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Integrales racionales - Contenido educativo

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Subido el 17 de marzo de 2026 por Roberto A.

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San Patricio, tened cuidadito, te vas a beber toda la ma, uno de... 00:00:00
Venga, no bebáis, venga, había dos pases, ¿no? 00:00:12
Díganmela por fin. 00:00:19
X cuadrado más uno, partido de X cuadrado más X, X cuadrado más X, diferencial de X, ¿no? 00:00:21
Venga, chavales, ¿aquí qué ocurre? 00:00:30
¿Tienen el mismo grado o es superior el de este? 00:00:32
Sí, ¿no? Es mayor o igual. 00:00:35
Por lo tanto, tenemos que hacer la división euclídea de los polinomios, ¿vale? 00:00:36
Chavales, no sé si os han dicho alguna vez, pero los polinomios no es cuerpo, 00:00:42
pero tiene las mismas propiedades que los números enteros. 00:00:49
Por lo tanto, hay mínimo común múltiplo, hay máximo común divisor, 00:00:52
y hay también división euclídea. 00:00:55
Entonces, x cuadrado entre x cuadrado, ¿cuánto sería? Un 1, ¿verdad? 00:00:57
Entonces, 1 por x, que es menos x, y 1 por x al cuadrado sería menos x al cuadrado. 00:01:01
Que si yo todo esto lo sumo, me queda menos x más 1. 00:01:07
Si os fijáis, ya el cociente, el resto, perdona, tiene grado más pequeño que nuestro, lo diré, que nuestro dividendo. 00:01:10
Por lo tanto, yo puedo decir que x cuadrado más 1 partido x cuadrado más x es igual al cociente, que es un 1, más la división del resto, lo he copiado bien, ¿verdad? Del resto partido de lo que es el dividendo. ¿Vale, chavales? 00:01:21
Entonces, ¿qué ocurre? Como esto es igual, yo también os invito a que probéis que efectivamente es lo mismo, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Que ahora mi integral se divide en dos. En una, que es la diferencial de x y otra que es la integral de menos x más 1 partido x cuadrado más x, ¿vale? Diferencial de x. 00:01:41
Esta de aquí es inmediata, esta de hecho es x, ¿verdad? 00:02:05
¿Sí o no? 00:02:09
Pero esta de aquí, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:02:10
Esta de aquí la tenemos que hacer en principio por partes, ¿vale? 00:02:13
Por partes. 00:02:20
Entonces, yo cojo aquí la integral menos x más 1 partido x cuadrado más x, ¿vale? 00:02:21
Y ahora yo factorizo esto de aquí. 00:02:29
¿Cómo factorizo x cuadrado más x? 00:02:32
Pues, saco factor común, ¿verdad? Y tengo esto de aquí. ¿Cuáles son las dos raíces, chavales? 00:02:35
x igual a 0 y x igual a menos 1. Por lo tanto, ¿qué es lo que ocurre? Que yo menos x más 1 partido x cuadrado más x, 00:02:43
que es lo que yo tengo aquí, ¿vale? Como es una raíz simple, veis que tengo dos raíces, el 0 y el menos 1, 00:02:53
pero son simples, ¿vale? Entonces esto es igual a a partido de x más b partido de x más 1, ¿vale? 00:02:59
Vale, es una cosa y ya vamos a hacer luego un ejemplo, ¿vale? Si aquí por lo que fuera el x más 1 00:03:09
fuese doble o triple, ¿vale? Como es de primer grado, yo aquí pondría b partido de x más 1. 00:03:15
Vamos a imaginar que x más 1 fuera el cubo, ¿vale? Yo pondría b partido de x más 1 más b partido 00:03:22
de x más 1 al cuadrado 00:03:28
más de partido de x más 1 00:03:30
al cubo, ¿vale? 00:03:32
Es decir, cuando tengo raíces que son 00:03:34
dobles o triples, tengo que poner 00:03:36
si es de primer grado, tantas letras 00:03:38
como 00:03:40
lo diré, como 00:03:41
grado tenga, ¿vale? 00:03:44
Dime. 00:03:45
Efectivamente. 00:03:49
¿Vale? Ya haremos 00:03:50
un letra. 00:03:51
Entonces, chavales, si 00:03:54
yo todo esto lo multiplico 00:03:55
por x cuadrado más x, ¿vale? 00:03:57
Es decir, yo esto lo multiplico 00:04:00
por x cuadrado más x, 00:04:02
lo que me queda 00:04:04
es menos x más 1, es igual 00:04:05
a a partido 00:04:08
x más 1, ¿verdad? 00:04:09
Más b por x. 00:04:11
¿Lo veis, chavales? ¿Todo el mundo? 00:04:14
¿Sí? Lo voy a poner aquí. 00:04:16
Y yo, pues yo 00:04:21
conozco un chaval que murió esperando que otro copiara. 00:04:22
Menos x más 1, lo voy a poner aquí, a es igual a x más 1 más bx. 00:04:27
Si había un coche de un citrón que era bx. 00:04:35
Venga, chavales, ¿y ahora qué valores? 00:04:37
