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T5 - ej 54 al 57.mp4: T5 - ej 54 al 57 - Contenido educativo

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Subido el 7 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a hacer ahora del eje 54 al 57, ¿vale? 00:00:00
Del tema 5 de integración por partes, los últimos que nos faltan. 00:00:04
Venga, tenemos un logaritmo, al final son muy parecidas a las que hemos hecho. 00:00:09
No se integra el logaritmo, no tenemos otra función, luego mi función u 00:00:12
va a ser el logaritmo neperiano de x más 1. 00:00:16
Y por lo tanto su derivada, diferencial de u, 00:00:20
va a ser... 00:00:24
La derivada de lo de dentro es 1, luego es 1 partido por x más 1, diferencial de x. 00:00:26
Y vamos a llamar diferencial de v al diferencial de x. 00:00:34
Por lo tanto, lo que me queda que va a ser, me va a quedar que la v es exactamente x. 00:00:44
Bien, pues sustituimos arriba y esto que me queda u por v, pues x por el logaritmo neperiano 00:00:51
Lo ponemos entre valores absolutos como siempre, de x más 1 menos la integral de v que es x por diferencial que es x más 1 diferencial de x 00:01:00
y ahora lo único que tenemos que hacer 00:01:14
ya lo hemos visto, para hacer esta integral es un cociente de polinomios 00:01:19
pues lo que vamos a hacer para hacerlo es directamente 00:01:23
vamos a dividirlos para que sea más sencilla 00:01:27
ya que no es ninguna, es decir la derivada de x más 1 00:01:31
no es x, no lo puedo poner de otra manera 00:01:35
entonces lo que vamos a hacer aquí, yo voy a dividir x 00:01:38
entre x más 1 00:01:43
esto sería 1, 1 por 1, 1 00:01:46
menos 1, 1 por 1, x 00:01:51
menos x, sumo, este se me va y me queda menos 1 00:01:53
¿vale? yo recuerdo cuál era la formulita 00:01:56
la formulita es que el dividendo partido del divisor 00:01:59
es el cociente más el resto partido del divisor 00:02:04
por lo tanto aquí teníamos una x por el logaritmo neperiano 00:02:08
de x más 1 en valor absoluto, menos, y ahora aquí en esta integral lo que tengo que poner es 00:02:13
el cociente que es 1, más el resto partido por el divisor, el resto es menos 1, 00:02:19
pues pongo directamente menos 1 partido, y el divisor es x más 1, ¿vale? 00:02:25
Y ahora sí que estas integrales son inmediatas, luego vamos a, o bueno lo podríamos poner 00:02:31
aquí a la derecha, en lugar de ponerlo abajo, lo podemos poner aquí a la derecha, yo creo 00:02:39
que va a quedar claro también, ¿vale? Y esto va a ser igual al x por el logaritmo 00:02:48
neperiano de x más 1, y ahora sería con un menos, ¿vale? La integral de 1 es x, como 00:02:57
Cuando tengo este menos delante, lo hago directamente, sería, ah, vale, que se me ha olvidado aquí cerrar el valor absoluto, vale, sería menos x y ahora aquí tengo un menos con un menos, se nos transforma en más y ¿qué es lo que tengo? 00:03:05
1 partido por x más 1 lo tenemos aquí, esta es la derivada del logaritmo neperiano de x más 1, luego más logaritmo neperiano de x más 1 más k, ¿vale? 00:03:18
Que queremos sacar factor común al logaritmo neperiano 00:03:32
Para ya dejarlo todo mucho más bonito 00:03:36
Pues que me quedaría 00:03:38
X más 1 00:03:39
¿Vale? 00:03:41
Esta X y este más 1 que no aparece ahí 00:03:43
Por el logaritmo neperiano 00:03:45
De X más 1 00:03:47
Menos X 00:03:48
Más K 00:03:51
¿Vale? 00:03:53
Recordar el truquito de la división 00:03:55
Venga, vamos con la 55 00:03:56
La 55 00:03:59
ninguna exponencial y un polinomio de grado 2. 00:04:01
