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Tema 1.- Números enteros . 1ª sesión 01-10-2024 - Contenido educativo

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Subido el 2 de octubre de 2024 por Angel Luis S.

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Buenas tardes. Estamos en una clase de matemáticas y quería hacer primero una aclaración sobre una pregunta que ha hecho un compañero y es sobre la evaluación continua. 00:00:00
¿Qué ejercicios preguntaba el compañero que había que entregar? Pues habrá que entregar los ejercicios que se marquen en cada tema como mínimos y sí que es importante entregarlos en los plazos que se marquen, 00:00:13
Que dijimos que tendríamos una semana de margen para entregar esos ejercicios una vez acabado el tema, puesto que esa semana de margen es la que pretendo dejar a final de la evaluación para poder repasar dudas la semana anterior al examen, en la última clase que tengamos online antes del examen. 00:00:27
es importante 00:00:45
que si empezáis a hacer los ejercicios 00:00:48
llegáis hasta el final 00:00:50
porque no me vale de nada 00:00:52
que me entreguéis ejercicios de la 00:00:54
o no me vale de nada 00:00:55
os perjudicaría en cierto modo a vosotros si solo entregáis 00:00:57
ejercicios de un tema y no entregáis 00:01:00
de los demás, porque si os acogéis 00:01:02
a la evaluación continua 00:01:04
y solo he entregado un ejercicio de un tema 00:01:06
imaginaos, en esos tres puntos 00:01:08
que tenemos de evaluación continua 00:01:10
si solo he entregado la tercera parte 00:01:12
He perdido dos puntos directamente que luego no puedo recuperar en el examen. El examen sería solo sobre siete puntos. Entonces, tenéis que intentar, por favor, los que decidáis esa modalidad, entregar de todos los temas esos ejercicios mínimos para que de todos los temas podáis puntuar algo. 00:01:14
no puntúe de uno solo y de los otros dos pierda su nota 00:01:33
¿de acuerdo? que os veis muy apurados 00:01:37
y no os es posible de ninguna manera 00:01:40
entregar todos esos ejercicios 00:01:43
pues el día de la evaluación final 00:01:45
en principio hasta donde habéis llegado pues 00:01:48
a lo mejor os compensa elegir la 00:01:51
la decisión 00:01:53
y si haces evaluación continua 00:01:54
¿puedes ir a recuperación? 00:01:59
Sí, sí, eso es independiente 00:02:00
la recuperación, tiene derecho todo el mundo 00:02:03
a ella, si suspendes, pues tienes la 00:02:05
recuperación que se hará en cada 00:02:07
evaluación, más la ordinaria, más las 00:02:09
Y se puede hacer el primer 00:02:11
trimestre evaluación continua 00:02:12
el segundo y el tercero no, o así 00:02:15
o tiene que ser todos los trimestres 00:02:17
con evaluación continua. No, cada trimestre 00:02:19
es independiente, lo que os digo 00:02:21
sobre la evaluación cantina, que lo que no puedo 00:02:23
hacer es, la quiero hacer en un tema 00:02:25
así, en otro tema no, porque entonces 00:02:27
perderíais puntos a los que luego el examen nos daría opción 00:02:29
a recuperar. O sea, los exámenes van a ser 00:02:33
el que haya hecho evaluación continua tendrá un examen de 7 puntos 00:02:37
con 7 preguntas y el que decida hacer el examen 00:02:40
completo de 10 preguntas. Si yo ya he perdido 00:02:45
puntos en la evaluación continua porque no he entregado ejercicios de algún tema 00:02:49
no los puedo recuperar en el examen. No vale el decir 00:02:53
Uy, ahora me cambio de modalidad porque es que este tema no me ha gustado. De este que se me da bien mando, pero del siguiente no te mando nada y me hago un poco el loco a ver qué pasa. Eso sería injusto para los demás compañeros. 00:02:56
¿vale? entonces, por eso os digo 00:03:10
yo os animo a que los hagáis 00:03:12
porque os valen para ir repasando 00:03:13
y para ir preguntando dudas 00:03:16
que no podéis 00:03:17
o sea, es imposible 00:03:20
prepararlos 00:03:21
para el examen final 00:03:23
igualmente, tener 00:03:25
esos mínimos hechos y poder 00:03:27
luego repasarlos 00:03:30
lo que no 00:03:31
yo puedo decir, pues esta evaluación he hecho 00:03:33
continua, no he podido 00:03:36
con ello, la siguiente digo que no 00:03:38
la voy a hacer ahora con continuos 00:03:40
y las tareas te las damos el mismo día 00:03:41
del examen 00:03:44
y tendréis 00:03:45
solo el margen de una semana una vez 00:03:49
acabado cada tema, podéis ir 00:03:51
mandándolas ya 00:03:53
mismo a los ejercicios que vais haciendo 00:03:55
y en ciencias igual 00:03:57
en ciencias igual, en ciencias es un poco 00:03:59
más rápido porque habéis visto que son 00:04:01
menos ejercicios, es más cortito 00:04:02
es un poco más llevador de momento 00:04:05
que luego llegaremos a la parte de química 00:04:07
y física y tal, y ahí también tendremos 00:04:09
nuestros problemillas, pero 00:04:11
digamos que es más corto, tenemos 00:04:12
menos temario y es distinta 00:04:14
la forma de enfocarlo 00:04:16
pero en matemáticas 00:04:19
pues es mucho temario 00:04:20
vamos a empezar repasando 00:04:23
desde cero, porque hay gente que me ha dicho 00:04:25
porque lo tiene muy olvidado 00:04:27
y no quiero perderles ya mismo, en el primer día 00:04:28
pero tenéis que ir 00:04:31
haciendo un continuo, ¿vale? 00:04:33
precisamente por eso se llama evaluación 00:04:34
continua, porque yo voy trabajando 00:04:37
a diario o semanalmente 00:04:38
en nuestro caso, no lo dejo todo para el final 00:04:41
porque al final 00:04:43
