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AN3. 2.1 Derivadas. Derivabilidad +2.2 Relación entre continuidad y derivabilidad - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos las derivadas,
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la derivabilidad de una función y la relación entre continuidad y derivabilidad.
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En esta videoclase vamos a definir la derivada de una función en un punto, vamos a estudiar
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la derivabilidad de una función y la relación entre la continuidad y la derivabilidad de
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una función. Vamos a comenzar con algunas definiciones. Como vemos aquí, dada una función
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real de variable real f, vamos a comenzar definiendo sus derivadas laterales, por la
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derecha y por la izquierda, en un cierto punto de abscisa x0 perteneciente al dominio. Estas
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derivadas laterales se van a representar de esta manera, f' de x0 y este superíndice
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más, indica por la derecha, y f' de x0, este superíndice menos, me indica por la izquierda.
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Derivada de la función f en x0 por la derecha, derivada de la función f en x0 por la izquierda.
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Pues bien, estas derivadas laterales se definen como, son dos límites laterales cuando delta de x
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tiende a 0 por la derecha o por la izquierda, dependiendo de si tenemos la derivada lateral
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por la derecha o por la izquierda, y son los límites cuando delta de x tiende a 0 por la
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derecha o por la izquierda de la tasa de variación media en ese intervalo auxiliar x0, x0 más delta
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de x que utilizábamos cuando queríamos calcular la tasa de variación instantánea utilizando el
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concepto de tasa de variación media. Así pues, si ponemos juntas ambas definiciones, la derivada
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lateral de la función f en x0 por la derecha o por la izquierda se define como el límite cuando
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delta de x tiende a cero por la derecha o por la izquierda del cociente incremental que me daba la
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tasa de variación media en este intervalo. Sería f de x cero más delta de x menos f de x cero,
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las imágenes, en el extremo final menos en el extremo inicial, dividido entre delta de x la
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amplitud del intervalo, lo que sería la diferencia de los orígenes x cero más delta de x menos x
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cero. Podemos ver cómo esto nos recuerda a la definición de la tasa de variación instantánea.
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De hecho, hay una relación muy directa y que vamos a detallar dentro de unos momentos entre la tasa de variación instantánea y estas derivadas laterales.
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Recordad que la tasa de variación instantánea se define como la tasa de variación media en el límite cuando delta de x tiende a cero.
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Y la gran diferencia está en que aquí estamos hablando de los límites laterales, no el límite cuando delta de x tiende a cero.
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Bien, si vamos hacia atrás y pensamos en esa tasa de variación instantánea que acabo de mencionar, aquí viene la definición de derivabilidad, el concepto de derivabilidad.
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Si la tasa de variación instantánea que he mencionado antes de una función real de variable real en un cierto punto de abstisa x0 existe, en ese caso se dice que la función f es derivable en esa abstisa f de x0.
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Y aquí tenemos la relación entre la derivabilidad y estas derivadas laterales.
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Es condición necesaria y suficiente para que la función f sea derivable en x0, en un punto de abstisa x0, que ambas derivadas laterales existan y sean iguales.
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¿Qué es lo que está ocurriendo?
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Bueno, pues aquí lo que ocurre es que estamos relacionando el concepto de tasa de variación instantánea,
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que se define límite cuando delta de x tiende a cero de la tasa de variación media, con todo lo
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que habíamos estudiado en las unidades anteriores en relación con los límites. No es riguroso
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estudiar directamente el límite cuando delta de x tiende a cero cuando estamos hablando con
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funciones, funciones abstractas dentro de las matemáticas, sino que recordemos para que el
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límite en un punto exista tenemos previamente que estudiar los límites laterales, comprobar
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que ambos límites laterales existen y que coinciden. Recordad que en su momento, en
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la unidad AN1 de límites, primero hablábamos de límites laterales y después hablábamos
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del límite en un punto, en estos términos. El límite en un punto existe si los límites
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laterales existen y coinciden. Pues bien, aquí vamos a hacer un uso riguroso de estos
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límites hablando de derivadas. Y entonces vamos a comenzar hablando de las derivadas
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laterales, en el mismo sentido en el que en su momento hablábamos de los límites laterales,
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para posteriormente dar el mismo paso de forma análoga a que hacíamos en el caso de los límites
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y decir que si tenemos estas derivadas laterales por la derecha y por la izquierda,
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ambas existen y ambas son iguales, en ese caso la función se dice derivable
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y no vamos a hablar de derivada por la izquierda y por la derecha,
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sino que hablaremos directamente de la derivada de la función en el punto f' de x0,
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fijaos que ya no hablo por la derecha y por la izquierda,
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Y en ese caso sí, como el límite cuando delta de x tiende a cero, del mismo cociente incremental, por supuesto, la tasa de variación media.
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¿Qué es lo que está ocurriendo? Una vez más, tasa de variación media, tasa de variación instantánea, se definen siempre equivalentes a la derivada lateral por la derecha.
