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Método de Gauss. Sistema compatible determinado. - Contenido educativo

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Subido el 25 de septiembre de 2025 por Francisco J. M.

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Chicos, hola chicas, vamos a ver cómo aplicar el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones. 00:00:00
En este caso, un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. 00:00:06
Y recordamos que las operaciones permitidas en los sistemas, 00:00:11
permitidas quiere decir que obtenemos un sistema equivalente, 00:00:16
es decir, que tienen las mismas soluciones que la anterior, son tres. 00:00:19
Lo que puedo hacer es cambiar el orden de las ecuaciones. 00:00:23
si cambio el orden de las ecuaciones el sistema tiene la misma solución, multiplicar una ecuación 00:00:26
por un número, cuando digo multiplicar una ecuación quiere decir multiplicar los dos miembros de la 00:00:33
ecuación por el mismo número, o bien sustituir una de las ecuaciones por su suma con otra. Puedo 00:00:37
cambiar, quitar una de las ecuaciones sumándola con otra y sustituyéndola. ¿Cuál es el objetivo? 00:00:44
Conseguir escribir un sistema escalonado, que hemos visto que son mucho más fáciles de resolver, 00:00:52
un sistema en el que en la segunda ecuación haya quitado una incógnita y que en la tercera 00:00:58
ecuación haya quitado una más, de tal forma que sólo me quede una. Bueno, entonces podemos 00:01:03
empezar escribiendo la matriz del sistema. Para que nos sea más fácil vamos a prescindir 00:01:08
de escribir las incógnitas y vamos a escribir sólo los números en forma de matriz que 00:01:13
son con los que vamos a hacer operaciones. Entonces empezamos haciendo eso. Escribimos 00:01:18
2, 3, 5, 11 que son los coeficientes de la primera ecuación 00:01:22
menos 3, menos 3, menos 3, menos 6 que son los de la segunda 00:01:29
y 1, menos 5, 6, 29 que son los de la tercera 00:01:35
en caso de que faltara alguno pues en su lugar ponemos un 0 00:01:40
vale, lo primero que podemos observar fácilmente fijaros es que en la segunda ecuación 00:01:44
todos los coeficientes se pueden dividir por 3, ¿vale? 00:01:49
Y eso nos simplifica la ecuación. 00:01:53
Entonces, el primer paso que tenemos que hacer antes de empezar a resolver el sistema por el método de Gauss 00:01:55
es observar si alguna de las ecuaciones se puede simplificar, 00:02:00
porque eso probablemente nos va a facilitar el proceso, ¿vale? 00:02:03
Entonces, antes de empezar, lo que vamos a hacer es simplificar. 00:02:06
Y para eso vamos a coger esa fila y la vamos a dividir por 3 o por menos 3. 00:02:11
Podría ser, en mi caso, lo voy a dividir por menos 3 para que me quede positivo, pero lo podéis hacer por 3, ¿vale? 00:02:17
Es decir, la segunda fila lo voy a dividir, perdón, dividir por menos 3. 00:02:23
Entonces, la primera fila la dejo como está, 2, 3, 5, 11, y aquí divido por menos 3 y me queda 1, 1, 1, 2. 00:02:30
Y la tercera fila la dejo como está. 00:02:41
bien y ahora vamos a transformar el sistema en forma escalonada 00:02:44
para conseguir que el sistema esté en forma escalonada 00:02:51
lo que tengo que hacer es que en la segunda ecuación 00:02:55
uno de los tres primeros coeficientes que son los de las incógnitas 00:02:57
tiene que ser un 0 00:03:00
y en la tercera ecuación tiene que existir en esa misma incógnita un 0 00:03:02
y tenemos que hacer 0 otra más para que sólo haya una de las tres incógnitas 00:03:06
para eso nos vamos a valer de los coeficientes de la primera fila 00:03:11
Entonces, conviene que la primera ecuación sea una ecuación que tenga coeficientes sencillos, ¿vale? 00:03:16
Por ejemplo, en este caso, la segunda ecuación hemos conseguido que los tres coeficientes sean un 1, ¿vale? 00:03:21
Cuanto más sencillos sean los coeficientes, probablemente más fácil va a ser aplicar el método. 00:03:26
Entonces, lo primero que vamos a hacer es que vamos a cambiar las ecuaciones de orden. 00:03:31
Voy a poner la segunda ecuación como primera para que todo me resulte más fácil, más resulte más fácil hacer ceros. 00:03:34
Entonces, hago ese cambio, que lo voy a indicar así, que cambio la primera fila por la segunda, ¿vale? Y hago 1, 1, perdón, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 11 y la tercera la dejo como está, 1, menos 5, 6, 29. 00:03:41