me va a hacerlo una bola 00:04:44
de nieve eso, enorme 00:04:47
imaginaos, si al final me mandáis todos 00:04:48
los ejercicios de golpe 00:04:51
me parece que el examen 00:04:52
de MATER le tenemos un día antes de la evaluación 00:04:54
pues me es imposible corregir los exámenes 00:04:57
que tenéis que hacer presenciales 00:04:59
más los ejercicios, más no sé qué 00:05:00
en una tarde y poner las notas 00:05:02
para el día siguiente 00:05:05
pues poquito a poco 00:05:06
para que os pueda ir haciendo también correcciones 00:05:08
el último día ya no puedo 00:05:10
hacer ninguna corrección 00:05:12
ni haceros ninguna ayuda, ya no 00:05:14
valdría para nada, ¿vale? 00:05:16
vale 00:05:19
¿resuelta la duda? 00:05:19
bueno, pues espero que 00:05:22
para los compañeros que me han preguntado por correo 00:05:24
pues cuando vean el vídeo 00:05:26
porque me decían que no se podían conectar hasta ahora 00:05:28
les quede también claro 00:05:30
aunque les he contestado, ¿vale? 00:05:31
Bueno, pues vamos a la que decimos. 00:05:34
Vamos a nuestro repaso 00:05:36
de todo lo que corresponde 00:05:38
a esta unidad cero 00:05:42
que yo he puesto aquí 00:05:43
porque nosotros empezaríamos directamente 00:05:45
con operaciones de números enteros y racionales 00:05:47
pero bueno, antes de ellos están los números naturales. 00:05:49
Pues vamos a irlos viendo. 00:05:52
Creo que os vais a acordar de la mayoría 00:05:54
cuando vayamos comentando 00:05:55
pero si no, pues me paráis 00:05:57
y ponemos algún ejemplo, ¿vale? 00:05:58
Bueno, los números naturales. Estos números aparecieron con la necesidad de tener que contar. Entonces, son los que yo cuento con los dedos de mi mano, el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, pero resulta que cuando llego al 10 no sé distinguir un 1 solo con un huequito como hacían hace años nuestros antepasados del 1 solo. 00:06:01
Entonces lo que hicieron ellos fue marcar como ese hueco que hacían con un 0. Nuestro sistema se llama decimal posicional. Decimal porque utiliza 10 dígitos distintos del 0 al 9 y posicional porque según la posición en la que esté escrito el número o el dígito tiene un valor o tiene otro distinto. 00:06:30
Lo vemos un segundito en la pizarrita. Yo pongo el 21 y pongo debajo el 12. No tiene el mismo valor este 1 que este 1, ¿no? 00:06:52
En el primero, en el 21, el 1 es una unidad, mientras que en el otro el 1 es 10 unidades. 00:07:13
Luego, la posición del dígito es muy importante, aunque solo utilizo 10 dígitos distintos, que eran del 0 al 9. 00:07:21
A ver, que nos quedemos con las pizarras que queremos. 00:07:33
Ay, ¿por qué no cambia eso? Vale. 00:07:37
bueno, se empezó a hacer operaciones 00:07:43
y resulta que con los números naturales 00:07:47
solo podía sumar y multiplicar 00:07:49
porque cuando intentaba restar 00:07:52
si el número que quería restar era más grande 00:07:54
que aquel al que se le iba a restar 00:07:57
me salían números negativos 00:07:59
y yo no tenía números negativos en estos números naturales 00:08:01
entonces tuvo que añadirse los números negativos 00:08:05
además de para hacer esas restas 00:08:10
que no podíamos hacer en los naturales, nos sirven en física, por ejemplo, para controlar los grados de temperatura, 00:08:12
las alturas, cuando están por encima o por debajo del nivel del mar, 00:08:21
o cuando estoy por encima o por debajo de la planta, de la calle de un edificio, ¿vale? 00:08:25
Entonces, se añadieron esos que ya positivos, cero y negativos conformaron los números enteros. 00:08:32
Vamos a ver qué operaciones podemos hacer con los números enteros 00:08:41
Puedo sumar, puedo multiplicar, puedo restar 00:08:47
Pero cuando intento hacer divisiones 00:08:50
Empiezo a tener problemas 00:08:54
Si yo quiero dividir 8 entre 4 00:08:55
Ningún problema 00:08:58
Me sale que el cociente es 2 y el resto es 0 00:08:59
Pero si quiero dividir 4 entre 8 00:09:03
No tengo ningún número que represente a ese resultado 00:09:05
Porque no me sale una solución entera 00:09:09
Entonces, aparecieron los números racionales, que son todos aquellos que se puedan escribir en forma de fracción. 00:09:11
Como los números naturales y los enteros los podemos escribir en forma de fracción, simplemente poniéndoles un 1 como denominador, pues los números naturales y los números enteros están contenidos dentro de los números racionales. 00:09:20
Y vemos aquí otros numeritos raros que los estudiaremos más adelante que son especiales y son aquellos que tienen un número exacto de decimales como este menos 2,1 que siempre los podré poner como número racional simplemente moviendo la coma hacia la derecha y tantas posiciones como haya movido la coma hacia la derecha tendré que poner luego en el denominador de la fracción potencia de 10. 00:09:35
En este caso, este menos 2,1, si lo pongo como una fracción, se convertiría en menos 21 partido de 10. 00:10:02
Un 1 con tantos ceros como posiciones haya movido la coma para que desaparezca la parte decimal. 00:10:12
Este otro tipo de números se llama números periódicos porque, aunque tiene infinitos decimales, se van a repetir. 00:10:21
cuando se repiten todos a partir de la coma 00:10:30
se llaman números periódicos puros 00:10:33
y cuando no se repiten algunas cifras 00:10:35
nada más de pasar la coma 00:10:38
y luego ya empiezan a repetirse en bloques 00:10:40
se llaman periódicos mixtos 00:10:42
veremos que cada uno de ellos 00:10:43
