Saltar navegación

Logaritmos - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 3 de febrero de 2025 por Laura S.

20 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vale, vamos a estudiar los logaritmos, que los logaritmos es la operación inversa a la exponencial, ¿vale? 00:00:00
Ya lo veremos con la función. 00:00:06
Entonces, la definición es que el logaritmo en base a de p es igual a x, 00:00:08
si y solo si, p es igual a a elevado a x, ¿vale? 00:00:19
Donde a es la base, la base del logaritmo, tiene que ser a es positiva y a distinto de 1, ¿vale? 00:00:25
Entonces, vamos a ver algunos ejemplos. 00:00:44
Si a mí me piden el logaritmo en base 2, es decir, la base, la a es 2, de 8, ¿cómo calculo esto? 00:00:52
Pues el objetivo es, tenemos que intentar expresar este número como una potencia de base, 00:00:59
la misma base del logaritmo, es decir, 8 es 2 elevado a 3. 00:01:05
Entonces he expresado el 8 como una potencia donde coinciden las bases. 00:01:11
Pues entonces el logaritmo es el exponente, el 3, ¿vale? 00:01:15
A ver, si yo tengo ahora logaritmo en base 2 de 4, 00:01:22
Estos son ejemplos preparados para que sea exacto 00:01:25
Si yo tengo el logaritmo en base 2 de 4 00:01:29
Voy a intentar expresar el 4 como una potencia de base 2 00:01:32
La misma base del logaritmo 00:01:35
Es decir, esto es igual al logaritmo en base 2 de 2 elevado a 2 00:01:37
Cuando lo tengo así expresado, el resultado va a ser el exponente 2 00:01:41
El logaritmo en base 2 de 4 es 2 00:01:46
¿Vale? 00:01:49
Por ejemplo, la base decimal, la base 10 00:01:51
que la que, de las que más se utiliza sería, si yo tengo logaritmo en base 10 de 100, esto es lo mismo, 00:01:54
normalmente la base 10 que la base decimal no se pone, ¿vale? 00:02:01
Entonces sería logaritmo de 100. 00:02:05
Cuando yo pongo esto logaritmo de 100 se sobreentiende que la base es 10, ¿vale? 00:02:08
Entonces base 10 es la base decimal, no se suele poner. 00:02:12
Entonces, si a mí me ponen así, logaritmo de 100, pues yo ya supongo que la base es 10, ¿vale? 00:02:18
Entonces, esto sería igual a logaritmo, tengo que intentar expresar el 100 como una potencia de base 10, 00:02:26
de base decimal, pues 10 al cuadrado. 00:02:33
Y cuando lo tengo así, el resultado es 2, el exponente, ¿vale? 00:02:36
Un ejemplo, por ejemplo, si tengo logaritmo de 1000, ¿vale? 00:02:41
Si no aparece nada, repito, es que la base es 10, por tanto, ¿qué tendría que hacer? Sería logaritmo, el 1000 lo voy a expresar como una potencia de base 10, pues 10 elevado a 3, y el resultado es 10, ¿vale? 00:02:45
Esto para cualquier base, normalmente con la que se trabaja es con la base decimal, o bueno, con el logaritmo neperiano, pero bueno, eso. 00:03:00
Normalmente con la base decimal y no se suele poner, ¿vale? No se pone la base, se sobreentiende. 00:03:13
Entonces, vamos a ver las propiedades de los logaritmos, que vienen un poco de las propiedades de las potencias, propiedades. 00:03:18
Entonces, la primera es que el logaritmo en base a, sea la base que sea de 1, siempre va a ser 0, ¿vale? 00:03:26
¿Por qué es esto? Pues vamos a ver un ejemplo. 00:03:41
Si yo tengo el logaritmo en base 2 de 1, ¿el objetivo cuál es? 00:03:44
Este número lo tengo que expresar como una potencia de base 2, es decir, logaritmo en base 2 de 2 elevado a algo. 00:03:48
2 elevado a algo que sea 1, ¿vale? 00:03:57
Pues 2 elevado a 0 es 1 00:04:01
Igual que aquí había puesto que 2 elevado al cubo es 8, ¿vale? 00:04:04
O 2 elevado a 2 es 4 00:04:08
Entonces 2 elevado a 0 es 1 00:04:10
Y cuando ya lo tengo así expresado, como las bases coinciden 00:04:11
El resultado es el exponente, ¿vale? 00:04:14
Si yo ahora tengo logaritmo en base 4 de 1 00:04:18
Pues ¿cuál es el objetivo? 00:04:22
Tengo que intentar poner el 1 como una potencia de base 4, es decir, logaritmo de 4 elevado a algo que me dé 1, que sería elevado a 0. 00:04:24
