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TEMA 12 - DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD - PARTE 1.1 - Contenido educativo

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Subido el 31 de marzo de 2025 por Antonio I.

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Aquí os presento el tema 12, distribución de probabilidad. 00:00:00
Lo vamos a dividir en dos bloques. 00:00:03
Por un lado, el primero es la variable de discretas, 00:00:05
y por otro lado, vamos a ver qué pasa con las variables continuas. 00:00:09
En esta primera parte, vamos simplemente a ver estos dos primeros apartados. 00:00:14
En una posterior parte, veremos el apartado 3 y 4 para distinguirlos perfectamente. 00:00:19
En el apartado 1, como bien podéis ver, hablaremos de la variable aleatoria discreta y el 2 su distribución binomial 00:00:26
que es uno de los ejemplos que tenemos de variables aleatorias discretas 00:00:33
En el apartado 3 hablamos de la variable aleatoria continua y en el apartado 4 de la distribución normal 00:00:37
que es una de las variables aleatorias continuas de las que disponemos 00:00:42
Existen muchas de cada uno de los dos tipos, pero a nosotros nos interesa trabajar simplemente estas 00:00:45
Recordad que habitualmente en evao entrará o bien trabajar una distribución normal o bien trabajar una distribución normal 00:00:51
Hay en algunos casos, como ya veremos cuando comenzará el apartado 4, en el cual trabajando la distribución normal con un número de parámetros muy altos 00:00:59
Podemos decir que se asemeja a una distribución normal, pero eso lo dejaremos para el siguiente vídeo, la siguiente parte 00:01:07
Vayamos ahora con la parte teórica 00:01:16
apartado 1 variable aleatoria discreta lo voy leyendo por si tenemos alguna duda con la letra 00:01:18
una distribución de probabilidad es un modelo teórico que trata de explicar el comportamiento 00:01:28
de un fenómeno real y diremos que una variable aleatoria discreta x es una función que asigna 00:01:34
valores numéricos a esos sucesos elementales de un espacio muestral podemos ver que nuestra 00:01:43
variable de la teoría discreta se va a mover desde el conjunto E, que es nuestro espacio 00:01:52
muestral, y cada uno de los a sub i es lo que llamaremos cada uno de los sucesos elementales 00:02:01
que tenemos. Y a eso le vamos a asignar un número real. Veámoslo en este ejemplo. Lanzamos 00:02:07
dos monedas. Vamos a decir que x es el número de caras obtenidas. El espacio muestral que 00:02:18
tenemos es sacar dos caras, sacar dos cruces, sacar cara en la primera moneda y cruce en la 00:02:25
segunda o sacar cruz en la primera y cara en la segunda. Como nos están preguntando por el número 00:02:33
de caras obtenidas, si he sacado cara a cara he obtenido dos, si he sacado cruz cruz no he obtenido 00:02:40
ninguna. Si he sacado cara cruz he obtenido una y si he sacado cruz cara he obtenido una. Es decir, 00:02:49
que a esos sucesos le vamos a asociar números reales. Seguimos, avanzamos y decimos ¿qué es 00:02:56
una función de probabilidad? Es la aplicación que asigna a cada valor de la variable aleatoria 00:03:04
discreta, que a partir de ahora utilizaré estas siglas, pues eso, a esa variable aleatoria discreta 00:03:11
x, le vamos a asignar la probabilidad que la variable tome de dicho valor. Es decir, 00:03:19
que nosotros vamos a pasar esto, como es probabilidad, a un número que esté entre 0 y 1. Es decir, 00:03:25
a cada x sub i le vamos a asignar una probabilidad. ¿Cómo hacemos esto? En la siguiente página 00:03:31
podemos verlo. Lo pongo así para luego seguir pasando. Me dice, lanzamos dos monedas, x 00:03:38
ese es el número de caras obtenidas, y lo que quiero obtener es su función de probabilidad. 00:03:45
¿Qué es lo que pasará? Que para cara a cara tendré que ver cuál es la probabilidad. 00:03:50
Eso será sacar cara en la primera y sacar cara en la segunda. 00:03:58
Para sacar cruz-cruz, que es sacar cruz en la primera y cruz en la segunda, 00:04:03
