Ahora os digo lo que es la rata, que todavía no lo hemos visto. 00:50:55
Para poder calcular esto tengo que decir lo que es la matriz adjunta porque lo que es transponer ya sabemos lo que es transponer y el determinante de A ya sabemos calcularlo, es el determinante como lo hemos sabido calcular. 00:50:58
Entonces fijaros, primera cosa, para que esto sea algo, esto tiene que ser distinto de cero porque no puedes dividir una cosa por cero. 00:51:10
Entonces, la condición para que, lo primero que tiene que pasar para que una matriz tenga inversa, no te desesperes, para que exista la inversa tiene que pasar que el determinante de la matriz sea distinto de cero. 00:51:20
Si una matriz, esa es la forma de calcular cuando a ti te preguntan en el examen, decir si la matriz tiene inversa, tú calculas el determinante y si el determinante es 0, la matriz de 0 sí tiene inversa. 00:51:49
¿De acuerdo? Saber si una matriz tiene inversa es muy sencillo, te limitas a calcular su determinante y dependiendo de su valor, tiene inversa o no tiene inversa. 00:52:01
¿De acuerdo? Vale. 00:52:11
Entonces, de todo esto, lo único que no sabemos calcular es la adjunta de una matriz. 00:52:14
Entonces, la adjunta de una matriz es la matriz en que se sustituye cada elemento por su determinante adjunto, 00:52:19
que es, determinante adjunto, que es el que queda después de quitar su fila y su columna. 00:52:49
Voy a hacer una para que veáis. 00:53:24
Yo tengo una matriz 00:53:26
Por ejemplo, esta 00:53:28
1, 1, 1 00:53:30
0, 1, 1 00:53:33
1, 1, 2 00:53:36
Quiero hacer la adjunta 00:53:38
Entonces, si esto es la matriz A 00:53:39
Voy a hacer el determinante de A 00:53:41
Siempre lo primero 00:53:43
Yo calculo su determinante 00:53:44
Para ver si me da 0 o no 00:53:46
Insisto, si da 0, ahí se ha acabado el problema 00:53:47
Esta matriz no tiene inversa 00:53:50
Entonces, yo para calcular esto 00:53:52
calculo este por este por este, 1 por 1 por 2, más 0 por 1 por 1, más 1 por 1 por 1. 00:53:55
Y del otro lado, 1 por 1 por 1, más 1 por 1 por 1, más 0 por 1 por 2. 00:54:07
Esto es 2 más 1, 3 00:54:17
Y esto es 2 00:54:22
Luego 3 menos 2 igual a 1 00:54:25
El determinante de A vale 1 00:54:29
Luego esta matriz sí tiene inversa 00:54:33
¿Vale? 00:54:35
Bueno, voy a calcular ahora la matriz adjunta 00:54:38
Fijaros cómo se calcula la matriz adjunta de esta matriz 00:54:42
Primera cosa 00:54:45
Yo, la matriz adjunta de A, yo cojo un elemento, un elemento, ¿no? 00:54:45
Y quito su gira y su columna, voy a coger este, ¿no? El primero, quito este y este 00:54:55
Y pongo aquí el determinante que me queda, ¿vale? Este, quito este y este 00:55:02
Y me queda este determinante, 0, 1, 1, ¿vale? 00:55:09
yo cada elemento lo sustituyo por su determinante adjunto, el determinante adjunto de un elemento es el determinante que queda cuando le quito su fila y su columna, es decir, si yo quiero saber ahora el determinante adjunto de este elemento, yo quito la columna y quito la fila y me queda 0, 1, 1, 1, ¿vale? 00:55:14
Ahora este, quito esto y esto, y me queda 1, 1, 1, 2. 00:55:39
¿Pero hay que hacerlo con todos? 00:55:47
Con todos, y esa es la matriz adjunta. 00:55:48
A ver, esto se hace de cabeza, una vez que has hecho 3 o 4, tú no pones ese determinante, 00:55:51
tardo más en poner ahí todo eso que en hacerlo. 00:55:57
¿Cuánto vale este determinante? ¿Alguien me lo dice? 00:56:00
¿Cuál, cuál? 00:56:03
Este primero. 00:56:04
¿1? 00:56:05
uno, ¿no? porque es uno por dos 00:56:05
dos menos uno por uno 00:56:08