tiene una forma de buscarse su fracción 00:10:45
a esas fracciones que generan estos números decimales 00:10:49
se les llama fracciones generativas 00:10:54
como os digo lo veremos más adelante 00:10:55
en el tema de números racionales 00:10:58
Será una de las partes importantes del tema. Transformar todas las operaciones que me den con números decimales a operaciones con fracciones y para ello necesitaré que este tipo de decimales cuando aparezcan encontrar su fracción generativa. 00:11:00
Me va a ser mucho más cómodo trabajar con fracciones, aunque ahora a lo mejor las recordemos como un poco difíciles, que trabajar con números decimales. 00:11:16
Además, me permite que al trabajar con fracciones no cometa errores, porque al trabajar con decimales, en cuanto yo quite cifras decimales haciendo redondeo o truncamiento, 00:11:26
haciendo una aproximación que se llama del número mediante otro que no es exacto, pues esa inexactitud me genera un error y los errores a medida que vamos haciendo operaciones se van acumulando. 00:11:38
Y no queremos eso, queremos operaciones exactas. ¿Vale? Después tenemos otros números que siendo decimales tienen infinitas cifras decimales, por eso pongo los puntos suspensivos, y no se repiten esas cifras. Pues estos números es imposible encontrar para ellos una fracción generativa. 00:11:53
tengo esto aquí como ejemplo, tengo el número pi 00:12:15
tengo el número pi, tengo el número x, el de la razón áurea 00:12:18
¿vale? son números con infinitas cifras decimales 00:12:22
y que no se repiten, estos números no se pueden poner como fracción 00:12:26
entonces ¿qué va a pasar? que generan un nuevo grupo que se llama 00:12:31
números irracionales, ¿cuándo me aparecen estos números? 00:12:34
pues cuando después de haber hecho sumas, restas, multiplicaciones, divisiones 00:12:38
quiero hacer radicales. Por ejemplo, si yo quiero hacer la raíz de 2, si yo pongo una calculadora, se me llena la calculadora de decimales toda la pantalla 00:12:42
e internamente tiene otros cuantos más, porque la solución que me da no es exacta, la ha aproximado, porque es un número irracional. 00:12:52
Eso pasaría con todas las raíces cuadradas, por ejemplo, de los números primos. Luego el número pi, como he dicho, el número i, e, el pi este que nos aparece aquí. 00:13:02
todos estos también ocurriría lo mismo. Y por último, 00:13:11
tengo el conjunto que les engloba a todos, que me deja hacer ya 00:13:15
cualquier tipo de operación, que es el de los números reales. 00:13:19
Engloba a naturales, enteros, racionales y irracionales. 00:13:23
¿Vale? Entonces hemos hecho un repaso 00:13:31
de todos los grupos de números que tenemos distintos. 00:13:33
Vamos a empezar a trabajar con ellos desde el principio. 00:13:38
Empezamos con los números naturales 00:13:41
Hemos dicho que los utilizamos principalmente para contar 00:13:44
Y son el cero y los números positivos 00:13:49
Este conjunto es infinito 00:13:52
No se acaba nunca, tiene infinitos elementos 00:13:54
Vamos a ver dentro de este conjunto de números 00:13:58
Qué cosas son las más importantes que tenemos que recordar 00:14:02
Pues una cosa que nos da bastantes problemas luego más adelante 00:14:07
cuando veamos máximo como un divisor y mínimo como un múltiplo. 00:14:10
Y es que confundimos múltiplo con divisor. 00:14:14
Pues vamos a ver esa diferencia. 00:14:19
Decimos que un número A es múltiplo de otro número B 00:14:22
si le puedo escribir como ese número B multiplicado por A. 00:14:26
Por decirlo de una manera más sencilla. 00:14:31
Si ese número A está dentro de la tabla de multiplicar del número B. 00:14:34
¿Vale? 00:14:39
Siempre esa multiplicación que hago es con un número natural, o sea, que la n es un número natural. 00:14:40
En el ejemplo, el 12, yo digo que es múltiplo del 3, porque 12 lo puedo escribir como 4 por 3, o sea, está dentro de la tabla de multiplicar del 3. 00:14:46
¿Vale? Ahora, cuando hablamos de divisores 00:14:57
Yo digo que el número B es divisor del número A 00:15:02
Si al hacer la división de A entre B 00:15:07
Esa división sale exacta, no me sobra nada 00:15:10
¿Vale? Me sale de consciente un número natural N 00:15:13
Y el resto es 0 00:15:18
Cuando hablo de múltiplos, tengo que pensar en tablas de multiplicar 00:15:20
Cuando hablo de divisores tengo que pensar en divisiones exactas con recto cero. Eso va a ser muy importante para luego no liarnos con el mínimo común múltiplo y máximo común divisor. 00:15:24
Si quiero múltiplos, me tienen que salir números más grandes al hacer la multiplicación. 00:15:39
Cuando quiera divisores, me tienen que salir números más pequeños de resultado al hacer la división. 00:15:44
No puede ser nunca al revés, porque entonces estaríamos confundiendo estas dos definiciones. 00:15:49
Podríamos hacer aquí todos los divisores de un número buscando sus divisores primos 00:15:58
y sus combinaciones de multiplicaciones de esos divisores primos, 00:16:05
pero bueno, eso no nos va a interesar mucho. Lo que sí que voy a recordar un poquito es estos criterios de divisibilidad para que no trabajéis a lo bestia, digamos, 00:16:09
sino que vaya un poco con la picardía de qué número me puede valer para hacer esa división, que luego más adelante lo utilizaré para hacer la factorización del número, 00:16:18
que es descomponerle en un producto de números más pequeños, en este caso, pues, números primos, potencias de ellos, 00:16:28
