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Problemas de trigonometría - Contenido educativo

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Subido el 20 de octubre de 2023 por Elias M.

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Bueno, ya lo que nos queda prácticamente es pelearnos con problemas, ¿vale? 00:00:00
Os voy a resolver dos tipos de problemas que salen con bastante frecuencia, 00:00:07
pero bueno, los demás que os caigan pueden ser de cualquier tipo. 00:00:12
Pero todo, para resolverlos, siempre más o menos se siguen los mismos pasos, ¿vale? 00:00:17
Que suelen consistir en ver triángulos y poquito a poco ir resolviéndolos, ¿vale? 00:00:26
Imaginaos que nos piden que calculemos el área de un dodecagono regular 00:00:32
de lado 16 centímetros, ¿vale? 00:00:50
Lo primero, un dodecagono. 00:00:56
Un dodecagono regular es un polígono regular, 00:00:59
quiere decir que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales, 00:01:04
y además son 12. 00:01:09
Y eso yo no sé dibujar, ¿vale? 00:01:12
Yo no sé dibujar un dodecagono regular. 00:01:15
Me saldría fatal. Voy a intentarlo, pero sin muchas ganas porque sé que me va a salir mal. 00:01:18
Es que ni me atrevo. Ni me atrevo. 00:01:24
No, no lo voy a dibujar. 00:01:29
Voy a dibujar algo más sencillo que un dodecagono. 00:01:32
Un octógono. 00:01:35
Un octógono, más o menos. 00:01:41
Un octógono es que me esté saliendo muy bien. 00:01:43
Imaginaos si me pongo a hacer el dodecagono. 00:01:45
Bueno. 00:01:48
Un octógono, ¿vale? 00:01:52
Tengo que tener claro que no es esto lo que tengo que resolver. 00:01:55
Tengo que resolver un dodecagono, pero bueno, 00:01:58
el octógono a lo mejor me ayuda a entender el otro problema. 00:02:00
¿Por dónde empiezo aquí? 00:02:07
Ni idea. 00:02:09
Me piden el área. 00:02:12
Vale. Tengo que saber la fórmula del área de un dodecagono. 00:02:14
Me da la casualidad que el área de un dodecagono, de un octógono, de un hexágono, 00:02:18
de todos los polígonos regulares es la misma. 00:02:22
Área es perímetro por apotema dividido entre dos. 00:02:25
Vale. 00:02:30
Vale. Eso lo sé. 00:02:32
P es perímetro. 00:02:35
A, apotema. 00:02:38
O sea que si yo consigo el perímetro y el apotema del dodecagono, 00:02:42
lo tengo. 00:02:47
Bueno, el perímetro es fácil. 00:02:50
Son doce lados. 00:02:52
Y sabemos lo que mide los lados. 00:02:54
Ojo, esto va bien. 00:02:58
Doce por dieciséis. 00:03:00
El perímetro de lo que yo busco. 00:03:04
Doce por dieciséis. 00:03:07
Ciento noventa y dos centímetros. 00:03:11
Solo me falta la apotema. 00:03:15
La apotema... 00:03:18
¿Qué es la apotema? ¿Os acordáis? 00:03:20
Pues la apotema es una línea que en los polígonos regulares va desde el centro 00:03:23
hasta la mitad de uno cualquiera de sus lados. 00:03:28
La apotema es así. 00:03:35
La apotema es así. 00:03:39
¿Cómo averiguar esto? 00:03:45
Pues buscando triángulos, que estamos en el tema de trigonometría. 00:03:47
Hay que buscar triángulos. 00:03:50
Triángulos que nos puedan ayudar a resolver esto. 00:03:51
Los triángulos que me vienen a la cabeza. 00:03:54
Lo más fácil sería unir el centro con alguno de los vértices. 00:03:57
¿Sí? 00:04:08
Esto me puede ayudar, porque además fijaos que se han formado triángulos rectángulos, 00:04:09
que son los más fáciles de resolver y para los cuales sabemos muchas fórmulas. 00:04:15
Teorema de dictadoras, teorema de los catetos, teorema de la altura. 00:04:18
Sabemos las razones trigonométricas. 00:04:21
Los triángulos rectángulos para nosotros casi no tienen ningún misterio. 00:04:23