Le puedo dar a x el valor que yo quiera, pero ¿cuáles son los valores que hay que darle mejor? 00:04:40
Las raíces, ¿vale? 00:04:45
Las raíces que eran x igual a 0, ¿verdad? 00:04:47
Si x es igual a 0, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:04:50
que yo aquí que tengo 1 es igual a, ¿lo veis? Ya tengo mi a. ¿Lo veis? Es sustituir la x por 0. 00:04:53
Menos 0 más 1, 1. 0 más 1 es 1 por a, a. Y 0 por b, 0. ¿Ya no? 00:05:03
Y ahora le voy a dar si x es igual a menos 1. ¿De acuerdo? Si x es igual a menos 1, ¿qué es lo que tengo? 00:05:12
menos menos 1 más 1 es igual a menos 1 más 1 esto vemos que es 0 verdad aquí si queréis venga voy a 00:05:22
poner menos 0 más 1 por 0 más 1 más b por 0 de donde 1 es igual a y aquí sería b por menos 1 00:05:32
Entonces, ¿esto qué es, chavales? 00:05:46
Esto es un 2 y esto es igual a menos b, de donde b es igual a menos 2. 00:05:48
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:05:55
Sí. 00:05:56
Entonces, cuando te sale, ¿tienes una tradición? 00:05:57
Sí. 00:06:00
Es lo que hemos dicho. 00:06:01
Imagínate que fuese x más 1 al cuadrado. 00:06:03
¿No? 00:06:06
¿Te refieres a eso? 00:06:06
Pues ponemos b partido de x más 1 más c partido de x más 1 al cuadrado. 00:06:07
¿Vale? 00:06:13
No. 00:06:14
¿Sí? Y si fuese esto, que vamos a hacer otro ejemplo, si esto fuese una ecuación de segundo grado, 00:06:15
de tal forma que si yo hago la solución en la raíz me sale negativa, 00:06:22
yo aquí en vez de poner una letra tengo que poner un polinomio de primer grado. 00:06:26
Normalmente se utiliza MX más M, ¿vale? Cuando la ecuación es de segundo grado, ¿vale? 00:06:29
Son lo que aparece en la hoja como raíces complejas, ¿vale? 00:06:37
Entonces, chavales, ¿qué es lo que ocurre? 00:06:45
Que yo, esto de aquí 00:06:48
¿Vale? Esto de aquí 00:06:50
¿Cómo lo puedo poner? 00:06:52
Lo puedo poner, la a que vale 1, ¿no? 00:06:53
Pues 1 partido de x 00:06:56
Diferencial de x, ¿vale? 00:06:57
Más, ¿cuánto vale la b? 00:06:59
Menos 2 partido 00:07:01
x más 1 diferencial de x 00:07:03
¿Entendéis lo que he hecho? 00:07:06
¿Sí o no? Es decir, yo 00:07:08
Todo esto de aquí 00:07:09
Todo esto de aquí, al final 00:07:11
Puedo decir que menos x más 1, que se me ha jodido la punta, menos x más 1 partido x cuadrado más x es igual a 1 partido de x más menos 2 partido de x más 1, ¿vale? 00:07:14
De hecho, os invito a que lo comprobéis, ¿vale? Yo os invito a que siempre lo comprobéis por si nos hemos equivocado. 00:07:35
Entonces, esta es inmediata, ¿verdad? 00:07:41
¿Cuánto es la integral de 1 partido de x? 00:07:43
Logaritmo neperiano de x entre valores absolutos, ¿de acuerdo? 00:07:47
Y esto es, ¿cuál es su integral, chavales? 00:07:51
El menos 2 sale fuera. 00:07:54
¿Y esto qué sería? 00:07:57
El logaritmo neperiano de x más 1 más c. 00:07:57
¿Lo veis? 00:08:02
¿Sí o no? 00:08:04
Y esto ya, bonito, bonito, bonito. 00:08:04
Ah, bueno, y todavía no he terminado. 00:08:07
Entonces, chavales, si yo vuelvo aquí al origen, 00:08:09
si yo vuelvo aquí al origen, esto sería 00:08:12
x más logaritmo neperiano de x 00:08:14
menos 2 logaritmo neperiano de x más 1 00:08:20
más la constante c. 00:08:25
Y si ya esto queremos ponerlo en plan payacular, 00:08:27
esto es lo mismo que logaritmo neperiano de 00:08:32
X partido 00:08:35
X más 1 00:08:38
Todo esto al cuadrado 00:08:39
Más C 00:08:42
Y ya, vamos 00:08:44
El de la PAU dice 00:08:45
No voy a seguir corrigiendo, le pongo un 10 00:08:47
¿Eh? Aplicar propiedades de logaritmo 00:08:50
Este menos 2 00:08:54
Este 2 00:08:55
Pasa aquí al cuadrado 00:08:57
¿Vale? Y cuando tengo 00:09:00
Resta de logaritmo, es logaritmo de una división 00:09:01
vale chavales lo veis complicado esto es potente en como un toro 00:09:04
de nuevo yo os invito a que os invito a que hagáis la derivada de todo esto de 00:09:14
aquí vale y la derivada tiene que salir 00:09:20
no venga puedo pasar al siguiente 00:09:30
me voy a otro 00:09:37
me decís el siguiente 00:09:43
lo tienes ahí a mano 00:09:45
ah dime 00:09:46
como perdón 00:09:47
si x es igual a 0 y x es igual a menos 1 00:09:53
que de donde lo sacas 00:09:55
