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Discusión y resolución de un sistema 3x3 - Contenido educativo

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Subido el 15 de noviembre de 2025 por Francisco J. M.

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Hola chicos, hola chicas, vamos a resolver este problema donde nos piden discutir el sistema de ecuaciones que tenéis ahí 00:00:00
en función del parámetro a, eso es lo que pide el apartado, luego veremos el apartado b. 00:00:08
Bueno, pues para discutir el sistema de ecuaciones 00:00:14
lo que tenemos que hacer es escribir la matriz de los coeficientes 00:00:17
y la matriz ampliada. La matriz de los coeficientes 00:00:22
Son los números que multiplican a los coeficientes, ¿vale? En este caso la matriz dependerá del parámetro A y la matriz ampliada es esta misma matriz donde añadimos la columna de los términos independientes, ¿vale? 00:00:26
Se pueden escribir las dos a la vez, realmente no haría falta que las escribiréis dos veces, pero para que esté más claro lo vamos a hacer así. 00:00:43
bueno y ahora tengo que estudiar el rango de esas dos matrices 00:00:49
sabemos que si el rango de las dos matrices es el mismo 00:00:55
según el teorema de Ruche el sistema es compatible 00:00:58
bueno entonces empezamos estudiando el rango de la matriz M 00:01:01
la matriz M solo tiene un menor de orden 3 00:01:04
porque es una matriz cuadrada 00:01:07
podríamos empezar haciendo ese determinante 00:01:09
pero a mí me gusta empezar si puede ser buscando un menor de orden 2 00:01:11
que no contenga al parámetro I que sea distinto de 0 00:01:17
por ejemplo este de aquí 00:01:20
Este menor de orden 2, que sería el 1, 1, 3, 4. 00:01:22
Este vale 4 menos 3, 1, y es distinto de 0. 00:01:31
¿Con esto qué podemos asegurar? 00:01:36
Pues podemos ya asegurar que el rango de la matriz M va a ser mayor o igual que 2. 00:01:38
Y ahora estudiamos el menor de orden 3, el determinante de la matriz M, para saber si el rango es 3 o no. 00:01:42
Que eso es lo que vamos a hacer ahora. 00:01:51
Estudiamos este determinante. 00:01:54
Lo resolvemos y nos daría menos 4, más 9a, más 4. 00:02:02
Ahora la diagonal secundaria nos da menos 8a, 3 por 2, 6, menos 6, porque hay que restarlo. 00:02:14
Y nos queda menos 3 también, que como hay que restarlo nos quedaría más 3. 00:02:23
Con lo cual esto nos sale 9a menos 8a, y nos queda menos 4 más 4, 0, menos 6 más 3, menos 3 00:02:27
Y lo que queremos saber es cuando este determinante, este menor de orden 3, vale 0 00:02:36
Por eso lo igualamos a 0, y nos queda que a es igual a 3 00:02:41
Entonces cuando a vale 3, ese menor de orden 3 es 0 00:02:46
Y aquí ya podemos sacar conclusiones, porque entonces, mirad, si a no vale 3 00:02:50
entonces el menor de orden 3 va a ser distinto de 0 00:02:56
y por tanto la matriz M va a tener rango 3 00:03:01
porque hay un menor de orden 3 que no vale 0 00:03:06
el rango de M va a ser 3 00:03:09
y el rango de la matriz ampliada también va a ser 3 00:03:12
porque ese menor también está aquí 00:03:15
en la matriz ampliada, la matriz ampliada tiene 3 filas 00:03:17
3 es el máximo rango que puede tener 00:03:20
va a tener también, si yo sustituyo un número que no sea 3 00:03:22
Ese menor también va a valer 0 porque es el mismo que tengo en la matriz anterior 00:03:26
Y por tanto también puedo decir que el rango de la matriz ampliada es 3 00:03:30
Es decir, el rango de M es igual que el rango de la matriz ampliada 00:03:35
Y además también tengo 3 incógnitas por lo cual es igual que el número de incógnitas 00:03:40
Y eso quiere decir, según el teorema de Rouchet, que el sistema es compatible determinado 00:03:46
El problema de Rouchet nos dice que es compatible 00:03:52
Nosotros sabemos que si además ese número es igual al número de incógnitas 00:03:56