Pero es que esta no es la figura que yo quiero. 00:04:28
Esto es un octógono. 00:04:30
Yo quiero un dodecágono. 00:04:32
¿Cuál sería la diferencia? 00:04:36
Pues la diferencia es que como tiene muchos más lados, 00:04:38
tiene muchos más lados, 00:04:45
los triangulitos estos que se forman son más pequeños. 00:04:47
Y además cambian también los ángulos que se forman aquí. 00:04:51
Porque fijaros que en un octógono, ¿cuántos triángulos de estos tengo? 00:04:57
Pues supongo que serán ocho. 00:05:06
Claro, son ocho porque cada triángulo va con un lado. 00:05:09
En un dodecágono son doce. 00:05:13
¿Y este ángulo cuánto será? 00:05:16
Pues la vuelta entera son 360 grados. 00:05:19
La vuelta entera, una circunferencia, son 360 grados. 00:05:24
Y cada uno de estos triangulitos, el pico, será 360 entre 8. 00:05:28
Entonces, en el dodecágono, que son 12, son 360 entre 12. 00:05:33
Pues bueno, aunque no sepa dibujar el dodecágono, porque me saldría un churro, 00:05:39
lo que sí que puedo dibujar, más o menos, 00:05:45
me puedo imaginar cómo es uno de estos quesitos que se forma. 00:05:48
Y además sé cuánto mide esto, que es 360 entre 12. 00:05:53
Treinta. 00:06:01
Pero yo lo quiero partido por la mitad, porque lo que estoy buscando es la apotema, que es esto. 00:06:04
Vale, entonces es 15 y 15. 00:06:09
¿Qué más cosas sabemos? 00:06:13
De hecho, el triángulo isósceles este no me interesa. 00:06:16
El que me interesa es medio triángulo isósceles. 00:06:19
¿Por qué? Porque el isósceles es isósceles. 00:06:22
Pero no es rectángulo. 00:06:25
Y lo que quiero es la mitad, que esto mide 15. 00:06:28
Esto mide... 00:06:32
A ver, esto medía 16. 00:06:35
Cada lado medía 16. Esto mide entonces 16. 00:06:38
Esto mide 8. 00:06:43
Esto es rectángulo, que me viene súper bien. 00:06:45
Esto es lo que quiero averiguar. 00:06:49
Esto no tengo ni idea de lo que mide. 00:06:54
No tengo ni idea de lo que mide esto. 00:06:58
No tengo ni idea de lo que mide esto. 00:07:02
Pero conozco este ángulo. 00:07:06
Esto es un triángulo rectángulo. 00:07:09
Y sé las razones trigonométricas. 00:07:12
Este ángulo. ¿Qué conocemos de este ángulo? 00:07:15
Este que es cateto opuesto al ángulo. 00:07:18
Este que es cateto contiguo. 00:07:24
La hipotenusa ni idea. Ni idea. 00:07:26
La hipotenusa no sabemos nada. 00:07:28
Sabemos que el seno de cualquier ángulo es cateto opuesto entre hipotenusa. 00:07:30
El coseno es cateto contiguo entre hipotenusa. 00:07:44
Y la tangente de cualquier ángulo es cateto opuesto entre cateto contiguo. 00:07:52
A ver, de la hipotenusa ni idea. 00:08:05
Pero los catetos sí que tenemos algo de información. 00:08:09
Uno es el que queremos averiguar y otro lo conocemos. 00:08:12
De las tres fórmulas, ¿cuál es la que más nos interesa utilizar? 00:08:15
Porque hay gente que se rayaría mucho. 00:08:20
Pero yo creo que la que nos interesa en este problema. 00:08:23
En otros a lo mejor nos interesa otra, pero nos interesa esta. 00:08:27
La tangente del ángulo de 15 grados, este, es cateto opuesto 8 entre la hipotenusa. 00:08:30
Si despejamos aquí, este pasa multiplicando, este dividiendo. 00:08:41
A es igual a 8 entre la tangente de 15 grados. 00:08:44
A es igual... 00:08:49
Lo hago. 00:08:53
8 entre la tangente de 15. 00:08:55
Me aseguro que la calculadora está en grados, que si no... 00:09:00
Me da 2,86... 00:09:05
No, perdón, 29,86 centímetros. 00:09:09
Ya tengo todo lo que necesito. 00:09:17
A es igual a 192 por 29,86 partido de 2. 00:09:21
O sea que... 00:09:30
