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El baricentro: construcción y propiedades - Contenido educativo

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Subido el 26 de octubre de 2023 por Miguel Fco A.

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Vamos a utilizar GeoGebra para comprobar la existencia del balicentro y estudiar su propiedad 00:00:00
fundamental. 00:00:12
Al finalizar la construcción dinámica veremos que la existencia de este punto y su propiedad 00:00:13
no dependen de la forma del triángulo. 00:00:18
Partimos de un triángulo cualquiera en el plano que no tenga especiales características. 00:00:24
Vamos a dibujar los lados de este triángulo y vamos a nombrarlos correctamente. 00:00:29
Este lado F es el que está frente al vértice C y por tanto lo debemos nombrar con una c 00:00:45
minúscula. 00:00:51
El lado G lo debemos renombrar con una letra a minúscula al estar enfrente del vértice 00:00:53
A y este lado H lo podemos renombrar con una b minúscula al ser el lado que está opuesto 00:01:00
al vértice. 00:01:08
Una vez que tenemos dibujado este triángulo, que como digo es un triángulo que no tiene 00:01:14
especiales características, no es un triángulo rectángulo, no es un triángulo equilátero, 00:01:17
es un triángulo en principio cualquiera, recordamos cuál es la definición de balicentro. 00:01:23
El balicentro de un triángulo de vértices A, B y C es el punto en el que se cortan las 00:01:29
medianas. 00:01:33
Bien, y recordamos también que la mediana es la recta que une cada vértice con el punto 00:01:34
medio del lado opuesto. 00:01:38
Entonces para dibujar estas medianas lo primero que vamos a calcular es el punto medio de 00:01:40
cada uno de los lados del triángulo. 00:01:45
Seleccionamos entonces la herramienta de punto medio y calculamos el punto medio del lado 00:01:50
AB, el punto medio del lado BC y el punto medio del lado AC. 00:01:56
Bien, nuevamente vamos a etiquetar correctamente estos puntos. 00:02:03
Este punto D lo vamos a renombrar como el punto medio con la ley mayúscula del lado 00:02:15
A, este punto F lo vamos a renombrar como el punto medio del lado B y este punto E 00:02:23
lo vamos a renombrar como el punto medio del lado C. 00:02:41
Con los lados correctamente etiquetados y los puntos medios correctamente etiquetados 00:03:00
construimos ahora las medianas. 00:03:06
Las medianas son aquellas rectas que pasan por cada uno de los vértices y el punto medio 00:03:08
del lado opuesto. 00:03:12
Así que vamos a escoger la herramienta de recta y vamos a construir la primera mediana 00:03:13
sobre el lado A, la segunda mediana sobre el lado B, la tercera mediana sobre el lado 00:03:19
Vale, para no perder de vista el triángulo vamos a cambiar los colores de estos lados 00:03:30
para verlo con más claridad y distinguir cuál es el triángulo y cuáles son las medianas. 00:03:43
Las medianas las vamos a pintar de rojo y las vamos a renombrar con su nombre característico. 00:03:55
Como son rectas las nombramos con una letra minúscula, la mediana sobre el lado B la 00:04:14
vamos a denominar mediana sobre el lado o sobre el vértice B con la letra minúscula. 00:04:23
Esta mediana es la que pasa por el vértice A, la voy a renombrar y la voy a llamar con 00:04:36
letra minúscula porque es una recta, M de mediana, A porque pasa por el vértice A. 00:04:42
Aquí está su etiqueta y esta que es la H la voy a renombrar y va a ser la mediana 00:04:49
que pasa por el vértice C. De manera que tengo las medianas dibujadas. 00:04:59
Y ahora si calculo la intersección de estas rectas 2 a 2, calculo la intersección, por 00:05:13
ejemplo, de la primera mediana con otra de ellas, veo que esta intersección determina 00:05:20
un punto y que las tres medianas pasan por ese punto. 00:05:30
Bueno, pues ese punto D que lo voy a renombrar con la letra G que es la que sirve para nombrar 00:05:32
el varicentro es el varicentro que estábamos buscando y lo vamos a pintar de color verde 00:05:39
para que quede marcado. 00:05:45
Una vez que tenemos dibujado el varicentro, vamos a recordar cuál es la propiedad fundamental 00:05:50
del varicentro. 00:05:54
La propiedad fundamental del varicentro lo que nos dice es que este varicentro divide 00:05:55
a cada una de las medianas en dos partes, de tal manera que la distancia del varicentro 00:06:00
a cada vértice es el doble de la distancia de ese mismo varicentro al punto medio del 00:06:04
lado o lo que se llama también pie de la media. 00:06:10
Entonces lo que vamos a hacer a continuación es calcular estas distancias del varicentro 00:06:15
a cada uno de los vértices y a cada uno de los pies y ver cómo esas distancias son siempre 00:06:19
el doble la distancia del varicentro al vértice que la del varicentro al pie. 00:06:26
Comenzamos con el vértice A. 00:06:31