pues tendré que hacerlo, puesto que son sucesos independientes, 00:04:07
pues ver la probabilidad de cada uno de ellos. 00:04:10
y luego sacar una única moneda, para eso voy a tener que sacar cara y cruz o cruz y cara. 00:04:12
Recordad que cuando nosotros vamos haciendo una lectura del problema y nos aparece la palabra y, 00:04:22
nos está hablando normalmente de una multiplicación y cuando aparece la palabra o, nos está hablando de una suma. 00:04:29
Veamos cómo se ha resuelto este ejemplo. 00:04:35
Bueno, pues como vemos, la probabilidad de que mi x valga 2, que es obtener dos caras, solamente viene reflejada por sacar cara, cara 00:04:37
Lo vemos aquí, la manera de expresarlo es x igual a 2 00:04:52
Y es cara en la primera, que es un medio, cara en la segunda, que es otro medio 00:04:55
Un medio por un medio, porque es cara y cara, un cuarto 00:05:00
Si por el contrario lo que nos está diciendo es que lo que queremos es que sea 1, es decir, sacar una cara 00:05:05
Y eso se me va a dar o bien cuando tengo cara y cruz o cuando tengo cruz y cara 00:05:12
Cara y cruz, un medio por un medio, un cuarto 00:05:18
Cruz, cara, un medio por un medio, un cuarto 00:05:21
Como quiero una condición o la otra condición, una suma 00:05:25
Resultado de un cuarto más un cuarto son dos cuartos, que simplificado nos da un medio 00:05:29
Cuando estamos hablando de tener cero caras, nos hemos pasado al caso de sacar cruz y sacar cruz 00:05:34
Recordamos que un medio por un medio es un cuarto 00:05:45
¿Cómo podemos expresarlo? 00:05:49
Bueno, pues significa que en función de probabilidad, a los valores de x, que recordamos que mi x es el número de caras obtenidas 00:05:51
pues yo al lanzar dos monedas puedo obtener o bien 0, o bien 1, o bien 2. 00:06:01
Si es 0, le corresponde de probabilidad, como hemos calculado arriba, un cuarto. 00:06:06
Si es 1, le corresponde, como hemos calculado arriba, un medio. 00:06:10
Y si es 2, le corresponde, como hemos calculado arriba, un cuarto. 00:06:13
¿Qué es lo que se va a cumplir siempre? 00:06:20
Que si yo sumo todos los elementos, o sea, todas las posibilidades que existe en mi variable aleatoria discreta, 00:06:22
la suma tiene que ser 1. 00:06:29
Siguemos en el ejemplo anterior, si yo sumo un cuarto, un medio son tres cuartos y otro cuarto me da este 1 00:06:30
Veamos otro ejemplo, lo muestro poco a poco para que lo pensemos 00:06:42
Lanzamos una moneda, si sale cara ganamos un euro, si sale cruz pagamos un euro 00:06:49
¿Cuál es la función de probabilidad que mide la ganancia? 00:06:55
Es decir, en este caso simplemente estamos lanzando una moneda 00:06:58
Con lo cual puede ser, las opciones que tengo para mi espacio mostrado serán cara o cruz 00:07:03
Y ahora lo que tenemos que ver es que le vamos a asociar un valor 00:07:08
En este caso, o bien uno, es decir, ganar un euro es lo que diremos sumar uno 00:07:11
O bien pagar un euro, que es lo que diremos restar uno 00:07:18
Vamos a avanzar 00:07:23
Ya sabéis que me gusta mucho ponerlo todo en forma de tabla. Es decir, que si mi xy da el valor 1 o el valor es menos 1, le tenemos que asignar una probabilidad. 00:07:26
Si he ganado un euro, la probabilidad de eso es sacar cara y la probabilidad de cara es un medio. 00:07:41
Si me sale a pagar un euro, es decir, el menos 1, su probabilidad también es un medio. ¿Por qué? 00:07:49
¿Por qué? Porque esto sale cuando nosotros hemos obtenido una cruz. 00:07:55
No nos preocupemos, vamos a hacer unos cuantos ejemplos más. 00:08:05
Este es un poquito ya para pensar. 00:08:09
Me dan una función de probabilidad de x, ¿vale? 00:08:13
En la cual, como vemos, xy puede tomar los valores menos 2 menos 1, 0, 1, 2. 00:08:17
En este caso es más teórico, nos da un poquito igual los valores que tome. 00:08:22
Y a eso les asigno una probabilidad. 00:08:27
Ahora, el que sea un menos 2, su probabilidad es de 0,08 como veis en la tabla. 00:08:28
Si es menos 1, su probabilidad es 0,32 como veis en la tabla. 00:08:34