queda uno, es decir, que se hace de cabeza 00:56:09
¿vale? 00:56:12
desde luego si no has hecho ninguno 00:56:14
es imposible, pero cuando hagas tres 00:56:16
ya los haces de cabeza 00:56:18
ahora este, tengo que quitar 00:56:19
esta fila y esa fila 00:56:22
y esa columna, luego ese es 00:56:24
uno, uno, uno, dos 00:56:25
ahora este 00:56:28
este y este 00:56:29
uno, uno 00:56:31
uno, uno 00:56:34
a ver, ahora este, este y este, 1, 1, 1, 1, ahora este, ¿cuál es este?, a ver, 1, 1, 0, 1, y por último, este, que me queda, 1, 1, 0, 1, ¿vale?, 00:56:35
Y ahora, eso sí, una cosa importantísima que tenéis que hacer. 00:56:59
A la adjunta hay que ponerle signos. 00:57:05
Empezamos, más, menos, más, y aquí para abajo, menos, más, más, menos, menos, más. 00:57:07
Siempre salteados. 00:57:16
Empezamos con el más y tiramos para acá, menos, más, tiramos para abajo, menos, más, aquí, menos, más, menos, más, menos, más. 00:57:18
Siempre salteados. 00:57:26
¿De acuerdo? 00:57:27
Bueno, y ahora entonces ya lo hago 00:57:28
Lo que tenía que haber hecho de cabeza 00:57:30
Esta es una de los por dos 00:57:32
Es decir, es en este sentido 00:57:35
Y luego menos en este sentido 00:57:37
Luego esta es una por dos, dos 00:57:38
Menos una, uno 00:57:40
Luego esto es un uno 00:57:42
¿Cómo? 00:57:44
He hecho esos determinantes 00:57:46
Ahora calculo esos determinantes 00:57:48
Son determinantes de dos por dos 00:57:49
Pues así 00:57:51
Determinante de orden dos 00:57:53
este por este menos este por este 00:57:55
terminantes de orden 2 son muy fáciles 00:57:57
claro 00:57:59
ahora este, esto es 0 00:58:01
por 2, 0, menos 1 por 1 00:58:03
1, luego menos 1 00:58:06
como tengo un menos delante se me queda 00:58:08
un 1 también, este 0 por 1 00:58:10
1, menos 1, menos 1 00:58:12
este 00:58:14
1 por 2, 2 00:58:16
menos 1, 1, como tiene el menos 00:58:18
delante, menos 1 00:58:20
1 por 2, 2, menos 1, 1 00:58:21
1 por 1, 1, 0, y este 0, y este 0, 1 menos 0, 1, como tiene el menos delante, menos 1, y este 1, 1, esa es la matriz, ¿vale? 00:58:24
Luego, la inversa de A es, vuelvo a repetir, la junta de A transpuesta y partida por el determinante de A. 00:58:43
Luego, esto es, esa si la transpongo, esto es 1, 1, menos 1, menos 1, 1, 0, 0, menos 1, 1. 00:58:58
dividido por el determinante que es 1 00:59:09
luego todo es 00:59:12
esa es la entidad 00:59:13
no tiene mucho, os lo aseguro de verdad 00:59:21
no os voy a engañar 00:59:23
yo entiendo la dificultad que puede suponer 00:59:25
para alguien que no ha hecho esto nunca 00:59:27
o que lo hace mucho que no lo ha hecho 00:59:29
pero realmente si os ponéis 00:59:30
tranquilamente, eso sí, tranquilamente 00:59:33
vosotros, si tenéis alguna 00:59:35
duda me la consultáis 00:59:37
y de verdad que es muy sistemático 00:59:39
todo, no tiene mayor 00:59:42
problema. Y con esto 00:59:43
hemos acabado la teoría 00:59:44
de matrices y determinantes. 00:59:47
No, vamos a empezar ya con... 00:59:49
No, vamos a empezar. 00:59:51
Vamos a empezar de ejercicios. 00:59:53
Bueno, eso sí, pero yo digo lo de trigonometría... 00:59:55
Eso después, eso después. 00:59:58
¿Ahora? Sí, sí, después. 01:00:00
Pero sí, eso es precioso. A ver, ¿qué? 01:00:01
Vamos, que lo del uno se hace por hacer porque se queda 01:00:05
igual, ¿no? 01:00:07
Claro, si divides entre uno, 01:00:09
todo se queda igual. 01:00:11
si tú imagínate 01:00:12
que aquí un 2 01:00:14
pues entonces aquí te quedaría un medio menos un medio 01:00:16
cero, un medio, un medio 01:00:18
o sea si 01:00:20