porque si yo he hecho lo igual a 0 00:09:56
tengo yo saco factor común x 00:09:58
x igual a 0 00:10:02
y x más 1 igual a 0 y x menos 1 00:10:03
vale 00:10:06
o sea, vale, yo aquí le puedo dar mis números favoritos 00:10:07
pero es que es mucho más complejo 00:10:10
¿vale? porque si yo le doy las raíces 00:10:12
me estoy eliminando, claro de aquí 00:10:13
me elimino desde el tirón la B y aquí me elimino 00:10:15
la A, ¿de acuerdo? 00:10:18
hay veces que sobre todo cuando son dobles 00:10:19
o triples, pues sí que tengo que darles 00:10:22
otros valores porque no me la puedo eliminar siempre 00:10:24
dime 00:10:26
¿cómo? 00:10:29
sí 00:10:36
hay algunos 00:10:36
que sí, hay algunos que sí 00:10:39
Dime 00:10:41
Diferencial de x 00:10:42
Integral 00:10:48
Integral de diferencial de x 00:10:49
Partido 00:10:51
x cuadrado menos 25 00:10:51
Por x menos 4 00:10:53
x menos 4 00:10:58
¿Vale, chavales? 00:11:00
Esto de aquí 00:11:03
Yo lo que tengo que hacer, chavales 00:11:04
Siempre es igual a cero el denominador 00:11:06
¿Vale? 00:11:09
Entonces, ¿qué ocurre? 00:11:09
Que yo tengo aquí 00:11:10
¿Alguien ve esto qué es lo que es? Una identidad notable. ¿Lo veis todo el mundo que es una identidad notable? 00:11:11
Tengo el x que está elevado al cuadrado y el 25 que es un cuadrado perfecto, como ustedes. 00:11:18
Entonces esto es suma por diferencia. Esto es x menos 5 por x más 5 por x menos 4. 00:11:24
Todo el mundo esto lo ve, ¿no? 00:11:34
si no lo igualamos a 0 00:11:36
fijarse, si yo no caigo 00:11:39
x cuadrado menos 25 igual a 0 00:11:40
x cuadrado es 00:11:42
igual a 25 y chavales, por favor 00:11:45
que parece mentira 00:11:47
tengo que poner aquí el más menos 00:11:48
más menos raíz de 25 00:11:50
¿y cuánto vale la raíz de 25? 00:11:53
5, no vale 00:11:55
menos 5, vale 5 00:11:57
con premio, esto es más menos 00:11:58
5, ¿vale chavales? 00:12:00
¿sí? venga 00:12:03
Pues entonces, estamos otra vez en las mismas. 00:12:05
¿Cuál es el numerador, chavales? 00:12:07
¿Cuál es el numerador? 00:12:09
1, ¿vale? 00:12:11
Que eso también hay gente que se le va la oye, me pone un 0. 00:12:12
¿Vale? 00:12:15
Entonces, ¿qué ocurre? 00:12:15
Que x menos 5 por x más 5 por x menos 4, ¿vale? 00:12:17
Esto aquí es igual. 00:12:23
Son raíces, son tres raíces distintas y son simples. 00:12:25
Son simples, entonces, tan solo voy a poner cada una de ellas una vez. 00:12:29
¿Vale? 00:12:34
Una A, una B 00:12:37
¿Por qué ponemos solamente una letra? 00:12:38
Porque son raíces de primer grado 00:12:40
Es un polinomio de primer grado 00:12:43
¿Vale? 00:12:45
X menos 4 00:12:46
¿Y ahora qué voy a hacer? Voy a multiplicar por cuánto 00:12:47
Dime, hijo 00:12:51
Este tipo de integrales aquí siempre van a tener 00:12:52
Un raíz 00:12:55
Cuando... 00:12:56
A ver 00:12:59
Este tipo de integrales 00:13:00
es por fracciones con funciones racionales, 00:13:02
que no me salió la palabra, 00:13:08
con funciones racionales 00:13:10
y cuando no puedo aplicar ni potencias, 00:13:11
ni logaritmo neperiano, 00:13:14
ni arco tangente. 00:13:19
Entonces tengo que hacer las fracciones simples. 00:13:22
Al multiplicar por esto, 00:13:26
me queda un 1, 00:13:27
que es igual a qué? A por x más 5 por x menos 4, ¿lo veis? Más b, que multiplica a x menos 5 por x menos 4, más c, que me queda x menos 5 por x más 5. 00:13:28
¿Lo veis todo el mundo, no? Al multiplicarlo, daros cuenta que yo aquí pongo los tres. ¿Cuál es el que se me va? El de abajo. 00:13:45
¿Qué me quedan? Los otros dos. 00:13:52
Cuando lo multiplico por el b, lo multiplico los tres. 00:13:54
¿Pero cuál se me va? El x más 5. 00:13:57
Por lo tanto, me quedan los otros dos. 00:14:00
Cuando lo multiplico por la c, ¿qué es lo que me queda? 00:14:02
Tengo aquí los tres, pero el x menos 4 se me va con el x menos 4. 00:14:05
Por lo tanto, me quedan los otros dos. 00:14:08
¿Vale, chavales? 00:14:10
Y ahora, ¿qué valores creéis que le voy a dar a la x? 00:14:11
¿Qué valores creéis que le voy a dar a la x? 00:14:14
5 menos 5 es 4. 00:14:17
¿Vale? 00:14:20
Entonces, si x es igual a menos 5, además fijaros el puntazo, si yo le doy a la x igual a menos 5, la a, la a y la c se me van, ¿sí o no? 00:14:20
