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Análisis Castilla y León 2018 - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Pedro L.

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Bien, este problema fue propuesto como veis aquí en la de Bado de Castilla y León en julio del 18 00:00:01
y nos piden de entre todos los rectángulos cuya perímetro sea 40 00:00:07
encontrar aquel que tiene la diagonal de menor longitud. 00:00:11
Bien, pues lo primero que vamos a hacer es dibujar nuestro rectángulo 00:00:16
y un rectángulo pues tiene dos dimensiones que son la base y la altura. 00:00:20
Vamos a llamar X e Y. 00:00:28
Como el perímetro son 40, tenemos clara la relación entre X e Y 00:00:30
Que es que 2X más 2Y es 40 00:00:35
Que es lo mismo que decir que X más Y vale 20 00:00:38
O lo que es lo mismo, la Y es 20 menos X 00:00:43
Y nos dicen que encontremos aquel que tiene la diagonal de menor longitud 00:00:48
Si trazamos la diagonal en este rectángulo 00:00:54
Que la podemos hacer, es esta de aquí 00:00:57
Y nos aparece un triángulo rectángulo, o sea que podemos aplicar el teorema de Pitágoras y sabemos que x al cuadrado más y al cuadrado van a ser la diagonal al cuadrado. 00:01:00
O dicho de otra forma, la diagonal va a ser la raíz cuadrada positiva, porque es una distancia, de x al cuadrado más y al cuadrado. 00:01:18
Aquí tenemos una función con dos variables, pero como podemos ponerla ahí en función de la x, ya puedo crear yo la función a la que vamos a llamar f de x, que nos diga el valor de la diagonal en función de la x, que será la raíz cuadrada de x al cuadrado más 20 menos x al cuadrado. 00:01:28
Bien, esta es la función que tenemos que derivar 00:01:53
Si desarrollamos el polinomio de dentro 00:01:57
Tenemos que la función es 00:02:00
2x cuadrado 00:02:03
Menos 40x 00:02:06
Más 400 00:02:11
Y en lugar de poner la raíz vamos a poner elevado a 1 medio 00:02:14
Esto que veis aquí 00:02:17
Lo único que he hecho ha sido desarrollar este polinomio y operar 00:02:19
Para encontrar el máximo de esta función tenemos que derivar la función, ¿vale? 00:02:22
La derivada de esto será, como la tenemos en forma de fracción, perdón, en forma de potencia quiere decir, 00:02:29
será 1 medio por todo este paréntesis 2x cuadrado menos 40x más 400 elevado a menos 1 medio 00:02:43
y por la derivada de lo de dentro de la raíz que en este caso sería 4x menos 40 ¿vale? 00:02:53
que si lo queremos poner en forma de raíz ya que teníamos raíces antes sería 00:03:01
Que la derivada es 40x menos 40 dividido entre dos veces la raíz cuadrada de 2x cuadrado menos 40x más 400. 00:03:06
Eso quiere decir que la derivada es 0 si lo de arriba es 0. 00:03:23
4x menos 40 es igual a 0, es decir, si la x vale 10. 00:03:28
¿Cuándo la x vale 10? Esta función tiene un máximo o un mínimo 00:03:32
Entonces lo que nos falta es discernir si es máximo o mínimo 00:03:37
Tenemos muchas formas de hacer esto, hacer la segunda derivada 00:03:42
Pero bueno, como la derivada es un poco compleja, la segunda derivada también puede serlo 00:03:45
Vamos a utilizar otro método 00:03:49
Yo sé que la derivada en el 10 es 0 00:03:51
Vamos a calcular cuánto es la derivada en el 9 y cuánto es la derivada en el 11 00:03:57
porque sabemos que no hay más raíces 00:04:01
porque el único punto en el que se anula es en el 10 00:04:03
si hacemos la derivada en el 9 00:04:05
esto da 00:04:07
arriba 36 00:04:09
menos 40 00:04:11
vale, estoy cambiando 00:04:12
el x por un 9 y abajo 00:04:15
2 por la raíz de 00:04:17
162 00:04:19
menos 360 00:04:21
más 40 00:04:23
que lo de abajo tiene signo positivo 00:04:24
y lo de arriba negativo, claramente 00:04:27
aquí, esta es negativa, eso quiere decir que 00:04:29
en x igual a 9 mi función decrece 00:04:33
si hacemos la derivada en el 11, tenemos que lo de arriba es 00:04:37
44 menos 40 dividido entre dos veces la raíz 00:04:41
de 242 menos 440 00:04:45
más 400 00:04:50
y esto es, más entre más, esto es positivo, que quiere decir eso 00:04:52
que en x igual a 11 mi función crece 00:04:56
¿por qué? porque su derivada es positiva 00:05:01
si decrece en el 9 y ya en el 11 crece y en el 10 es 0 00:05:04
claramente en el 10 hay ¿el qué? un mínimo 00:05:08
con lo cual el rectángulo pedido 00:05:12
como es de perímetro 40 en realidad es un cuadrado 00:05:18
entonces el rectángulo pedido o buscado 00:05:20
mide 00:05:28
10 por 00:05:30
10 centímetros 00:05:34
¿de acuerdo? 00:05:36
Autor/es:
Pedro Lomas Nielfa
Subido por:
Pedro L.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
72
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 22:09
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ATENEA
Duración:
05′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
30.36 MBytes

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