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Rango de matrices. inversas y Teorema de Rouché-Frobenius - Contenido educativo

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Subido el 14 de octubre de 2025 por Roberto A.

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Clase del 14 de octubre de 2025. Se produjo un error en el equipo y no se ha guardado la parte de las matrices inversas.

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Venga, comenzamos la grabación de la clase. Hoy tenemos que ver si o si el teorema de Rochefrobenio. No sé si nos dará tiempo a ver Kramer, pero lo que sí me interesa mucho es dejar claro este tipo de ejercicio porque lo vamos a utilizar en bastantes cosas. 00:00:00
Aquí lo que tenemos es una matriz 4x3. Eso lo vemos todo. Tenemos 4 filas y 4 columnas. Entonces, el rango máximo de esta matriz, ¿cuál va a ser? 3. Siempre el rango máximo va a ser como el mínimo entre las filas y las columnas. Esto lo que se hace es obteniendo menores. 00:00:14
¿Vale? ¿Es la matriz nula? Evidentemente no, por lo tanto el rango no va a ser 0. El rango va a ser o 1 o 2 o 3. Si yo, por ejemplo, cojo este menor, veis aquí este menor de aquí que es el elemento a 1, 1. Si yo hago el determinante de 3, es 3. ¿Y eso qué significa? Pues que ya el rango de A va a ser mayor o igual que 1. ¿De acuerdo? 00:00:33
Por haber un menor de orden 1 y si es su determinante distinto de 0, ya el rango de esta matriz va a ser como mínimo 1. 00:00:55
Si yo ahora cojo un menor de orden 2, por ejemplo este de aquí, si os fijáis yo cojo el 5, 6, 10, pues resulta que como son proporcionales, el determinante es 0. 00:01:05
¿Eso significa que el rango no va a ser 2? No, significa que tengo que seguir probando determinantes de orden 2, ¿vale? Entonces, fijaros, yo ahora me voy al 3, 6, 1 menos 2, igual, ¿no? Esto es, no, esto es, esto es menos 6 menos 6 es igual a menos 12, distinto de 0. 00:01:16
ya tengo un determinante de orden 2 distinto de 0. 00:01:40
Entonces, ¿eso qué significa? 00:01:45
El rango de A ya va a ser mayor o igual que 2. 00:01:47
Todo eso lo entendéis, chavales. 00:01:51
Yo voy haciendo de orden 1, de orden 2, de orden 3, 00:01:53
así sucesivamente hasta el máximo. 00:01:58
Entonces, ¿qué ocurre ahora? 00:02:00
Pues que yo tendría que hacer el determinante de 3, 5, 1, 6, 10, menos 2, 1, 0, 1, 00:02:02
que no sé cuánto vale. 00:02:08
Pero si este me saliese distinto de 0, yo ya puedo decir que el rango es 3. Pero si me sale 0, que no lo sé y esto lo dejo como tarea, yo ahora tendría que probar 3, 5, 1, 6, 10, menos 2 y 4, 5, 0, que es menor de orden 3. 00:02:10
igual, es distinto de 0 00:02:30
si yo ya sé que es distinto de 0 00:02:32
yo aquí ya me paro y puedo decir que el rango 00:02:34
es 3, pero como me salga 00:02:36
0, yo todavía 00:02:38
tengo que seguir probando 00:02:40
por ejemplo, el 6, 10 00:02:42
menos 2, el 1, 0 00:02:44
1, el 4, 5, 0 00:02:46
y me hago la misma 00:02:48
pregunta, yo hago el determinante, es igual que 00:02:50
0, si es igual que 0 00:02:52
si los 3 son 0, me tengo que ir a otro 00:02:54
nuevo caso, que ya 00:02:56
Ahí es el último. O si alguno de ellos me sale distinto de 0, yo ya puedo afirmar que el rango, ¿de acuerdo? El rango es, lo diré, el rango es 3, ¿vale? Y la última opción es esta de aquí igualmente, ¿vale? 00:02:58
hago el determinante 00:03:15
y si uno de los cuatro 00:03:16
si con que alguno de los cuatro 00:03:19
determinantes me salga distinto 00:03:21
de cero, yo ya puedo afirmar que el rango 00:03:23
de esta matriz es 00:03:25
tres, pero si los tres 00:03:27
determinantes me saliesen cero 00:03:29
el rango de esta matriz es dos 00:03:31
eso lo tenemos, dime 00:03:33
claro 00:03:35
en el momento que una de ellas 00:03:37
bueno chavales 00:03:39
vamos a ver como canta Manuel 00:03:40
aquí 00:03:45
vale 00:03:46
silencio, entramos chavales 00:03:48
en el tema 4, vale 00:03:51
entonces el tema 4 00:03:52
venga 00:03:55
es la resolución 00:03:56
de sistemas de ecuaciones 00:03:59
como lo hemos visto antes 00:04:01
que lo hemos visto por el método de Gauss y demás 00:04:03