¿Sí? Entonces, ¿qué me queda? 00:14:34
Que 1 es igual a b por menos 10 por menos 9, ¿sí o no? 00:14:36
Entonces ve que es 00:14:44
1 partido de 90 00:14:47
Menos 1 partido de 90, tened cuidado 00:14:48
No, más 90 00:14:51
1 partido de 90 00:14:53
¿Lo veis todo el mundo? 00:14:54
¿Veis lo rápido que es? ¿Sí o no? 00:14:57
Chavales 00:15:00
¿Sí o no? 00:15:01
Si la X vale 5, fijarse 00:15:04
¿Cuál se me va ahí? La B se me va 00:15:07
Pero es que la C también 00:15:09
¿Sí o no? 00:15:11
¿Sí o no, chavales? 00:15:12
Y entonces, ¿qué me queda? 1 es igual 00:15:14
a a que multiplica 00:15:16
a 10 por 1 00:15:19
por lo tanto a ¿cuánto vale? 00:15:21
un décimo 00:15:24
¿no? como Alfonso 00:15:25
entonces 00:15:26
si x es 00:15:29
igual a 4 00:15:31
¿vale? fijarse 00:15:32
si es 4 se me va la a 00:15:34
se me va la a 00:15:37
y se me va la b 00:15:39
¿vale? y entonces 00:15:40
¿qué me queda? sé que vale 00:15:43
menos uno 00:15:45
y esto que vale nueve. 00:15:46
Por lo tanto, sé cuánto es 00:15:49
menos un noveno. 00:15:51
No sé si fuiste tú, 00:15:55
Noah o Karol, la que me preguntó 00:15:57
ayer, ¿tienen que salir iguales? 00:15:59
Pues no. ¿Vale? 00:16:01
El otro día es que hicimos un ejercicio que salían los dos. 00:16:02
Fuiste tú, Noah. No tiene por qué salir 00:16:05
iguales y no es lo común. 00:16:07
¿Vale? Lo común es que no salgan iguales. 00:16:09
Entonces, 00:16:12
chavales, fijarse, fijarse 00:16:13
Que rápido todo 00:16:14
¿Por qué? Porque ahora mi integral 00:16:17
Lo voy a hacer aquí debajo, ¿vale? 00:16:19
Salen tres inmediatas del tirón 00:16:21
Salen tres inmediatas del tirón 00:16:22
¿Vale? Voy a poner aquí un igual 00:16:26
Fijarse 00:16:28
Esto aquí es igual, chavales 00:16:30
Esto aquí es igual 00:16:32
A, el a que vale 00:16:34
Un décimo, ¿no? 00:16:36
De lotería 00:16:38
X menos 5 00:16:39
Integral de esto 00:16:42
más la b 00:16:43
¿cuánto vale? 00:16:45
1 partido de 90 00:16:47
partido de x más 5 00:16:48
diferencial de x 00:16:51
más 00:16:53
menos 1 partido de 9 00:16:54
x menos 4 00:16:57
diferencial de x 00:16:59
y todo el mundo ve lo que estoy haciendo 00:17:00
es sustituir 00:17:02
no debería, no me deja 00:17:03
sobre todo tú 00:17:08
Venga, hazte bulla, copetín 00:17:12
Entonces, ¿esto qué es, chavales? 00:17:15
Esto es un décimo, ¿verdad? 00:17:18
Porque por el logaritmo neperiano 00:17:21
De x menos 5 00:17:23
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:17:25
Más 1 partido de 90 00:17:27
Por el logaritmo neperiano 00:17:29
De x menos 4 00:17:31
Esto es menos 00:17:33
x más 5, perdona 00:17:34
De x más 5 00:17:36
Y esto, ¿qué es, chavales? 00:17:38
Menos un noveno 00:17:43
¿verdad? por el logaritmo 00:17:45
neperiano de x menos 4 00:17:46
más c 00:17:49
¿cómo lo veis? 00:17:50
cuando el grado 00:17:59
de lo de arriba 00:18:04
es mayor o igual que el de abajo 00:18:06
¿vale? aquí es grado 0 00:18:08
y aquí es grado 00:18:10
3, entonces no tenemos que dividir 00:18:11
¿vale? aquí lo podéis 00:18:14
aplicar pero es un poquito más complicado 00:18:16
aquí sería con potencia 00:18:18
esto sería raíces 00:18:21
este es más complicado 00:18:22
¿cómo veis esto chavales? 00:18:24
¿bien? 00:18:28
¿seguro? 00:18:30
venga vamos a intentar hacer 00:18:33
aquí hay dos 00:18:35
los de las raíces doble 00:18:37
que no lo hemos dicho 00:18:44
y los de las raíces complejas 00:18:45
esperamos que no es complicado 00:18:47
cuando el grado del de arriba 00:18:49
mayor o igual que el grado 00:19:11
del de abajo ¿vale? 00:19:14
dime hijo 00:19:25
normalmente son logaritmo neperiano 00:19:26
Normalmente te van a salir logaritmos neperianos 00:19:37
Algún arcotangente 00:19:49
A ver 00:19:50
Ah, mira, este de aquí, chavales 00:19:52
Venga, porque me gusta 00:19:54
Venga, vamos 00:19:56
Venga, la integral 00:19:58
De 2x menos 4 00:20:02
Partido 00:20:05
De x menos 1 al cuadrado 00:20:07
por x más 3 00:20:11
diferencial de x 00:20:13
¿vale chavales? 00:20:16
que mal ¿no? 00:20:18
venga 00:20:22
que mal, no me gusta 00:20:22
si, perdona 00:20:24
2x menos 4 00:20:29
partido 00:20:35
de x menos 1 00:20:37
al cuadrado 00:20:40
por x más 3 00:20:41
diferencial de x 00:20:43
