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Introducción al álgebra - Contenido educativo

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Subido el 22 de marzo de 2022 por M. Yolanda B.

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Vamos a comenzar con un tema nuevo que es el de álgebra y bueno, decir que hasta ahora todo lo que hemos venido haciendo en cálculos y resolución de problemas ha sido aritmética, ¿vale? 00:00:01
Es aritmética porque solamente hemos trabajado con números. Ahora, al introducir en nuestros procesos de cálculo y resolución de problemas, introducir también letras junto con los números, hablamos de álgebra. 00:00:14
¿Qué diferencia hay entre resolver un problema aritméticamente o algebraicamente? 00:00:27
Resolver un problema de aritmética, por ejemplo, supone, siempre en aritmética los casos para resolver problemas son casos concretos. 00:00:40
Por ejemplo, yo decido que voy a comprar 5 kilos de naranjas y que esos kilos o cada kilo cuesta 0,75 euros, ¿vale? 0,75 euros el kilo. 00:00:49
Entonces, lo que yo voy a pagar será los kilos que compro por lo que me vale cada kilo, ¿vale? Y eso me da que voy a pagar para 5 kilos de naranjas 3,75 euros. 00:01:02
Caso concreto en el que yo compro 5 kilos de naranjas. Sin embargo, en el álgebra no sabemos los kilos que vamos a comprar. Lo que me dice el problema es que encuentre una expresión algebraica o lo que es lo mismo, entre comillas, una fórmula que me indique los euros que voy a pagar en función de los kilos que yo compre. 00:01:19
Evidentemente, si compro más kilos voy a pagar más euros, ¿no? ¿Cuántos kilos voy a comprar? Voy a comprar X kilos, porque yo no sé los kilos que voy a comprar. X puede valer cualquier cosa, pueden valer 2, 3, 5, es un caso genérico, este es un caso concreto, 5 kilos, y este es un caso genérico. 00:01:44
Entonces, si seguimos suponiendo que el kilo está a 0,75 euros, lo que yo voy a pagar es los kilos que compro, que son X, por el precio de cada kilo, que me daría X por 0,75. 00:02:04
Es decir, esto es una fórmula en la que yo puedo saber cuánto voy a pagar si compro 2 kilos. 00:02:31
Si compro 2 kilos sería 2 por 0,75. 00:02:38
Si compro 3 kilos sería 3 por 0,75. 00:02:41
Es decir, el valor de la X, que son los kilos, ya lo puedo sustituir por lo que yo quiera. 00:02:44
Mi formulita sería esta, que es muy sencilla. 00:02:49
Luego hay otras expresiones algebraicas o fórmulas, como queráis, donde es mucho más complejo. 00:02:51
Y que se utilizan muchísimo. Por ejemplo, si voy a comprar 5 kilos de naranjas, pues entonces se me convierte en este caso concreto, en el que me va a costar 3,75, pero esto lo voy a poder utilizar para cualquier cantidad de kilos de naranja. 00:02:58
Esta es la diferencia entre la aritmética y el álgebra, ¿de acuerdo? 00:03:18
Entonces, es muy importante cuando vayamos a resolver problemas que sepamos muy bien traducir del lenguaje verbal que utilizamos habitualmente al lenguaje algebraico, ¿vale? 00:03:22
En aritmética, por ejemplo, un número es algo específico y concreto. 00:03:36
Un número en aritmética es el 2, el 3, el menos 7, tres cuartos, lo que sea. 00:03:41
Sin embargo, en álgebra un número es un número, pues no sé cuál es, hablamos de un número, ¿qué número? Pues no sé. 00:03:48
A. O la edad de una niña, ¿qué edad tiene una niña? En este caso podríamos decir tiene 15 años, porque estamos hablando de un caso concreto. 00:03:57
En álgebra son casos generales, ¿la edad de una niña cuánto es? Pues ni idea, pues podemos llamar X. 00:04:06
O número de personas que van al teatro, pues 250 personas 00:04:12
En el caso de la aritmética, en el caso de la álgebra, el número de personas que van son, ni idea, i 00:04:17
