Intervalos | Mediateca de EducaMadrid

Vamos a estudiar intervalos. Igualmente es algo que ya se vio el año pasado, con lo cual vamos a ir observando el libro, he cogido los apuntes directamente, para ver cómo definíamos el intervalo. 00:00:01

A ver, un intervalo lo que hacíamos era, tenía dos extremos a y b y es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre a y b, siendo a más pequeñito que b. 00:00:20

Y teníamos, si recordáis, varios tipos. El abierto se ponía con un paréntesis y en el dibujo que poníamos sobre la recta real aparecía un agujero. 00:00:35

En este caso sería todos los X que pertenecen a R, de todos los números reales, tal que el conjunto real es tal que X está comprendido entre A y B. 00:00:46

Así lo poníamos también el año pasado. 00:00:56

Cuando es cerrado, entran en este caso las desigualdades, se conviertan en menor o igual. 00:00:59

Esta sería también menor o igual, es decir, son todos los X que pertenecen a R, tal que X está comprendido entre A y B, 00:01:07

pudiéndose alcanzar tanto A como B y aquí en este caso aparece el intervalo, el punto, ¿verdad? 00:01:15

Está cerrado. Luego estaba semiabierto, por la izquierda abierto y por la derecha cerrado. 00:01:24

En el A hay un agujero y en el B no lo hay. Y el semiabierto al revés, en este caso cerrado por la izquierda 00:01:33

y abierto por la derecha. Y lo único que hacemos es que cuando es abierto no está incluido. 00:01:39

Digamos el extremo, entonces aquí sería menor estricto y aquí sería menor o igual. 00:01:45

Cuando es al revés, aquí está incluido, sería el menor o igual y aquí iría el estricto. 00:01:50

Bueno, abierto el extremo no pertenece al intervalo y cerrado sí pertenece. 00:01:58

¿Qué pasa cuando tengo semirrectas? 00:02:04

Semirrectas es un extremo, el extremo no está abierto, ¿vale? 00:02:08

Entonces, como no está abierto, lo que vamos a tener va a ser, puede estar abierto por la derecha y, perdón, abierto por la derecha y por el otro lado sería infinito. 00:02:13

En este caso sería de este estilo. 00:02:25

Esto es una semirrecta donde no está incluido el a. 00:02:27

Y sería todos los x pertenecientes a r tal que, o bien, a, cualquier punto, es mayor que x. 00:02:30

Bueno, al revés, esto no está bien escrito 00:02:40

Yo creo que lo dijimos el año pasado igualmente 00:02:45

O este año al comentarlo 00:02:49

Aquí son todos los X pertenecientes a R 00:02:52

Tal que los X están por aquí 00:02:55

Estos X de aquí 00:02:58

Lo borro aquí porque no daría lugar 00:03:01

Estos X de aquí, ¿qué pasa? 00:03:05

Pues que son mayores que a, solo que lo mismo, a es más pequeñito que los x. 00:03:07

Aquí ocurre lo mismo, los x, ¿qué pasaría? Los x están por aquí, pues en este caso pondríamos que x es mayor o igual que a. 00:03:14

Y aquí ocurre lo siguiente, esto está bien, los x son más pequeñitos que b y aquí los x están por aquí, son menores o en el posible extremo pues alcanzan el valor de b. 00:03:25

Entonces esto sería, se escribe desde menos infinito hasta b, digamos esta representación, aquí el b iría en forma de corchete, aquí el b iría abierto porque no está incluido 00:03:38

y desde menos infinito, hemos dicho, hasta b, b abierto. 00:03:51

Y aquí desde menos infinito hasta b, b cerrado. 00:03:56

Y aquí ¿desde dónde? Pues empezaría en a abierto hasta más infinito 00:04:00

y aquí en a cerrado hasta más infinito. 00:04:04

Es notación. 00:04:07

Y claro, aquí te dice que bueno, que escribes todos los x que están comprendidos 00:04:09

entre menos 3 y 2. 00:04:13

Pues bueno, es esto. 00:04:15

Aquí está el menos 3, va incluido. 00:04:17

el 2 no va incluido, hacemos un agujero, pues serían todos estos 00:04:19

y así se pintarían como una especie de segmentos 00:04:23

ahora vamos a ver cómo se calcula tanto la unión de intervalos 00:04:26

es decir, la suma, la unión se escribe en la forma intermedia 00:04:32

sería u de unión, cuando tengo dos intervalos 00:04:37

dice por ejemplo, haya la unión de estos dos intervalos 00:04:41

el intervalo cerrado, menos 4, perdón, menos 4, 2 00:04:44

que iría desde aquí hasta el 2, que va de todo este tramo aquí hasta el 2, ambos son cerrados, están incluidos. 00:04:48

Y luego cogería el otro intervalo que va desde el menos 2, que es abierto, este no está incluido, hasta el 4 de aquí, que es cerrado. 00:04:57

Entonces, ¿la unión cuál va a ser? Pues la unión sería, lo señalo aquí, sería todo este tramo, sería este tramo, ¿verdad? 00:05:07

en este todo se solapa más este tramo, entonces sería desde menos 4 incluido hasta 4, esta sería la unión, ¿vale? 00:05:16

A unión B sería justo este tramo desde menos 4 hasta 4, que es donde hay valores tanto de uno como de otro. 00:05:27