fijaros, ¿cuál es el grado 00:20:45
es el de arriba, chavales. 00:20:47
Un 1. ¿Y el de abajo? 00:20:49
¿Se hace la división? 00:20:52
Natillas 00:20:56
danones, ¿vale? Entonces, ahora fijaros 00:20:56
que este es un caso 00:20:59
que es del 00:21:00
siguiente tipo. El x menos 00:21:02
1 es una raíz que 00:21:04
es doble, ¿verdad? 00:21:06
El x más 3 es simple. 00:21:08
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo 00:21:10
el 12x menos 4 00:21:12
partido 00:21:14
x menos 1 al cuadrado 00:21:15
x más 3 00:21:17
yo lo pongo ahora 00:21:19
como a partido 00:21:21
de x menos 1 00:21:23
como raíz simple 00:21:25
¿vale? más b 00:21:26
partido de 00:21:29
x menos 1 al cuadrado 00:21:31
¿lo veis chavales? 00:21:33
si hubiese sido al cubo 00:21:35
pues pondría más c partido 00:21:37
de x menos 1 al cubo 00:21:39
si hubiese sido al cuadrado 00:21:41
tendría que llegar hasta 00:21:43
la x menos 1, x menos 1 al cuadrado 00:21:44
x menos 1 al cubo y x menos 1 00:21:47
a la cuarta, ¿de acuerdo? y así 00:21:49
sucesivamente, y luego 00:21:50
yo el x más 3 lo dejo 00:21:52
igual, c partido de x más 3 00:21:54
¿vale chavales? 00:21:57
¿si o no? 00:21:59
esto 00:22:02
esto es una raíz doble, ¿verdad? 00:22:02
si esto hubiese sido una raíz simple 00:22:05
si esto hubiese sido una raíz 00:22:07
simple sería esto más esto 00:22:08
¿verdad? ¿si o no? 00:22:11
Como es una raíz doble 00:22:12
Tienes que poner 00:22:14
Como es de grado 1 00:22:16
Aquí dan solo una letra 00:22:19
Y aquí x menos 1 una vez 00:22:21
Pero luego tienes que llegar hasta la raíz doble 00:22:23
¿Vale? Es decir, por cada raíz 00:22:26
Pones una letra 00:22:28
Al cubo 00:22:30
Pues pones aquí, esto hubiese sido x menos 1 00:22:31
Al cubo 00:22:34
Y vas de partido de x más 1 00:22:35
y luego más T 00:22:37
partido de X menos 1 al cubo 00:22:44
si hubiese sido la cuarta 00:22:45
pues X menos 1, X menos 1 al cuadrado 00:22:47
X menos 1 al cubo, X menos 1 a la cuarta 00:22:50
y así sucesivamente 00:22:52
¿vale? ¿sí? 00:22:54
y luego ya, como esta es simple, pues tan solo 00:22:55
lo pongo una vez, ¿vale? 00:22:58
entonces la única salvedad, chavales, es esta 00:22:59
que cuando tenemos raíces dobles 00:23:02
triples y demás, tenemos que poner 00:23:04
una letra por cada uno de ellos 00:23:06
hasta llegar a 00:23:08
la raíz doble, triple o cuádruple. 00:23:09
¿Vale? 00:23:12
¿Puedes salir hasta la... 00:23:12
¿Hasta? Sí, sí. 00:23:14
La raíz quinta, pasa, no tiene mucho sentido. 00:23:16
No merece la pena. Por poder, 00:23:18
puede. Por poder, puede. ¿De acuerdo? 00:23:20
Pero es lo que quiero que veáis. ¿Vale? 00:23:23
Entonces, chavales, 00:23:26
aquí lo único que... 00:23:27
Fijaros cuántas raíces distintas 00:23:28
tengo realmente. 00:23:30
Dos. Pero ¿cuántas letras tengo? 00:23:32
Tres. Voy a tener que utilizar 00:23:34
un nuevo valor, ¿vale? 00:23:36
un nuevo valor, entonces chavales 00:23:38
si yo todo esto lo multiplico 00:23:40
por x menos 00:23:42
1 al cuadrado, x más 00:23:46
3, ¿qué es lo que me queda 00:23:48
chavales? me queda 00:23:50
que 2x menos 4 00:23:52
es igual a la a 00:23:53
y ahora la a, ¿por qué quedaría multiplicada 00:23:56
chavales? 00:23:58
natillas 00:24:01
Sí, perdona 00:24:02
Se me ha ido la olla 00:24:08
x menos 1 por x más 3 00:24:09
Se me ha ido la olla 00:24:12
¿Y el b? 00:24:14
¿El b por cuánto quedaría multiplicado? 00:24:16
Por x más 3 00:24:19
Muy bien, ¿y la c? 00:24:20
x menos 1 al cuadrado 00:24:23
¿Esto lo ve todo el mundo, chavales? 00:24:25
¿Sí o no? 00:24:27
Of course, oh yeah 00:24:28
Entonces, de nuevo, ¿cuáles son las raíces? 00:24:30
¿Los valores de las raíces cuáles son, chavales? 00:24:32
¿Cuáles son los valores de las raíces? 00:24:35
Leo, aquí. 00:24:37
Si esto lo igualo a 0, ¿qué dos valores me sale? 00:24:38
¿Cuánto valdría aquí la x para que esto sea 0? 00:24:45
Aquí. 00:24:49
¿Y aquí? 00:24:50
Muy bien. 00:24:52
Entonces, si x es igual a 1, fijarse, si x es igual a 1, el a y el c se me van. 00:24:53
¿Lo veis? 00:25:00
¿Sí o no? 00:25:01
¿Lo veis o no? 00:25:03
Entonces, ¿qué me quedaría? 00:25:05
¿Qué me quedaría, chavales? 00:25:09
Pues 2 por 1, ¿verdad? 00:25:11