¿De acuerdo? Entonces se sustituyen los números por letras 00:04:24
Y luego decir, por ejemplo, que en España o en una fiesta hay 30 parejas 00:04:28
¿De acuerdo? 30 parejas 00:04:39
¿Cuántas personas hay si hay 30 parejas? Si una pareja son dos personas, lo que hago es multiplicar dos, ¿por qué? Por 30, con lo cual hay 60 personas, ¿no? 60 personas. 00:04:43
Lo que hemos hecho ha sido multiplicar 30 por 2 porque es el doble del número de parejas. Sin embargo, en álgebra, ¿cuántas parejas van a una fiesta? Pues no tengo ni idea. 00:04:54
El número de parejas que hay podemos llamarle zeta. Zeta parejas. ¿Cuántas personas hay entonces si hay zeta parejas? Como no sé el número de parejas que hay, tampoco voy a saber el número de personas, evidentemente, pero la expresión algebraica que me va a expresar el número de personas, si yo sé que el número de personas es el doble del número de parejas, será el doble de zeta. 00:05:05
Esta es la formulita que me va a decir el número de personas que hay 00:05:32
Si Z son parejas que hay, son 20, pues el número de personas que habrá será 2 por 20, 40 00:05:38
Si el número de parejas que hay son 30, estaríamos en este caso concreto 00:05:46
Entonces el número de personas sería 2 por 30, serían 30 parejas por 2, serían 60 00:05:54
Y así continuamente quiere decirse que esta fórmula me va a valer para saber el número de personas en muchos casos en el que me digan que el número de parejas son 20, 30, 40 o 50 o lo que sea. 00:06:00
¿De acuerdo? Entonces, en el aula virtual os voy a dejar un vídeo en el que se os explica perfectamente cómo expresar diferentes fórmulas o diferentes expresiones algebraicas según lo que me van expresando. 00:06:14
Por ejemplo, el doble de un número, que es lo que acabamos de hacer, el doble de un número se expresa como 2A, puede poner 2X o 2Y, la letra me da lo mismo, pero sí es importante poner el 2A porque es doble de un número. 00:06:34
Y ese D, recordad que es un puntito, es una multiplicación. Lo que pasa es que en álgebra, entre número y letra, no hace falta poner esa multiplicación. 00:06:52
Si pongo 2A simplemente o 2X, yo ya sé que entre el 2 y la X, entre el número y la letra, hay una multiplicación. 00:07:01
¿De acuerdo? 00:07:09
Bien, en este vídeo vamos a ver las expresiones algebraicas que hemos visto antes. 00:07:15
Por ejemplo, si nos dicen que el cuadrado de un número, que exprese algebraicamente el cuadrado de un número al que le aumentamos cinco unidades, pues sería el cuadrado de un número cualquiera más cinco unidades. 00:07:22
Entonces, dentro de las expresiones algebraicas tenemos que distinguir diferentes elementos. 00:07:38
Y esto es importante porque a la hora de seguir las explicaciones siguientes se van a hablar de determinados conceptos que si no los tenéis claros no vais a poder seguir bien las explicaciones. 00:07:44
Uno de esos conceptos son los términos. ¿Qué es un término? Un término es un conjunto de números y letras que van separados unos de otros por sumas o restas. 00:07:55
Por ejemplo, en esta expresión algebraica tenemos un término y otro. ¿Por qué esto es un término y este es otro? Porque va separado uno de otro con una suma. 00:08:08
¿De acuerdo? Entonces aquí hay dos términos. Cuando tenemos dos términos, una expresión algebraica está formada por dos términos, decimos que es un binomio. 00:08:16
Y a cada uno de estos términos se le denomina monomio. Es decir, una expresión algebraica con dos monomios es un binomio. 00:08:26
¿Vale? Binomio. Por ejemplo, si tenemos ahora, vamos a suponer este, esta expresión algebraica que tiene tres monomios, ¿vale? Pues a esta se le denomina trinomio, que está formada por un término, otro término y otro término. 00:08:38