Ahora, ¿qué pasaría con la intersección? Pues la intersección solamente está en estos valores donde se unen 00:05:36

Y justo, si os dais cuenta, aquí, aunque aquí está vacío, aquí ¿qué pasa? Que aquí estaría lleno. 00:05:43

¿Tienen en común el menos 2? No, el menos 2 no es tan común. 00:05:49

Entonces la intersección, si os dais cuenta, el menos 2 está abierto. 00:05:52

¿Y el 2 qué pasa? El 2 está cerrado, puesto que en la intersección el 2 en ambos está a la vez ese valor presente. 00:05:57

De modo que la intersección sería este trozo y la unión sería todo este trozo. 00:06:07

Y así lo vamos comprobando con el resto. No tiene más dificultad que ir haciendo los intervalos que nos van dando los números, marcándolos y viendo dónde se solapan o dónde estarían todos los valores de ambos intervalos. 00:06:13

Cuando no hay nada en común, cuando la intersección no hay nada en común, se dice que es el conjunto vacío, ¿vale? Imaginaos que os dan de intervalos de intersección, yo que sé, el 1,2, ¿vale? Intersección con el, por ejemplo, 5,6. ¿Qué tienen en común estos? Nada. 00:06:36

la unión, o sea la intersección, sería el conjunto vacío 00:06:57

y la unión va a ser ambos intermalos a la vez, es decir, no van a estar pegados 00:07:02

sino vamos a tener desde el 1 hasta el 2 por aquí, estoy haciendo todos así 00:07:09

y luego desde el 5 aquí iría hasta el 6, la unión sería tal cual dibujado esto 00:07:14

Voy ahora a resolver el ejercicio 23, vamos a calcular la unión y la intersección de estos intervalos, entonces el a que sería el intervalo menos 5,1 cerrado por la derecha, vamos a hacer la unión, ¿la unión con quién? Con estos que he cerrado 0,2. 00:07:21

Bueno, en primer lugar lo que vamos a hacer es gráficamente 00:07:47

Gráficamente lo que hacemos es dibujarnos una recta 00:07:50

En este caso vamos a tomarnos esta recta tal que así 00:07:54

Sería la recta real 00:07:58

Y sería desde, bueno, la graduamos 00:08:00

El 0, 1, 2, 3, 4, etc. 00:08:04

Aquí para este lado, menos 1, menos 2, menos 3, menos 4, menos 5 00:08:09

Bueno, de esta manera. Y sobre ella vamos a pintar en color rojo este intervalo que sería el menos 5 menos 1. 00:08:16

Menos 5 menos 1 que va a ser el menos 5, es decir, desde aquí abierto hasta el menos 1. 00:08:25

El menos 1 iría cerrado. Aquí lo situaría. 00:08:32

Y luego vamos a pintar en verde desde el 0, el 0 cerrado, hasta el 2. 00:08:36

El 2 también cerrado. Bueno, la unión de estos dos, pues obviamente de manera gráfica sería la imagen de roja, el de color rojo, más el intervalo verde. 00:08:44

Y la unión de esta manera, digamos, descrita, me quedaría, no me queda de otra que escribirla tal que así, porque es la suma de estos dos intervalos. 00:09:00

Y para expresar la intersección de los dos intervalos, menos 5, menos 1, intersección 0, 2, en este caso, ¿qué tienen en común los dos intervalos? 00:09:12

Como vemos, no se solapan, entonces en este caso sería el conjunto vacío. 00:09:28

Vamos a ver ahora la intersección, perdón, la unión de estos dos 00:09:34

Dibujo mi recta real 00:09:41

La graduo, pues bueno, empiezo con el 0, el menos 1, menos 2, etc. 00:09:44

Para aquí el 1, 2, 3, 4, 5 00:09:50

Porque veo que va a llegar hasta el 5 00:09:54

Y empiezo 00:09:57

En color rojo voy a pintar este, que es un intervalo abierto 00:09:58

¿Entre quién? Entre el menos 1 y el 5 00:10:03

Abierto por los dos lados 00:10:08

Y el verde con este de aquí 00:10:10

Que sería entre el 1, que el 1 sería cerrado 00:10:12

Y el 2 00:10:15

De manera que aquí, ¿cuál va a ser la unión de estos dos? 00:10:17

Pues la unión de estos dos intervalos sería justo 00:10:21

Voy a escribirlo aquí, sería este tramo 00:10:27

aquí se solapan pero bueno sería este tramo 00:10:31

con lo cual tendría que la unión sería justo abierto aquí 00:10:34

desde menos 1 hasta 5 00:10:41

esta es la unión 00:10:44

y lo puedo también escribir como todos los x que pertenecen a R 00:10:45

tal que x está entre menos 1 y 5 00:10:51

Esa sería la otra manera de escribirlo algebraicamente 00:10:57

¿Y cómo va a ser la intersección? 00:11:02

Pues la intersección es justo donde se solapan 00:11:04

Menos 1,5, intersección con 1,2 00:11:06

En este caso sería donde se solapan 00:11:11

Que es en este trocito que tenemos aquí en conjunto 00:11:17

Entonces aquí escribiré que sería justo el intervalo 1,2 00:11:20

o escrito en forma algebraica serían todos los X pertenecientes a R 00:11:26

tal que la X está entre ¿quién? 00:11:31

entre incluidos, ¿vale? 00:11:34

el 1 y el 2 00:11:37

y ahí estaría 00:11:40

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