Menos 4, esto que es igual a 00:25:13
1 menos 1 por 1 más 3, que esto es 0, 00:25:16
más b por 1 más 3, 00:25:22
más c por 1 menos 1 al cuadrado, que esto da 0. 00:25:26
¿Lo veis todo, verdad? 00:25:30
Y entonces, ¿qué me quedaría? 00:25:31
Menos 2. Menos 2 es igual a 4b. Por lo tanto, ¿cuánto vale b? Menos un medido. ¿Todo el mundo ya vale? Si x es igual a menos 3, ¿hace falta que lo haga paso por paso? No, ¿verdad? Gracias. 00:25:32
2 por menos 3 menos 4 00:25:53
todo el mundo ve que la A desaparece y la B también 00:25:57
entonces esto sería C que multiplica a menos 3 menos 1 al cuadrado 00:26:01
y esto que es menos 6 es menos 10 00:26:08
y esto que es C por 16 00:26:11
y entonces ¿cuánto vale C? 00:26:14
C vale menos 5 octavos 00:26:19
porque lo he reducido 00:26:21
¿Valdría menos 10 dieciséisavos? 00:26:26
¿Sí o no? 00:26:29
Y ahora, chavales 00:26:33
Te necesito otro valor 00:26:36
¿A cuál valor iríais ustedes? 00:26:38
¿A qué valor iríais ustedes? 00:26:42
¿Al serapio? 00:26:44
Que es el más sencillo 00:26:45
¿Sí o no? 00:26:46
¿Firthin o Northin? 00:26:48
¿Firthin o Northin? 00:26:51
Y yo 00:26:55
Menos cuatro, ¿verdad? 00:26:56
Es igual 00:26:59
a por menos 1 por 3 más b por 3, ¿verdad? 00:26:59
Más c por menos 1 al cuadrado, que es 1, ¿sí o no? 00:27:07
Entonces, ¿qué ocurre? 00:27:13
Que tengo menos 4 menos 3b menos c es igual a menos 3a, ¿sí o no? 00:27:14
Y ahora sustituyo menos 4 menos 3 por menos 1 medio menos menos 5 octavos, que esto es igual a menos 4 más 3 medios más 5 octavos. 00:27:26
Y esto es carnaval, menos 32, más 12, más 5 octavos, esto puede ser chavales, menos 15 octavos, menos 15 octavos es igual a menos 3a, ¿vale? 00:27:46
por lo tanto, ¿qué ocurre? 00:28:05
Que A es igual 00:28:08
a 5 octavos. 00:28:10
¿Todo el mundo está de acuerdo con eso? 00:28:14
¿Os da 5 octavos la A? 00:28:16
Entonces, chavales. 00:28:20
¡Aburro! 00:28:28
¡Aburro! 00:28:30
¿Todo el mundo? 00:28:33
¿Puedo subir una mijita? 00:28:34
¿Puedo subir una mijita, Marco? 00:28:36
¡Aburro! 00:28:40
¡Qué infantil este chico! 00:28:43
Todo el mundo 00:28:48
Escudero, Raúl 00:28:51
¿Puedo pasar? Sí 00:28:54
Chavales, necesito que me recordéis los valores 00:28:55
Que no los veo desde aquí abajo 00:28:58
Entonces, ¿ahora qué hago? Esto es la integral 00:28:59
¿Cuánto valía la A? 00:29:01
5 octavos 00:29:03
Partido de X menos 1 00:29:04
Diferencial de X 00:29:07
Más 00:29:09
La B 00:29:11
¿La B? 00:29:12
Menos 1 medio 00:29:16
Aquí nos sale el logaritmo neperiano, ¿vale? 00:29:17
Diferencial de x. 00:29:25
Y la c, 5 octavos, ¿no? 00:29:26
Más raíz de 5 octavos partido. 00:29:28
Gracias, padre. 00:29:33
Te queremos. 00:29:34
Diferencial de x. 00:29:37
Entonces, chavales. 00:29:38
Esta es inmediata, ¿verdad? 00:29:40
Y esta también. 00:29:42
¿Qué ocurre con esta? 00:29:45
¿Habéis escuchado al angelillo? 00:29:52
¿Al gallito? 00:29:57
Venga, voy a irme a... 00:29:58
Eso es. 00:30:03
Chavales, lo voy a copiar 00:30:05
aquí, en Telemadrid. 00:30:07
¿Vale? 00:30:10
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:30:11
Que esta de aquí es 5 octavos, ¿verdad? 00:30:14
Por el logaritmo neperiano de x menos 1. 00:30:17
¿Sí o no? 00:30:21
y esta es menos 5 octavos por el logaritmo neperiano de x más 3. 00:30:21
Eso lo ve todo el mundo, ¿no? 00:30:28
Entiendo que todo el mundo lo debería de ver. 00:30:29
Y ahora voy a hacer esta y, ¿vale? 00:30:31
La voy a hacer así que, bueno, es inmediata también, 00:30:33
pero lo voy a hacer despacito, ¿vale? 00:30:37
Esto sería menos 1 medio que lo saco fuera 00:30:40
y aquí, chavales, voy a poner x menos 1 elevado a menos 2. 00:30:42
¿Alguien se me ha perdido para pasar de aquí a aquí? 00:30:47
No, ¿verdad? Entonces, ¿qué ocurre? ¿Cuánto es la derivada de x menos 1? ¿Cuánto es la derivada? 1, 1, ¿verdad? 00:30:51
Tengo aquí la derivada de abajo, entonces hay una integral inmediata que me dice que cuando yo tengo f' por f elevado a n, es decir, una función elevada a n, esto queda igual a f elevado a n más 1 partido n más 1. 00:31:01
Esto es inmediata. ¿Tenéis ahí la hoja de esto o no? Entonces, ¿esto a qué sería igual, chavales? A menos 1 medio, ¿verdad? Por x menos 1 elevado a menos 2 más 1 partido de menos 2 más 1. 00:31:21