2.866,22 centímetros cuadrados, porque las áreas se miden en unidades cuadradas. 00:09:47
Bueno, la trigonometría es una parte de las mates súper importante para muchas profesiones 00:09:59
y para muchos problemas que se han tenido que resolver a lo largo de la historia. 00:10:05
Una cosa para la que se ha utilizado la trigonometría es para medir alturas de edificios, de montañas. 00:10:10
Claro, tú quieres medir la altura de una montaña, no te vas con el metro... 00:10:17
Bueno, uno que se suba y otro aguantando... 00:10:22
No, no. 00:10:25
Lo que se hace son una serie de cálculos de ángulos y después de triángulos se calculan las alturas. 00:10:28
Se triangula y eso es lo que hacen los topógrafos y la gente que hace mapas. 00:10:40
Una cosa parecida es de lo que habla este problema, que también es un problema que sale bastante. 00:10:45
Este es de los más difíciles que hay. 00:10:50
Los otros con un poco de práctica, aunque sean diferentes, os pueden salir. 00:10:53
Pero este por lo menos hay que verlo una vez. 00:10:59
Entonces, mirad, nos piden que calculemos la altura de un edificio. 00:11:02
Claro, tú el edificio lo mismo, no te vas a ir con un metro. 00:11:06
Y bueno, tírame la cuerda desde arriba. 00:11:10
Eso es muy complicado. 00:11:15
Tenemos un edificio alto y la manera de medirlo podría ser así. 00:11:18
Queremos saber la altura del edificio. 00:11:25
Medimos a cierta distancia un ángulo de 28 grados, desde donde estamos mirando hasta la parte más alta del edificio. 00:11:28
Pero si nos acercamos 20 metros, que eso es fácil de medir, el ángulo cambia. 00:11:39
El ángulo ahora es más grande y es de 40 grados. 00:11:45
Esto no sabemos lo que mide, pero sabemos que nos hemos acercado 20 metros. 00:11:50
Y esto lo vamos a llamar h, la altura del edificio. 00:11:57
Aquí parece que hay poca información. A ver cómo vamos a resolver esto. 00:12:05
Bueno, pues habrá que ir haciendo el problema más pequeñito. 00:12:10
¿Qué se os ocurre? Pues hasta la altura ya tendría que venir a la cabeza el primer paso. 00:12:14
Y el primer paso es encontrar ahí triángulos. 00:12:20
Y yo miro y directamente veo dos triángulos. 00:12:24
Pero no estoy seguro de que esos dos triángulos sean con los que más nos interesa trabajar. 00:12:27
Así que no nos precipitemos, miremos bien el dibujo y vamos a pensar qué triángulos son interesantes para poder resolver este ejercicio. 00:12:31
A mí, por ejemplo, me gusta mucho este triángulo porque es rectángulo. 00:12:46
Y por otra razón, porque tengo bastante información sobre él. 00:12:53
Esto mide 40, esto mide h y esto mide x. 00:13:01
Lo único que no sabemos es la hipotenusa. 00:13:05
¿Y cuál es el otro triángulo que vamos a utilizar? 00:13:08
Pues mucha gente me apunta este, pero es que este es un triángulo complicado. 00:13:12
Es mejor coger este, más grande. 00:13:19
Entonces voy a usar también este porque me pasa lo mismo. 00:13:22
Conozco esto, conozco más o menos esto y esto lo conozco también. 00:13:29
Y ahora vamos a pensar como antes qué razones trigonométricas, como son triángulos rectángulos, nos interesa utilizar. 00:13:37
El seno de alfa es cateto opuesto entre hipotenusa. 00:13:47
El coseno de alfa es cateto contigo entre hipotenusa. 00:13:52
Y la tangente de alfa es cateto opuesto entre cateto contigo. 00:14:00
Este ángulo que conocemos, cateto opuesto y cateto contigo, nos interesa la tangente. 00:14:07
Este ángulo que conocemos, cateto opuesto y cateto contigo, también la tangente. 00:14:14
Planteamos las ecuaciones. 00:14:20
Tangente de 40 grados es igual a h entre x. 00:14:23
