Sesión 16 - Funciones. Imagen de una función y Propiedades de las funciones - 18 de feb

Buenas tardes a todos, vamos a continuar con álgebra, vamos a seguir viendo la parte en la que estábamos de funciones 00:00:02

y vamos a ver qué es la imagen de un punto. 00:00:09

Nos dice aquí, supongamos una función que a cada x le hace corresponder su cuadrado. 00:00:15

Esto lo representaríamos con la función f de x igual a x elevado a 2. 00:00:19

¿De acuerdo? Vamos a ver qué significa esto de las imágenes. Vamos a abrir una tabla para poder explicar esto. Tenemos nuestra función f de x igual a x al cuadrado. 00:00:26

¿De acuerdo? El ejercicio nos dice, aquí lo vemos, que 4 es la imagen de 2. ¿Qué quiere decir esto? Que si nosotros sustituyésemos en nuestra función la x por un 2, sería lo mismo que poner 2 elevado a 2. 00:00:48

es decir, donde tengamos una x, sustituimos por el valor que hemos dado. 00:01:10

Por lo tanto, 2 elevado a 2 es 4. 00:01:13

Por lo tanto, podemos decir que 4 es la imagen de 2. 00:01:15

Si nosotros aleatoriamente cogemos un 3 y lo sustituimos en nuestra x, en nuestra función, 00:01:19

si sustituimos ese 3 donde veamos una x, es decir, 3, el valor de la x elevado a 2, 00:01:28

esto nos va a dar 9. 00:01:33

Por lo tanto, 9 va a ser la imagen de 3. 00:01:34

Y así sucesivamente, cualquier número que sustituyamos donde la x, por ejemplo 5, si lo sustituimos en nuestra función, 5 elevado a 2 nos va a dar 25, por lo tanto estos valores van a ser las imágenes del valor que hemos cogido de la x. 00:01:37

Es decir, 25 es la imagen de 5, 4 es la imagen de 2 y 9 es la imagen de 3. Y puede haber infinitas soluciones según vayamos cogiendo un número u otro. ¿De acuerdo? 00:01:55

que es lo que tenemos aquí, nos dice en el ejemplo 00:02:07

vamos a ver estos ejemplos, nos dice el ejemplo 00:02:12

calcular la imagen para x igual a 1 00:02:27

y x igual a 3 00:02:32

lo que tendríamos que hacer es, ¿cuál es nuestra función? 00:02:36

nuestra función, que se describe así, en función de x 00:02:39

es 2x partido de x 00:02:43

más 1. Vamos a calcular primero la imagen de x igual a 1, ¿vale? ¿Qué es lo que haremos? 00:02:47

Pues donde veamos una x sustituir por ese 1, es decir, la función cuando x vale 1 es 00:03:01

igual a 2 por 1, por 1 porque x vale 1, partido, esto es un por, partido de 1 más 1, es decir, 00:03:08

2 por 1, 2, 1 más 1, 2 y 2 entre 2, 1. Por lo tanto, 1 es la imagen de x igual a 1. Vamos 00:03:22

a ver cuál es la imagen, el otro valor que nos dan. Imagen de x igual a 3. Pues nos iremos 00:03:33

a nuestra función cuando la x vale 3. 2 por 3, ¿veis? He puesto el 3 donde tengo la x. 00:03:40

Y ahora 3 más 1, otra vez sustituyo donde la x por el valor que me dicen. 2 por 3 son 00:03:47

6 y 3 más 1, 4. Esta sería la imagen que se puede reducir, nos daría 3 medios. 3 medios 00:03:56

es la imagen de 3, ¿de acuerdo? Que más o menos es 1,5. 00:04:02

Vale, vamos a seguir y vamos a ver las propiedades de las funciones. 00:04:11

Vamos a verlo de forma visual, porque se entiende muy bien cuando lo vemos de forma visual. 00:04:15

Podemos tener que una función es creciente o decreciente. 00:04:21

Siempre leemos las funciones como leemos un libro, es decir, de izquierda a derecha. 00:04:25

Si nosotros vemos que el dibujito de nuestra función, según avanzamos hacia la derecha, empieza a aumentar hacia arriba, es decir, toma valores cada vez más altos de las y en función de irnos moviendo hacia la derecha, es decir, a medida que avanza la x, que los valores de x son más grandes, también vamos a ver que los valores de y son más grandes. 00:04:30

Por lo tanto, esta función sería creciente. ¿Cómo sería una función decreciente? Lo contrario, es decir, a medida que aumentan los valores de x, como vemos aquí, ¿verdad? Cada vez tenemos valores mayores de x, es decir, nos movemos hacia la derecha, pero en cambio, según nos movemos hacia la derecha, vemos que los valores de y van disminuyendo. 00:04:53

Por lo tanto, lo que tenemos es una función decreciente. 00:05:14

Otra de las propiedades sería el mínimo o máximo. 00:05:22

¿Qué será un mínimo relativo? 00:05:26

Pues un mínimo relativo es cuando cambia la función, es decir, cuando una función decreciente, ¿veis? 00:05:28

