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Integral definida - Contenido educativo

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Subido el 25 de febrero de 2021 por Pedro L.

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Bien, lo primero que hacemos en este problema es ver cuáles son esos puntos de corte. 00:00:02
Sencillo, porque sabemos que la forma que tiene la función f de x, que es 2x menos x cuadrado, 00:00:08
si saco factor común, está claro que sus puntos de corte van a ser el 0 y el 2. 00:00:21
y además por la forma que tiene 00:00:29
yo sé que 00:00:30
es una parábola, como la a es negativa 00:00:32
tiene esta forma 00:00:35
y el eje, si las raíces son estos dos 00:00:36
pues el eje va a ser el 1 00:00:38
es decir que mi función es 00:00:40
¿cuánto vale en el 1? 00:00:42
2 menos 1, 1 00:00:44
mi función es así 00:00:45
y tenemos que hacer las rectas tangentes 00:00:47
en estos dos puntos, recordamos la ecuación de la recta tangente 00:00:56
y igual a f 00:01:04
de x sub 0 00:01:05
más f' de x sub 0 00:01:07
por x menos x sub 0 00:01:10
entonces cuando mi x sub 0 00:01:12
vale 0, que es uno de los puntos 00:01:14
en los que tengo que hacer la tangente 00:01:17
¿cuánto vale f de 0? 00:01:18
pues 0 también 00:01:22
y la derivada 00:01:23
en 0 00:01:25
vamos a hacer antes la derivada 00:01:27
¿cuánto es la derivada de mi función? 00:01:28
la hago por aquí 00:01:30
es 2 menos 2x 00:01:31
en el 0 vale 2 00:01:33
con lo cual la primera de las tangentes es y igual a 0 más 2 por x menos 0 00:01:36
es decir, y igual a 2x 00:01:45
la primera de las tangentes es esta recta de aquí 00:01:49
más o menos, ¿no? 00:01:54
es tangente de mi curva y 00:02:03
y la segunda tangente, pues, hago el trabajo análogo 00:02:05
pero mi x sub 0 ahora vale 2 00:02:09
La f de 2 tiene que ser 0 porque es el punto de corte 00:02:11
Pero la derivada en 2, ¿cuánto vale? 00:02:17
La derivada en 2 vale 2 menos 4 00:02:20
¿Cuánto es 2 menos 4? Menos 2 00:02:23
Eso quiere decir que la recta aquí es 0 menos 2 00:02:26
Que multiplica a x menos 2 00:02:32
Es decir, y es igual a 4 menos 2x 00:02:36
Esta es mi otra recta tangente 00:02:40
que si dibujamos la recta tangente 00:02:43
pues la pendiente es menos 2 00:02:50
bueno, dais valores y os dais cuenta que la tangente 00:02:51
es esta de aquí 00:02:56
¿vale? con lo cual digamos que 00:02:59
la parte de integrales del problema es 00:03:06
el cálculo de este área que voy a rellenar 00:03:08
en color rojo ¿vale? 00:03:12
ese es el área que me pide el problema y ahora con lo que sabemos 00:03:17
de integrales, este área 00:03:20
va a ser la integral entre 0 y 1 00:03:23
que es este cachito de aquí 00:03:32
pues es la primera tangente que es 2x 00:03:35
menos mi función 00:03:39
y mi función es 2x menos x cuadrado 00:03:43
diferencial de x 00:03:47
y el segundo trocito 00:03:49
vamos a, para que lo entendáis 00:03:51
parto en la parte roja y la parte verde 00:03:53
del área, ¿vale? 00:03:57
la parte roja es la que acabo de hacer 00:03:59
y la parte verde es 00:04:01
la integral, ¿cuáles son los límites 00:04:05
de integración? del 1 al 2 00:04:07
no olvidéis que este es el 1 00:04:10
este es el 2 y este es el 0 00:04:11
y ahora tengo que hacer 00:04:12
la otra tangente, que es 4 menos 2x 00:04:14
menos 00:04:18
la función 00:04:20
¿vale? 00:04:22
ya está 00:04:28
Entonces, paso a paso, hacemos 0 y 1 y vamos a trabajar aquí, esto es x cuadrado diferencial de x, ¿no? 00:04:29
Porque sería 2x menos x. Y esto de aquí, si hacemos nuestras cuentas entre el 1 y el 2, sería x cuadrado menos 2x menos 2x menos 4x más 4. 00:04:40
Así que simplemente tenemos que calcular la primitiva de estas dos integrales 00:04:54
Y luego dar los valores en 0, 1 y 2 00:04:59
¿Cuánto es la primitiva? 00:05:03
La primitiva de x al cuadrado es x al cubo tercios 00:05:04
Entre 0 y 1 00:05:08
¿Vale? 00:05:11
Esta nomenclatura también se puede hacer así 00:05:12
Hago la primitiva y la pongo entre corchetes 00:05:14
Esto es x cubo tercios menos 4x cuadrado medios 00:05:16
más 4x y esto hay que hacerla entre 1 y 2 00:05:20
¿vale? 00:05:25
y entonces esto sería 00:05:28
1 tercio menos 0 tercios 00:05:29
que va a ser 1 tercio 00:05:34
más el valor en 2 00:05:36
que os ahorro las cuentas y es 8 tercios 00:05:39
menos el valor en 1 que es 7 tercios 00:05:42
este área es 1 tercio 00:05:46
más 1 tercio 00:05:49
que son 2 tercios 00:05:50
y aunque no es fácil 00:05:53
alguien podría haber dicho 00:05:56
en lugar de calcular el área roja 00:05:57
y el área verde, calculo 00:05:59
el área roja y la multiplico 00:06:01
por 2, porque es una 00:06:03
figura simétrica, ¿vale? 00:06:05
y como veis el cálculo del área roja 00:06:07
es más fácil, porque es 1 tercio menos 0 00:06:09
que es 1 tercio, no tendría que dar estos 00:06:11
valores, pero bueno, si no os dais cuenta de eso 00:06:13
de las dos formas está bien hecho, ¿de acuerdo? 00:06:15
Autor/es:
Pedro Lomas Nielfa
Subido por:
Pedro L.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
80
Fecha:
25 de febrero de 2021 - 16:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ATENEA
Duración:
06′ 19″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
17.83 MBytes

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