y vamos a ver qué números son los que nos van a ir apareciendo en esas factorizaciones. 00:16:37
Empezamos siempre esas factorizaciones de los divisores más pequeños hacia los más grandes, 00:16:44
porque eso me ayuda a que la división que yo haga sea más sencilla, 00:16:50
al dividir por un número más pequeño, siempre reparto mejor entre dos personas que entre tres o entre dos que entre cinco. 00:16:55
Y a la vez, cuando voy haciendo esos repartos, esas divisiones, voy haciendo que el número original vaya disminuyendo, 00:17:04
con lo cual la cuenta siguiente se convierte en una operación más sencilla. 00:17:10
Entonces, ¿quiénes eran divisibles por el 2? Pues todos aquellos números que fuesen pares. 00:17:16
De hecho, la definición de número par es que sea múltiplo de 2. 00:17:23
Además, también son aquellos que acaben en 0. 00:17:27
Podríamos considerar el 0 como número par, viéndolo así. 00:17:31
Realmente, él no es ni par ni impar, pero al componerle una siguiente cifra que vaya delante de él, 00:17:36
ya sí que puedo pensar en esa paridad. 00:17:43
¿Son números divisibles entre 3? 00:17:47
si al sumar las cifras del número me sale un 3 o múltiplo de 3. 00:17:49
Ahora lo veremos en ejemplos. 00:17:55
El 4 no me interesa, lo he puesto aquí un poco como curiosidad, 00:17:58
porque cuando yo haga factorizaciones solo quiero factores primos. 00:18:02
El 2 y el 3 son primos, que luego veremos un poquito más adelante su definición. 00:18:06
El 5 sí me interesa porque es un número primo. 00:18:11
¿Qué números son divisibles por 5? 00:18:13
Pues todos aquellos que acaben en 0 o en 5. 00:18:16
Si yo pienso en la tabla del 5, digo 5 por 1 es 5. 00:18:20
5 por 2 es 10. 00:18:24
5 por 3 es 15. 00:18:25
5 por 4 es 20. 00:18:27
Se va repitiendo esa pauta de 0, 5, 0, 5, 0, 5. 00:18:28
Entonces, con mirar esa última cifra del número que yo quiera, 00:18:32
si veo que acaba en 0 o en 5, sé que es divisible entre 5. 00:18:36
El 6 me pasaría lo mismo. 00:18:41
Como es número primo, no me interesa. 00:18:42
Ahora, si yo razono un poco cómo está compuesto el número 6, que es por la multiplicación de un 2 y de un 3, pues si yo quisiese hacer la regla de divisibilidad del 6, lo que tendría que hacer es una combinación de las dos primeras, que se cumpla la regla del 2 y la regla del 3. 00:18:45
O sea, que sea el número par y a la vez la suma de sus cifras sea un múltiplo de 3, de pura lógica. 00:19:06
Si quiero ver la regla del 10, pues la regla del 10 es una combinación de la del 2 y la del 5, puesto que el 10 es 2 por 5. 00:19:14
O sea, quiero que sea par y múltiplo de 5, pero par y múltiplo de 5 ya descartaría esos números que acababan en 5, me quedaré solo con los que acaban en 0. 00:19:22
hay alguna regla de divisibilidad más 00:19:32
que no la he puesto aquí, la del 11, porque es más 00:19:35
complicada cuando nos salga algún ejercicio 00:19:37
o la explicaré directamente, ¿vale? 00:19:41
Entonces, por ejemplo, yo quiero 00:19:44
vamos a irnos a un ejemplito 00:19:47
un segundo, que cambie el tamaño de esto 00:19:50
yo quiero ver 00:20:06
si el 213 00:20:16
es divisible entre 2 00:20:19
¿sería divisible entre 2 el 213? 00:20:23
pues no, puesto que acaba 00:20:27
en cifra impar, me estaría fijando 00:20:30
en el 3, como no es un número par 00:20:35
no es múltiplo de 2, o no es divisible entre 2 00:20:39
¿sería múltiplo de 3? si sumo sus cifras 00:20:43
tengo 2 más 1 más 3 00:20:46
¿por qué se ha hecho esto tan grande ahora? 00:20:52
pues me sale un 6 que sí que es múltiplo del 3 00:20:56
con lo cual el 213 00:21:01
sin hacer nada más 00:21:07
sabré que también es múltiplo del 3 00:21:10
¿sería múltiplo de 5? 00:21:13
pues no, porque no acaba ni en 0 ni en 5 00:21:17
¿Sería múltiplo del 7? Pues ahí tendríamos que hacer la regla para el 7. 00:21:21
Y fijaos ahora qué fácil la regla para el 11, con este que es cortito. 00:21:26
La regla para el 11, ¿por qué me he cambiado esto de sitio? 00:21:31
Sería la siguiente. Sumo las cifras de las posiciones pares. 00:21:40
Disculpad que no he cogido yo todavía el tranquillo de la tableta esta y escribo fatal con ella. 00:22:06
Entonces, las posiciones pares van a ser el 3 y el 2, que son los que ocupan la primera, digo, perdón, las posiciones pares sería el 1, que sería el que ocupa la segunda posición, la posición central, puesto que el 3 es la primera posición y el 2 la tercera, puesto que yo los números los tengo que mirar de unidades a decenas, a centenas. 00:22:10
Entonces, si sumo esas posiciones pares, solo tengo al 1. La suma sería 1. Si hago lo mismo para las posiciones impares, sumo las cifras de las posiciones impares. 00:22:38
disculpad que esto va 00:23:19
como quiere, que yo no he cogido el truco 00:23:24
posiciones impares 00:23:28
que en este caso serían 00:23:56
S3 más S2 00:24:00
genera un 5 00:24:05
pues cuando yo hago la resta de los resultados 00:24:06
restando estos resultados 00:24:14
perdón que esto se vuelve loco 00:24:22
el lápiz con el ratón 00:24:33
restando estos resultados 00:24:38
ese 5 00:25:13
menos el 1 00:25:18
que tenía de antes de las posiciones pares 00:25:24
en este caso 00:25:26
me da 4 00:25:28
para que fuese múltiplo de 11 00:25:29
el 213 me tendría que haber dado 00:25:31
0, 11 00:25:34
o un múltiplo de 11 00:25:36
tendría que haber salido o 0 00:25:38
o 11, o 22 00:25:40
o 33 00:25:41
Esa sería esa regla del 11 00:25:42
Que no la he puesto ahí porque es un poco liosa 00:25:45
