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Iniciación al cálculo integral

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Subido el 15 de mayo de 2020 por M. Del Pilar C.

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Vamos a ver la iniciación al cálculo integral. Esto solamente va a ser una especie de pincelada, unos conceptos muy sencillos de lo que es el cálculo integral que es muy importante dentro de las matemáticas. 00:00:00
Como digo siempre, todos aquellos que vayáis a hacer económicas, empresariales o una mezcla de estas carreras tendréis que ver bastantes más integrales y bastantes más métodos. 00:00:15
Pero entrada es un tema que aunque es nuevo, tampoco es tan complicado. 00:00:27
Vamos a ver primero qué es eso de una integral indefinida. 00:00:34
Integrar es el proceso recíproco de derivar. 00:00:41
Si yo tengo la función f de x igual a 5x cubo y derivo, su derivada sería 15x cuadrado 00:00:44
Pues integrar es justo el proceso contrario 00:00:53
Si a mí me dan 15x cuadrado, tengo que buscar de qué función viene 00:00:57
Y para ello veremos una serie de métodos para hacerlo 00:01:01
Pero hay un problema 00:01:04
Que si os fijáis, todas las funciones f que aparecen abajo, su derivada también es 15x al cuadrado 00:01:08
porque la derivada de la constante que va detrás de 5x al cubo siempre es cero. 00:01:16
Vamos a ver la anotación que usaremos cuando utilicemos las integrales. 00:01:28
Esta es la expresión de lo que sería una integral. 00:01:33
Esa especie de S alargada es el signo de integración 00:01:37
y viene de una deformación del símbolo de sumatorio 00:01:42
y tiene cierta relación con la suma, por eso tiene esa forma también. 00:01:47
Este término de ahí leemos como integral de f de x diferencial de x. 00:01:51
f de x es la función, el integrando, que vamos a obtener su primitiva. 00:02:03
Y ese de x lo leemos como diferencial de x e indica cuál es la variable de la función que se integra. 00:02:13
Este año realmente ese diferencial no usa mucho y es más como una especie de anotación que ponemos siempre 00:02:19
pero en matemáticas superiores sí que es importante saber si es una X, una Y o qué variable es la que estoy integrando 00:02:26
Y por último una vez que yo hago la integral me dará un resultado 00:02:35
el que sea que es la F mayúscula que aprenderemos a calcular mediante las tablas 00:02:42
y en las integrales indefinidas siempre nos va a aparecer esa c. 00:02:48
Esa c es la constante de integración, la que veíamos antes que diferenciaba unas integrales de otras 00:02:53
en el ejemplo anterior de las 5x al cubo. 00:03:00
Y puede tomar cualquier valor numérico pero nosotros la vamos a poner siempre como esa c mayúscula. 00:03:04
Vamos a ver ahora lo que son las integrales definidas. 00:03:15
Una idea intuitiva de qué es lo que llevó a la integral de Riemann. 00:03:20
Esto lo usaremos en la segunda parte del tema. 00:03:27
Bueno, la primera necesidad que han tenido los matemáticos cuando tenían una función es encontrar el área que hay bajo la curva. 00:03:35
Cuando yo estoy hallando un área, pues sabemos calcular las áreas de las figuras básicas geométricas, los cuadrados, los triángulos... 00:03:44
De hecho hay otras figuras que no sabemos calcularla y lo que hacemos es descomponerlas en figuras conocidas. 00:03:53
Pues esa fue la idea que tuvo Riemann. 00:03:58
Si yo tengo una curva y quiero saber qué área hay bajo esa curva entre el x sub 0 y el x4, entre dos valores cualquiera, 00:04:00
lo que puedo hacer es aproximarla por un cuadrado, por un rectángulo. 00:04:09
De forma que cada rectángulo su área sería la base, el trocito de ese intervalo y su altura justo coincidiría con el valor de la función en un punto de ese rectángulo, que podría ser el del medio, podría ser una esquina, podría ser otro. 00:04:13
Si os fijáis, de esta forma el área tendríamos una primera aproximación que sería esos cuatro rectángulos hallando su base por su altura. 00:04:34
Pero si yo quiero ajustarlo todavía más, lo que puedo hacer es esos rectángulos hacerlos más estrechitos. 00:04:53
De esta forma fijaros que cada vez me aproximo más a la figura y siguen siendo rectángulos. 00:04:59
Esta vez la base es más estrecha y entonces la altura la puedo ajustar mejor. 00:05:06
Si sigo haciendo cada vez más estrechos los rectángulos, cada vez me aproximaré más a la función que quiero calcular su área. 00:05:12
La longitud de la base es x. 00:05:31
Si la hacemos muy pequeña nosotros utilizamos la terminología de diferencial de x que es una longitud muy pequeña de x y de ahí viene el que nosotros vamos a usar en las integrales. 00:05:34
Fijaros, aquí tengo la función 00:05:48
Ya no he hecho intervalos, sino que simplemente quiero hallar el área entre a y b 00:05:56
Pues la forma de hacerlo sería mediante una integral definida 00:06:02
Que sería la integral del área limitada entre la función que la tenemos pintada en rojo 00:06:10
El eje de las x y las rectas verticales 00:06:19
A y B. Y la forma que tendríamos de representarlo es esta. Fijaros que la novedad es que en el 00:06:24
simbolito de la integral aparecen dos numeritos pequeños que son los índices de integración. A es 00:06:35
el límite inferior de la integración y B es el límite superior, que significa de dónde a dónde 00:06:44
vamos a integrar. Es decir, hemos pasado de lo que veíamos anterior de Riemann de tener cuadraditos 00:06:50
muy pequeños, si eso lo hiciésemos cada vez más pequeño, con una serie de cálculos 00:07:00
más complejos que superan el contenido de segundo de bachillerato, llegamos a que si 00:07:05
cada vez hacemos los intervalos más pequeñitos, lo que obtenemos es esta integral que también 00:07:10
aprenderemos a calcular estos días. 00:07:16
Subido por:
M. Del Pilar C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
110
Fecha:
15 de mayo de 2020 - 18:31
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LÁZARO CARRETER
Duración:
07′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
14.57 MBytes

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