Tres términos, tres monomios, un trinomio. 00:08:58
Si la expresión algebraica tuviera más de tres términos o tres monomios, se le denomina polinomio. 00:09:02
¿De acuerdo? 00:09:12
Bien, ¿qué más cosas podemos...? ¿Qué conceptos, qué otros elementos aparecen en una expresión algebraica? 00:09:15
Bueno, pues por ejemplo, vamos a tomar este monomio de aquí, 3x a la cuarta. 00:09:22
En un monomio aparece el número que acompaña a la letra con el exponente. Recordad que entre letra y número, si no aparece nada, hay un por, ¿verdad? 00:09:28
Este número de aquí se le denomina coeficiente. Y a la letra con su grado se le denomina con su grado, que se le denomina a esto, se le denomina grado al exponente. 00:09:40
A la letra, con su grado o con su exponente, a todo ello se le denomina parte literal. 00:09:52
Esto hay que aprendérselo, todos estos nombres. 00:09:59
En este otro término, menos 5x, tenemos que el menos junto con el número es el coeficiente, 00:10:03
y la letra con su exponente es la parte literal. 00:10:14
Hemos dicho, ¿verdad? ¿Qué ocurre en esta parte literal? Que el exponente, ¿cuál es? No lo vemos, pero el exponente es un 1. 00:10:18
Recordad que en las potencias, cuando no hay nada, es un 1, no un 0. Ojo con eso, ¿de acuerdo? Parte literal. 00:10:27
Y luego, este monomio de aquí, que no tiene parte literal, es decir, que no viene acompañado por ninguna letra, se le denomina término independiente. 00:10:34
Bueno, todo esto lo podemos recoger en una tabla para que quede un poquito más claro, ¿vale? Vamos a ver, 3x a la cuarta menos 5x más 2, tenemos el nombre. ¿Qué nombre es? Pues es un trinomio, porque tiene tres monomios o tres términos. 00:10:45
¿Cuáles son los coeficientes? Los coeficientes son el 3 que son los números que acompañan a las letras y el menos 5. El número que aparece solo sin parte literal es decir sin letra se le denomina hemos dicho término independiente y es el 2 positivo. 00:11:05
¿De acuerdo? Luego están las partes literales. La parte literal de este trinomio es la letra con su grado, ¿vale? Este de aquí, grado 1, y ya está. 00:11:27
Y luego tenemos el grado. El grado o los grados, hemos dicho que sería el 1 en este caso y el 4 en este, pero cuando hablamos del grado de la expresión algebraica, en este caso del grado del trinomio, siempre se pone el grado más alto. 00:11:42
Quiere decirse que el grado de este trinomio es grado 4, porque aquí tenemos un 1, el 4 es más grande que el 1, el grado es 4. 00:12:00
¿De acuerdo? Vamos a hacer otro para que nos quede claro. Por ejemplo, este, vamos a hacer un polinomio con cuatro términos o cuatro monomios. Menos 5x al cubo más 2x cuadrado menos 6x menos 2. ¿Vale? Tenemos nombre, polinomio. ¿Vale? 00:12:07
¿Vale? Coeficientes. Los coeficientes serán el menos 5, ojo, ¿vale? Que no se nos olvide meter el negativo. El 2, el menos 6, y el menos 2, ¿qué es? El término independiente, porque no va acompañado de ninguna letra, con su signo. 00:12:30
Si en esta expresión algebraica no existiera término independiente, porque tuviéramos estos tres monomios, entonces el término independiente sería cero, no habría, pero como lo tenemos, menos dos. 00:12:50
Las partes literales son la letra con su exponente x³, x² y x, y el grado, hemos dicho que es el exponente más alto, por tanto, grado 3. 00:13:05
Bien, en este vídeo vamos a aprender a calcular el valor numérico de una expresión algebraica. 00:13:27
Si recordáis en uno de los ejemplos que pusimos al principio del tema en álgebra 00:13:35
vimos que, por ejemplo, si queríamos calcular la cantidad de euros que nos íbamos a gastar 00:13:43
cuando íbamos a comprar naranjas 00:13:52