Y os la quería escribir, aunque no ha sido muy exitoso 00:25:47
Aquí escribir una tableta 00:25:50
Hemos tardado más de lo que hacía falta 00:25:51
Entonces 00:25:54
Sumo posiciones pares 00:25:54
Por un lado 00:25:58
Que no es que el número sea 00:25:58
Número par, sino la posición que ocupa 00:26:01
El 3 00:26:04
Estaba en la posición 1 00:26:05
Que era impar 00:26:07
El 2 estaba en la posición 3 00:26:09
era impar, pero el 2 resulta que no es un número impar, 00:26:11
mientras que el 3 sí que lo era. 00:26:15
Entonces, cuando hago esa resta, 00:26:18
y me sale un 0, un 11, un múltiplo de 11, 00:26:20
el número entero, sea lo grande que sea, va a ser múltiplo de 11. 00:26:23
Ya tendríamos todos esos criterios de divisibilidad 00:26:27
que vamos a utilizar en las factorizaciones. 00:26:30
Pero hemos dicho que solo nos vamos a quedar 00:26:32
con los números primos, porque son los que me valen 00:26:35
en esas factorizaciones. Si el número es compuesto, no me vale. 00:26:37
Entonces vamos a recordar que era un número primo y que era un número compuesto. 00:26:41
Digo que un número es primo si solo tiene dos divisores. 00:26:45
A el 1 y a el mismo, que es lo que se llaman divisores propios. 00:26:50
El 1 y el mismo número. 00:26:56
Entonces los números primos serán el 2, que solo se puede dividir entre 2 y entre 1. 00:26:59
El 3, que solo se puede dividir entre 3 y entre 1. 00:27:04
El 5, que solo se puede dividir entre 3 y entre 1. 00:27:07
el 7, el 11, el 13, el 17, el 19, el 23, el 29 00:27:10
con esos que nos sepamos es más 00:27:14
hasta el 13 que nos acordemos 00:27:16
nos basta y nos sobra para las operaciones que vamos a hacer 00:27:19
y un número será compuesto 00:27:21
si tiene más de dos divisores 00:27:24
que sería no ser primo 00:27:27
por ejemplo, el 4 que veíamos antes 00:27:29
en esa tabla de criterios de divisibilidad 00:27:31
no le puedo considerar primo 00:27:36
Porque le puedo dividir entre 1, le puedo dividir entre 2 y le puedo dividir entre 4. 00:27:38
O sea, que ya tiene 3 divisores. 00:27:44
El 1 y el 4 serían sus divisores propios y el 2 sería un divisor que se llama impropio. 00:27:46
Cuanto tenga más de 2 divisores, no es primo. 00:27:55
Y alguien puede preguntarse, bueno, ¿y con el 1 qué pasa? 00:27:59
Pues el 1 tampoco es primo porque solo tiene un divisor, que es el mismo. 00:28:02
el 1 y el divisor propio contrario volvería a ser el 1, 00:28:08
o sea que solo tengo 1. 00:28:16
Primus, dos divisores, compuestos, más de dos divisores, 00:28:18
y es lo que nos tenemos que acordar muy bien, ¿vale? 00:28:25
Para que en las actualizaciones no dejemos ningún número compuesto 00:28:27
y luego más adelante no nos salgan bien ese mínimo como múltiplo 00:28:31
y ese máximo como divisor. 00:28:35
¿Qué era factorizar un número? Pues factorizar un número es descomponerlo en productos de números primos. 00:28:38
Entonces, para factorizar un número, yo lo que hago es ir buscando esos números primos que lo dividen y los voy haciendo siempre en orden, 00:28:46
para que luego no me vuelva loco al escribir el resultado. 00:28:56
Y el orden es ir mirando de más pequeños a más grandes y agotar las posibilidades de cada uno de esos números que voy utilizando. 00:29:00
El número primo más pequeño es el 2. Yo luego aquí digo, ¿puedo dividir 72 entre 2? Pues sí, porque como es par, le puedo dividir. Hago la división de 72 entre 2 y el resultado que me queda, el cociente de esa división, que es 36, lo coloco debajo del 72. 00:29:08
Y vuelvo a repetir la operación. ¿Puedo volver a dividir ese 36 entre 2? Pues como vuelve a ser par, sí que puedo dividir. Pues vuelvo a dividir entre 2. Me quedaría 18. Vuelvo otra vez con la misma historia. ¿Puedo dividir 18 entre 2? Pues sí, me quedaría 9. 00:29:27
vuelvo con la misma historia, ¿puedo dividir 9 entre 2? 00:29:44
lo hay, pues el 9 ya no es número par 00:29:48
entonces no le puedo dividir entre 2, pues avanzo 00:29:50
en esa serie de números primos 00:29:54
y voy a por el siguiente, a por el 3 00:29:57
digo, ¿el 9 se puede dividir entre 3? 00:29:59
sí, genial, división exacta, me sale 3 00:30:02
pues avanzo otro escalón, y ya no vuelvo nunca para atrás 00:30:04
como he gastado todos los 12, por así decirlo 00:30:08
que tenía el número, ya no me va a volver a salir ninguno 00:30:11
Si hubiese ido dando saltitos de unos divisores a otros, pues me quedan todos mezclados y cuando voy a buscar luego su expresión de producto de potencias puede que me deje sin contar alguno de los factores que tenía. 00:30:14
Entonces, siempre hacerlos en orden de menor a mayor y con cuidadito. Es más fácil dividir entre números pequeños que entre números grandes. Me es más fácil dividir 72 entre 2 que dividirlo entre 3, que podría haberlo hecho. 00:30:29
pues vamos a ir por el camino fácil, no nos compliquemos la vida nosotros solos. 00:30:44
Por último, el 3 le puedo dividir entre 3 y me quedaría al final aquí ese último consciente que es un 1, 00:30:50
que le podría dividir entre 1 y poner aquí otro factor, el 1, pero que no. 00:30:57
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, no hace falta que le escribamos unas factorizaciones. 00:31:01
Aunque veremos más adelante que el no escribirle no quiere decir que no esté, 00:31:08
Y hay veces que vamos a tener que considerarlo, ¿vale? 00:31:14
Cuando ya he hecho esta regla de la rayita que decíamos, 00:31:18
lo que tengo que hacer es ver cuántas veces se ha repetido cada factor. 00:31:22
