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Sistemas de ecuaciones con Geogebra - Contenido educativo

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Subido el 5 de noviembre de 2021 por Antonio David A.

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Vídeo en el que muestro cómo resolver sistemas de ecuaciones gráficamente y la clasificación de los mismos usando Geogebra

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Hola, muy buenas. Vamos a estudiar en este punto algo que no vimos en clase. 00:00:25
Vamos a hablar sobre la interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales. 00:00:32
Antes de comenzar, un poquito de repaso. 00:00:38
Teníamos sistemas de ecuaciones lineales, ya lo sabemos. 00:00:42
Hemos estudiado ya qué tipo de sistemas de ecuaciones lineales, la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales que podemos tener. 00:00:47
Podemos hablar de sistemas de ecuaciones lineales compatibles e incompatibles, compatibles determinados, compatibles indeterminados. 00:00:53
Recordad que para eso hablábamos de la matriz de coeficientes y hablábamos de la matriz ampliada. 00:01:02
Y entonces teníamos las siguientes circunstancias. 00:01:08
Cuando los rangos coincidían y eran igual al número de incógnitas, resulta que teníamos un sistema de ecuaciones compatible determinado. 00:01:11
Si los rangos de las matrices de coeficientes ampliadas no coinciden, estamos ante un sistema incompatible. 00:01:20
Que los rangos coinciden pero es inferior al número de incógnitas, estamos ante un sistema compatible indeterminado. 00:01:29
Vamos a ver todos esos casos geométricamente cómo se interpretan. 00:01:38
Visto esto, vamos a apoyarnos en un programa de software libre que se llama GeoGebra. Se puede instalar en cualquier plataforma, pero además tiene otra gran ventaja y es que se puede manejar directamente en la web. 00:01:42
Puede trabajar online. Entonces introducimos en nuestro navegador la URL geogebra.org, nos lleva a la página de GeoGebra y allí podemos manejar directamente GeoGebra en tres dimensiones. 00:01:59
Este es el aspecto que presenta GeoGebra cuando estamos trabajando en tres dimensiones. 00:02:12
GeoGebra puede trabajar en dos dimensiones. 00:02:22
Todas las posibilidades que tiene las tenemos aquí. 00:02:26
Vamos a ver en vista. 00:02:31
Puede trabajar, bueno, tiene su vista algebraica, que es esta parte de aquí de la izquierda, 00:02:33
en donde vamos a ir metiendo nuestras ecuaciones 00:02:39
tiene para trabajar con cálculos simbólicos, tiene una vista gráfica 00:02:42
dos vistas gráficas de dos dimensiones, por ejemplo 00:02:46
bueno, si necesitamos la de tres dimensiones 00:02:49
vamos a tridimensional, tenemos esta en donde podremos 00:02:54
directamente dibujar funciones en dos dimensiones, rectas o lo que sea 00:02:58
necesario, si volvemos a nuestras gráficas en tres dimensiones 00:03:02
Bueno, lo primero, vamos a comprobar que efectivamente una ecuación lineal en tres dimensiones nos da un plano. 00:03:06
Vamos a meter, por ejemplo, 2x menos y más 3z igual a menos 1. 00:03:19
Bueno, acabamos de ver este plano, no lo acabo de dibujar 00:03:29
Este plano en gris que está aquí es simplemente el plano XY 00:03:37
X es el eje rojo y es el eje verde 00:03:42
Cuidadín porque está puesto un poco al revés, ¿vale? 00:03:46
Aquí está en la parte delantera están los números negativos 00:03:49
En la parte de atrás, digamos, los positivos 00:03:51
Entonces tenemos eje X, eje Y, eje Z 00:03:54
Y entonces tenemos aquí nuestro plano de ecuación 2x menos y más 3z igual a 1. 00:03:57