A medida que nos movemos hacia la derecha, la función va yendo hacia abajo. 00:05:37

Cuando una función decreciente empieza a ser creciente, según nos vamos a hacer la derecha, como leemos un libro, la función empieza a decrecer y llega un momento que si seguimos a hacer la derecha empieza a crecer, pues el punto donde cambia esa tendencia correspondería a un mínimo relativo, sería una especie de V, sería como un valle. 00:05:41

Pues el punto más bajo de ese valle tendríamos un mínimo relativo. ¿Qué sería un máximo relativo? Pues lo contrario, una función, según nos desplazamos hacia la derecha, vemos que esta función va creciendo, creciendo, creciendo, hasta que llega un punto en el que cambia esa tendencia y empieza a decrecer. 00:06:05

Pues ese punto, es decir, el punto donde tendríamos un pico, una cresta, sería un máximo relativo. 00:06:24

¿De acuerdo? 00:06:33

Otra de las propiedades es la continuidad. 00:06:35

Una función, vamos a ver, que puede ser continua o discontinua. 00:06:38

¿Cuándo va a ser continua? 00:06:43

Para que lo entendamos, una función va a ser continua si yo apoyo el lápiz en la función 00:06:45

y puedo representarla toda sin levantar el lápiz del papel. 00:06:51

¿Cómo va a ser una función discontinua? Pues la que tenemos aquí, es decir, para que yo pueda pintar esta función, 00:06:58

al llegar a este punto tengo que levantar mi lápiz del papel y volver a apoyarlo. 00:07:03

Entonces, en este caso va a ser discontinua. Aquí vamos a tener una función continua. 00:07:09

Es decir, continua cuando podamos representarla sin levantar el lápiz del papel 00:07:15

y discontinua cuando tengamos que levantar ese lápiz del papel. 00:07:20

Otra propiedad es el corte con los ejes, es decir, nosotros tenemos nuestro eje de coordenadas 00:07:27

y nuestra función es lo que vemos en rojo. 00:07:32

Vamos a ver que en determinados puntos la función corta con los ejes, 00:07:35

es decir, hay infinitos puntos en esta función, pero aquí corta con el eje X, 00:07:41

Aquí corta con el eje Y y aquí corta con el eje X otra vez, ¿de acuerdo? 00:07:47

Tendremos que indicar esos puntos. Vamos a verlo esto en detalle. 00:07:57

Vale, tenemos nuestra función y vamos a ver esos cortes con los ejes. 00:08:10

Lo primero que tendríamos que indicar es cuáles son los cortes con cada eje. 00:08:20

Vamos a empezar por el eje X. ¿De acuerdo? ¿Cuál es el eje X? Este de aquí, el horizontal. 00:08:26

Lo que vamos a marcar son los puntos donde corta con ese eje. 00:08:35

Y un punto, siempre hemos dicho que venía determinado por dos coordenadas, la X y la Y. 00:08:40

Por lo tanto, el punto donde este punto, vamos a pintarlo en otro color, 00:08:49

Este punto y este punto habrá que dar sus coordenadas, los que cortan en el eje X. 00:08:52

Por lo tanto, vamos a llamar a este punto 1 y a este punto 2. 00:08:59

El punto 1 va a cortar aquí y el punto 2 va a cortar aquí. 00:09:03

Tendremos que marcar las dos coordenadas, la de la X y la de la Y. 00:09:10

Fijaos, la X vale menos 1. Tengo que moverme hacia acá. 00:09:14

menos 1. ¿Cuánto vale la Y? Pues la Y 00:09:18

ni está aquí arriba ni está aquí abajo, está justo en el punto 0, por lo tanto 00:09:22

menos 1, 0. Eso sería el punto 1. 00:09:26

¿Cuál va a ser la coordenada del punto 2? 00:09:31

1, 2, perdón, 1, 2, 3 de las X 00:09:34

y ni sube ni baja, también estamos en el punto 0. 00:09:38

Es decir, estos dos puntos serían los puntos en los que cortan el eje X. 00:09:42

Y en el eje Y donde cortan, vamos a verlos, sería el punto 3. El punto 3, como vemos, también va a estar marcado por las dos coordenadas X e Y. La coordenada X, en este caso, es 0 porque ni está en este lado ni está en este lado, está justo aquí. 00:09:47

por lo tanto es 0 y el punto Y vale 1, 2 y 3 00:10:06

por lo tanto ya podemos decir que cuando corta al eje X 00:10:11

la coordenada Y siempre va a valer 0 00:10:16

lo podemos poner así y va a ser 0 00:10:19

y cuando corta al eje Y la coordenada X va a ser 0 00:10:23

¿de acuerdo? bien 00:10:27

vamos a dejarlo aquí y el próximo día vamos a ver lo que es una función 00:10:29

lineal y veremos algunos ejercicios de todo esto que hemos visto. Repasad, intentad hacer 00:10:41

los ejercicios y el próximo día resolvemos dudas. ¿De acuerdo? Bueno, que vaya todo 00:10:49

bien. Si tenemos alguna cuestión, me escribís y si no, nos vemos el próximo martes. Chao, chao. 00:10:56

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