Digo, el 2 se ha repetido 3 veces. 00:31:26
Pues yo pongo que el 72 es 2 elevado a 3, 00:31:29
lo pongo en forma de potencia, donde la base, que es el 2, 00:31:34
me está diciendo qué número es el que se está repitiendo, 00:31:40
Y el exponente, que sería el 3, me dice cuántas veces se ha repetido. 00:31:44
1, 2 y 3. 00:31:48
Lo mismo para el 3. 00:31:52
El 3, que es el número que se ha repetido, se ha repetido dos veces. 00:31:55
1 y 2. 00:32:00
Pues esta sería la factorización de un número compuesto en sus factores primos. 00:32:01
Si hiciésemos las cuentas hacia atrás, diríamos 2 al cubo, pues es 2 por 2 por 2. 00:32:08
8. 3 al cuadrado es 3 por 3, 9. Pues 8 por 9, el 72 que queríamos. 00:32:14
O sea que si dudo de si he hecho bien la factorización, solo tengo que deshacer las cuentas 00:32:21
y hacer estas potencias y la multiplicación de sus resultados para ver si llego o no llego al número original. 00:32:25
¿Vale? ¿Para qué utilizamos esto de las factorizaciones? 00:32:34
Pues lo vamos a utilizar para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de uno o de varios números, que luego nos van a ser muy útiles en las operaciones con fracciones y antes de llegar a ellas, pues nos van a ser muy útiles para resolver problemas de coincidencias o de repartos. 00:32:38
que ya os puse algunos en la hojita, algunos ya los habéis visto 00:32:58
y me habéis dicho que no os acordáis cómo se hacía eso, pero los problemas 00:33:02
os gustaban mucho, otros sí que los habéis hecho bien 00:33:06
Bueno, pues recordamos qué es eso del mínimo común múltiplo 00:33:10
y el máximo común divisor. Pues el mínimo común múltiplo de dos 00:33:14
o más números va a ser el menor de los múltiplos 00:33:18
comunes de esos números. Vemos cómo lo hacíamos 00:33:22
en primaria, que era un poco 00:33:26
pues, con las herramientas 00:33:28
que teníamos 00:33:30
era lo que podíamos hacer 00:33:31
que era hacer las tablas 00:33:33
de los dos números, me dicen que haga el mínimo como múltiplo 00:33:36
del 4 y del 6 00:33:38
y bueno, si hago la tabla del 4, tengo 4 por 1 00:33:39
4, 4 por 2, 8 00:33:42
4 por 3, 12 00:33:44
por 4, 16, por 5, 20 00:33:46
hasta que queramos, hasta que nos cansemos 00:33:48
hago la tabla del 6, 6 por 1 00:33:50
6, 6 por 2, 12 00:33:52
6 por 3, 18, 6 por 4, 24, hasta que me canse también. 00:33:54
Digo, ¿ya ha habido alguno repetido? 00:33:58
Pues hemos visto varios repetidos, el 12 y el 12, el 24 y el 24, el 36 y el 36. 00:34:01
Yo decía que el mínimo común múltiplo era el menor de esos múltiplos comunes, 00:34:08
o sea que el mínimo común múltiplo es el 12, que es la primera repetición que he encontrado. 00:34:14
el mínimo como múltiplo de ese 4 y ese 6 00:34:19
es 2 00:34:23
como tenemos aquí, pero imaginaos que en vez de un 4 y un 6 00:34:25
me han puesto 1.232 y 7.344 00:34:30
pues no es viable 00:34:34
hacerlo de esta manera 00:34:36
hacer las tablas de esos números tan grandes sería una locura 00:34:37
sería perder muchísimo tiempo, ¿qué vamos a hacer? 00:34:42
pues vamos a hacer estos dos pasitos 00:34:45
que es factorizar los números en sus factores primos y luego de sus factores que me hayan salido 00:34:47
tengo que quedarme con los comunes y los no comunes, o sea, con los que estén repetidos 00:34:59
y con los que no estén repetidos, pero con una aclaración, que me voy a quedar con los que tengan 00:35:04
el exponente más grande. O sea que, si yo tengo 00:35:12
un 2 al cuadrado y un 2 a la quinta, 00:35:16
que es un factor que se está repitiendo en las dos factorizaciones, me quedo con el 2 a la quinta. 00:35:20
¿De acuerdo? Los que no estén repetidos, como sólo 00:35:25
van a aparecer una vez, pues los cogeré tal cual estén. 00:35:28
El problema son los repetidos, que tengo que acordarme muy bien que no quiero 00:35:32
quedar con el más grande de los dos que estén repetidos. 00:35:36
¿Vale? Porque si yo quiero que me salga un múltiplo de los dos números originales 00:35:39
Quiero que tengan los factores mayores de las dos factorizaciones 00:35:44
Lo vemos en el ejemplo 00:35:48
Si yo factorizo el 60, tendríamos 00:35:50
Vamos a hacer la factorización aquí, un segundito 00:35:54
Quiero factorizar, hemos dicho, el 60 00:35:57
A ver, ¿por qué no me dejas escribir? 00:36:12
El 60, pues digo, ¿le puedo dividir entre 2? 00:36:23
Sí, porque es par 00:36:28
Hago la división y me queda 30 00:36:29
¿Puedo seguir dividiendo entre 2? 00:36:32
Sí, porque es par 00:36:33
Hago la división y me queda un quinto 00:36:34
¿Puedo seguir dividiendo entre 2? 00:36:36
Ya no puedo 00:36:39
Porque el 5 no es un número par 00:36:40
Voy a ver si puedo dividir entre 3 00:36:43
Sumo las cifras y digo 00:36:46
5 más 1 es 6 00:36:47
Y el 6 es el múltiplo de 3 00:36:49
Si es que no me he dado cuenta antes que ya era el quinto múltiplo de 3 00:36:51
Pues divido entre 3 y me da 5 00:36:54
¿El 5 le puedo seguir dividiendo entre 3? No. 00:36:57
El 5 me doy cuenta que es un número primo, pues le divido entre sí mismo y me queda esta factorización. 00:37:00
Luego el 60 le puedo poner como 2 elevado a 2, porque se ha repetido dos veces, por 3 y por 5. 00:37:06
El otro número que queríamos ver era el 40. 00:37:17
Pues vamos a hacer la factorización del 40. 00:37:20
La misma historia. 00:37:23
el 40 lo divido entre 2 00:37:24
me da 20 00:37:27
¿puedo seguir dividiendo entre 2? 00:37:30
sí, porque es par, me da 10 00:37:31