Cualquier cosa que hagamos que sea lineal, si es en dos dimensiones va a ser una recta, si es en tres dimensiones va a ser un plano. 00:04:05
Si es en más dimensiones ya no se puede interpretar geométricamente dibujándolo, lo llamarían hiperplanos, estamos hablando de otro tipo de superficies. 00:04:14
Voy a borrarla, eliminamos esta superficie porque no la vamos a utilizar 00:04:21
Vuelvo un momentito al libro 00:04:34
Ya que hemos visto que la ecuación lineal nos da un plano 00:04:37
Bueno, pues vamos a estudiar cuáles son las distintas posibilidades y lo vamos a tener que observar 00:04:43
Tenemos que los rangos de las matrices de coeficientes y de las matrices ampliadas sean iguales y sean a 3 00:04:49
Es decir, quiere decir que las tres ecuaciones son linealmente independientes, por lo tanto tendremos tres planos linealmente independientes entre sí. 00:04:56
Por lo tanto, como indica aquí este pequeño graficito, son tres planos que se van a cortar en un punto. 00:05:09
Este punto va a ser la única solución que tiene el sistema. 00:05:14
El sistema compatible determinado, un punto, una solución. 00:05:19
Si los rangos son 2 y 3, lo que me está diciendo es, bien, aquí tengo rango 2, es decir, tengo una ecuación cuyos coeficientes son linealmente dependientes de los anteriores, 00:05:23
pero en el momento en el que le meto el término independiente ya no 00:05:41
es decir, no cumple la misma regla, digamos, de dependencia 00:05:45
el término independiente con los coeficientes 00:05:50
porque tanto el sistema no puede ser compatible bajo ningún concepto 00:05:54
puesto que para que fuera compatible tendría que tener los cuatro elementos la misma regla 00:05:58
entonces nos podemos encontrar con esta situación 00:06:02
¿qué vamos a tener? 00:06:05
Bueno, pues dependiendo del caso, dependiendo de la combinación lineal, podemos tener dos planos paralelos y uno que se corta, ambos, o podemos tener tres planos que están formando como una especie de triángulo en el espacio. 00:06:07
Si os fijáis, las intersecciones son o bien dos rectas paralelas o bien tres rectas paralelas. 00:06:21
Como esas rectas son paralelas entre sí, no se van a cortar nunca, el sistema no va a tener nunca una solución. 00:06:29
Nos podemos encontrar con un sistema de ecuaciones compatible pero indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones definidas por un parámetro. 00:06:37
Nuevamente dos situaciones, los planos, los tres planos se cortan en un mismo eje o hay dos planos que coinciden y un tercero que corta en un mismo eje. 00:06:49
Siempre la solución va a ser ese eje de corte, que son los puntos que tienen en común los tres planos. 00:07:07
Luego podemos encontrarnos con que el rango de la matriz de coeficiente sea 1 y el rango de la matriz ampliada sea 2. 00:07:14
Estamos en una situación parecida a la anterior. 00:07:20
De aquí tenemos dos ecuaciones linealmente dependientes de una tercera, pero que difieren en el término independiente. 00:07:24
Luego necesariamente lo que vamos a tener van a ser como mínimo dos planos paralelos. 00:07:35
El tercero puede ser paralelo al anterior o coincidente. 00:07:40
En cualquier caso son planos que no se van a cruzar nunca, luego no van a tener ningún punto de corte. 00:07:44
Y si las tres ecuaciones son en realidad las mismas, son proporcionales, es decir, el rango de la decoficiente y el rango de la ampliada es igual a 1, 00:07:50
estamos en esta situación, en realidad los tres planos que me van a definir son los mismos. 00:07:58
Es decir, la solución depende aquí de dos parámetros, puesto que es una superficie. 00:08:02