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Cuando estamos en este momento hablando de estos límites desde el punto de vista matemático,
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volviendo atrás pensando en límites, como el límite existe en un punto cuando existen ambos límites laterales y coinciden,
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necesitamos definir lo que sería el equivalente a esa tasa de variación instantánea por la derecha y por la izquierda.
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Lo que ocurre es que no se utiliza esa terminología.
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Se habla de derivada lateral por la derecha y derivada lateral por la izquierda.
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Así pues, para englobar todo esto, recordemos qué es lo que ocurría cuando hablábamos de límites.
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Definíamos límite de la función en un punto de abscisa x0 por la derecha por la izquierda, estaban definidos.
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Aquí tenemos definidos de esa manera límites cuando delta de x tiende a 0 por la derecha y por la izquierda de un cierto cociente incremental definido dentro de una función.
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Y a esto lo llamamos derivada lateral por la derecha y por la izquierda.
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Volviendo a los límites, cuando ambos límites existían y coincidían, decíamos que existía el límite de la función en el punto, sin discernir derecha o izquierda.
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Aquí lo mismo, si estos límites laterales existen y eso quiere decir que estas derivadas laterales existen, diremos que existe la derivada de la función en el punto de abscisa x0,
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como límite cuando delta de x tiende a 0, sin distinguir por la derecha y por la izquierda del cociente incremental que se define a partir de los elementos de la función.
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Así pues, a partir de límites laterales se define el límite en un punto, y recordad que casi nunca hablábamos de límites laterales, sino que siempre nos centrábamos en el límite en el punto.
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Aquí ocurrirá lo mismo. A partir de las derivadas laterales se define la derivada de la función en un punto, y rara vez hablaremos expresamente de las derivadas laterales, casi siempre de aquí en adelante estaremos refiriéndonos a la derivada de la función.
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Ahora, hablaremos de este límite cuando delta de x tenda cero, pero tened siempre en mente que en este contexto, hablando de la derivada, este límite delta de x tendiendo a cero, no distinguimos por la derecha o por la izquierda, cosa que habríamos de hacer porque ya se supone comprobado que ambos límites laterales existen y coinciden.
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Quiero insistir en que cuando en la videoclase anterior, vuelvo para atrás, hablamos de la tasa de variación instantánea
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y hacemos este límite cuando delta de x tiende a cero de la tasa de variación media,
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es equivalente a lo que en este momento estamos llamando derivada lateral por la derecha.
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Lo que ocurre es que las derivadas y las tasas de variación instantánea y media se definen en contextos ligeramente distintos
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Y este, el de la función derivada, es un contexto mucho más riguroso desde el punto de vista matemático.
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Hemos mencionado que la derivada de la función f se va a representar f' de x.
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Esta no es la única representación posible y en algunos contextos distintos se utilizan otras notaciones.
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Una muy utilizada y que veremos hacia el final de este bloque y que utilizaremos en algún momento es esta que veis aquí.
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Recordando la definición de la tasa de variación instantánea y la forma en la que se denotaba,
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podemos representar la derivada como ese cociente que representaba a la tasa de variación instantánea
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de f en el numerador, de x en el denominador.
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Esto a su vez, recuerdo, me recordaba al incremento.
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Diferencia de las f, de las imágenes, diferencia de las x.
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Lo único es que cuando no tenemos incrementos finitos, sino que hacemos el límite,
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cambiamos las deltas por estas d.
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En este caso, esto se leería derivada de la función f con respecto de x.
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Y una notación alternativa, que nosotros no utilizaremos, pero que en algunos contextos se utiliza,
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es que en lugar de poner aquí esta prima, lo que se hace es poner un punto más o menos grande,
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que se distinga, encima de la letra f.
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Y aquí tendríamos la derivada primera de f.
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Vamos a finalizar esta videoclase discutiendo la relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función.
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Un resultado que vamos a utilizar mucho es este que tenemos aquí, el primero.
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Para que una función real de variable real f sea derivable en una cierta abstisa x0,
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es condición necesaria que sea continua en dicha abstisa.
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Así pues, si se nos pide estudiar la derivabilidad de una cierta función, comenzaremos estudiando la continuidad,
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puesto que en aquellos puntos donde la función no sea continua, automáticamente sabremos que la función no es derivable.
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No obstante, el hecho de que la función sea continua en un cierto punto de la festiza x0
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no va a garantizar que la función sea derivable.
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Puede que lo sea, puede que no lo sea.
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Este resultado se podría haber deducido de este teorema, es la versión contrarrecíproca de él.
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Si una función real de variable real f es derivable en un cierto punto de la festiza x0,
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entonces sabemos que va a ser continua en ese punto de la festiza x0.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Materias:
- Matemáticas
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- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
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- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 12
- Fecha:
- 18 de noviembre de 2024 - 11:59
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 11′ 20″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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- Tamaño:
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