Si es 0,05, bueno, de hecho, si es 0, su probabilidad es 0,05. 00:08:38
Fijaros ahora que es lo que aparece. 00:08:45
Nos aparece, en este caso, como ya sabéis, como os gusta, una variable. 00:08:47
Es decir, cuando la xy vale 1, resulta que no sé su probabilidad. 00:08:54
Tendré que calcularla. Y cuando la xy vale 2, su probabilidad es de 0,32. Una vez que hay el valor de a, como nos está diciendo el enunciado, me están pidiendo cuál es la probabilidad de que x sea igual a 1, cuál es la probabilidad de que x sea mayor o igual que 1 y cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual que menos 1. 00:08:58
Después, tras unos segundos de pensar, o bien que directamente seáis capaces de parar el vídeo, intentarlo, procedo a su resolución. 00:09:16
Vamos a verlo. 00:09:38
Nos dice, ¿cómo calculo la A? 00:09:41
Yo sé que siempre se cumple, como hemos visto arriba, que la suma de todas las probabilidades de los sucesos tiene que ser 1. 00:09:43
Es decir, que si para el menos 2 sé que es 0,08, para el menos 1 sé que es 0,32, para el 0 es 0,05 00:09:49
Para el 1 no tengo ni idea porque es lo que busco saber 00:09:57
Y para el 2 es 0,32, si yo sumo todos esos, el resultado tiene que ser 1 00:10:00
Pues sumando y despejando obtengo que mía vale 0,23 00:10:05
Así puedo contestar la primera pregunta 00:10:12
¿Cuál es la probabilidad de que x sea igual a 1? 00:10:16
Pues eso va a coincidir con, mirando en la tabla, que se le asigna al valor 1 00:10:18
Que en este caso me devuelve 0,23, que es lo que hemos calculado 00:10:24
En el siguiente me dicen, probabilidad de que x sea mayor o igual que 1 00:10:27
¿Eso qué quiere decir? Pues ahí tenemos que ver los que nos valen 00:10:31
Perdona que vaya borrando un poquito para no nos liemos con las flechas 00:10:36
Es decir, nosotros lo que tenemos que ver es, mayor o igual que 1 00:10:39
Esto es 2. Y es la probabilidad de que x sea igual a 1 más la probabilidad de que x sea igual a 2. 00:10:45
Los valores que me devuelven la tabla es 0.23 calculado anteriormente y 0.32, total 0.55. 00:10:56
Para el siguiente apartado que es x menor o igual que menos 1, los números que cumplen eso, los valores son el menos 1 y el menos 2. 00:11:05
Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer? Pues para el menos 1, calcular su probabilidad, 00:11:13
que en este caso la tenemos anulada a la tabla, que es 0.32, y para el menos 2 también vamos a observar la tabla. 00:11:18
Y este nos da 0.08. Si lo sumamos, el resultado es 0.4. 00:11:26
Así que en principio, dada una tabla o una vez completada la tabla, 00:11:32
somos capaces de, mirando esto, calcular las distintas probabilidades de lo que nos vaya marcando el enunciado, 00:11:37
que nos tiene que dar el experimento que hemos realizado y los sucesos de los que queremos calcular su probabilidad. 00:11:43
De momento, espero que sea útil. Ahora vamos a complicarlo un poquillo más, ya lo sabéis. 00:11:49
Vamos a decir esta parte de teoría, que os muestro también en el ejemplo, y nos dice, 00:11:54
llamamos función de distribución, hemos cambiado función de probabilidad por función de distribución. 00:11:59
Voy a cambiar el color, que también me gusta más el rojo. 00:12:04
Función de distribución. 00:12:09
Y la vamos a llamar f sub x de xy. 00:12:12
Y es una aplicación, ojo que hemos cambiado, aplicación, que asigna a cada xy, 00:12:14
de la variable de la teoría discreta, la probabilidad de tomar valores menores o iguales a este xy. 00:12:21
Es decir, esto es, si recordáis en estadística, bueno, si recordáis o habéis dado en algún momento cuando hacíamos las tablas de estadística, 00:12:28
lo que era la frecuencia acumulada, que era el primer valor era igual, coincidiendo con la frecuencia del segundo valor, 00:12:37
lo que hacíamos era sumar las dos frecuencias relativas. 00:12:46
El tercer valor sumábamos las tres primeras, el cuarto valor las cuatro siguientes. 00:12:49
Vamos a hacer algo parecido. 00:12:54