Bueno, vamos a ver en GeoGebra, vamos a resolver este ejemplo. 00:08:09
Nos dice el ejercicio, estudia la existencia de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiendo del parámetro m. 00:08:13
Pues vamos a introducir en GeoGebra las tres ecuaciones anteriores. 00:08:20
En GeoGebra tenemos una herramienta muy útil 00:08:32
Pero necesito verla en dos dimensiones 00:08:36
Aunque luego la utilizaremos en tres 00:08:38
Que es lo que se llama un deslizador 00:08:40
Es un parámetro 00:08:42
Lo que en clase hemos llamado un parámetro 00:08:43
Entonces vamos a colocar un deslizador 00:08:45
Que le voy a llamar M 00:08:47
Le voy a fijar en 0 00:08:50
Aunque lo vamos a ir a poder variar 00:08:52
Desde menos 5 hasta 5 00:08:54
Con eso sería suficiente 00:08:55
Podríamos modificarlo 00:08:56
Y una vez que ya lo tenemos, vamos a introducir nuestras ecuaciones dependiendo del parámetro. 00:08:58
X más Y más MZ igual a 1, ya nos ha dibujado el primer plano, X más Y más Z igual a M, nos ha dibujado el segundo plano, lo que sale si nos fijamos es una línea, ahora déjame que termine de meter la ecuación y os cuento lo que ha pasado, porque sale en realidad una línea, es una casualidad. 00:09:12
luego la tercera ecuación y menos mz igual a 2m vale ya tenemos el tercer plano voy a cambiarles 00:09:45
de color para que se puedan ver un poquitín mejor entonces aquí podemos en configuración 00:09:54
vamos a cambiar el color vamos a poner un color vistoso rojo nos ha cambiado el color de esta 00:10:00
línea y vamos a este plano vamos a ponerle un color listo si yo 00:10:14
un morado 00:10:24
tenemos la herramienta rota gráfica y lo que pasa lo tenemos aquí o punto en realidad era 00:10:29
un plano lo ocurre que lo teníamos justo de perfil a ver si vuelvo a conseguir nada 00:10:38
Bueno, casi casi, pero se ve que es un plano. 00:10:45
Se observa que los tres planos con el parámetro en cero, en igual a cero, lo tenemos que se cortan en un punto. 00:10:49
Vamos a dibujar las intersecciones de los planos. 00:10:58
Para eso vamos a utilizar el comando interseca. 00:11:02
Vamos a decir el plano P y el plano Q. 00:11:08
que nos dibuja precisamente la recta de intersección 00:11:09
aquí se ve, del plano P y del plano Q 00:11:18
y ahora vamos a dibujar la recta de intersección 00:11:23
por ejemplo, del plano Q y del plano R 00:11:26
interseca Q y F 00:11:33
y aquí tenemos esta recta de intersección que se ve muy claramente 00:11:36
y además se cortan en un punto 00:11:42
si ponemos interseca y ahora F y G 00:11:43
nos sale el punto A aquí 00:11:49
que es justo la solución que tendría el sistema de coordenadas 00:11:54
para el parámetro M igual a 0 00:11:58
vamos a modificar un poquito en la vista 00:11:59
se sigue viendo bien aquí donde está el punto 00:12:03
a ver si puedo quitar el plano 00:12:07
gris, un momentito 00:12:09
a ver si 00:12:11
sale 00:12:12
donde era 00:12:13
aquí, vale, si dejamos 00:12:18
solo los ejes 00:12:23
vale, aquí tengo 00:12:24
mis tres planos 00:12:26
los tres ejes, bueno la verdad que casi que se ven 00:12:32
mejor con el 00:12:34
plano, voy a ver 00:12:36
si lo vuelvo a dejar 00:12:37
vale, que nos sirve 00:12:39
de referencia un poco 00:12:42
vamos a variar el parámetro a ver que es lo que va pasando 00:12:43
si vamos variando el parámetro 00:12:48
los planos van girando, van cambiando los planos 00:12:52
porque en realidad las ecuaciones van cambiando 00:12:55
si dejo el parámetro m igual a menos uno 00:12:58
los planos han cambiado 00:13:02
sigue habiendo una única solución 00:13:05