Tangente de 28 grados es igual a h entre 20 más x. 00:14:29
¿Qué tenemos aquí? 00:14:41
Esto lo conocemos, que lo podemos calcular con la calculadora. 00:14:43
Esto también lo conocemos por la misma razón. 00:14:46
Tenemos dos incógnitas y dos ecuaciones, un sistema. 00:14:49
Es un sistema no lineal, pero lo sabemos resolver. 00:14:54
h es igual a x por la tangente de 40 grados. 00:15:03
Queremos resolver h. 00:15:11
Si despejamos de aquí x y lo sustituimos aquí, tenemos una fórmula para h. 00:15:21
Voy a intentarlo. 00:15:25
Tangente de 28 grados por 20 más x, paso esto al otro lado multiplicando, es igual a h. 00:15:27
Llegados a este punto creo que lo más fácil es aplicar igualación. 00:15:35
Aquí tengo despejada la x, o sea, la x y la h. 00:15:41
Aquí también puedo igualar las dos. 00:15:45
Entonces me queda que x por la tangente de 40 grados es igual a la tangente de 28 grados por 20 más x. 00:15:47
Las dos h son iguales. 00:16:00
Entonces quito paréntesis. 00:16:03
x por la tangente de 40 grados es igual a la tangente de 28 grados por 20 más la tangente de 28 grados por x. 00:16:06
Los que tienen x van a un lado, los que no tienen x al otro. 00:16:20
Entonces x por la tangente de 40 grados menos x por la tangente de 28 grados es igual a la tangente de 28 grados por 20. 00:16:26
Saco factor común la x y me queda que x por la tangente de 40 grados menos la tangente de 28 grados es igual a 20 por la tangente de 28 grados. 00:16:48
Y ahora lo que multiplica la x pasa al otro lado dividiendo. 00:17:03
x es igual a 20 por la tangente de 28 grados partido de la tangente de 40 grados menos la tangente de 28 grados. 00:17:08
Pero la x no la piden para nada. 00:17:24
Ya podríamos calcularla con la calculadora y averiguamos el valor. 00:17:30
Pero como nos piden la h, la voy a sustituir aquí. 00:17:35
Y me queda que h es igual a todo esto por la tangente de 40 grados, 20 por la tangente de 28 grados, por la tangente de 40 grados, dividido entre la tangente de 40 grados menos la tangente de 28 grados. 00:17:40
Todo esto habrá gente a la que le asuste. 00:18:02
Si os asusta, un truco es ir resolviendo desde el principio con la calculadora. 00:18:06
Tangente de 40 grados te sale un numerito, tangente de 28 grados un numerito. 00:18:11
Y vais trabajando con numeritos y entonces aquí os queda más sencillo. 00:18:15
¿Cuál es la ventaja de hacerlo como lo estoy haciendo yo? 00:18:18
Que los cálculos los haces al final, los puedes meter en la calculadora directamente y el resultado es mucho más exacto. 00:18:21
Lo ideal sería hacerlo así, pero claro, requiere más concentración a la hora de despejar y de hacer las operaciones. 00:18:28
Yo lo hago así y entonces me da un resultado más exacto. 00:18:35
20 por, veis que voy a poner todo directamente y no voy a perder ningún decimal. 00:18:38
Tangente de 28 por tangente de 40, dividido, y ojo al dividir porque es una resta y hay que ponerlo entre paréntesis. 00:18:43
Partido de tangente de 40 menos tangente de 28. 00:18:54
Cierro paréntesis. 00:19:03
Pin, pin, pin, pin. 00:19:05
29,03 metros de altura tiene el edificio. 00:19:07
Idioma/s:
es
Autor/es:
Elías Martí Borredà
Subido por:
Elias M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
20 de octubre de 2023 - 16:59
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLA DE VALLECAS
Duración:
19′ 18″
Relación de aspecto:
3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
Resolución:
720x480 píxeles
Tamaño:
54.91 MBytes

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