Como definición nos dice que la función de distribución es la probabilidad de que x sea menor o igual que xy. 00:12:55
Si es menor o igual, como hemos visto en el ejemplo anterior, lo que vamos a tener que hacer al final es sumar distintas probabilidades. 00:13:04
Y luego, propiedades que podemos sacar de ahí. 00:13:12
Si nos preguntan por la probabilidad de que x sea mayor que xy, diremos que eso es 1 menos f de xy. 00:13:13
Y la probabilidad que sea x igual a xy es igual a la función de distribución de xy menos la función de distribución de xy menos 1. 00:13:23
Vamos a recordar, por si acaso, tenerlo en mente, estas fórmulas que en algunos ejercicios cuando nos quieren complicar un poquito la vida, 00:13:32
pues nos hacen alguna alusión teórica a lo anterior para que dudemos. 00:13:39
Así que vamos a intentar interiorizar fundamentalmente esto 00:13:45
y luego que sepamos esas dos consecuencias que tenemos ahí. 00:13:47
Veamos este ejercicio 5. 00:13:51
Lo muestro entero y luego pongo el 6 para ver si somos capaces de reproducirlo. 00:13:55
Nos dice que tenemos x, que es una variable aleatoria discreta. 00:13:59
No nos habla ni de qué tipo de sucesos son, ni el experimento que se ha realizado, ni nada. 00:14:01
Y nos da su función de probabilidad, como veis en la tabla. 00:14:05
Es decir, al 0 le corresponde una probabilidad de 0 con 1, al 1 le corresponde una probabilidad de 0 con 2, al 2 le corresponde una probabilidad de 0 con 4 y al 3 le corresponde una probabilidad de 0 con 3. 00:14:07
Y me dicen, haya la función de distribución de x. Bueno, pues vamos allá. 00:14:17
¿Qué es lo primero? Me están diciendo que fx del 0, tenemos que empezar a hacerlo para el 0, para el 1, para el 2 y para el 3. 00:14:26
Cogiendo la definición me dice que fx de 0 es la probabilidad cuando x es menor o igual que 0 00:14:32
¿Y eso con quién coincide? Pues solo con el 0 00:14:40
Probabilidad de x igual a 0, resultado 0,1 00:14:43
Si me hablan de fx de 1, diré que es la probabilidad de que x sea menor o igual que 1 00:14:46
¿Y eso cuándo se da? Pues como es un menor o igual se da o bien cuando el x es 1 o bien cuando el x es 0 00:14:54
Por eso sumo esas dos probabilidades. Pues este 0,3 sale de coger el 0,1, coger el 0,2 y sumarlas. 00:15:00
Resultado 0,3. Si nos vamos ahora al fx del 2, que es la probabilidad de que x sea menor o igual que 2, 00:15:11
en ese momento lo que tengo es que sea 0, que sea 1 o que sea 2. 00:15:23
Sumo esas probabilidades, si sumo 0,1, 0,2 y 0,4, mi resultado va a ser 0,7. 00:15:28
Y por último, si nos vamos a fx3, diré que es la probabilidad de que x sea menor o igual que 3. 00:15:35
¿Y qué es lo que va a ser en este caso? Pues que sumemos todas las probabilidades que tengamos, es decir, desde el 3 hacia atrás. 00:15:42
Es decir, probabilidad de que es igual a 3, al 2, al 1 y al 0. 00:15:51
Esto, si está bien definido, mi función de probabilidad me dará 1. 00:15:54
¿Cómo paso esto a una tabla? Pues nada, pues simplemente lo que me están pidiendo es 00:15:58
coge esta tabla con los valores 0, 1, 2 y 3 que aparecen en la anterior 00:16:03
y automáticamente al 0 asignarle 0,1, al 1 asignarle el 0,3 que tenemos aquí, 00:16:09
al 2 asignarle el 0,7 que hemos obtenido aquí y finalmente al 3 asignarle el 1. 00:16:18
Pues bueno, nos dicen ahora un ejercicio que lo suyo sería que parases el vídeo e intentases hacerlo 00:16:24
y me dices, sea la función de probabilidad de x, una variable aleatoria discreta, 00:16:34
pues que al 0 su probabilidad es el 0,2, del 1 su probabilidad es el 0,3, del 2 su probabilidad es 0,1 y del 3 su probabilidad es 0,4. 00:16:41
Y me dicen, representa esta función de probabilidad, como bien tenemos ahí, y también su función de distribución, es decir, que tendré que a partir de la tabla que me dan aquí, calcular la tabla, como habéis visto, de Cx, y luego después poder realizar la representación gráfica en dos dimensiones. 00:16:49
Para del vídeo, intentadlo y yo continúo 00:17:16
Primero, ¿cómo obtener fx? 00:17:20