sigue siendo sistema compatible determinado 00:13:07
vamos hacia el otro lado 00:13:11
A ver qué pasa. Si nos vamos acercando, fijaos cómo hay dos planos que se van a ir acercando. 00:13:14
El rojo y el azul se están aproximando entre sí. Están girando uno sobre el otro. 07, 08, 09, 1. 00:13:25
Y en 1, justo en 1, en realidad los dos planos son el mismo. 00:13:35
Ha desaparecido un plano y solo tengo una recta de intersección entre los tres planos. 00:13:40
A ver si quito ahora el plano gris. 00:13:46
Y aquí se ve la recta de intersección. 00:13:52
Es decir, tengo infinitas soluciones porque los dos planos, el plano P y Q, coinciden. 00:13:55
Y el plano R interseca con ellos. 00:14:04
Y entonces la solución que tienes es esta solución infinita, que es precisamente esta recta. 00:14:08
si seguimos modificando el parámetro 00:14:15
vuelven a estar 00:14:21
separados los planos 00:14:23
a ser diferentes y nos vuelve a aparecer 00:14:25
el punto único 00:14:27
de solución 00:14:28
vamos otra vez al parámetro 00:14:30
m igual a 1 00:14:35
bueno, colocarlo a ver si es cierto 00:14:36
vale, estupendo 00:14:39
y voy a hacer una pequeña modificación 00:14:40
de una de las ecuaciones 00:14:43
si yo no toco 00:14:45
la parte de coeficientes 00:14:48
pero si toco la parte de término independiente 00:14:49
en realidad lo que estoy haciendo ahí es que el rango de la matriz de coeficientes 00:14:54
no cambie, sigue haciendo 2, pero el rango de la matriz ampliada 00:14:59
sí cambie 00:15:02
¿Qué es lo que tenemos? Al modificar el término independiente 00:15:03
lo que conseguimos son planos paralelos 00:15:21
entonces voy a dibujar aquí abajo 00:15:25
la recta de intersección entre el plano morado 00:15:29
que es R 00:15:32
y el plano azul que es T 00:15:33
y fijaos como nos salen 00:15:35
dos rectas paralelas 00:15:45
estas dos rectas no se van a cortar jamás 00:15:46
una baleja 00:15:48
el sistema no tiene solución 00:15:50
es un sistema incompatible 00:15:52
bueno 00:15:54
jugar con el programa GeoGebra 00:15:56
jugar primero online 00:15:58
si le coges el tranquillo 00:16:01
pues os lo instaláis si queréis 00:16:02
las funcionalidades son exactamente las mismas 00:16:03
¿vale? 00:16:06
y ya veis que es muy visual 00:16:08
cuesta un poquito ver 00:16:10
las tres dimensiones porque 00:16:12
la pantalla, igual que la pizarra 00:16:14
sigue siendo una superficie en dos dimensiones 00:16:16
y es muy complicado 00:16:19
dibujar nada en tres dimensiones 00:16:20
pero bueno, con un poquito 00:16:22
de maña 00:16:24
girando 00:16:26
viendo bajo qué ángulo se ven un poquito mejor 00:16:27
los planos, ya veis que estos dos planos son 00:16:30
perfectamente paralelos, se ven las 00:16:32
intersecciones, bueno 00:16:34
se puede jugar con todo ello 00:16:36
y hacer cosas 00:16:38
muy chulas, vale 00:16:40
bueno, espero que os haya sido de utilidad 00:16:42
para vuestra tranquilidad 00:16:44
este punto no va a entrar ni en 00:16:46
en evau 00:16:48
vamos, no he visto todavía ningún ejercicio 00:16:49
en evau de los últimos años que tenga 00:16:52
que ver con esto, ni yo lo voy a preguntar 00:16:54
en un examen de 00:16:56
del curso, de acuerdo 00:16:57
bueno, nos vemos en clase, hasta luego 00:17:00
Autor/es:
Antonio David Aragón Rubio
Subido por:
Antonio David A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
146
Fecha:
5 de noviembre de 2021 - 19:35
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CELESTINO MUTIS
Duración:
17′ 08″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
639.87 MBytes

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