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Sesión 20 - Polígonos. Cálculos de Perímetros y Áreas - 18 de mar - Contenido educativo

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Subido el 18 de marzo de 2025 por Hilario S.

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Buenas tardes a todos, vamos a seguir con la clase del último día, acordaros que en el último día estuvimos definiendo los elementos básicos que definen la geometría, segmentos, líneas, ángulos, etc. 00:00:01
Y vamos a ver algo más, es decir, vamos a ver cómo todas esas variables van a formar los polígonos. Entonces, los polígonos, como veis en el documento, los vamos a definir como aquellas figuras cerradas en el plano, delimitadas por segmentos, cada uno de ellos llamada lado. 00:00:14
Es decir, si nosotros miramos, por ejemplo, estos polígonos, cada uno de estos segmentos van a definir un lado. Aparte de esos lados, también vamos a tener otra serie de elementos. Vamos a tener los lados, cada uno de estos segmentos, donde se juntan cada uno de esos lados van a formar un vértice. 00:00:31
Podríamos decir que el vértice, para que no lo confundáis con los ángulos, podríamos indicar que es la parte exterior. Es decir, lado, vértice, la parte interior va a ser el ángulo, el ángulo que van a formar este segmento con este, y las diagonales. 00:00:51
¿Qué son las diagonales? Las podemos definir como la línea que vamos a hacer desde uno de los ángulos o desde uno de los vértices hasta el lado. 00:01:11
Si nosotros pintásemos aquí una raya, un segmento, pues este sería la diagonal. 00:01:24
En función de esto vamos a tener dos tipos de polígonos. 00:01:33
Es decir, según sean los lados y los ángulos se pueden clasificar en regulares. En este caso vamos a ver que todos los lados y todos los ángulos son iguales. Por ejemplo, aquí tenemos un polígono regular. Estos dos no lo son, ¿no? Porque todos los lados no son iguales. Este lado y este son iguales, pero este no. En este caso los tres lados son diferentes. 00:01:36
Entonces, si nos damos cuenta, este sería otro polígono regular, ¿verdad? Este tampoco lo sería, ¿vale? Aquí tenemos un pentágono que también es un polígono regular, ¿no? Porque todos los lados son iguales y todos los ángulos, si los midiésemos, también son iguales, ¿de acuerdo? 00:01:56
y por otro lado vamos a tener los ángulos irregulares, es decir, que no cumplen ninguna de las condiciones anteriores, 00:02:14
ya sea porque no tienen todos los lados iguales o porque no tienen todos los ángulos iguales. 00:02:22
Esta sería una clasificación. Otra clasificación la podríamos hacer en función de los lados, es decir, en función del número de lados. 00:02:29
En este caso tendríamos un triángulo porque tiene tres lados. Podríamos tener también un cuadrado, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octágonos, dodecágonos... 00:02:35
Es decir, lo que va a definir el número de lados va a ser este prefijo que nos va a decir el número de lados que tenemos y vamos a poner luego el sufijo gonos que hace referencia a que son polígonos. 00:02:50
Es decir, pentágono quiere decir que tenemos un polígono de cinco lados, hexágono va a indicar un polígono de seis lados. 00:03:02
En principio esto no debería de trasladaros ni suscitaros ningún tipo de complicación. 00:03:11
Entonces vamos a empezar por los más sencillos, vamos a empezar estudiando los triángulos. 00:03:18
Un triángulo, como ya hemos dicho, es un polígono que tiene tres lados. 00:03:23
En ocasiones podrá ser regular y en ocasiones podrá ser irregular. 00:03:28
Entonces, lo primero que vamos a ver son las clases de triángulos. 00:03:33
Vamos a tener, en principio, según sus lados, vamos a tener tres tipos de triángulos. 00:03:38
Vamos a tener equiláteros, isósceles y escalenos. 00:03:44
Un triángulo equilátero quiere decir que va a tener sus tres lados iguales, como veis aquí, 00:03:48
y sus tres ángulos van a medir o van a tener el mismo valor. 00:03:55
Antes de seguir, hay algo que es importante que quiero que veamos antes de seguir 00:04:02
y es esto que veis aquí en la última frase. 00:04:08
Es decir, en los triángulos se dan las circunstancias que si sumamos todos sus ángulos 00:04:10