habíamos dicho que los kilos de naranjas que íbamos a comprar que no se sabían son X 00:13:53
Y que cada uno de los kilos de las naranjas valía 0,75 euros. 00:14:02
Entonces, ¿cuántos euros nos íbamos a gastar? 00:14:10
Pues esto venía dado por una expresión que era simplemente multiplicar los kilos de naranjas que vamos a comprar por lo que vale cada kilo. 00:14:14
Con lo cual lo que nos haría era una expresión algebraica que es 0,75x. 00:14:24
Da lo mismo si pones la x delante que detrás, es lo mismo, evidentemente, esto que esto, porque al final es una multiplicación, pero siempre en álgebra lo que se hace es colocar primero el coeficiente, lo que es el número y después la letra. 00:14:29
Bueno, esta sería nuestra expresión algebraica para calcular los euros que nos vamos a gastar cuando compramos X kilos de naranjas. 00:14:45
Si yo lo que compro es 2 kilos de naranjas, pues mi valor de euros, la cantidad de euros que me voy a gastar es 0,75 por 2, 00:14:54
porque 2 es el número de kilos que compro de naranjas, con lo cual esto que me daría, me daría 1,50 euros. 00:15:06
Bien, esto que acabamos de hacer, esta operación que acabamos de hacer, sería el valor numérico de esta expresión algebraica cuando x vale 2, porque lo que he hecho ha sido sustituir el valor de la x, en este caso de los kilos de naranjas, por 2, que serían 2 kilos. 00:15:13
¿De acuerdo? Si decido que compro 5 kilos de naranjas, entonces para calcular el valor numérico lo único que tengo que hacer es sustituir la letra por el valor que me están dando. 00:15:33
En este caso creo que eran 3,75 euros lo que nos había dado en aquel problema. Multiplicamos, ¿de acuerdo? 00:15:47
Por ejemplo, si lo que tenemos, vamos a suponer, es esta expresión algebraica, 3x más 2, y nos piden que calculemos el valor numérico de esta expresión algebraica, cuando x vale 5, lo único que tengo que hacer es que sustituir en esta expresión el valor de la x, ¿por quién? 00:15:54
Por 5, porque me dice que la x vale 5, con lo cual tendríamos que es 3 por, aquí que es un por, ¿verdad? 00:16:15
Por la x, que vale ¿cuánto? 5 más 2. 00:16:22
Y aquí ya esto se ha convertido en una expresión aritmética, como siempre lo que tengo que hacer es aplicar la jerarquía de operaciones. 00:16:27
Lo primero es la multiplicación, suma y nos da valor 17. 00:16:35
Por ejemplo, ¿cuál es el valor numérico de esta misma expresión cuando x es igual a menos 1? 00:16:42
Pues lo único que hay que hacer es sustituir la x por menos 1. 00:16:50
Tendríamos que es 3 por menos 1, recordad que hay que poner paréntesis, más 2. 00:16:54
Luego 3 por menos 1, menos 3 más 2, igual a menos 1. 00:17:01
Quiere decirse que el valor numérico de esta expresión cuando x es menos 1 es menos 1. 00:17:06
El valor numérico de esta expresión cuando x vale 5 es 17. 00:17:12
¿De acuerdo? Yo creo que es sencillo. 00:17:18
Pues, por ejemplo, se me ocurre otro. 00:17:20
A ver, menos 2x cuadrado más 7x más 1. 00:17:23
Esta sería mi expresión algebraica. 00:17:32
¿Cuál es el valor numérico de esta expresión cuando x vale, yo que sé, 3? 00:17:34
Pues bueno, pues será menos 2 por x, ¿cuánto vale 3 al cuadrado? 00:17:41
Más 7 por 3, más 1. 00:17:49
Luego esto es, gerar de operaciones que hago primero, potencia, menos 2 por 9, más 7 por 3, más 1. 00:17:55
Hago las multiplicaciones, menos por más menos, 9 por 2, 18, más 7 por 3, 21, más 1. 00:18:04
Positivos por un lado, negativos por otro. 00:18:11
Menos 18 más 22, ¿y esto qué me da? 00:18:13
Pues me da 4 positivo. 00:18:19
¿De acuerdo? 00:18:24
Bien, vamos a realizar este ejercicio que es de sumas y restas con monomios y polinomios. 00:18:29
Y también veremos luego multiplicaciones y divisiones. 00:18:36