Pues nada, sabemos que al 0, en este caso, son los x menores o iguales que 0 00:17:24
Solo coincide con el 0, luego es el mismo valor 00:17:29
Para el 1, lo que tengo que hacer es cogerme los que son menores o iguales que el 1 00:17:31
Es decir, el 0,3 y el 0,2 y sumarlos, por eso obtengo el 0,5 00:17:37
Para el 2 lo que tengo que hacer es coger del 2 hacia abajo 00:17:40
Porque son la probabilidad de los X que son menores o iguales que 2 00:17:47
Es decir, el 2, el 1 y el 0 00:17:51
Así que sumo estas tres probabilidades y obtengo el 0,6 00:17:52
Y por último, para el 3 lo que tengo que hacer es coger todas las probabilidades hacia atrás 00:17:55
Porque es el último, es decir, 0,4 más 0,1 más 0,3 más 0,2 00:18:06
resultado 1. Una vez que tenemos, procedemos a su representación. Como es una variable, 00:18:09
si vamos recordando, al ser una variable discreta, su representación gráfica simplemente serán 00:18:17
unos números. Y le asignaremos el valor que tiene. El valor máximo que puede tener en 00:18:22
las dos gráficas es 1. Y vemos. Si la x la quiero representar en el eje de las x y la 00:18:28
probabilidad, bueno, la función de probabilidad en el eje de las y es, lo que voy a decir 00:18:34
es que el 0 tiene que subir hasta 0,2, el 1 tiene que subir hasta 0,3, el 2 tiene que 00:18:38
subir hasta 0,1 y el 3 tiene que subir hasta 0,4. La siguiente función, f de x, su función 00:18:45
de distribución, lo que nos está diciendo al final es que el valor máximo que tiene 00:18:53
es 1, ¿vale? Pero estamos hablando de menores o iguales. ¿Qué es lo que se nos genera? 00:18:57
Como habéis visto, que conocéis, una función definida a trozos. ¿Qué me está diciendo? 00:19:04
que para x menor o igual que 0, lógicamente no existe esa función, irá hacia atrás. 00:19:08
Para el 0 vale 0,2. Por eso es por lo que ponemos el punto. 00:19:15
Vamos a borrar. Como habéis visto, tenemos ahí un punto. 00:19:24
Para x igual a 1 me da 0,5. Para x igual a 2 me da 0,6. Y para x igual a 3 me da 1. 00:19:33
¿Qué es lo que pasa? Como estamos hablando de cosas que son menores o iguales, 00:19:40
Entonces yo sé que menor o igual que el 1, es decir, sería de siempre, para esos valores será 0,2. 00:19:43
Por eso que todos van a ser 0,2. 00:19:54
Y en el 1, pues tengo aquí una función definida de trozos, en el 1 su valor lo subimos para arriba. 00:19:57
¿Vale? Como es como las funciones, como la función parte entera, ahí está el tipo de funciones. 00:20:03
¿Vale? Podemos llegar a esa conclusión. 00:20:09
Seguimos avanzando. Por suerte, habitualmente, esto no vais a tener que representarlo. 00:20:16
Bueno, por suerte o de gracia, ¿vale? Porque como vemos tampoco es que sean unos ejercicios excesivamente complicados. 00:20:19
Si seguimos avanzando, nos vamos a definición de media o esperanza, que eso nos tiene que sonar algo más. 00:20:25
Llamaremos media o esperanza de una x, es decir, una variable datoria discreta, y la representaremos por la letra mu, ¿vale? 00:20:35
También, efectivamente, en mu minúscula del alfabeto griego. 00:20:45
A veces la podemos encontrar como una E y una X entre corchetes. Cuidado no confundir con la parte entera de X. 00:20:48
Si estamos hablando de temas de probabilidad o de estadística, significa que estamos hablando de la media o esperanza. 00:20:55
Entonces, ¿cuál es la definición? Para no liar, yo suelo utilizar la letra mu. 00:21:01
Y su definición es, cógete la primera X y multiplícala por su probabilidad. 00:21:06
Cógete la segunda X y multiplícala por su probabilidad. 00:21:10
Así hasta que lleguemos al valor N y lo multiplique por su probabilidad. 00:21:13
Si lo queremos poner en forma de un sumatorio, diremos que es la suma desde i igual a 1 hasta n de todos los x y por la probabilidad asignada a esos x y. 00:21:17
Lo vemos en el ejemplo 7. 00:21:30
¿Vale? 00:21:33
Aparte, decimos, lanzamos dos monedas. 00:21:34
Si obtenemos dos caras, ganamos 3 euros. 00:21:40
Si obtenemos una cara, ganamos 1 euro. 00:21:43