El sistema es determinado 00:04:01
Bueno, y fijaros, ya hemos discutido el sistema para todos los valores de a 00:04:03
Excepto para 1, ¿vale? 00:04:08
Ya sabemos cómo es el sistema siempre que a no sea 3 00:04:10
Vamos a ver qué ocurre si a es igual a 3 00:04:13
Bueno, ¿y qué sabemos ya si a es igual a 3? 00:04:15
Pues sabemos que el único menor de orden 3 00:04:19
de la matriz de los coeficientes sale 0, ¿vale? 00:04:22
Pero como ya sabíamos que el rango era mayor o igual que 2, 00:04:25
sabiendo que el menor de orden 3 da 0, sabemos que el rango no es 3, 00:04:29
luego el rango de M, con toda seguridad, va a ser 2. 00:04:34
Y lo que no sabemos ahora es cómo es el rango de la matriz ampliada, 00:04:39
lo tenemos que estudiar. 00:04:42
Pero como tenemos ahora un valor concreto del parámetro, 00:04:43
pues vamos a sustituir ese valor en la matriz ampliada 00:04:46
y vamos a estudiar cómo sería el rango para ese valor, entonces sustituimos para la matriz ampliada y nos quedaría 1, 1, 3, 2, 3, 4, 2, 3 y 2, 3, menos 1, 1, 00:04:49
Yo he sustituido a por 3. 00:05:07
Bueno, entonces, mirad, aquí también tengo el menor de orden 2 que he cogido antes, ¿vale? 00:05:10
Entonces, ahora tenemos que estudiar los menores de orden 3 de la matriz. 00:05:19
No hace falta que los estudiemos todos, solo hace falta estudiar los que contienen a este menor de orden 2, que yo ya sé que es distinto de 0, ¿vale? 00:05:23
¿Qué menores contienen a ese? Pues sería este de aquí, ¿vale? 00:05:31
Formado por las tres primeras columnas, pero fijaros que ese es el que he calculado anteriormente. 00:05:35
Yo ya sé que para a igual a 3, ese menor vale 0, con lo cual no hace falta que lo vuelva a calcular, ya se queda 0. 00:05:40
Entonces, ¿cuál tengo que calcular ahora? Pues el otro que contiene al menor que tengo en amarillo, 00:05:48
que sería el formado por las dos primeras columnas y la última, ¿vale? 00:05:53
Calculamos ese determinante, que sería el 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 1, ¿vale? 00:05:58
Y este nos da 4, 3 por 3, 9, por 2, 18, más 18, más 6, menos 2 por 2, 4, por 4, 16, menos 3 por 3, 9 y menos 3, ¿vale? 00:06:17
Y esto nos daría 4 y 18, 22 y 6, 28 menos 16, 12 menos 9, 3 menos 3, 0, ¿vale? Este determinante da 0. Bueno, con lo cual, fijaros, los dos menores de orden 3 que tiene la matriz ampliada son 0, ¿vale? El que habíamos calculado antes y este que hemos calculado ahora. 00:06:34
Con lo cual, no hay ningún menor de orden 3 que sea distinto de 0. 00:06:57
Entonces, el rango de la matriz ampliada no va a ser 3, porque no hemos encontrado ningún menor de orden 3 distinto de 0. 00:07:04
Eso quiere decir que va a ser 2, porque sí hemos encontrado un menor de orden 2 distinto de 0. 00:07:11
Entonces, ¿qué ocurre en este caso? 00:07:17
Fijaros, lo que tenemos es que el rango de M y el rango de la matriz ampliada son iguales, pero son menores que el número de incógnitas. 00:07:18
Entonces, en este caso, tenemos que el sistema es compatible indeterminado. 00:07:28
Y con eso hemos acabado el apartado A. 00:07:42
Vamos a cambiar de hoja y resolvemos el apartado B. 00:07:46
Bueno, vamos a resolver ahora el apartado B que nos pide resolver el sistema para A igual a menos 1. 00:07:51
Bueno, yo ya sé que para a igual a menos 1, porque lo he averiguado en la anterior, el sistema es compatible determinado 00:07:57
Porque del apartado anterior he llegado a la conclusión de que el sistema es compatible determinado siempre que a sea distinto de 3 00:08:04
Bueno, entonces, mirad, vamos a resolver este sistema 00:08:14
Bueno, primero lo voy a escribir ya sustituyendo ese valor del parámetro 00:08:20
Que me quedaría x más y menos z igual a 2 00:08:24
3x más 4y más 2z igual a menos 1 00:08:29
y 2x más 3y menos z igual a 1 00:08:36
Bueno, aquí tengo el sistema que tengo que resolver 00:08:41