¿Sí? Todo el mundo 00:31:40
¿Y esto a qué es igual, chavales? 00:31:42
Pues esto es menos un medio 00:31:45
Y esto sería 00:31:47
X menos uno 00:31:49
Elevado a menos uno 00:31:50
Y esto es menos uno 00:31:52
Menos por menos es más 00:31:53
Esto es un medio 00:31:55
Y esto de aquí, chavales, es uno partido 00:31:57
De X menos uno 00:32:00
¿Sí? 00:32:02
¿Sí, chavales? 00:32:05
Entonces 00:32:06
¡Qué suspiro! 00:32:07
¿Qué sería todo esto? Esto sería 5 octavos por el logaritmo neperiano de x menos 1 menos 5 octavos por el logaritmo neperiano de x más 3 más 1 partido 2 por x menos 1 más la constante de k. 00:32:08
Y esto, chavales, si yo saco factor común aquí, esto es igual a 5 octavos por el logaritmo neperiano de x menos 1 partido x más 3. 00:32:30
Dime, hija. 00:32:44
Lo puedes dejar. 00:32:45
Lo puedes dejar, ¿vale? 00:32:47
Pero así queda bonito, bonito, bonito como ustedes. 00:32:49
¿Vale? 00:32:54
¿Qué dices? 00:32:59
Oh, Ayacula, Ayacula, vamos 00:33:00
Eso te lo digo yo ya 00:33:03
¿Vale? 00:33:04
Chavales, en la PAU, por favor 00:33:08
Ser ordenaditos 00:33:10
Tenéis hojas en sucio 00:33:11
Ser ordenaditos 00:33:13
Darle a 00:33:14
Al corrector, a la correctora 00:33:16
La mayor facilidad del mundo 00:33:19
Intentadlo explicar a todos 00:33:22
¿Vale? Se agradece 00:33:23
¿Lo veis complicado, chavales? 00:33:25
Este caso es cuando tenemos raíces dobles o raíces triples, ¿vale? 00:33:28
Que lo único que tenemos que añadir, ¿vale? 00:33:32
Para cada raíz doble tenemos que añadir tantas letras hasta llegar hasta el final, ¿vale? 00:33:35
Aquí un 1, un 2, si fuera eso al cubo, pues hasta el cubo. 00:33:42
Si fuese a la cuarta, a la quinta, ¿vale? 00:33:45
Tenemos que poner tantas como tengamos, ¿vale? 00:33:47
¿Sí? 00:33:51
Y vamos a pasar ya a las últimas. 00:33:52
A ver si tengo yo aquí un ejemplito. 00:33:55
hoy voy a quedar fatal 00:33:57
¿tenéis ahí el libro ustedes? 00:34:07
bueno, os recomiendo 00:34:21
para hacer para casa, chavales 00:34:22
esta de aquí, ¿vale? 00:34:24
para casa 00:34:26
¿qué casa? 00:34:27
¿tienes el libro ahí, guillo? 00:34:46
ahí lo tenía aquí, ahora no sé, no lo encuentro 00:34:51
a ver si 00:34:54
está aquí 00:34:56
venga, ahora vienes conmigo cuando acabe la clase, ¿vale? 00:34:57
¿no te importa, joven? 00:35:04
vale, mira, esta de aquí 00:35:10
Venga, que está sencillita. 00:35:12
Venga. 00:35:14
Venga, ahora te lo pido. 00:35:17
Venga, vamos a hacer esta de aquí, ¿vale? 00:35:21
Que no es complicado. 00:35:23
Ay, que mío, más grande. 00:35:28
Venga. 00:35:29
Hacemos esta, ¿vale, chavales? 00:35:31
Es la integral de diferencial de x partido x al cuadrado x menos 1, ¿vale? 00:35:32
entonces no me convence nada se puede hacer así pero se puede hacer de otra forma también más 00:35:52
fácil no me convence nada este ahora no no bueno ese para para casa también para casa es que lo 00:36:06
he hecho de una forma y ahora estoy viendo que se puede hacer de otra sale lo mismo pero no me 00:36:20
sirve para lo que yo quiero 00:36:25
Vale, vamos a hacer chavales 00:37:20
Esto de aquí, ¿vale? 00:37:32
vamos a ver 00:37:50
este 00:37:55
vamos a intentar 00:37:55
esta, que coraje es que tengo en casa 00:38:07
mogollón guillo 00:38:10
x cuadrado 00:38:11
menos 4x 00:38:15
más 10 00:38:17
a ver lo que sale 00:38:19
x menos 11 00:38:28
vamos a hacerla ahora aquí 00:38:32
es que no me sale lo que yo quiero 00:38:35
a ver chavales 00:38:40
si yo hago esto 00:38:53
a ver si es verdad 00:38:55
lo igualo a 0 00:38:57
Ahora, ahora, x es igual a menos b más menos b al cuadrado 00:38:59
Aquí sale menos 40, ¿lo veis? 00:39:06
Partido de 2 00:39:08
Entonces no tiene solución real 00:39:11
Es irreducible y es de segundo grado, ¿vale? 00:39:14
Ay, pero esto es una gilipollez 00:39:25
Esta no es la que yo quiero 00:39:27
Esta no es la que yo quiero 00:39:34
Bueno, me la invento 00:39:37
A ver, bueno, esta de aquí 00:39:41
Ah, no 00:39:54
A ver, no, chavales 00:39:54
A ver, venga 00:39:56
Venga, chavales, esta de aquí, ¿vale? 00:40:29
Venga, silencio. 00:40:32
Silencio. 00:40:33
Aquí tenéis un ejemplo muy guapo y no... 00:40:38