Vale, hay gente, y me parece bien, que para distinguir los coeficientes de las incógnitas de los términos independientes, aquí pone una rayita, ¿vale? Si queréis lo podéis hacer, si no, no, no es obligatorio, pero para distinguir los coeficientes que pertenecen a la x, y, y, la z y los términos independientes. 00:04:05
Yo no lo voy a hacer todo el rato, porque me parece una lata estar escribiéndolo, pero si os aclaro las ideas, pues fenomenal. 00:04:28
Bueno, entonces, ¿qué tengo que conseguir ahora? 00:04:35
Fijaros, tengo que conseguir que multiplicando las filas por números, las filas que son las ecuaciones, multiplicándolas por números y sumándolas en, me parezcan ceros, o bien, lo voy a dibujar con otro color, 00:04:37
se me hagan ceros o bien estos dos números, o bien esos dos números, o bien esos dos números, cualquiera me vale, ¿vale? 00:04:49
tengo que poner ahí dos ceros. En este caso, como arriba tengo tres unos, pues casi que es igual de fácil en cada columna. 00:04:57
Lo voy a hacer con la primera, pero lo podría hacer cualquiera, ¿vale? Entonces, lo que voy a hacer es poner ceros en esos dos números. 00:05:05
¿Y eso cómo lo hago? ¿Cómo pongo un cero aquí? Pues lo que puedo hacer es multiplicar toda la primera fila por menos dos, ¿vale? 00:05:14
Con lo cual, aquí en el primer elemento me quedaría un menos 2, y al sumarlos, pues, se iría. 00:05:21
Entonces, lo que hago es, voy a volver al blanco otra vez, lo que hago es, fijaros, siempre, 00:05:27
la primera fila la dejo como está, porque en la primera ecuación se van a quedar las tres incógnitas, 00:05:33
ahí no voy a hacer nada. 00:05:38
Vale, y ahora, la segunda fila la voy a sustituir por su suma, o sea, 00:05:40
Ahora, lo que le voy a hacer es que a esta fila le voy a restar la primera por 2, ¿vale? Es decir, voy a multiplicar la primera por menos 2 y se lo sumo a la segunda. 00:05:47
Eso lo podéis hacer de memoria o lo podéis escribir aparte. Yo al principio os recomiendo que lo escribáis aparte porque aquí como hay muchos numeritos es muy fácil equivocarse 00:05:59
y en cuanto os equivoquéis en cualquier cosa, en cualquier signo, en cualquier multiplicación, todo está mal. 00:06:08
Entonces, mirad, lo podemos escribir aparte de la siguiente manera, luego lo borraré, ¿vale? 00:06:13
Fijaros, primero escribo la primera fila multiplicada por menos 2, que me quedaría, si multiplico esta fila por menos 2, me quedaría menos 2, menos 2, menos 2, menos 4, ¿vale? 00:06:19
Y a continuación escribo la segunda fila, 2, 3, 5, 11. 00:06:31
Y ahora lo que voy a hacer es sumarlas. 00:06:38
sumarlas y veis que aquí me queda un 0 que es lo que quería aquí queda un 1 aquí un 3 y aquí un 7 00:06:39
vale y eso es lo que voy a poner como segunda fila 0 1 3 7 vale y ahora voy a borrar esta operación 00:06:46
para que no me ocupe sitio bien vamos con la tercera fila ahora tenemos que poner un 0 en 00:06:55
este elemento de aquí vale entonces fijaros que con eso es suficiente es suficiente con restar 00:07:01
las dos filas, porque aquí tengo un 1, aquí tengo un 1, al restarlos se me van a ir, ¿vale? Entonces, lo que voy a hacer es que voy a sustituir 00:07:05
la tercera fila con la resta de la primera menos la tercera, por ejemplo, también lo podríais hacer al revés, no pasaría nada, podéis restar la tercera 00:07:12
menos la primera, es igual, ¿vale? Mirad, esto no lo voy a escribir, lo voy a hacer aquí, bueno, venga, lo voy a escribir, ¿qué me quedaría? 00:07:21
La primera fila sería 1, 1, 1, 2 y ahora cambio de signo la tercera fila y me queda menos 1, 5, menos 6, menos 29. 00:07:28
Y si la sumo, pues me queda 0, 6, menos 5, menos 27. 00:07:41
Y esto es lo que coloco en esta tercera fila, 0, 6, menos 5, menos 27. 00:07:47
Borra la operación que he hecho antes. 00:07:58
¿Qué hemos hecho hasta ahora? Fijaros, de la segunda ecuación hemos quitado la x y de la tercera ecuación hemos quitado la x. 00:08:00
Para que el sistema esté escalonado, de la tercera ecuación tengo que quitar una incógnita más. 00:08:06
Para eso ahora me voy a ayudar de la segunda, porque si hago operaciones con la primera y la tercera, voy a conseguir quitar este 0. 00:08:11
Aquí me va a volver a aparecer un número y no quiero que ocurra eso. 00:08:19