siempre nos va a dar este valor, 180, siempre. 00:04:16
Es decir, si hay un ángulo que es mayor, los otros van a ser menores, 00:04:21
pero siempre el cómputo van a ser 180. 00:04:24
Entonces, como hemos dicho, en un triángulo equilátero en el que sus lados son iguales 00:04:28
y en el que sus ángulos también son iguales, podemos decir que sus ángulos van a medir 60 grados. 00:04:33
Si nosotros tenemos aquí 60, 60 y 60, si lo sumamos, como ya hemos dicho, van a sumar 180. 00:04:38
También podemos tener triángulos isósceles. ¿Qué son los triángulos isósceles? 00:04:46
Pues son aquellos en los que tenemos dos ángulos o dos lados iguales y el tercer ángulo o el tercer lado diferente. 00:04:50
Y por último vamos a tener un triángulo escalero en el que ninguno de sus ángulos y ninguno de sus lados va a ser exactamente igual. 00:04:57
Es decir, van a ser todos desiguales. 00:05:04
Estos triángulos va a haber otra clasificación y es en función de sus ángulos. 00:05:07
Fijaos, podemos llamar a un triángulo acutángulo cuando todos los ángulos son agudos. 00:05:14
es decir, cuando todos los ángulos son menores de 90 grados. 00:05:19
Podemos definir un triángulo como un rectángulo 00:05:23
cuando uno de sus ángulos, como es este, 00:05:27
forme 90 grados, es decir, sea de 90 grados. 00:05:31
Y vamos a hablar de ángulo obtusángulo 00:05:33
cuando un ángulo sea mayor de 90 grados, 00:05:37
es decir, el acutángulo va a tener todos los ángulos agudos 00:05:40
y el obtusángulo va a tener al menos uno de ellos obtuso, 00:05:43
¿vale? obtusángulo. 00:05:47
Como ya hemos dicho, esta es la característica más importante. La suma de los ángulos internos de un triángulo va a ser 180. Con esto habríamos visto los triángulos. Vamos a ver ahora otro polinomio, el siguiente que hemos visto en la clasificación, hemos visto los triángulos, y ahora vamos a ver los cuadriláteros. 00:05:49
¿Qué son cuadriláteros? Pues aquí tenéis todos los tipos de cuadriláteros que existen 00:06:09
El más fácil, o el que siempre habéis visto, es el cuadrado 00:06:15
El cuadrado es ese cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos rectos 00:06:18
Fijaos, en este caso, en el caso de los cuadriláteros, los ángulos ya no van a formar 180 grados 00:06:25
Es decir, si nosotros sumamos cuatro ángulos de 90 grados, como es este caso, 90 y 90 son 180, 180 y 180 son 360. Es decir, la regla que hemos dicho de los 180 solo se cumple para los triángulos. 00:06:32
Por lo tanto, como decíamos, vamos a tener varios tipos de cuadriláteros. 00:06:50
Cuadrado, aquel que tiene los cuatro ángulos y los cuatro lados iguales. 00:06:54
El rectángulo, que va a tener dos lados iguales y otros dos lados iguales, es decir, va a tener dos pares de lados. 00:06:58
Como veis, este lado es igual a este y este lado es igual a este, es decir, dos lados iguales y los otros dos lados distintos a los anteriores, pero también iguales. 00:07:05
y posee también cuatro ángulos rectos. 00:07:15
Aquí uno, aquí otro, aquí otro y aquí otro. 00:07:18
¿De acuerdo? 00:07:22
También podemos tener un rombo. 00:07:23
Un rombo va a ser un cuadrilátero diferente a un cuadrado 00:07:25
en el que vamos a tener cuatro lados exactamente iguales 00:07:29
pero mientras que en el cuadrado teníamos cuatro ángulos iguales 00:07:33
aquí vamos a tener que estos dos ángulos van a ser iguales 00:07:37
y estos dos ángulos van a ser iguales entre ellos 00:07:40
pero distintos a los anteriores. Si nos damos cuenta, tenemos dos ángulos, este de aquí 00:07:43
y este de aquí, obtuso, y dos ángulos, este de aquí y este de aquí, agudos. También 00:07:48
tenemos el romboide. El romboide es una especie de rombo, pero en el que tenemos dos ángulos 00:07:56
distintos, dos pares de ángulos distintos y dos pares de lados distintos. Es decir, 00:08:01
sería como el rectángulo, pero con los ángulos, en lugar de ser iguales, distintos. Si nos 00:08:07
damos cuenta, este lado es igual a este, pero distinto a estos dos, que son iguales entre 00:08:12
ellos. Y por otro lado tenemos un ángulo agudo aquí, que es igual a este de aquí, 00:08:18