Entonces, se puede resolver por Gauss 00:08:45
pero yo lo voy a resolver utilizando la regla de Cramer 00:08:48
Entonces, en la regla de Cramer tenemos que calcular 4 determinantes 00:08:53
primero voy a calcular el determinante de la matriz de los coeficientes 00:08:59
que realmente ese determinante ya lo había calculado en el problema anterior 00:09:05
lo tengo calculado aquí para todos los valores de a, da a menos 3 00:09:10
entonces no hace falta que lo vuelva a calcular, yo ya sé que eso da a menos 3 00:09:15
como en este caso a es menos 1 pues me quedará menos 1 menos 3 menos 4 00:09:20
No es necesario que lo vuelva a hacer todo, ¿vale? Si calculo el determinante de la matriz de los coeficientes, con seguridad va a dar menos 4, pero trabajo que me ahorro. 00:09:26
Bueno, entonces, ahora vamos a calcular el determinante que resulta de sustituir los coeficientes de las x por los términos independientes, ¿vale? 00:09:34
Que nos quedaría 2 menos 1, 1, 1, 4, 3, menos 1, 2, menos 1. 00:09:46
Vale, pues este determinante nos queda menos 8, la diagonal principal, más 3, menos 2, perdón, más 2, aquí nos queda menos 4, que como hay que restarlo, pues es más 4, aquí nos quedaría 2 por 2, 4, por 3, 12, menos 12, y lo que nos queda, nos queda más 1, que como hay que restarlo, menos 1. 00:09:54
¿Vale? Fijaros, esto da 6 y 2, 5 y 3, 9, menos 8, 1, menos 1, 0 y nos queda entonces menos 12 00:10:22
¿Vale? Bueno, sabemos que la x es este determinante entre el determinante de la matriz de los coeficientes 00:10:33
Con lo cual nos quedaría menos 12 entre menos 4, la x vale 3 00:10:43
Bueno, para calcular el valor de la i, ahora me voy a calcular el determinante que resulta de cambiar los coeficientes de la i por los términos independientes 00:10:48
¿Vale? Entonces queda 1, 3, 2 00:10:59
2, menos 1, 1 00:11:01
Menos 1, 2, menos 1 00:11:04
Bueno, y esto nos queda 1, la diagonal principal, menos 3, más 8, la diagonal secundaria nos queda 2, entonces es menos 2, aquí nos queda 2 también, menos 2, y el producto de estos 3 nos queda menos 6, que como hay que restarlo nos quedaría más 6. 00:11:10
Bueno, y esto nos queda, queda 8. Entonces el valor de la y sería este determinante partido por el determinante de la matriz de los coeficientes, que nos queda 8 entre menos 4 menos 2. 00:11:35
y por último vamos a calcular el determinante que resulta de cambiar los coeficientes de la z por los términos independientes 00:11:52
entonces ponemos los coeficientes de la x, los coeficientes de la y y en lugar de la z ponemos los términos independientes 00:12:03
2 menos 1, 1, y calculamos este último determinante, que nos queda 4, 3 por 3, 9 por 2, 18, más 18, 1 por menos 1 y por 2, que nos queda menos 2, la diagonal secundaria nos queda 2 por 4, 8 por 2, 16, que lo restamos, 00:12:10
aquí nos queda 3 por menos 1 y por 3 menos 3 que lo restamos y da más 3 00:12:32
y por último 3 por 1 y por 3, 3 que lo restamos 00:12:38
y si calculamos esto, esto da 4 y 18, 22, menos 2, 20 00:12:41
20 menos 16, 4 y 3 menos 3 da 0 con lo cual esto va a dar 4 00:12:51
Y tenemos que la z sería este delta sub z partido por la matriz de, el determinante de la matriz de los coeficientes, que nos quedaría 4 entre menos 4 igual a menos 1. 00:12:57
Y ya tendríamos resuelto el sistema. La solución del sistema sería x igual a 3 y igual a menos 2, z igual a menos 1. 00:13:11
Y ya quedaría resuelto el problema. 00:13:24
Un saludo a todos. 00:13:27
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Francisco Javier Majadas García
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
15 de noviembre de 2025 - 13:01
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN ISIDRO
Duración:
13′ 30″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1152x720 píxeles
Tamaño:
56.79 MBytes

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