Bien, para sumar y restar monomios o polinomios o expresiones algebraicas entre sí, lo que tiene que tenerse en cuenta es que tienen que tener la misma parte literal, tienen que ser semejantes, ¿vale? 00:18:41
Es decir, tienen que tener la misma letra con el mismo exponente. 00:18:56
En este caso, por ejemplo, estos dos monomios son semejantes porque la parte literal es igual, 00:19:01
con lo cual lo único que tenemos que hacer es que sumar los coeficientes y la parte literal se queda como está. 00:19:06
Pues sería 3 más 2, la parte literal se queda igual y me quedaría que es 5x cuadrado. 00:19:12
Simplemente, bueno, esta parte si se quiere no se tiene por qué hacer, simplemente sumamos 3 más 2, 5 y dejamos la misma parte literal. 00:19:20
¿Vale? En este caso, ¿tenemos la misma parte literal? Sí. Por tanto, podemos sumar 7 y 5, 12 y dejamos la parte literal como está. ¿Vale? 00:19:27
siguiente ejercicio 00:19:40
en este caso la parte literal parece la misma pero no lo es 00:19:42
porque en este caso la A está elevada al cuadrado 00:19:46
mientras que en este caso la letra A está elevada a 1 00:19:49
y aquí al revés, esta B está elevada a 1 00:19:53
y esta B al cuadrado 00:19:56
con lo cual no se puede hacer nada 00:19:58
se mantiene como está 00:20:00
se queda como está 00:20:01
¿de acuerdo? 00:20:03
siguiente, ¿son semejantes? 00:20:05
sí, con lo cual sumamos 00:20:07
los coeficientes y mantenemos el x cuadrado. Aquí una resta, la misma parte literal que 00:20:09
se mantiene y se restan los coeficientes, 7 menos 5, 2, y mantenemos las letras y los 00:20:18
exponentes. En este caso también la misma parte literal, aquí son 8 más 2, 10, 10 00:20:26
menos 12 menos 2. Esto es jerarquía de operaciones. Habría que realizar como hemos realizado siempre 00:20:35
con los números enteros y las fracciones. Y la parte literal se mantiene. Aquí tenemos fracciones, 00:20:41
con lo cual lo que tenemos que hacer es que en este caso sumar estas dos fracciones porque la 00:20:49
parte literal se mantiene al ser semejante los dos monomios. Aquí tenemos el mismo 00:20:54
denominador, con lo cual el denominador se mantiene y se suman los numeradores. ¿Se 00:21:04
puede simplificar? Sí. 4 entre 2, 2. En el caso de que hubiéramos tenido denominadores 00:21:12
diferentes, habría que haber hecho el mínimo común múltiplo y luego ese mínimo común 00:21:21
múltiplo dividirlo por el denominador y multiplicarlo por el numerador, recordad, ¿vale? Que haremos 00:21:26
más ejercicios de eso, sobre todo en ecuaciones. En este caso, 2 más 3, 5. 5 menos 4, 1. El 1 no se pone nunca, ¿de acuerdo? 00:21:33
Son 3 y 2, 5. 5as, menos 4as, 1a. ¿De acuerdo? Se queda así. ¿Podemos operar estos dos monomios? No. ¿Por qué? 00:21:47
Porque la parte literal no es semejante, no son monomios semejantes, no son iguales las partes literales, con lo cual esto se queda como está, no se puede operar. 00:21:59
Bien, pasamos ahora a efectuar multiplicaciones y divisiones. 00:22:09
Para multiplicar y dividir monomios o monomios entre polinomios o polinomios entre sí, no es necesario que la parte literal sea igual, ¿de acuerdo? 00:22:15
Lo que se hace es multiplicar los coeficientes, ¿de acuerdo? Sería 2 por menos 3 sería menos 6, más por menos menos, 2 por 3 es 6, y luego tenemos x al cuadrado y x a la cuarta que se están multiplicando. 00:22:28
Es decir, es como si fueran dos potencias con la misma base y distinto exponente, que es lo que ocurre, que se queda la misma base y se suman los exponentes, porque se están multiplicando. 00:22:44
¿De acuerdo? Veamos este otro caso. Este caso es de un monomio que multiplica a un trinomio, con lo cual este monomio multiplicará a este, a este y a este porque está entre paréntesis, quiere decir que este monomio estará multiplicando a todo lo que hay dentro del paréntesis. 00:22:57