y distintos a este y a este, que son iguales entre ellos y son obtusos. Seguimos. Nos quedan 00:08:23
dos cuadrilateros más, que son los trapecios, que poseen un par de lados paralelos, es decir, 00:08:32
siguen teniendo cuatro lados, es la característica para tener un polígono cuadrilátero, pero 00:08:38
si nos damos cuenta, este lado y este lado son paralelos, pero este y este no lo son. 00:08:43
Aquí tenemos un trapecio rectángulo, es decir, definido por este ángulo recto. También 00:08:50
tenemos un trapecio isósceles, es decir, los lados no paralelos no tienen la misma 00:08:57
medida, es decir, este lado y este que son paralelos vemos que no tienen la misma medida. 00:09:02
Aquí tenemos un trapecio escaleno, en el que todos los lados tienen distinta medida, ¿vale? Y por último, dentro de los cuadriláteros, vamos a hablar de los trapezoides, en el que vamos a tener una situación como esta, en la que ninguno de los lados van a ser paralelos, ¿vale? 00:09:08
Si nos damos cuenta, estos serían los trapezoides. Por ejemplo, tenemos un trapezoide simétrico y un trapezoide asimétrico. En este trapezoide simétrico tiene dos pares de lados de igual medida, este y este, o este y este, y en el trapezoide asimétrico todos sus lados tienen distinta medida y además, como en el trapezoide simétrico, ninguno de sus lados son paralelos. 00:09:23
¿Vale? Y vamos a ver el último grupo, que va a ser el grupo de los polígonos, de otros polígonos regulares. Es decir, en este otro tipo de polígonos regulares vamos a meter todos aquellos que no hemos definido ni como triángulos ni como cuadriláteros. 00:09:47
Vamos a estudiar el pentágono, que es el caso más intuitivo. Si nos damos cuenta, aquí tenemos pintado un pentágono. Es un polígono, porque tiene segmentos que cierran la figura, tiene cinco lados, por eso es un pentágono, tiene cinco vértices, tiene cinco ángulos también y tiene un centro, que es el punto interior del polígono, que está a igual distancia de todos los vértices, 00:10:12
es decir, si midiésemos la distancia a todos los vértices, desde este punto sería la misma. 00:10:41
También tenemos un radio, que es el segmento que une cualquiera de los vértices con ese centro, 00:10:46
la línea de color verde, y tenemos un apotema, y esto es importante, que no confundáis el apotema con el radio. 00:10:53
El radio es la distancia de un vértice al centro. 00:11:01
El apotema es la distancia de la mitad de un lado, es decir, si nosotros pintásemos este lado, 00:11:04
la mitad estaría aquí, pues desde este punto 00:11:10
hasta el centro, ¿vale? 00:11:13
esto sería el apotema, si os dais cuenta 00:11:15
el apotema es una especie de radio 00:11:18
no lo confundáis con el radio, pero más corto 00:11:22
¿veis? el radio es mucho más largo, el apotema es mucho más corto 00:11:24
entonces, recordamos 00:11:27
radio, distancia de un vértice al centro 00:11:30
y apotema, la distancia desde la mitad 00:11:33
de un segmento hasta el centro 00:11:36
¿Vale? ¿Cuáles son los nombres de los polígonos regulares? Triángulo, tres lados, cuadrado, cuatro lados, pentágono, cinco lados, hexágono, seis lados, heptágono, siete lados, octágono, ocho lados, nonágono o enágono, nueve lados y decágono, diez lados. 00:11:39
¿Vale? Perdón, seguimos. 11 lados en decágono y 20 lados en coságono. ¿Vale? Vamos a ver el último punto que es el que nos va a servir para hacer los ejercicios. El teorema de Pitágoras no lo vamos a ver hoy. 00:12:04
¿Qué es lo que vamos a ver? Pues cómo se calculan las áreas y los perímetros de esos polígonos. 00:12:26
Primero vamos a entender qué es área y qué es perímetro. 00:12:31
Si nosotros cogemos los segmentos, es decir, las líneas que forman cada uno de esos polígonos 00:12:35
y sumamos sus valores, vamos a obtener el perímetro. 00:12:42
Es decir, el perímetro, para que lo entendamos, es como si dijésemos, 00:12:46
Si nosotros cogiésemos este rectángulo y cogiésemos una cuerda y la atásemos alrededor de todo este cuadrado, el perímetro sería la longitud de esa cuerda. ¿Qué es el área? El área va a ser toda la superficie que tenemos dentro de este cuadrado. 00:12:51
Es decir, si nosotros pintásemos esto de azul, si pintásemos este rectángulo de azul, sería todo lo de color azul. 00:13:12