¿Vale, chavales? 00:40:48
Si os fijáis, el x cuadrado más x más 1, si no me equivoco, es igual a 0. 00:40:54
el b cuadrado menos 4ac 00:41:01
esto sale menor que 0 00:41:05
¿vale? 00:41:07
entonces, ¿qué ocurre? 00:41:11
que yo ahora multiplico esto 00:41:12
¿y qué me queda? 00:41:14
¿lo veis? 00:41:15
como tengo x menos 1 al cuadrado 00:41:15
tengo que poner dos veces el x menos 1 00:41:17
y como esto es una ecuación 00:41:19
como esto es una de segundo grado 00:41:21
tengo que poner 00:41:23
una de primer grado arriba 00:41:24
¿vale? 00:41:27
que es cx más d 00:41:27
¿lo veis chavales? 00:41:28
¿sí o no? 00:41:30
¿lo veis o no? 00:41:31
¿entendéis lo que estoy haciendo o no? 00:41:35
yo aquí tengo 00:41:41
una raíz doble 00:41:42
y la raíz doble la utilizo como antes 00:41:44
¿verdad? pongo 00:41:47
como es de grado 1 pues tengo 00:41:48
a partido de x menos 1 00:41:50
y esta que es de grado 2 la tengo que repetir 00:41:52
otra vez con un b x menos 1 al cuadrado 00:41:55
¿vale? porque es una raíz doble 00:41:57
sin embargo esta de aquí 00:41:58
tiene soluciones complejas, ¿de acuerdo? 00:42:00
Son soluciones complejas. 00:42:04
Entonces, como es de segundo grado, 00:42:05
chavales, eso sí que es súper importante, 00:42:07
recuerdo de polinomios. 00:42:10
Los polinomios irreducibles son 00:42:12
o de primer grado o de segundo grado, ¿eh? 00:42:14
Todo polinomio de tercer grado 00:42:16
al menos tiene una solución real, ¿vale? 00:42:18
Este tiene las dos soluciones, son complejas. 00:42:21
Entonces, no lo puedo poner como 00:42:23
multiplicación de soluciones reales, ¿vale? 00:42:24
Y una cosa también importante, chavales, 00:42:28
que creo que, no sé si lo he subido 00:42:30
o no, estoy a punto 00:42:33
cuando tengo un polinomio 00:42:33
un polinomio de segundo grado 00:42:36
y lo puedo reducir a las dos raíces 00:42:38
con la ecuación de segundo grado 00:42:41
¿vale? una cosa muy importante 00:42:42
la A 00:42:45
el número que va multiplicando 00:42:46
a la A, lo tenéis que poner 00:42:49
aquí también, ¿eh? 00:42:51
a ver si hacen un ejemplito y me entendéis 00:42:52
vamos a centrarnos en este 00:42:54
ahí voy, ahí voy 00:42:56
Entonces, x menos 1 como antes, ¿verdad? 00:42:58
Como es doble, pongo el a y pongo el b con el 1 y con el 2. 00:43:01
Y ahora, si yo hago esta ecuación de segundo grado, me va a salir raíces negativas. 00:43:05
¿Eso qué significa? Que las raíces son complejas. 00:43:09
¿Eso qué significa? Que este polinomio es irreducible en los reales. 00:43:12
¿Vale? Es irreducible en los reales. 00:43:17
¿De qué grado es? 2. 00:43:19
Pues entonces yo tengo que poner aquí un polinomio de grado 1. 00:43:21
Y va a ser siempre cx más b. 00:43:25
¿Vale? 00:43:27
Tx más 3 00:43:29
Siempre se hace así 00:43:30
Es la metodología 00:43:32
¿Vale? Es la metodología 00:43:35
¿De acuerdo? Cuando tengo una ecuación de segundo grado 00:43:36
¿Vale? 00:43:39
Y reducible se pone tan 00:43:40
Tx más 00:43:42
¿Vale? 00:43:43
No tiene solución esta, no tiene solución real 00:43:46
Por lo tanto lo hacemos así 00:43:49
¿Vale? 00:43:50
Si fuese x menos 1 al cubo 00:43:51
¿Cómo se pondría? 00:43:53
Si fuese x menos 1 al cubo sería 00:43:54
A partido de esto más B partido de esto más 00:43:56
C partido X menos 1 00:43:58
Y se hace exactamente igual 00:44:00
Chavales, entonces aquí lo único 00:44:06
Que tenemos 4 incógnitas 00:44:08
Utilizar la incógnita del 1 00:44:10
Pero luego utilizar 00:44:13
El 0, el 1 y el 00:44:14
El 0, el menos 1 y el 2 00:44:16
¿Vale? Y vaya ya de 00:44:18
Esta va a salir 00:44:20
Directa, esta es de potencia 00:44:22
potencia, y esta seguramente 00:44:24
os pueden salir varias cosas. 00:44:27
Puede salir un logaritmo neperiano 00:44:29
y después a lo mejor puede salir 00:44:30
también un narcotráfico. 00:44:32
¿Vale? 00:44:34
¡Ah! 00:44:36
¡Y yo qué divertido eres, tío! ¡Me encanta! 00:44:38
Bienvenido. 00:44:42
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
17 de marzo de 2026 - 22:15
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
44′ 45″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
77.22 MBytes

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