Y si no obtenemos ninguna cara, pagamos 5 euros. 00:21:45
Y me pregunta por la ganancia media del juego. 00:21:48
Nosotros vamos a llamar mi X es cuánto vamos a ganar. 00:21:52
Esa ganancia. 00:21:57
Entonces me está diciendo, en un resumen, como tenemos aquí, un esquema más bien. 00:21:58
Si saco dos caras, gano 3 euros. 00:22:02
Si saco solo una cara, voy a ganar 1 euro. 00:22:06
Y si no saco ninguna cara, significa que he sacado dos cruces. 00:22:11
Pierdo 5 euros. 00:22:14
¿Cómo traduzco eso en la tabla de la función de probabilidad? 00:22:15
Los valores que puede tomar mi XI es, como estoy hablando de ganancias, o el 3, o el 1, o el 5. 00:22:19
O sea, perdón, el menos 5. 00:22:25
Y ahora, ¿cuál es la probabilidad de que yo gane 3 euros? 00:22:27
La probabilidad de que yo gane 3 euros es que saque dos caras. 00:22:30
Significa que es un medio por un medio, un cuarto. 00:22:32
Aquí lo tenemos. 00:22:35
¿Cuál es la probabilidad de que gane un euro? 00:22:37
Significa que o bien he sacado cara cruz, o bien he sacado cruz cara. 00:22:38
es decir, una sola cara, la probabilidad de eso que es, recordad, cara cruz es un medio por un medio, que es un cuarto, 00:22:43
o, significa el más, cruz cara, que es un medio por un medio, otro cuarto, es decir, un cuarto más un cuarto, un medio. 00:22:52
Y por último, el que yo pierda cinco euros, de ahí este menos cinco, la probabilidad de que pase eso que es un cuarto. 00:23:00
Si yo ahora, aparte de borrarlo todo 00:23:08
Si yo ahora lo que digo es, lo que quiero saber es cuál es la ganancia media del juego 00:23:14
Pues lo que tengo que hacer es la formulita que nos venía arriba 00:23:20
Que como hemos visto era, cógete y suma este producto, este producto y así todos los que tengas hasta ahí 00:23:23
Bueno, pues lo hacemos 00:23:31
iremos 3 por un cuarto 00:23:32
más 1 por un medio 00:23:34
menos, ¿por qué ese menos? 00:23:37
porque todo aquí es menos 5 00:23:39
por un cuarto, resultado, si lo sumo 00:23:40
todas estas cosas me da 0 00:23:43
entonces una cosa que tenemos que saber 00:23:44
es que cuando vayamos a jugar un juego de azar 00:23:46
diremos que un juego es justo 00:23:48
cuando su ganancia media es 0 00:23:49
estaremos en un juego en desventaja 00:23:53
cuando su ganancia media 00:23:57
es menor que 0 00:23:59
y estaremos en un juego en ventaja 00:24:00
cuando su ganancia media es mayor que cero 00:24:02
recordad que habitualmente 00:24:05
juegos de azar, casinos, etc 00:24:06
en el momento en el que tenemos dinero 00:24:08
lo que nos solemos encontrar 00:24:12
si lo calculásemos 00:24:13
es un juego en desventaja 00:24:15
porque pensar que tiendas 00:24:18
alguna vez suelen cerrar 00:24:20
pero casinos y casas de apuestas 00:24:24
jamás cierran, ¿por qué? 00:24:26
porque ellos van a... 00:24:28
si para nosotros tenemos una ganancia media 00:24:29
negativa significa que ellos la tienen positiva 00:24:31
consecuencia, siempre están ganando 00:24:33
dinero, por eso es un juego en desventaja 00:24:35
habitualmente, nunca nos encontraremos 00:24:37
con un juego en ventaja 00:24:40
seguimos avanzando 00:24:41
me dicen, para que penséis 00:24:47
calcular la media de x 00:24:50
variable aleatoria discreta, dada por 00:24:52
la siguiente tabla 00:24:54
en la que podemos ver su función de probabilidad 00:24:55
repito, deberíamos 00:24:58
parar e intentar hacerlo 00:25:01
si lo hacéis bien, y si no 00:25:03
pues bueno, aquí tenemos la solución 00:25:07
Y nos dice que nuestra media va a ser que nos cojamos x1 por la probabilidad de x1, x2 que es 1 por la probabilidad, por su probabilidad que es 0,2, x3 que es 2 por su probabilidad y x4 que es 3 por su probabilidad. 00:25:09
Recordad que esto sería x1, x2, x3 y x4. Serían esto de aquí, el 0, el 1 y el 2. 00:25:30
Bueno, pues si cogemos y realizamos ese producto, lo que obtenemos es 0 por 0 con 3, 1 por 0 con 2, 2 por 0 con 1, 3 por 0 con 4. 00:25:45
Hacemos las operaciones y puedo asegurar que la media, en este caso, es 1 con 6. 00:25:55