¿Y cómo lo vamos a calcular? Pues multiplicando un lado, el valor de un lado, por otro lado. 00:13:19
Vamos a ver cómo se calculan estas áreas y estos perímetros en las distintas figuras, en los distintos polígonos que tenemos aquí delante. 00:13:25
En el caso del rectángulo, que es el más fácil, si nosotros queremos calcular ese perímetro, es decir, el valor de la longitud de fuera, tendremos que sumar este lado más este lado más este lado más este lado. 00:13:36
Si estos dos lados, el lado B es igual a este de aquí, tenemos dos veces B, ¿no? Por lo tanto, el perímetro será dos veces B más dos veces A. Aquí no ha salido pintado, pero A sería este lado de aquí o este lado de aquí, ¿vale? 00:13:50
Por lo tanto, repito, esto más esto es dos veces A, más esto por esto es dos veces B. 00:14:08
Por lo tanto, 2 por A más 2 por B va a ser este perímetro. 00:14:16
¿Cómo vamos a calcular el área de este rectángulo? 00:14:21
Pues base, que sería A por la altura, base por altura, A por B, nos va a dar ese perímetro. 00:14:24
En el caso del cuadrado sería exactamente igual, con una pequeña diferencia. 00:14:33
Fijaos, el área se calcula igual, lado por lado, o base por altura. 00:14:38
Como la base y la altura es igual, pues lado por lado. 00:14:43
¿Qué ocurre con el perímetro? 00:14:47
Acordaros, aquí pusimos 2 por B más 2 por A, pero como en este caso todos los lados son iguales, 00:14:48
es lo mismo que poner 4 por L, o 4 por A, o como queramos llamar a cada uno de los lados. 00:14:56
Es decir, cuatro veces por uno de los lados es lo que nos va a dar el perímetro de ese cuadrado. Vamos al romboide. En el caso del romboide tenemos base por altura. En este caso, la base, vamos a coger lo que mide todo este segmento, el segmento B, que sería la base, 00:15:01
Y la altura va a ser la distancia que tenemos en la vertical desde este vértice hasta tocar con este segmento. Este dato no lo tendrían que dar. Si no lo tendríamos que calcular, ya veríamos con pitágoras. Pero en principio no lo tendrían que dar. Entonces, esta base por esta altura nos va a dar ese área. 00:15:25
¿Y el perímetro cómo lo vamos a calcular? Pues si a este lado lo llamamos A y este lado es igual a este, dos veces este lado más dos veces este lado, ¿vale? Nos va a dar ese perímetro. Fijaos, aquí falta la letra B. Después, 2 por A más 2 por B. Completadlo porque eso es una derrata. 00:15:44
Vamos a ver el triángulo. 00:16:07
Triángulo, el área. 00:16:09
El área se va a calcular con la siguiente fórmula. 00:16:10
La base, que es todo esto, por la altura, y todo ello dividido de 2. 00:16:13
Así calcularemos toda esta superficie. 00:16:18
¿Y cómo vamos a calcular el perímetro? 00:16:21
Pues como siempre, lado, más lado, más lado. 00:16:22
Como los tres lados son distintos, vamos a hacer A más B más C. 00:16:25
Vale, vamos a ver el rombo. 00:16:33
¿Cómo vamos acá? Lo primero que tenemos que definir es, fijaros, hemos pintado dentro de nuestro rombo y hemos puesto diagonales. 00:16:36
Hemos puesto diagonal y hemos puesto una D porque va a ser la diagonal mayor. 00:16:42
Y aquí hemos puesto otra diagonal que le hemos llamado D minúscula porque es la diagonal menor. 00:16:47
Y a uno de los lados le hemos llamado L. 00:16:52
Por lo tanto, el área va a ser la diagonal mayor por la diagonal menor entre 2. 00:16:55
Y el perímetro, como siempre, va a ser cuatro veces esa L, es decir, cada lado, lado, más lado, más lado, más lado, que es cuatro veces ese lado. 00:17:00
Vamos a seguir con un trapecio. El trapecio, como veis aquí, tenemos lo que está pintado con una línea negra más oscura. 00:17:13
Hemos definido un lado, aquí, que le hemos llamado L mayúscula, 00:17:24
tenemos otro lado que le hemos llamado L minúscula, 00:17:30
tenemos un lado que le hemos llamado P mayúscula y otro lado que le hemos llamado B minúscula. 00:17:33
Y por último tenemos la altura de este polígono, ¿vale? 00:17:38
¿Cómo vamos a calcular ese área? 00:17:42
Pues vamos a tener el segmento de la base más el segmento contrario a la base, 00:17:44
el que tenemos arriba, por la altura, y todo ello dividido de 2. 00:17:50
