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Cálculo de límites en el infinito - Contenido educativo

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Subido el 14 de febrero de 2021 por Julio M.

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Cálculo de límites en un punto

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Bien, hoy vamos a calcular límites de funciones en el infinito. 00:00:01
Vamos a comenzar viendo los límites de funciones racionales. 00:00:06
El límite cuando x tiende a infinito de una función racional 00:00:10
va a depender de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. 00:00:13
Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, 00:00:20
el límite es más menos infinito. 00:00:24
Va a ser más o menos dependiendo del signo que tomen los términos de mayor grado del numerador y del denominador 00:00:27
cuando x tiende a infinito o a menos infinito. 00:00:34
Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado. 00:00:37
Y si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite es cero. 00:00:46
Bien, nos fijamos aquí. 00:00:53
Bien, el límite cuando x tiende a infinito de este cociente de polinomios, pues como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, este límite es 0. 00:00:55
El segundo límite, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite va a ser o más o menos infinito. 00:01:06
Bien, nos fijamos, cuando x tiende a infinito, infinito al cubo por menos, negativo, y 2 por infinito, positivo, más entre menos, menos, pues va a ser menos infinito. 00:01:15
Y este otro tiene el mismo grado, por lo tanto el límite va a ser igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado, va a ser igual a 5 tercios. 00:01:26
Bien, vamos a ver ahora, en este caso, los límites cuando x tiende a menos infinito. 00:01:36
Cuando x tiende a menos infinito, el grado del numerador es menor que el grado del denominador. 00:01:41
Por lo tanto, el límite es cero. 00:01:46
En este segundo caso, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. 00:01:49
Por lo tanto, el límite va a ser más menos infinito. 00:01:57
Menos infinito al cubo es negativo, por menos, más. 00:02:03
Y 2 por menos infinito, negativo. 00:02:07
Al final esto va a ser menos infinito. 00:02:10
Y por último, el tercer límite, nos fijamos en los términos de mayor grado. 00:02:15
Los dos tienen grado 3. 00:02:20
Por lo tanto, el límite va a ser igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado. 00:02:22
5 tercios. 00:02:27
Bien, vamos a ver ahora cómo se resuelven las indeterminaciones infinito partido por infinito. 00:02:31
Aquí tenemos un cociente de dos funciones, el límite del numerador tiende a infinito, el límite del denominador también tiende a infinito, indeterminación. 00:02:38
Bien, ¿cómo se resuelven estas indeterminaciones? Pues dividiendo numerador y denominador por la potencia de mayor grado. 00:02:50
Y nos quedaría el límite cuando x tiende a infinito de... ¿Cuál es la potencia de mayor grado? Aquí tengo una x, aquí tengo la x al cuadrado, pero está dentro de la raíz, por lo tanto es como si fuese una x. 00:02:57
El término de mayor grado es x elevado a 1. Entonces dividimos numerador y denominador por x. Y nos queda el límite cuando x tiende a infinito de la raíz de x cuadrado partido por x cuadrado más 7 partido por x al cuadrado dividido por 2x partido por x. 00:03:10
Bien, esto tiende a 1, esto tiende a 0, este tiende a 2, por lo tanto, este límite va a ser la raíz de 1, que es 1, partido por 2, 1 medio. 00:03:45
Bien, ¿y cómo sería el límite cuando x tiende a menos infinito? 00:03:59
Bueno, pues el límite cuando x tiende a menos infinito de la raíz de x cuadrado más 7 partido por 2x puede ser igual a infinito partido por menos infinito. 00:04:03
Más entre menos, menos, por lo tanto nos tiene que quedar negativo. Esto será igual al límite cuando x tiende a menos infinito, dividimos numerador y denominador por las potencias de mayor grado, ya lo hacemos directamente, nos quedaría x cuadrado partido por x cuadrado, más 7 partido por x cuadrado, dividido por 2x partido por x. 00:04:22
Esto tiende a 1, esto tiende a 0, esto tiende a 2, pues el límite tiene que ser menos 1 medio. 00:04:48
¿En menos por qué? Porque esto es un cociente de infinito entre menos, infinito más entre menos. 00:04:57
Por lo tanto, esto nos tenía que salir negativo. 00:05:02
Bien, otra forma de hacerlo es convirtiendo este límite cuando x tiende a menos infinito 00:05:05
en un límite cuando x tiende a infinito, de la siguiente forma. 00:05:12
El límite cuando x tiende a menos infinito de una función f de x, pues es igual al límite cuando x tiende a infinito de f de menos x, ¿vale? 00:05:16
Por tanto, procederíamos de la siguiente forma. El límite cuando x tiende a menos infinito de la raíz de x al cuadrado más 7 dividido entre x, pues será igual al límite cuando x tiende a infinito de, sustituimos x por menos x, 00:05:29
Es la raíz de menos x al cuadrado más 7 partido por 2 por menos x. 00:05:53
Vale, y esto que nos queda, esto nos queda menos x al cuadrado, me queda x al cuadrado. 00:06:06
Y abajo, pues lo que me queda es un menos 2x. 00:06:12
dividiendo numerador y denominador por la potencia de mayor grado 00:06:18
que da el límite cuando x tiende a infinito 00:06:23
de la raíz de x cuadrado partido por x cuadrado más 7 00:06:31
entre x al cuadrado 00:06:37
y dividido entre menos 2x partido por x 00:06:40
y lo que hacemos es dividir numerador y denominador por la potencia de mayor grado que es x 00:06:44