Otra definición, porque después de la media sabemos que siempre tenemos la varianza y la desviación típica, ¿no? 00:26:05
Se nos va sonando como conceptos estadísticos. 00:26:11
Pues llamaremos varianza de x y la representaremos con un sigma cuadrado, sigma minúscula, también letra griega, 00:26:13
y esto no significa que hay que elevar al cuadrado ni nada, sino que esto es así, ¿vale? 00:26:21
Siempre pondremos una s y un 2 ahí arriba. 00:26:25
y diremos que esto es elevar la variable xy al cuadrado y multiplicarla por su probabilidad 00:26:26
y al final una vez haciendo esa suma entera, como vemos aquí, restarle la media que hayamos obtenido al cuadrado. 00:26:34
A veces que sepamos que la varianza también la podemos representar como vx igual que le pasaba a la media 00:26:43
que la podemos representar como edx pues en algunos libros o algunos apuntes podemos encontrarla como vx. 00:26:53
Vamos a definir también la derivación típica. 00:27:00
Es decir, definimos esta derivación típica como una vez que obtengamos un número de la varianza, 00:27:03
haremos su raíz cuadrada y nos quedaremos con el valor positivo. 00:27:12
Simplemente eso. 00:27:15
De momento no nos piden ni que interpretemos los valores ni nada, simplemente que aprendamos a calcularlos. 00:27:16
Pues vamos allá. 00:27:21
Me dicen, haya la varianza y la derivación típica de esta variable de la teoría discreta 00:27:23
y nos la dan mediante su función de probabilidad. 00:27:28
¿Vale? Con esos valores. ¿Cómo lo haremos? Primero tenemos que calcular su media y recordad que es 0 por 0 con 1 más 1 por 0 con 2 más 2 por 0 con 4 más 3 por 0 con 3. 00:27:30
Entonces, al hacerlo eso, tenemos que la media es 1,9. 00:27:44
¿Cómo obtenemos la varianza? 00:27:53
Pues la varianza será que nos cojamos este primer valor y lo elevemos al cuadrado y lo multipliquemos por 0,1. 00:27:55
Cojamos este valor, lo elevemos al cuadrado y lo multipliquemos por 0,2. 00:28:13
Cojamos este valor, lo elevemos al cuadrado. 00:28:19
Parece que va a estar complicado. 00:28:22
Lo leemos al cuadrado, lo leemos... bueno, no quiero elevarse al cuadrado 00:28:26
Lo veis, el 0, el 1, el 2, el 3 y el 3 lo leemos al cuadrado y lo multipliquemos por 0,3 00:28:32
Repito, nos cogemos los valores de arriba, los elevamos al cuadrado y los multiplicamos por el de abajo 00:28:40
Cada uno con el suyo, como podéis ver aquí 00:28:47
Y al final le tenemos que restar la mu al cuadrado obtenida anteriormente 00:28:49
Me dará un valor para la varianza 00:28:55
Y la derivación típica es sencilla, simplemente hay que hacer la raíz cuadrada positiva de ese valor. 00:28:57
En este caso nos devuelve la raíz de 0,89, nos devuelve 0,94. 00:29:02
Vamos a ver este ejercicio. 00:29:11
Nos dice que sea la función de probabilidad de x, lo que veis ahí, 0, 1, 2, 3, 4, su función de probabilidad. 00:29:15
Nos están diciendo que la probabilidad de que x sea menor o igual que 2 es 0,75 y que sea mayor o igual que 2 es 0,75 también. 00:29:23
Bien, recordad que la probabilidad de que x sea menor o igual que 2 es que sea 2, que sea 1, que sea 0. 00:29:29
La probabilidad de que x sea mayor o igual que 2 es la de 2, la de 3 y la de 4. 00:29:35
Y si hacemos esa suma de esos valores, me dará 0.75. 00:29:40
Fijaos que tenemos a, b y c. 00:29:44
De aquí voy a sacar una ecuación, de aquí voy a sacar otra ecuación, pero tenemos tres incógnitas. 00:29:47
¿Qué significa? Que necesito tres ecuaciones. 00:29:53
Bien, ¿de dónde sacaré la siguiente ecuación para adivinar los valores de a, b y c? 00:29:57
Pues que si sumo todos los valores de probabilidad, al final me tiene que dar 1. 00:30:02
Y una vez que hayamos completado la tabla con esas variables que hemos calculado, 00:30:06
ya, como hemos visto anteriormente, calculamos mu y calculamos sigma, 00:30:10
es decir, la desviación típica y la variable. 00:30:15
Esto ya son ejercicios para vosotros, ¿vale? Van sin solución. 00:30:19
Vamos a la carta de la baraja española, ¿vale? 00:30:23