¿Y el perímetro cómo lo vamos a calcular? Pues como siempre, lado, más lado, más lado, más lado, 00:17:57
es decir, este lado, más este lado, más este lado, más este lado, es decir, L, más L pequeñita, 00:18:03
más B mayúscula, más B minúscula. Fijaros, no multipliquéis por 2, porque aunque esto y esto 00:18:09
y os pueda parecer igual, en este caso no lo es. 00:18:16
Entonces, cada lado lo sumáis de forma independiente. 00:18:19
Esto que vamos a ver aquí nos vale para cualquier polígono regular. 00:18:25
Este área que tenemos aquí. 00:18:29
El perímetro, ¿cómo lo vamos a calcular? 00:18:31
Pues es el más fácil. 00:18:34
Vamos a poner, como es un polígono regular en el que cada lado, por definición, va a medir lo mismo, 00:18:36
vamos a calcular ese perímetro poniendo lo que valga un lado 00:18:42
por el número de lados, en este caso que tenemos un pentágono 00:18:46
nos bastaría con calcular, o pondríamos este lado 00:18:50
y lo multiplicaríamos por 5, perdón, esto no es un pentágono 00:18:54
es un hexágono, este hexágono que tenemos aquí 00:18:58
lo vamos a multiplicar este lado por 6, ¿por qué? porque tenemos 00:19:02
1, 2, 3, 4, 5, 6 lados, entonces el perímetro sería 00:19:05
6 por L, o lo que sería lo mismo, lo que valga este lado, más este, más este, más este, más este y más este. 00:19:10
¿Cómo vamos a calcular ese área? Pues vamos a poner el perímetro que ya hemos calculado, 00:19:18
lo vamos a multiplicar por el apotema, acordaros, el apotema era la distancia 00:19:25
desde la mitad de este segmento hasta el centro, y todo ello dividido entre 2. 00:19:30
antes cuando hemos hablado de polígonos 00:19:36
hemos hablado de polígonos con lados 00:19:42
pero vamos a hacer aquí una pequeña mención a la circunferencia 00:19:44
¿qué es una circunferencia? 00:19:47
una circunferencia es una línea curva 00:19:49
en la que todos sus puntos equidistan de otro llamado centro 00:19:52
es decir, si nosotros tenemos esta circunferencia 00:19:55
y medimos la distancia desde aquí 00:19:59
a cualquier punto que tengamos aquí fuera 00:20:01
va a medir la misma distancia 00:20:04
Esa distancia la vamos a llamar radio, o R. Es decir, el radio va a ser la distancia desde el exterior, en línea recta, hasta el centro. ¿Y qué va a ser un círculo? Pues un círculo va a ser esa figura que está delimitada, ¿veis? Está pintada de color azul. Esa circunferencia, toda la parte, esa circunferencia que está cerrada. 00:20:06
¿Vale? Entonces, ¿cómo vamos a calcular el área de esta circunferencia? Pues el área va a ser pi, si no os he ido a hablar nunca de pi, pi es un valor fijo, lo vais a ver en cualquier calculadora, vale 3,1416, etc. ¿Vale? Y entonces nos va a servir para la circunferencia. ¿Vale? 00:20:29
Para calcular ese área vamos a multiplicar pi por el radio, que ya hemos dicho que es la distancia desde el centro hacia el exterior, hacia esa circunferencia, entonces pi por r al cuadrado nos va a dar todo este área, todo lo que tenemos en azul. 00:20:48
¿Cómo vamos a calcular esta línea exterior, es decir, el perímetro de una circunferencia? Pues va a ser 2 por pi y por r, pero ya no elevado al cuadrado, por r. 00:21:06
Bien, lo vamos a dejar aquí porque ya tenéis muchas cosas para que podáis trabajar, tenéis un montón de ejercicios, no los dejéis y el próximo día entramos en Pitágoras y entramos en Tales, ¿vale? 00:21:18
Si tenéis cualquier duda escribidme porque es importante que entendáis todo lo que hemos visto para poder seguir avanzando, ¿de acuerdo? Nos vemos el martes y lo dicho, si hay alguna duda me escribís, que vaya bien, un saludo, chao, chao. 00:21:34
CC por Antarctica Films Argentina 00:21:48
Materias:
Matemáticas
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    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
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      • Nivel II
Autor/es:
Hilario Sánchez
Subido por:
Hilario S.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
1
Fecha:
18 de marzo de 2025 - 18:18
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB RAMON Y CAJAL
Duración:
21′ 49″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
958x720 píxeles
Tamaño:
40.78 MBytes

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