pero ahora con determinantes 00:04:05
entonces, para resolverlo 00:04:07
Nos vamos a basar en el tema de Roche-Frobenius. Ahora solamente se llama Roche, pero vamos a Roche-Frobenius. ¿Vale? Entonces, nosotros, ¿qué es lo que tenemos? Por ejemplo, si yo cojo este elemento de aquí, bueno, lo tenéis bien explicado aquí en el libro, ¿vale? 00:04:08
Si yo cojo, chavales, venga, por favor, silencio. Tengo este ejemplo. Yo tengo aquí un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, por ejemplo, ¿vale? Entonces, yo tengo una matriz, la matriz de los coeficientes, ¿de acuerdo? Es una matriz de los coeficientes. 00:04:26
Entonces, mi matriz A es, veo que la X es un 1, el 1 es un 1, un 2, como lo hemos hecho, que a veces me habéis dicho, ¿lo puedo hacer el sistema de ecuaciones con matrices en vez de con arrastrar siempre las ecuaciones? 00:04:44
Pues aquí igual, tenemos una matriz de coeficiente y luego lo que se llama la matriz ampliada, ¿vale? La matriz ampliada. 00:04:58
Entonces, normalmente yo la matriz ampliada siempre la separo aquí con unos puntitos, con una raya. 00:05:06
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que yo tengo mi matriz ampliada que ya algunos de ustedes en algún ejercicio me la habéis puesto. Entonces, nosotros lo que tenemos que hacer únicamente, el teorema de Roche-Frobenius, ¿vale? Es cuando yo tengo teorema de Roche-Frobenius, ¿vale? 00:05:12
Entonces, si yo tengo, por ejemplo, imaginaros, vamos a hacer x más 2y más 3z igual a 4, ¿vale? Y yo qué sé, menos x menos 20y más, no, más, yo qué sé, 10z igual a menos 1. 00:05:38
Y yo qué sé, 2x menos 5y más 8z igual a menos 3, ¿vale? 00:06:01
Yo este sistema, resulta que tengo una matriz A, que es la matriz de los coeficientes, 00:06:10
aquí sería 1, 2, 3, menos 1, menos 20, 10, aquí sería 2, menos 5, 8, ¿vale? 00:06:16
Y luego tendría una matriz ampliada, ¿vale? Yo puedo, se suele poner una prima o se pone un asterisco en la ampliada donde, además de mi matriz que es la A, le añado los términos independientes, ¿vale? Los términos independientes. Esto es un menos 20, esto es 2, menos 5 y 8. 00:06:25
Vale, chavales, y entonces, ¿qué ocurre? Este sistema, como me lo acabo de inventar, no sé lo que ocurre. No sé si es sistema compatible determinado, un sistema compatible indeterminado o un sistema incompatible. 00:06:52
El teorema de Rochefrobenius, ¿qué es lo que me dice? Yo tengo que comparar el rango de la matriz ampliada y el rango de la matriz ampliada. Yo tengo que comparar los dos y además tengo que hacer referencia al número de incógnitas. 00:07:04
¿vale? ¿sí o no? 00:07:24
¿sí o no? 00:07:28
no, porque todavía no lo hemos hecho 00:07:31
¿vale? si lo has 00:07:34
hecho así, en principio 00:07:36
este se puede hacer 00:07:37
por 00:07:40
se puede hacer por 00:07:40
varias 00:07:44
escalonando 00:07:44
se puede hacer por determinantes 00:07:48
y demás, entonces ¿qué ocurre? 00:07:50
¿qué chavales? 00:07:52
hay tres posibilidades. Si el rango de A es igual al rango de la ampliada y además igual 00:07:56
al número de incógnitas, ¿vale? Entonces estamos ante un sistema compatible determinado 00:08:07
donde la solución es única 00:08:22
os acordáis de esto, ¿verdad? 00:08:28
y aquí se puede resolver 00:08:32
por determinante por k-mes 00:08:34
que ya lo veremos, ¿vale? 00:08:36
hoy no creo que nos dé tiempo 00:08:37
entonces, chavales, si 00:08:39
el rango de A 00:08:41
es igual al rango de la ampliada 00:08:44
y es igual al número de incógnita 00:08:47
entonces un sistema compatible 00:08:49
es determinado y tenemos 00:08:51
solución única 00:08:53
¿vale? 00:08:54
El otro caso, si el rango de A es igual al rango de la A ampliada, ¿vale?, 00:08:56
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
11
Fecha:
14 de octubre de 2025 - 14:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Descripción ampliada:
Clase del 14 de octubre de 2025. Se produjo un error en el equipo y no se ha guardado la parte de las matrices inversas.
Duración:
09′ 15″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
81.62 MBytes

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