tú lo tienes que dividir por el valor 01:00:21
del determinante 01:00:24
tienes que dividir todos los elementos 01:00:25
por el valor del determinante 01:00:29
¿esto es la inversa? 01:00:30
esto es a menos uno, es la inversa de esa 01:00:32
se supone 01:00:34
si salvo error o omisión 01:00:36
que si yo multiplicase 01:00:38
Cada elemento por sí mismo daría eso, ¿no? 01:00:40
No, cada elemento por sí mismo no. 01:00:42
Si yo multiplico la matriz 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2 01:00:45
y la multiplico por la 1, menos 1, 0, 1, 1, menos 1, menos 1, 0, 1 01:00:52
esto me va a dar la matriz 01:01:00
esto es A 01:01:02
esto es A menos 1 01:01:08
y esta es la matriz identidad. 01:01:11
Hemos dicho, esto empieza diciendo que la inversa de una matriz 01:01:16
es aquella que multiplicada por ella da la matriz identidad. 01:01:22
Entonces, si yo he calculado la matriz inversa a la matriz A, 01:01:26
significa que si yo multiplico A por esta matriz, por su inversa, 01:01:32
lo que me da es la matriz identidad de orden 3, 01:01:36
Puesto que estoy trabajando con oro 01:01:40
Hago esta misma operación pero más sencillo 01:01:41
Con una matriz de 2 por 2 01:01:44
Que es la otra posibilidad 01:01:45
Es la posibilidad de que la matriz que os den sea de 3 por 3 01:01:47
Puede ser que os den una de 2 por 2 01:01:50
Si os dan una matriz de 2 por 2 01:01:52
Pues por ejemplo la matriz 01:01:55
Yo siempre lo primero que hago es calcular el determinante 01:01:56
El determinante de esto es 1 por 5 menos 2 menos 3 por 2 01:02:02
es decir, es menos 1, ¿de acuerdo? Luego esa matriz tiene inversa, ¿por qué? Porque su determinante no es 0, ya sé que puedo seguir con el ejercicio, 01:02:08
porque su determinante no es 0, por lo tanto tiene inversa, esa matriz es invertible. 01:02:19
Ahora lo que tengo que calcular es la adjunta de A, pero en este caso es mucho más sencillo, 01:02:25
Porque fijaros que si yo quito esto y esto, solo me queda un número. 01:02:32
Es decir, que aquí me quedaría el 5. 01:02:38
A esto, si quito esto y esto, aquí me quedaría el 2. 01:02:41
Ahora este, aquí me quedaría el 3. 01:02:44
Y si quito esto, aquí me quedaría un 1. 01:02:46
Esto es más, esto es menos, esto es menos y eso es más. 01:02:49
Hacedlo en casa, de verdad lo digo, tranquilamente. 01:02:57
Pero hay que hacer algo más, ya está, ¿no? 01:02:59
No, no, aquí sí, es que ella está copiando. 01:03:00
Es que eso lo acabas de hacer ahí abajo que digo... 01:03:03
No, hombre, lo de A menos uno igual a adjunto, 01:03:06
lo que hay al lado, no sé cómo lo ha hecho. 01:03:11
¿Por qué? 01:03:14
O sea, eso... 01:03:15
¿El adjunto de A transpuesto? 01:03:17
Eso, no me he enterado. 01:03:19
¿Has enterado cómo he hecho el adjunto? 01:03:21
Sí, pero dije que sí. 01:03:22
Bueno, y entonces, transponer, ¿qué es? 01:03:23
Es cambiar filas por columnas. 01:03:26
yo tengo esta, esta es la adjunta 01:03:28
y para transponerla, esta fila 01:03:30
la convierto en columna, esta fila en columna 01:03:32
y esta fila en columna 01:03:34
transponer es cambiar las filas por las columnas 01:03:35
a ver, yo, esta 01:03:38
es la fórmula 01:03:53
de la matriz inversa 01:03:55
Entonces yo, lo primero que hago es a calcular el determinante, entonces yo he calculado el determinante, es un determinante de 3 por 3, lo he calculado y me sale 1, con lo cual sé que puedo seguir con el ejercicio, puesto que la matriz tiene, entonces lo siguiente en esta fórmula es calcular la adjunta de la matriz, entonces, ¿cuál es la adjunta de una matriz? 01:03:57