En el vértice A vamos a dibujar un primer segmento, que es el que une el vértice A 00:06:33
con el varicentro, ese sería el segmento F, y vamos a pintar un segundo segmento, que 00:06:38
es el que une el varicentro con el pie de la media, que sería el segmento G. 00:06:46
Y a continuación vamos a hacer una relación 1, que vamos a definir como F entre G, esa 00:06:54
relación es 2, lo que nos quiere decir que F es el doble de G. 00:07:16
Vamos a colocar aquí unas etiquetas, tenemos la medida de F, que vamos a colocar aquí, 00:07:23
la medida del segmento G, que vamos a colocar aquí, y la medida de esta primera relación 00:07:32
en la que vemos que F sería la distancia desde el varicentro al vértice, es el doble 00:07:41
de la distancia desde el varicentro al pie de la mediana A. 00:07:48
A continuación, repetimos esta misma operación con el vértice B, en el vértice B definimos 00:07:53
la distancia desde B hasta el varicentro y la distancia desde el varicentro hasta el 00:08:03
pie de la medida, son distancias H e I. 00:08:10
Podemos ahora sacar esta etiqueta de la medida de H, podemos sacar esta etiqueta de la medida 00:08:17
de I. 00:08:29
Y a continuación podemos definir una segunda relación, que sería la relación 2, que 00:08:48
la vamos a definir como el cociente de H entre I. 00:08:56
Ese cociente debería darnos igualmente 2, lo que nos indica que en la mediana B también 00:09:10
se cumple la propiedad del varicentro. 00:09:19
Por último vamos a estudiar esa relación de la mediana C, definimos la distancia entre 00:09:23
el varicentro y el vértice C, la distancia entre el pie de la mediana y el varicentro 00:09:30
son las longitudes J y K, vamos a colocar la longitud J aquí para poder verla bien, 00:09:37
vamos a comprobar aquí la longitud K para poder verla bien y nuevamente definimos una 00:09:50
relación, en este caso va a ser la relación 3, que queda definida como J entre K y esa 00:09:57
relación vuelve a ser 2. 00:10:04
Entonces tenemos el varicentro y tenemos la propiedad del varicentro comprobada. 00:10:12
¿Qué nos faltaría por ver? 00:10:17
Nos faltaría por ver que la existencia de ese varicentro no depende de la forma del 00:10:18
triángulo y que sea cual sea la forma del triángulo la propiedad del varicentro se 00:10:22
cumple, es decir, que aunque estas longitudes F, G, H, I, J y K cambien, siempre la relación 00:10:27
entre la distancia del varicentro al vértice con la distancia del varicentro al pie de 00:10:35
la mediana siempre es la misma, es decir, una de las distancias es el doble de la otra. 00:10:42
Bueno, a continuación entonces aprovechando la capacidad de geometría dinámica que tiene 00:10:49
GeoGebra vamos a comprobar que moviendo los vértices de ese triángulo y cambiando su 00:10:54
forma no cambia ni la existencia del varicentro ni su propiedad. 00:11:00
Observo este vértice C y al moverlo observo por un lado que el varicentro siempre existe, 00:11:06
esas tres rectas se cortan siempre en un punto y observo también que por mucho que yo cambie 00:11:16
la forma del triángulo las longitudes de los segmentos F, G, H, I, J y K van cambiando 00:11:24
pero siempre los segmentos que están en la parte de arriba tienen una longitud que es 00:11:31
el doble a la que está en la parte de abajo. 00:11:37
Recordamos que los segmentos que están en la parte de arriba F, H y J son estos segmentos 00:11:39
de aquí que los podemos pintar en un color, por ejemplo, amarillo y los segmentos que 00:11:45
están en la parte de abajo son estos segmentos de aquí que los voy a pintar en rosa y la 00:11:55
idea es que siempre el segmento amarillo tiene una longitud que es el doble al segmento rosa 00:12:05
correspondiente. 00:12:11
Si volvemos a dejar el triángulo fijo, lo voy a fijar por ejemplo aquí, podemos observar 00:12:12
una última propiedad del varicentro y es que cuando unimos los pies de esas tres medianas 00:12:20
se genera en el interior del triángulo un nuevo triángulo que se llama triángulo mediano 00:12:31
que es semejante al triángulo original y cuyo área es la cuarta parte del área del 00:12:36
triángulo original. 00:12:42
Finalmente si movemos el triángulo original observamos que ese triángulo mediano sigue 00:12:44
existiendo y sigue cumpliendo la misma propiedad. 00:12:51
Ambos triángulos, el triángulo original y el triángulo mediano comparten el mismo 00:12:54
varicentro. 00:12:57
Idioma/s:
es
Autor/es:
Miguel Arriaga Gómez
Subido por:
Miguel Fco A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
26 de octubre de 2023 - 19:46
Visibilidad:
Clave
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https://mediateca.educa.madrid.org/video/5hlv3yxkicy9ev1w
Centro:
IES ALFREDO KRAUS
Duración:
13′ 13″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1728x1080 píxeles
Tamaño:
83.52 MBytes

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