Nos dicen que si sacamos sota o caballo ganamos 15 euros, que si sacamos rey o as recibimos 5 euros y pagamos 4 euros si sacamos otra carta, ¿vale? Me imagino que me preguntarán cuál es la ganancia esperada. 00:30:26
Para ello, ¿qué tendremos que hacer? Primero, ver la estructura de una baraja española, ¿vale? La baraja española se divide en cuatro palos, veamos, oros, copas, espadas y bastos, 00:30:41
Y dentro de cada uno de los palos, las cartas están numeradas del 1 al 7 00:30:50
Y luego tenemos la sota, el caballo y el rey 00:30:54
Es decir, que el palo de espadas tenemos un 1 de espadas, un 2, un 3, un 4, un 5, un 6, un 7 de espadas 00:30:58
Una sota de espadas, un caballo de espadas y un rey de espadas 00:31:03
En total 10 cartas 00:31:08
Que significa que mi baraja española está compuesta por 40 cartas 00:31:09
Y esas 40 cartas, voy a borrar un poquito por aquí, esas 40 cartas están distribuidas en 10 de oros, hay 10 cartas que son de bastos, hay otras 10 de copas y hay otras 10 de espadas. 00:31:15
A su vez, cada una de estas se distribuye en 00:31:54
De oros hay una sota, un rey y un caballo 00:31:57
Una sota, un caballo y un rey 00:32:01
Y lo mismo pasa con los bastos, con las copas y con las espadas 00:32:08
Bueno, pues con esta explicación de la baraja española 00:32:12
Espero que seamos capaces de calcular probabilidades 00:32:14
Y ver cuál es la ganancia esperada, es decir, calcular mu 00:32:20
los ejercicios de urnas que también tanto os gustan. 00:32:23
Tenemos tres urnas, la urna A, B y C. 00:32:30
En la urna A hay dos bolas negras y cuatro bolas rojas. 00:32:32
En la urna B, tres bolas negras y tres bolas rojas. 00:32:36
Y en la urna C, una bola negra y cinco rojas. 00:32:39
Me dicen que elegimos una urna al azar y sacamos una bola. 00:32:43
Si sacamos bola roja, recibimos tres euros. 00:32:48
Si sacamos bola negra, no recibimos nada. 00:32:50
¿Cuál es la ganancia esperada? 00:32:52
Es decir, tendré que calcular cuál es la probabilidad de roja 00:32:54
Y esto nos tiene que recordar un poquito los ejercicios anteriores 00:32:58
De una bola roja en A o una bola roja en B o una bola roja en C 00:33:03
Serán tres probabilidades a sumar teniendo en cuenta que no me están diciendo nada de las urnas 00:33:09
Luego, significa que las urnas deben ser igual de probable que estemos en A, que estemos en B o que estemos en C 00:33:15
¿Vale? Suficiente información ya os he dado para realizarlo 00:33:21
Una vez que tenemos esas probabilidades, ver cuál es la función de probabilidad y a partir de ahí su ganancia esperada. 00:33:24
Me dicen ahora, las preguntas de un examen tipo test tienen tres respuestas posibles y solo una es correcta. 00:33:37
Por cada acierto sumamos un punto. 00:33:48
¿Cuánto debe restar cada fallo para que se ajuste a la calificación? 00:33:54
La pregunta que me están diciendo, oye, ¿qué tiene que pasar? 00:33:58
Porque yo sé que para un acierto sumamos un punto, es decir, que mi xy será un punto. 00:34:01
Y la probabilidad de acertar, si lo hacemos al azar, si tenemos tres respuestas posibles, pues acertar al azar es un tercio. 00:34:06
¿Cuánto debe restar cada fallo para que se ajuste a la calificación? 00:34:16
Recordad que eso significa que mu tiene que ser cero. 00:34:21
Y para ser 0 será 1 por la probabilidad de acertar más A, B, C, E, X, como queréis llamarlo, por la probabilidad de no acertar. 00:34:25
¿Vale? Y con eso sacaremos 1. Pensadlo un poquito. 00:34:41
Bueno, hemos terminado el primer apartado. Así que nos quedamos preparados para este segundo apartado. 00:34:49
Eso irá en el siguiente vídeo. 00:34:58
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Antonio Inarejos de la Dueña
Subido por:
Antonio I.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
31 de marzo de 2025 - 15:50
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES EUROPA
Duración:
35′ 01″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
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