Como en estas dos hay un 0, pues ahora me voy a utilizar la segunda ecuación para poner un 0 en la tercera. 00:08:22
entonces igual que antes mirar el 0 lo puedo poner o bien aquí o bien aquí 00:08:27
en cualquiera de los dos sitios lo que os resulte más fácil 00:08:35
vale por ejemplo podría poner un 0 aquí multiplicando la segunda por menos 6 00:08:37
y sumándole la tercera o podría poner un 0 aquí aquí es un poquito más complicado 00:08:43
tendría que multiplicar la primera por 5 la segunda por 5 perdón la tercera por 3 00:08:48
y así me quedaría aquí 15 y menos 15, ¿vale? Y ya al sumarlo se iría, ¿vale? 00:08:54
Siempre se puede hacer multiplicando la de arriba por el número de abajo y la de abajo por el número de arriba 00:08:59
y consiguiendo, si que tengan distintos signos, si es necesario multiplicar toda una fila por menos uno. 00:09:04
Vale, entonces lo que voy a hacer es, voy a poner, voy a hacer 0s6 que me parece un poquito más fácil. 00:09:12
Bueno, entonces fijaros, lo que hago es, vamos a cambiar el color otra vez, 00:09:18
la primera fila la dejo como está, esa nunca la toco porque ahí voy a dejar las tres incógnitas 00:09:21
la segunda fila ya está como quiero, ya he quitado una incógnita, la dejo como está 00:09:27
¿vale? y ahora aquí voy a hacer lo que hemos dicho antes 00:09:31
por ejemplo, voy a hacer menos, o al revés, lo voy a hacer al revés 00:09:35
voy a hacer seis veces la segunda fila menos la tercera 00:09:40
¿vale? también podréis hacer menos seis veces la segunda fila más la tercera, es igual 00:09:45
Lo importante es que os quede un 0. Entonces, como he hecho antes, voy a poner aquí la operación aparte. Fijaros, 6 veces la segunda fila me queda 0, 6, 18, 42. Y menos la tercera fila me queda 0, menos 6, 5 y 27. 00:09:50
Y ahora la sumo. Me queda 0, aquí me vuelve a quedar un 0, aquí me queda 23 y aquí me queda 69. Con lo cual, el resultado de la tercera fila es 0, 0, 23, 69. 00:10:13
Y fijaros, ya tengo el sistema como quería, ¿vale? Lo tengo en forma escalonada. Aquí lo veis, ¿de acuerdo? He hecho un 0 en la primera fila y en la segunda fila, perdón, y en la tercera fila he hecho el mismo 0 con la misma columna y otro más. 00:10:30
entonces el sistema ya está preparado para resolverse 00:10:44
lo que hacemos ahora es que volvemos a escribir el sistema 00:10:48
vamos a escribir ahora este sistema con sus sincronistas 00:10:51
la primera ecuación me quedaría x más y más z igual a 2 00:10:54
la segunda ecuación la x no está 0 por x 0 00:11:01
me queda y más 3z igual a 7 00:11:06
y la tercera ecuación me queda 0 por x 0 más 0 por y 0 00:11:09
Me queda 23z igual a 69. Y fijaros que ya está el sistema escrito en forma escalonada y ahora es muy fácil de resolver. 00:11:14
Como hemos hecho ya otras veces, empezamos resolviendo esta ecuación. 00:11:24
Aquí me queda que z es igual a 69 entre 23, que eso es 3. Me queda z igual a 3. 00:11:29
con este resultado vamos a la ecuación anterior y lo sustituimos 00:11:38
en lugar de poner z ponemos el valor que hemos encontrado que tiene que es 3 00:11:45
entonces pondríamos y más 3 por 3, 9 igual a 7 00:11:49
si queréis lo pongo con todo detalle para que esté claro, 3 por 3 igual a 7 00:11:54
y si despejamos de ahí nos queda que y es igual a 7 menos 9 que es menos 2 00:12:00
¿Vale? Esa sería la solución para la Y. Y por último, vamos con la primera ecuación, ¿vale? Y sustituimos la X y la Z que hemos averiguado, ¿de acuerdo? Y nos quedaría X más menos 2 más menos 2 es menos 2Y más 3 igual a 2, ¿vale? Con lo cual lo pasamos todo al otro miembro, nos queda 2 más 2 menos 3 que es 1, ¿vale? 00:12:07
Con lo cual, ¿cuál es la solución del sistema? 00:12:34
x igual a 1, y igual a menos 2, y z igual a 3. 00:12:37
Y ya habríamos acabado el problema. 00:12:44
Bueno, espero que os haya servido para entender cómo aplicar este método. 00:12:48
Un saludo. 00:12:51
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Francisco Javier Majadas García
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
77
Fecha:
25 de septiembre de 2025 - 12:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN ISIDRO
Duración:
12′ 55″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1152x720 píxeles
Tamaño:
52.19 MBytes

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