Y entonces el resultado es el exponente. 00:04:35
¿Vale? Porque esto siempre ocurre, porque cualquier número elevado a 0 es 1. 00:04:38
Entonces es el 1, siempre lo puedo poner como cualquier número, cualquier base y el 0. 00:04:42
aquí utilizo que todo número elevado a 0 es 1 00:04:47
pues venga, la siguiente propiedad también muy fácil 00:05:01
es que el logaritmo en base a de a es 1 00:05:05
esto por la propia definición 00:05:11
entonces, si yo tengo logaritmo en base 2 de 2 00:05:12
Pues yo, el objetivo es expresar este número como una potencia de base 2 00:05:18
Pero es que ya lo tengo expresado 00:05:23
Entonces como el resultado es siempre el exponente 00:05:24
Bueno, si queréis esto, esto es lo mismo que el logaritmo en base 2 de 2 elevado a 1 00:05:26
2 es lo mismo que 2 elevado a 1 00:05:32
Por tanto el resultado es 1 00:05:34
¿Vale? 00:05:37
Si yo tengo logaritmo en base 3 de 3 00:05:38
El objetivo siempre es expresar este número como una potencia de base esta base 00:05:41
Pero es que ya lo tengo 00:05:45
porque el logaritmo en base 3 de 3 es lo mismo que el logaritmo en base 3 de 3 elevado a 1 por 3, ¿vale? 00:05:46
Entonces cuando tengo el logaritmo en base a de ese mismo número el resultado siempre va a ser. 00:05:55
Y luego las más conocidas son las de ahora. 00:06:01
El logaritmo del producto, bueno en base a, ¿vale? 00:06:07
del producto es igual a la suma del logaritmo, es decir, el logaritmo en base a de x, del primer valor, 00:06:12
más el logaritmo en base a de y. 00:06:21
Esto, para demostrarlo, ¿vale? No lo vamos a demostrar, solo lo vamos a ver con un caso, 00:06:27
esto viene de que 2 elevado a 5 por 2 elevado a 3, en que se convierte el producto de potencia de la misma base, 00:06:33
era, se deja la base y se suman los exponentes, ¿no?, 2 elevado a 1, pues de esta propiedad 00:06:42
se debe esta otra, ¿vale?, es decir, para ver esto, para demostrar esto, necesitamos 00:06:50
esta propiedad, ¿vale?, de B, B de ahí, entonces vamos a hacer un ejemplo para ver 00:06:57
que funciona, aunque, o sea, hacerlo en un ejemplo no quiere decir que sea cierto, que 00:07:03
lo estamos demostrando, pero bueno, entonces, por ejemplo, si yo tomo logaritmo en base 00:07:08
2 de 16, ¿vale?, lo voy a hacer por la definición, por la definición que es aplicar esto, entonces 00:07:16
voy a expresar el 16 como una potencia de base, la misma base, el 16 es 2 elevado a 00:07:23
4, por tanto esto es 4, el exponente, entonces el logaritmo en base 2 de 16 es 4, vale, vamos 00:07:31
a hacerlo utilizando esta propiedad y vamos a ver que es lo mismo, que funciona, en este 00:07:40
caso no tendría tanto sentido, pero para ver que la propiedad funciona, entonces el 00:07:45
logaritmo 2 de 16 es lo mismo, voy a expresar 16 como 2 por 8, y ahora voy a utilizar la 00:07:50
propiedad 3, que me dice que el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo 00:07:59
del logaritmo del 2 más el logaritmo en base 2 de 8, ¿vale? Pues esto que es igual, esto 00:08:05
es igual a 1, es esta propiedad, el logaritmo en base a de a cuando coincide es 1, por tanto 00:08:13
esto es 1, ¿vale? Y esto sería más logaritmo en base 2 de 8 es 2 elevado a 3, por tanto 00:08:19
esto es igual a 1 más 00:08:27
el resultado de este logaritmo es 3 00:08:29
el exponente 00:08:31
es 4 00:08:32
por tanto coincide 00:08:34
¿si? 00:08:37
claro, es mucho más rápido aquí 00:08:43
de esta forma, solo estamos viendo que 00:08:45
efectivamente funciona, aun así hay veces 00:08:46
que esta forma será 00:08:49
la que necesitemos, ¿vale? porque no tengamos 00:08:51
de manera inmediata 00:08:53
forma de resolver 00:08:54
vale, la siguiente propiedad es que 00:08:55
el logaritmo 00:08:59
El cociente es igual a la resta del logaritmo. 00:09:01
Igual, si quisiéramos demostrar esta propiedad, que se puede demostrar, ¿vale? 00:09:09
¿Cómo se demuestra esta propiedad? Pues a partir de la propiedad de las potencias, 00:09:14