¿puedo seguir dividiendo entre 2? 00:37:33
sí, porque es par, me da 5 00:37:34
5 y 1, o sea que me ha quedado 00:37:36
2 al 00:37:39
perdón 00:37:40
2 al cubo 00:37:41
porque me han salido 3 doses 00:37:47
por un 5 00:37:49
¿vale? 00:37:50
decíamos que me quiero quedar 00:37:53
con los factores repetidos 00:37:55
y los factores repetidos serían 00:37:56
el 2 y el 5 00:37:59
que están en los dos sitios 00:38:01
y los no repetidos 00:38:02
que sería el 3 00:38:04
pero de entre esos quiero los que tengan 00:38:07
los exponentes más grandes 00:38:09
entonces, ¿con quién me voy a terminar quedando? 00:38:11
pues me voy a quedar 00:38:15
con el 2 al cubo 00:38:16
el 5 y el 3 00:38:19
Entonces, el mínimo común múltiplo de S60 y S40 será S2 al cubo por 3 y por 5. 00:38:23
Que si hago las cuentas, pues será 8 por 3 y por 5 el 120. Si os fijáis, 120 estaría en la tabla de 60 porque es 60 por 2 y estaría en la tabla del 40 que es 40 por 3. 00:38:43
el siguiente número que saldría común para los dos 00:39:01
serían los 140, el siguiente el 360 00:39:05
ya todos los siguientes múltiplos van a ser múltiplos de 120 00:39:07
el más pequeño que es el que yo quería 00:39:12
buscar ese múltiplo más pequeño 00:39:14
pues el 120 00:39:18
¿vale? 00:39:21
vamos a ver ahora 00:39:23
qué era el máximo común divisor 00:39:25
aprovechando estas cuentas que ya tenemos 00:39:27
Y el máximo común divisor es el mayor, ahora es el mayor, de los divisores comunes. 00:39:31
Pero hemos dicho que si soy divisor voy a ser menor o igual que los números originales. 00:39:40
Entonces, cuando llamo a el máximo común divisor, tengo que tener en cuenta que me tiene que quedar más pequeño que los números que me den, 00:39:45
o como mucho, igual de grande que el menor de los números que me den. 00:39:54
podríamos hacer algo parecido a lo de antes 00:39:59
divisores del 12 y del 28 00:40:03
y ver cuáles son los que se repiten 00:40:05
y de los que se repiten en este caso quedarme 00:40:10
con el más grande 00:40:13
pero volvemos a la misma, si son números muy grandes 00:40:15
lo que quiero calcular no es práctico esto 00:40:18
pues volvemos a utilizar las factorizaciones 00:40:21
al igual que antes, lo primero que hago es factorizar los números 00:40:24
y después de haber factorizado los números 00:40:28
ahora lo que hago es quedarme solamente con los comunes 00:40:30
y de entre esos comunes con los que tienen el exponente más pequeño 00:40:34
o sea que en esa factorización del 60 y el 40 00:40:40
que hemos hecho antes 00:40:44
que me salía el 60 2 al cuadrado por 3 y por 5 00:40:45
y el 40 2 al cubo por 5 00:40:49
aquí los comunes son los 12 y los 5 00:40:52
Pues entre esos 2 y 5 que dijimos que eran los comunes, ¿con quién me voy a quedar? Pues me voy a quedar con el más pequeño de los 2 y con el más pequeño de los 5, que en este caso es igual a los 2. 00:40:57
Entonces, ese máximo común divisor que estábamos buscando ahora de 60 y 40, ahora será el 2 al cuadrado por el 5, que eso es 4 por 5, 20. 00:41:27
¿es verdad que se puede dividir el 60 00:41:50
entre 20? Sí, es 00:41:54
da como resultado 3 y la resta 00:41:56
en las divisiones se salta. ¿Se puede dividir el 40 00:42:00
entre 20? Sí, da como resultado 2 00:42:03
y la división se salta. ¿Hay divisores más pequeños? 00:42:06
Pues sí, el 5, el 2 00:42:09
el 10, pero como yo quiero el divisor más grande 00:42:12
ahora, pues lo que me tengo que quedar es 00:42:15
con este 20, ¿vale? 00:42:17
Entonces, espero que ya todos hayáis recordado cómo se hacían las factorizaciones de números y cómo se calculaba el máximo como un divisor y el mínimo como un múltiplo, ya que me comentabais que no sabíais hacer alguno de los ejercicios porque no recordabais eso. 00:42:22
Vamos a ver cómo aplicar esto a problemas antes de pasar a otras propiedades de los números enteros. 00:42:42
y es 00:42:49
tenemos por ejemplo 00:42:51
este problema 9 y este problema 10 00:43:10
que nos los vamos a llevar para ver la diferencia 00:43:12
entre uno y otro 00:43:15
este de una pareja 00:43:16
trabaja como ATS 00:44:12
y tiene guardias no oscuras 00:44:13
cada 8 días 00:44:15
ella y cada 10 días él 00:44:17
y coincidieron en el día 1 de enero 00:44:20
¿cuándo volverán a coincidir? 00:44:23
pues siempre que me hablen de coincidencias 00:44:26
yo lo voy a relacionar con 00:44:30
el mínimo común múltiplo 00:44:38
coincidencias, mínimo común múltiplo 00:44:41
porque evidentemente aquí 00:44:44
voy a tener una fecha posterior a la que me daban 00:44:46
o sea, que voy a aumentar las fechas 00:44:50
Yo hago el mínimo común múltiplo de ese 8 y ese 10 00:44:52
¿Alguien ha visto el micrófono y se está acoplando? 00:45:00
No sé si vosotros veis el ruido, pero yo sí 00:45:04
Por favor, cortadle 00:45:06
Entonces, el 8, si hacemos la factorización, me va a salir que es 2 al cubo 00:45:07
Y el 10 es 2 por 5 00:45:14
Como estoy haciendo el mínimo común múltiplo 00:45:19
me quiero quedar con comunes y no comunes 00:45:22
con el exponente más grande, o sea, que me voy a quedar 00:45:24
con el 2 al cubo y el 5 00:45:26
2 al cubo 00:45:28
por 5 00:45:30
por 5 00:45:34
40, pues estos son los días 00:45:35
que tardan 00:45:38
en volver a coincidir 00:45:40
¿vale? me están hablando de 00:45:41
coincidencias 00:45:57
pero no me preguntaban eso directamente 00:45:58
o sea, con los problemas hay que tener cuidadito 00:46:01
con luego interpretar el resultado 00:46:03
según lo que me pregunten 00:46:06
a mí me preguntaban 00:46:07
qué día volvían a coincidir 00:46:09
si coincidieron el día 1 de enero 00:46:11
pues no he terminado el ejercicio 00:46:12
si lo hago hasta aquí solo 00:46:15
lo que he hecho está bien pero no está acabado 00:46:17
al 1 de enero 00:46:19
le tengo que sumar 00:46:21
esos 40 días 00:46:24
que he dicho que cerraron el día 00:46:26
y si al 1 de enero 00:46:27
le sumo 40 días 00:46:29
pues echáis la cuenta 00:46:31
y acordaos de 00:46:34
como en febrero digo, ¿cuántos días tiene enero? 00:46:35
pues tiene 31 00:46:39
1 más 30 estaría en el 31 de enero 00:46:41
más los otros 10 que tengo 00:46:45
pues me habría ido al día 00:46:47
10 de febrero 00:46:48
es cuando vuelven a coincidir 00:46:54
y es lo que a mí me están preguntando 00:46:57
el día que coinciden 00:46:59
¿vale? 00:47:01
¿De acuerdo? Entonces, si me hablan de coincidencias, mínimo común múltiplo. Vamos a ver ahora uno de máximo común divisor y qué es lo que tengo que mirar en ese máximo común divisor. 00:47:03
a ver otro que tenga anunciado 00:47:20
correcto, pues este mismo 00:47:23
fijaos que ahora me están hablando 00:47:28
de que quiero hacer grupos 00:47:54
entonces me están hablando 00:47:56
de repartir 00:47:58
me están hablando de dividir 00:47:59
pues cuando 00:48:01
se trate de repartos 00:48:05
ya sé que va a ser 00:48:10
máximo común divisor 00:48:16
¿vale? 00:48:19
la misma historia de antes 00:48:20
Y quiero hacer el máximo común divisor del 24 y el 36. 00:48:22
El 24 es a 12, 2, 6, 2, 3 y 3. 00:48:33
Pues tengo 2 al cubo por 3. 00:48:45
el 36, así recordamos las factorizaciones 00:48:49
2, 18, 2, 9 00:48:53
3, 3, 3 y 1, o sea que 00:48:57
2 al cuadrado por 3 al cuadrado, estoy diciendo 00:49:01
que quiero coger, calcular el máximo común divisor 00:49:05
¿con quién me tengo que quedar? solo con los repetidos 00:49:09
solo con los comunes y de entre esos comunes 00:49:13
con los que tengan el exponente más pequeño. 00:49:17
Pues en este caso me tengo que quedar con el 2 al cuadrado y el 3. 00:49:21
O sea, 4 por 3, 12. 00:49:27
Pues los alumnos que formarán cada uno de esos grupos, 00:49:32
que era la primera pregunta, serán 12. 00:49:37
Pero ahora me dice, ¿y cuántos grupos voy a tener en cada clase? 00:49:40
Pues para responder a esta segunda pregunta, lo que hago es decir, bueno, primera clase, como era de 24 alumnos y yo quiero hacer grupos de 12, pues me van a salir dos grupos. 00:49:44
Y en la segunda clase, como eran 36 alumnos y quiero hacer grupos de 12, pues me van a salir tres grupos. Luego tengo dos grupos en la primera clase y tres en la siguiente. 00:50:11
Bueno, hasta aquí hemos llegado hoy. Hemos visto ya toda esa primera parte de operaciones básicas. El próximo día echad un ojito para ir recordando esto del valor absoluto, el opuesto y reglas de signos y operaciones combinadas y operaciones con potencias de números enteros. 00:50:25
¿Vale? Y tendríamos este primer tema de números enteros terminado y empezaremos el tema siguiente. O sea que podéis ir haciendo ya prácticamente todos los ejercicios que os puse. No los dejéis, ¿vale? El que quiera hacer esa evaluación continua que vaya haciéndolos ya mismo. 00:50:51
si hay alguna duda, pues así me podéis preguntar 00:51:10
al próximo día o entre semana 00:51:13
pues ponme un correo 00:51:15
¿Ha quedado todo más o menos claro lo que hemos 00:51:16
visto hoy? ¿Sí, Cas? 00:51:19
Yo por mí sí 00:51:24
Sí 00:51:25
Ya lo tenías más o menos controlado 00:51:26
Sí, sí, en los problemas 00:51:30
me lío más, pero bueno 00:51:32
En los problemas, pero ese truquito que os he 00:51:33
dicho... Sí, ahora ya me he dado cuenta de ello 00:51:36
Siempre que me hablen de coincidencias 00:51:38
mínimo como múltiplo 00:51:40
directa o indirectamente, me hablen, me refiero 00:51:42
y siempre que me hagan de repartir 00:51:44
máximo como un divisor 00:51:46
si me hablan reparto, tengo que hacer 00:51:47
divisiones, si me hablan de coincidencias 00:51:50
voy a tener que multiplicar 00:51:53
porque voy a querer encontrar un valor más alto 00:51:54
que lo que tengo original, es un poco 00:51:57
de lógica, no os dejéis liar 00:51:58
por los iniciados, que hay veces que hay un iniciado 00:52:00
muy largo, pero la mitad es relleno 00:52:02
y muy importante 00:52:05
en los problemas, que miréis bien que os preguntan 00:52:06
que no os quedéis con las cuentas a medias 00:52:09
y resulta que no me lo estaban preguntando 00:52:10
directamente, sino que me estaban haciendo una pregunta 00:52:16
que me hacía falta el dato para poderla responder 00:52:18
pero no termino el problema si no acabo respondiendo 00:52:21
siempre tengo que responder literalmente 00:52:25
a lo que me pregunten en el problema 00:52:26
Yolanda y Paula 00:52:28
lo dejamos aquí el próximo martes 00:52:32
ejercicio no mandas 00:52:41
ejercicios los que estaban puestos 00:52:43
y seguimos en la misma hoja 00:52:45
vale, pues nada, ya está 00:52:48
si los tenías, pero que no los tenías 00:52:49
y me acordaba de esto, pues voy a ir a 00:52:51
muy bien, muchas gracias 00:52:54
muy bien, gracias, adiós 00:52:56
adiós 00:52:58
Autor/es:
Ángel Luis Sánchez Sánchez
Subido por:
Angel Luis S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
2 de octubre de 2024 - 14:34
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
53′ 10″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
950.25 MBytes

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