Y operamos. Este multiplica a este, ¿verdad? Menos por menos, más 2, o sea, 3 por 2, 6x y el exponente 2 más 3, 5x a la quinta. 00:23:17
¿De acuerdo? Ahora tenemos que este multiplicará al del medio porque el primero ya lo ha multiplicado. 00:23:35
¿Vale? Sería menos por más, menos. 3 por 3, 9. X elevado a 2 más 2, 4. ¿De acuerdo? Y ahora me queda este por este. Menos por menos, más 3 por 1, 3. 00:23:41
Y ahora x cuadrado, porque este no tiene nada de parte literal, con lo cual se queda el de aquí. 00:24:03
Y no podemos simplificar más porque aquí hay sumas y restas y las partes literales son distintas, con lo cual se tiene que quedar de esta manera. 00:24:10
No podemos simplificarlo más. 00:24:19
Veamos este de aquí. 00:24:22
Sería este monomio que estará multiplicando a este trinomio. 00:24:23
Es igual que este caso, lo que pasa es que aquí el monomio estaba primero y aquí está en segundo lugar, pero es lo mismo. 00:24:28
Entonces tenemos que más, ¿no? Multiplicaría este, empezamos por aquí, por el primero, ¿vale? 00:24:35
Menos por más, menos, menos por más, menos. 00:24:42
Aquí hay un 1, coeficiente 1, si no aparece nada es un 1. 00:24:46
5 por 1, 5. Y la x que sería 2 más 1, 3. ¿Vale? 00:24:50
Ahora, este por este, menos por menos, más 5 por 2, 10x, 1 más 1, 2. 00:24:58
Siguiente, menos por más, menos 5 por 4, 20x. 00:25:09
¿De acuerdo? 00:25:16
Este es muy sencillito, ¿verdad? 00:25:17
Sería este por este, sería 3 por x, 3x, porque este es un 1, ¿verdad? 00:25:20
Esto sería 3 por 1 es 3, 3x, más por menos, menos, 3 por 2, 6. Seguimos este por este y este por este, 1 por 4, 4, x, 3 y 1, 4, más por más, más, 1 por 3, 3, x al cubo. 00:25:26
Continuamos, 1, 2 y 3, ¿vale? Este es un 1 de coeficiente, tenemos 1 más por más más, ¿verdad? 1 por 2, 2, x, y aquí tenemos un 1 y 2, 3, más por más, más, 1 por 5, 5, x, 1 y 1, 2, más por menos, menos, 3 por 1, 3, x. 00:25:51
Vamos a hacer a continuación divisiones 00:26:16
En las divisiones es igual prácticamente que en la multiplicación 00:26:19
Lo único que tenemos que hacer es dividir los coeficientes 00:26:24
Y ahora sería 8 entre 2, 4 00:26:27
Hacemos primero los coeficientes 00:26:30
Y ahora que tenemos dos potencias con la misma base 00:26:31
Diferente exponente que se están dividiendo 00:26:36
Con lo cual según las propiedades de las potencias 00:26:38
¿Qué sería? Dejamos la misma base y restamos exponentes. 5 menos 2, 3. ¿Vale? Este caso sería más, ¿no? Este es un monomio dividido entre otro monomio. Es más largo, pero es un monomio. 00:26:42
Más entre menos, menos. 32 entre 4, 8. Y ahora tenemos las mismas bases, que las dejamos, ¿verdad? Y ahora los exponentes de cada una de sus letras. 00:26:58
La x con la x sería 5 menos, porque está dividiendo, 5 menos 3, 2. La y, 4 menos 2, 2. Dejamos la misma base, restamos exponente, recordad. Y ahora, 1 menos 1, que sería 0, ¿vale? ¿Y qué ocurre cuando algo está elevado a 0? Que eso vale 1, con lo cual esto me quedaría menos 8x cuadrado por y cuadrado y la z al cuadrado, que es un 1, ¿verdad? 00:27:15
Con lo cual esto me da menos 8x cuadrado y cuadrado. 00:27:45
Y llegamos al último, que sería también una división, menos entre menos más, 15 entre 5, 3, xy, y ahora la x, 3 menos 1, 2, y 2 menos 1, 1. 00:27:49
¿De acuerdo? 00:28:11
Autor/es:
Yolanda Bernal
Subido por:
M. Yolanda B.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
148
Fecha:
22 de marzo de 2022 - 5:58
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
28′ 15″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
640x480 píxeles
Tamaño:
321.00 MBytes

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