y al meterla dentro de la raíz pues dividimos por x al cuadrado 00:06:48
Esto tiende a 1, esto tiende a 0, esto tiende a menos 2, pues el límite es raíz de 1, que es 1, partido por menos 2, que es igual a menos 1 medio. 00:06:52
Bien, vamos a ver ahora cómo se resuelven las indeterminaciones infinito menos infinito. 00:07:08
Siempre que tenemos una indeterminación infinito menos infinito, lo que hacemos, si aparecen diferencias de raíces, es multiplicar numerador y denominador por el conjugado. 00:07:15
Si no aparecen diferencias de raíces, pues nada, operamos para intentar deshacer la indeterminación. 00:07:24
Bien, en este caso, ¿qué nos queda? 00:07:30
Pues el límite cuando x tiende a infinito es infinito menos infinito partido por infinito, indeterminación. 00:07:32
Como tenemos infinito menos infinito, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado. 00:07:42
Y nos queda el límite cuando x tiende a infinito de la raíz de x más 3 menos la raíz de x por la raíz de x más 3 más raíz de x. 00:07:47
Y dividido todo por x por raíz de x más 3 más raíz de x. 00:08:06
Bien, arriba que nos queda una suma por diferencia, suma por diferencia, diferencia de cuadrados, vale, nos queda el límite cuando x tiende a infinito del cuadrado del primero raíz de x más 3 al cuadrado menos el cuadrado del segundo raíz de x al cuadrado partido por x por raíz de x más 3 00:08:17
más raíz de x, y esto es igual a límite cuando x tiende a infinito de x más 3, menos x partido por x por raíz de x más 3, más raíz de x. 00:08:47
Esta x con esta x se van, y bueno, pues calculamos el límite. 00:09:12
El límite cuando x tiende a infinito de 3, pues es 3, y abajo será infinito por infinito más infinito. 00:09:17
infinito por infinito más infinito, nos queda 3 partido por infinito, y 3 partido por infinito, pues es 0. 00:09:22
El límite cuando x tiende a menos infinito, pues no tiene sentido, porque la raíz de un número negativo no existe, 00:09:33
por lo tanto, no tiene sentido que lo calculemos. 00:09:40
Y por último, vamos a ver las indeterminaciones infinito menos infinito, cuando no aparecen diferencias de raíces. 00:09:44
En estos casos lo que hacemos es operar y resolver la indeterminación, ¿vale? Bien, pues vamos a hacer este límite. 00:09:51
Si hacemos el límite del primer término, como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador y el cociente de los términos de mayor grado es positivo, 00:10:03
porque es más entre más, pues eso va a ser infinito menos infinito. 00:10:12
Aquí ocurre lo mismo con los términos de mayor grado. 00:10:17
Vuelven a ser los dos positivos cuando x tiende a infinito. 00:10:20
Por tanto, es más infinito, pero como tenemos un menos, menos infinito. 00:10:24
Indeterminación. 00:10:29
¿Cómo la resolvemos? Pues operando. 00:10:30
Es el límite cuando x tiende a infinito. 00:10:33
como límite cuando x tiende a infinito de, bien, reducimos a común denominador, x cubo más 2x, menos, a ver, entre paréntesis, x por x al cuadrado, 00:10:36
x cubo más x más x cuadrado más 1, entre x más 1 por x, x cuadrado más x, damos paréntesis, nos queda el límite, cuando x tiende a infinito, 00:10:52
de x al cubo más 2x menos x cubo menos x menos x menos x cuadrado menos 1 partido por x cuadrado más x. 00:11:12
Y nos queda pues el límite cuando x tiende a infinito de x cubo y x cubo lo podemos simplificar de menos x cuadrado más x menos 1 entre x cuadrado más x. 00:11:33
Hay que ver el límite de un coeficiente de polinomios que tiene el mismo grado. Por lo tanto, el límite va a ser igual al coeficiente de los coeficientes de los términos de mayor grado. 00:11:50
Menos 1 entre 1, menos 1. Menos 1 entre 1, igual a menos 1. 00:11:59
Vale, ¿cómo sería el límite cuando x tiende a menos infinito? 00:12:07
Bueno, pues el límite, cuando x tiende a menos infinito de esta misma función, pues sería menos, pues ¿a qué sería igual? 00:12:11
Bien, el límite del primer término, como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite sería más menos infinito. 00:12:30
Menos infinito al cuadrado es positivo, menos infinito es negativo, más entre menos, menos. 00:12:41
Sería menos infinito, menos el límite de la otra función, pues también como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, pues el límite sería menos infinito, menos menos infinito. 00:12:44
Al final nos queda menos infinito más infinito. Indeterminación. Y se resuelve exactamente igual que antes, reduciendo como un denominador y simplificando. 00:13:01
Nos va a quedar exactamente lo mismo, lo hacemos ya directamente, nos va a quedar el límite cuando x tiende a menos infinito de x cubo más 2x menos x cubo menos x menos x cuadrado menos 1 entre x cuadrado más x. 00:13:16
Simplificamos y nos queda el límite cuando x tiende a menos infinito de menos x cuadrado más x menos 1 entre x cuadrado más x. 00:13:40
Como es el límite de una función racional que ambos términos, numerador y denominador, tienen el mismo grado 00:14:00
Pues el límite es igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado 00:14:06
Menos 1 entre 1 es igual a menos 1 00:14:11
Bueno, pues aquí tenemos un poco distintos ejemplos de límites cuando x tiene infinito y a menos infinito 00:14:15
Idioma/s:
es
Autor/es:
Julio Molero
Subido por:
Julio M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
189
Fecha:
14 de febrero de 2021 - 12:42
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
14′ 32″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
277.85 MBytes

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