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Problemas de probabilidad - álgebra de sucesos 1 - Contenido educativo
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Se resuelve un problema de probabilidad relativo al álgebra de sucesos y sus operaciones .
Bueno, vamos a resolver este primer problema de la sección de problemas dedicados a espacio, muestral y álgebra de sucesos
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en el que nos piden simplificar una expresión de sucesos A unión B, intersección C unión B.
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Entonces, para ello lo primero es que vamos a dibujar mediante diagramas de B en esos sucesos.
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Como no nos dan información sobre ellos, pues son sucesos así genéricos, se intersecan dos a dos.
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y entonces tenemos que calcular esta operación.
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Lo vamos a hacer de dos formas.
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Primero, utilizando el dibujo, intentando ver cuál sería el resultado de dibujar esta intersección
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y luego mediante las fórmulas del álgebra de sucesos.
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En primer lugar, como tenemos que intersecar dos sucesos, A unión B y C unión B,
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vamos a pintar A unión B de un color, C unión B de otro color
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y vemos a ver qué parte hemos pintado de dos colores a la vez.
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entonces vamos a coger dos colores distintos y empezamos
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este sería, vamos a pintar con un color, con este color A unión B
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es decir, este suceso, luego tendremos que pintar
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voy a coger un color muy distinto, C unión B
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pues C unión B sería este suceso de aquí
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¿y qué parte hemos pintado dos veces? pues si nos fijamos
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la parte que hemos pintado dos veces es esta de aquí
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y todo B. Y ese sería el resultado de esta operación.
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Es decir, yo tengo que he pintado aquí, por un lado
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A unión B de azul, por otro lado C unión B de amarillo
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y la parte que está a la vez de amarillo y de azul es, no se ve mucho
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porque esta parte no la he pintado, pero esta estaba también pintada de azul, ojo. Entonces es
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exactamente lo que he remarcado. Con lo cual, ¿qué suceso es
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este? Pues este es el suceso. Podríamos poner que
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Este suceso sería todo B y a todo B le hemos unido este trocito de aquí.
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¿Y este trocito de aquí qué es?
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Pues si nos damos cuenta es justo parte de la intersección de A con C.
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Es decir, a B le tenemos que unir a intersección C.
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Nos podrían preguntar dar este suceso como unión disjunta de intervalos, pero luego lo comentamos.
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¿De acuerdo? ¿Cómo sería? Vamos a hacer esto utilizando, imaginémonos que esto es mucho más sencillo hacerlo mediante dibujo, pero vamos a hacerlo utilizando el álgebra de sucesos.
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Entonces, tenemos aquí un suceso que podemos llamar el suceso E y este es el suceso, el azul, es el suceso D.
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Y nos piden intersecarlo. Para ello, lo que vamos a hacer es aplicar la propiedad distributiva de la intersección.
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Es decir, todo esto intersección con C y ahora a eso le tenemos que añadir unión, todo esto intersección con B.
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Intersección con B.
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Y ahora tenemos que simplificar estas dos expresiones.
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Ya digo que aquí lo que hemos utilizado ha sido la propiedad distributiva.
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Entonces, seguimos.
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Ahora simplificamos cada una de estas expresiones.
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Es A unión B intersección C. ¿Qué será? Será A unión B lo que hay en A y B que está en C.
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Bueno, pues eso de momento lo vamos a dejar ahí. Pero A unión B intersección B, ¿qué es?
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Pues como A unión B, luego vamos a quedarnos con lo que hay dentro de B.
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Todo esto al cortar A unión B con B, como B está dentro de A unión B, pues el resultado va a ser de esa parte B.
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Así que podemos escribir aquello como, vamos a no mezclar, esta va a ser la solución final y aquí continuamos por aquí abajo.
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Entonces nos ha quedado lo siguiente, A unión B, intersección C, esa es la primera parte y a todo ello lo tenemos que unir con B.
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Ya nos va quedando, como veis, un poquitín más parecido a aquello.
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Ahora, ¿qué podemos hacer? Aquí volver a aplicar la propiedad distributiva si queremos respecto de la intersección y tendríamos A intersección C unión B intersección C y eso lo tenemos que unir con B.
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Bien, ¿y ahora qué ocurre? Pues que como esta intersección está dentro de B, al unirle a B algo que está dentro de B, pues es como no unir nada.
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Con lo cual, esa parte la podemos quitar, ya digo, ¿por qué? Porque tenemos la unión de tres sucesos y uno de ellos está dentro de B.
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con lo cual al final al unir los tres sucesos es como que unimos solo a intersección C
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unimos con B
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y es lo mismo que nos había quedado de la otra forma, ¿de acuerdo?
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es decir, si no tenéis manejo con estas fórmulas de sucesos, de la álgebra de sucesos
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es mucho más intuitivo y os lo recomiendo dibujar con diagramas de Venn
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pero cuidado al dibujar con diagramas de Venn porque la cosa se nos puede complicar cuando mezclamos colores
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Y ahora lo último, quería comentaros qué pasa si nos lo piden escribir la solución como unión disjunta. ¿Por qué nos lo pueden pedir esto? Unión disjunta significa unión de sucesos que no tienen intersección en común.
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Estos dos sí tienen intersección en común porque la intersección C sería esto y B, es todo ello, tienen una intersección en común, esta parte de aquí.
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Entonces, si yo quisiese escribir este suceso como unión disjunta, tendría que quitar, digamos, esa parte.
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¿Para qué puede ser útil esto? Pues cuando apliquemos probabilidades, cuando calculemos probabilidades de sucesos, es mejor tenerlo como unión disjunta
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porque la probabilidad de la unión disjunta es la suma de las probabilidades y podremos calcular la probabilidad bien.
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Entonces, si yo quiero calcular esto como unión disjunta, ¿qué tendría que hacer?
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Pues puedo coger todo B y sumarle esta parte que tengo aquí nada más.
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Unirle, quiero decir.
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Entonces, ahora esta unión ya es disjunta.
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¿Y esa parte qué es?
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Pues estos son los puntos, la zona que está a la vez en A y en C, pero no está en B, fuera de B.
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entonces eso lo escribiría como
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que está en A y está en C
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y está fuera de B
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y de esa forma
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yo podría tener el suceso
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escrito como unión disjunta
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si me lo pidiesen, ok, bueno pues esto ha sido todo
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espero que os haya resultado sencillo
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nos vemos en el siguiente problema
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Manuel Dominguez Romero
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 222
- Fecha:
- 23 de marzo de 2020 - 21:09
- Visibilidad:
- URL
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 07′ 44″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 110.80 MBytes