que 2 elevado a 5 entre 2 elevado a 3, cuando divido potencias de la misma base, 00:09:17
se deja la base y los exponentes se restan, ¿vale? 00:09:24
Que es lo que pasa aquí un poco, tengo de la división paso a una resta, de la multiplicación paso a una suma, ¿vale? 00:09:27
Entonces no lo vamos a demostrar, pero para que sepáis que viene de ahí, ¿vale? 00:09:34
Entonces vamos a hacer un ejemplo. 00:09:40
El mismo, yo ya sé que el logaritmo en base 2 de 16 es igual a 4, ¿vale? 00:09:43
Eso ya lo había calculado antes por la definición. 00:09:49
Pues vamos a hacerlo de esta forma. 00:09:53
El logaritmo en base 2 de 16 es igual, voy a expresar el 16 como 32 partido de 2, porque 32 partido de 2 es 16, ¿vale? 00:09:55
Entonces, ¿esto a qué sería igual? Pues aplicando esta propiedad, la propiedad 4, sería igual al logaritmo en base 2 de 32 menos el logaritmo en base 2 de 2, ¿vale? 00:10:06
¿Vale? Esto ya sé que es 1, es lo mismo que esto, ¿vale? Por la propiedad 2. 00:10:19
Ahora el 32, ¿qué hacemos? Pues vamos a expresarlo como una potencia de base 2 y utilizamos la definición. 00:10:24
32 es lo mismo que 2 elevado a 5 menos, esto ya lo puedo poner, esto ya sabemos que es 1, ¿vale? 00:10:30
Porque cuando coinciden el resultado es el exponente, que si no es nada es 1, ¿vale? 00:10:38
Menos 1, este logaritmo es 5 menos 1, ¿vale? 00:10:42
Pues vuelve a coincidir. 00:10:49
Estamos viendo para un caso particular que funciona. 00:10:54
¿Sí? 00:10:56
Y ahora ya la última propiedad. 00:10:57
Que es que el logaritmo en base a dx elevado a y es igual a y por logaritmo en base a dx. 00:11:01
Pues venga, vamos a ver un ejemplo. 00:11:17
Vamos a coger el mismo para ver que funciona. 00:11:20
el logaritmo en base 2 de 16 00:11:22
que es 4 00:11:25
vamos a verlo que es 4 también utilizando esta propiedad 00:11:27
logaritmo en base 2 de 16 es igual a 00:11:30
logaritmo entonces el 16 00:11:35
antes lo había puesto como un producto 00:11:37
aquí 16 lo había puesto como 2 por 8 00:11:39
para aplicar esta propiedad 00:11:42
luego aquí lo había puesto como un cociente 00:11:43
una división para aplicar esta 00:11:45
ahora voy a ponerlo como una potencia 00:11:47
es decir 16 es 2 elevado a 4 00:11:49
Pues según esta propiedad, la propiedad 5, esto aquí es igual, el exponente baja abajo, que es este i, ¿vale? 00:11:52
Pues el exponente baja abajo, entonces esto es igual a 4 por logaritmo en base 2 de 2. 00:12:00
El 4 se queda igual y este logaritmo es 1, porque coinciden, entonces esto es igual a 4 por 1, 4. 00:12:08
Y tenemos nuevamente que funciona, ¿vale? 00:12:17
Pues esta es la teoría básica del logaritmo, su definición y sus cuatro, sus cinco propiedades, ¿vale? 00:12:20
Aquí he puesto ejemplos muy preparados para ver que, para que el cálculo sea fácil del logaritmo, 00:12:29
pero no siempre lo es, no siempre es exacto, como pasa con las raíces y con otro tipo de cálculos, ¿vale? 00:12:34
Entonces luego vamos a ver en otro vídeo o en clase una aplicación de los logaritmos 00:12:42
Y tened en cuenta que esto es inverso a la exponencial, igual que la suma y la resta son operaciones inversas, la multiplicación y la división, pues el logaritmo y la exponencial son operaciones o funciones inversas, inverso a la exponencial. 00:12:47
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Primer Ciclo
        • Primer Curso
        • Segundo Curso
      • Segundo Ciclo
        • Tercer Curso
        • Cuarto Curso
        • Diversificacion Curricular 1
        • Diversificacion Curricular 2
    • Compensatoria
Autor/es:
Laura Sanchez Diaz-Pintado
Subido por:
Laura S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
20
Fecha:
3 de febrero de 2025 - 17:36
Visibilidad:
Clave
Centro:
CP INF-PRI-SEC SUAREZ SOMONTE
Duración:
13′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.65

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid