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AR4. 2 Representaciones gráficas. Ejercicios 4 y 5 - Contenido educativo
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Hola a todos. Soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos
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los diagramas de árbol y las tablas de doble entrada y resolveremos los ejercicios propuestos
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4 y 5. Las consideraciones que hacíamos en la videoclase anterior son demasiado abstractas.
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Desde el punto de vista formal es la forma más adecuada de calcular el cardinal de un conjunto,
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pero para casos prácticos como los que nosotros vamos a tratar en esta asignatura, es demasiado árido.
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Existen alternativas gráficas mucho más útiles y mucho más fáciles de entender
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para la determinación de cardinales de conjuntos en lugar de la regla del producto o la regla de la suma.
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En concreto vamos a ver aquí diagramas de árbol.
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Lo que vamos a hacer es hacer una representación gráfica partiendo de un nodo y abriendo ramas,
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teniendo en cuenta las distintas posibilidades, para contar las posibilidades en total que admite un cierto experimento.
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Como ejemplo, lo que vamos a hacer es pasar atrás a ver qué es lo que se nos pedía en el ejercicio número 3
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e intentar lo mismo, utilizando un diagrama de árbol.
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En el ejercicio número 3 os recuerdo que se nos decía que consideráramos los elementos de un conjunto A, Clara, Isabel, María, Sara y Teresa, con 5 elementos, son personas que se identifican como chicas, y un conjunto O formado por Fernando, Luis y Pedro, el cardenal de este conjunto es 3, son personas que se identifican como chicos.
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Y lo que queremos es elegir una persona de este conjunto A y una persona de este conjunto O
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para formar la pareja protagonista de la obra de teatro.
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Bien, lo que podemos hacer es bien sencillo.
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Partiendo de este punto vacío en el que de momento no tenemos nada,
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lo que vamos a hacer es trazar líneas que se llaman ramas
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para poner a continuación los nombres de las personas que se encuentran dentro del conjunto A.
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En el conjunto A hay cinco elementos, vamos a trazar cinco ramas
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y vamos a colocar a continuación los nombres de las personas que se encontraban en ese conjunto.
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Clara, Isabel, María, Sara y Teresa.
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Cada una de estas líneas es una rama, cada uno de estos elementos es un nodo.
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Este nodo está vacío y con la primera elección que hacemos de un elemento del conjunto A, lo que tenemos son cinco posibilidades distintas.
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Aquí tenemos cinco nodos.
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A partir de aquí, una vez que hemos elegido la primera persona del conjunto A y vemos que hay cinco posibilidades, se nos abre una segunda elección.
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Ahora hemos de elegir una persona de entre las que se encuentran en el conjunto O.
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El conjunto O estaba formando por Fernando, Luis y Pedro y entonces, si en el conjunto A hemos elegido a Clara, ahora tenemos tres ramas que se corresponden con los tres elementos del conjunto O y de aquí aparecerán otros tres nodos que serán Fernando, Luis y Pedro, las elecciones posibles dentro del conjunto O.
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Si en lugar de Clara hubiéramos elegido a Isabel en el conjunto A, bueno, pues en este caso tenemos las mismas tres opciones.
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Tenemos tres ramas que acaban en estas tres hojas, Fernando, Luis y Pedro, y así con todas las demás.
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Lo que estamos haciendo de esta manera es elegir un primer elemento del conjunto A y después, para cada una de esas selecciones,
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para cada uno de esos universos paralelos en los cuales hemos elegido
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bien a Clara, bien a Isabel, bien a María, bien a Sara, bien a Teresa del conjunto A,
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nos planteamos cómo podemos elegir del conjunto siguiente, que es el conjunto O.
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En este caso, las elecciones serían las mismas con independencia
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de cuál fuera la persona que hubiéramos elegido en el conjunto A.
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La elección en el conjunto A y en el conjunto O, ambas elecciones son independientes.
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Y aquí, al final, lo que podemos hacer es escribir las distintas parejas.
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Si elegimos a Clara y a Fernando a continuación, tenemos la pareja Clara y Fernando.
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Si elegimos a Clara y en lugar de Fernando elegimos a Luis, tenemos la pareja Clara y Luis.
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Si elegimos a Clara y no a Fernando o a Luis, sino elegimos a Pedro, tenemos la pareja Clara y Pedro.
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Con esto acabamos todas las posibilidades en las cuales hemos elegido a Clara dentro del conjunto A.
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A continuación, ¿qué ocurriría si en el conjunto A hubiéramos elegido Isabel?
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Bueno, pues una primera opción es que del conjunto O elijamos a Fernando y tenemos la pareja Isabel y Fernando.
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En lugar de Fernando podríamos haber elegido a Luis y tendríamos la pareja Isabel y Luis.
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Y por último, si no elegimos ni a Fernando ni a Luis, no nos queda otra que elegir a Pedro en el conjunto O y tenemos la pareja Isabel y Pedro.
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Como veis, lo que estamos haciendo es enumerar de una forma exhaustiva todas las posibles elecciones posibles, todas las parejas posibles.
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En el caso en el que se nos pidan las parejas, se corresponden con esto que tenemos al final del todo, serían las hojas, se llaman hojas del árbol.
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En el caso en el que únicamente queramos saber cuáles son las parejas posibles, el cardinal de las parejas posibles,
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tendríamos que contar 1, 2, 3, etc. y tendríamos las 15 posibilidades que habíamos visto antes.
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La regla de la multiplicación que habíamos discutido en la videoclase anterior nos permite determinar de una forma muy sencilla,
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5 por 3 igual a 15, hay 15 parejas posibles, el método del diagrama de árbol nos permite determinar
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de esta manera la composición de todas las parejas posibles. Evidentemente este trabajo es tanto más
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arduo cuantos más elementos hay en cada uno de los conjuntos, si los cardinales son grandes, o bien
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si en lugar de elegir de entre dos conjuntos tenemos que elegir de entre un número mayor. En ese caso
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el número de hojas se multiplicaría y aquí lo que tendríamos es una lista muy amplia. Pero esto es
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bastante útil cuando tenemos conjuntos relativamente pequeños y un número relativamente pequeño de
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conjunto. Una segunda posibilidad es, en lugar de utilizar diagramas de árbol, utilizar tablas de
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doble entrada. Esto únicamente en el caso en el que el experimento conste de dos fases, como es
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el ejemplo que teníamos entre manos. Tenemos que elegir una persona dentro del conjunto A, tenemos
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que elegir una persona dentro del conjunto O. Tenemos dos fases. En este caso lo que vamos a
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hacer es una tabla de doble entrada y lo que vamos a hacer es poner como encabezados de filas y de
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columnas las elecciones posibles dentro de cada una de esas dos fases del experimento. Independientemente
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no importa elegir filas o columnas. Yo en este caso lo que he hecho ha sido elegir como encabezados
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de filas los elementos del conjunto A. Tenemos Clara, Isabel, María, Sara, Teresa. Tengo cinco filas
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porque el conjunto A tenía cinco elementos. Lo que hago es a continuación poner como encabezados
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de columnas los elementos del otro conjunto, en este caso el conjunto O, y tenía a Fernando,
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a Luis y a Pedro. Indistintamente podría haber puesto aquí el conjunto A y aquí el conjunto O,
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como es mi caso, o bien aquí el conjunto O y aquí el conjunto A. Aquí tengo cinco filas y tres
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columnas. Si hubiera elegido al revés, aquí tendría tres columnas y, perdón, tres filas y
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cinco columnas es exactamente lo mismo. ¿Qué es lo que tengo que hacer si quiero determinar la
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composición de todas las parejas posibles? Pues poner dentro de estas celdas los nombres de el
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elemento del conjunto A que se encuentra en la misma fila, y aquí he puesto Clara, Clara, Clara,
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Isabel, Isabel, Isabel y así, etcétera, y en cada columna el elemento que se encuentra como
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encabezado en ella. Y aquí en toda esta columna he puesto Fernando, Fernando, Fernando, Fernando,
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Fernando, aquí he puesto a Luis y aquí he puesto a Pedro. La intersección de fila y columna, el elemento
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que está en el encabezado de fila y el elemento que está en el encabezado de columna, me da todas
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las posibles composiciones de parejas. Y aquí tengo Clara y Fernando, Clara y Luis, Clara y Pedro en la
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siguiente fila. Isabel y Fernando, Isabel y Luis, Isabel y Pedro. Si quiero determinar la composición
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de todas las parejas posibles, lo que tengo aquí son todas estas celdas, donde tengo todas las
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posibles combinaciones, si lo que quiero es determinar únicamente el cardinal del conjunto
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de parejas, únicamente tendría que contar cuántas celdas tengo y en total tengo una, dos, tres, cuatro,
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cinco, cuento hasta 15. Fijaos que tiene todo el sentido del mundo la operación que hice con el
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principio del producto. Tengo cinco filas, tengo tres columnas, en total celdas, que es la intersección
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de estas cinco filas y estas tres columnas, tengo 5 por 3, 15. Una vez más el sentido común y el uso
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habitual nos permite determinar cardinales de una forma mucho más sencilla que utilizando todo el
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aparato matemático que hemos desarrollado en la videoclase anterior y en esta. Bien es cierto que
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el método del diagrama de árbol que habíamos visto anteriormente y ahora el método de las tablas de
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doble entrada me permite no sólo determinar el cardinal de ese conjunto que es combinación de
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varios sino además todos los elementos de que consta. En el aula virtual de la asignatura tenéis
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disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las
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fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase
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o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 2
- Fecha:
- 17 de agosto de 2025 - 7:31
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 10′ 19″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 26.14 MBytes