aquella que cada elemento 01:04:19
está sustituido 01:04:22
por el determinante adjunto, es decir 01:04:23
aquel que sale de quitar su fila 01:04:25
y su columna, este elemento lo tengo 01:04:27
que cambiar por este determinante 01:04:29
porque si quito esto y esto, me sale 01:04:31
este determinante, y eso 01:04:34
es esto, y lo único que 01:04:35
tenéis que acordaros es que en la adjunta 01:04:37
luego hay que poner signos, empezando por el más 01:04:39
más, menos, más, etc. 01:04:41
y me sale esto 01:04:44
y ahora para aplicar la fórmula 01:04:45
esa matriz la tengo que transponer, es decir, tengo que cambiar sus filas por sus columnas y me sale esta. 01:04:48
Y luego lo divido por el valor del determinante que es 1. 01:04:54
Y esto es la matriz inversa de aquello. 01:04:57
¿Qué quiere decir que es inversa? 01:05:02
Que si yo hiciese esta multiplicación me tendría que dar, me tiene que dar esta matriz, la matriz identidad. 01:05:03
Estaba haciendo un ejercicio más sencillo que es lo mismo pero en 2x2. 01:05:10
en 2x2 lo bueno que tiene es que la adjunta 01:05:14
si yo quito fila y columna 01:05:17
solo me queda un elemento 01:05:19
no me queda un determinante 01:05:21
con lo cual es mucho más sencillo 01:05:24
entonces 01:05:25
esta sería la adjunta de esta 01:05:26
yo he cambiado cada elemento 01:05:30
por lo que me queda quitar la fila y la columna 01:05:31
y luego he puesto más menos menos más 01:05:34
esta es la adjunta 01:05:36
luego para calcular la inversa 01:05:38
tengo que transponer esta 01:05:41
es decir, 5 menos 2 y menos 3, 1, cambio filas por columnas y lo tengo que dividir entre menos 1, que es el valor de su determinante, es decir, que si yo divido 5, esto me quedaría menos 5, 3, 2 y menos 1, porque al dividir por menos 1 me cambia el signo y esta sería la matriz inversa de este, ¿de acuerdo? 01:05:42
¿Sí? Bueno, ya sabéis que mañana no hay clase, entonces con esto hemos acabado la teoría, ahora vamos a ver los ejercicios para aplicarla, 01:06:09
qué tipo de ejercicios os pueden poner 01:06:26
para aplicar toda esta teoría 01:06:28
tenéis ejercicios 01:06:30
resueltos 01:06:32
algunos veréis que son más complicados 01:06:33
pero hay otros más sencillos 01:06:36
los tenéis resueltos, no con solución 01:06:38
sino resueltos paso a paso 01:06:40
en el aula virtual 01:06:41
cogerlos, echarles un vistazo 01:06:44
trabajar un poco sobre eso, las dudas me las planteáis 01:06:46
si queréis, o bien por 01:06:49
el aula virtual o bien 01:06:50
me las planteáis directamente el próximo día 01:06:52
el lunes que viene 01:06:54
Y vamos a empezar ya a hacer ejercicios, veréis que son una cosa bastante sencilla, de verdad que es sencilla, os lo aseguro que he hecho un hecho, no os voy a engañar, si hacéis 10 ejercicios de cada una de estas cosas, ya está. 01:06:55
Eso sí, lo que pasa es que es como mulioso. 01:07:10
Y este último sobre todo. 01:07:13
O sea, hay demasiadas cosas que hacer en lo último. 01:07:14
Bueno, es que os tenéis que aprender muchas cosas. 01:07:17
Pero las matemáticas se aprenden haciéndolas. 01:07:21
Se aprenden haciéndolas. 01:07:24
Porque si pretendes quedarte todo en la cabeza, es imposible. 01:07:25
Esa estima teniendo un día a la semana. 01:07:34
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
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Fecha:
23 de enero de 2026 - 12:43
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
1h′ 07′ 37″
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