Pues está claro que vamos a tener que hacer la integración por partes dos veces. 00:04:04
Llamamos u al polinomio, al x cuadrado más 4, 00:04:07
por lo tanto diferencial de u será 2x diferencial de x, ¿vale? 00:04:13
Y llamamos diferencial de v a elevado a x diferencial de x, 00:04:19
por lo tanto v es elevado a x. 00:04:24
Este menor no se ve bien. 00:04:28
Venga, u por v, pues, x cuadrado más 4 por e elevado a x menos la integral de v diferencial de u, es decir, 2x elevado a x diferencial de x. 00:04:30
volvemos a aplicar la integración por partes 00:04:46
u sigue siendo el polinomio 00:04:49
y entonces diferencial de u 00:04:52
ahora va a ser dos veces el diferencial de x 00:04:55
y igual que antes 00:04:58
diferencial de v es elevado a x 00:05:00
diferencial de x 00:05:02
por lo tanto la v es elevado a x 00:05:03
venga, pues esto que me va a quedar 00:05:07
x cuadrado más 4 00:05:10
por elevado a menos x menos paréntesis u por v 2x por elevado a x menos la integral de v diferencial de u 00:05:14
que es dos veces elevado a x diferencial de x, ¿vale? 00:05:27
Lo continuo aquí abajo y esto que va a ser, pues x cuadrado más 4 por elevado a x 00:05:32
Voy a quitar el signo menos del paréntesis 00:05:44
Me queda menos 2x elevado a x 00:05:49
Con el menos, con el menos me queda más 00:05:53
Dos veces la integral de elevado a x diferencial a x 00:05:55
Que la podríamos haber hecho ya directamente de cabeza, ¿vale? 00:06:01
¿Y esto cuánto va a ser? 00:06:04
x cuadrado, voy a sacar factor común para ir escribiendo más o menos, ¿vale? 00:06:06
Porque tengo este elevado a x y este elevado a x 00:06:10
Luego sacaré factor común del resto 00:06:12
x cuadrado más 4 menos 2x todo esto por elevado a x y cuál es la integral que me quedaba más 2 ella misma más k 00:06:14
y lo que os decía vamos a sacar factor común y esto sería x cuadrado menos 2x más 4 más 2 todo por elevado a x más k 00:06:26
Operando, esto va a ser x cuadrado menos 2x más 6 por e elevado a x más k, ¿vale? 00:06:44
Bueno, pues ya está. Yo creo que ya cuando tenemos una exponencial y un polinomio, ya lo vamos viendo cada vez más fácil. 00:06:56
Vamos con la 56. La 56 es muy parecida a una de las que hemos hecho antes, que tenemos una exponencial y un coseno, por lo tanto, que va a acabar siendo cíclica, ¿verdad? 00:07:03
Entonces para la de la exponencial y el coseno 00:07:13
Bueno, pues vamos a hacer igual que hice antes 00:07:16
Vamos a tomar como u la trigonométrica, el coseno de x 00:07:18
Y entonces la diferencial de u va a ser la derivada del coseno es el menos seno de x 00:07:22
Diferencial de x, ¿vale? 00:07:31
Y como diferencial de v va a ser el elevado a x diferencial de x 00:07:35
Por lo tanto la v va a ser ella misma 00:07:41
Elevado a x 00:07:43
¿Vale? 00:07:45
O sea, como decíamos, está claro que va a ser una cíclica 00:07:46
u por v, pues esto es 00:07:48
Elevado a x 00:07:51
Por el coseno de x 00:07:53
Menos la integral 00:07:56
De v diferencial de u 00:07:57
Tengo aquí un menos 00:08:00
¿Vale? 00:08:01
Este menos 00:08:03
Lo voy a transformar aquí 00:08:03
Y lo voy a poner en más 00:08:06
Y me queda 00:08:07
Elevado a x 00:08:08
seno de x 00:08:10
diferencial de x 00:08:12
os recuerdo que este menos 00:08:14
voy a poner en otro color 00:08:16
este menos 00:08:18
lo he transformado 00:08:21
con el signo menos que teníamos 00:08:23
de la fórmula 00:08:25
bien, pues 00:08:25
vamos a volver a hacer la integración por partes 00:08:29
pues vamos a llamar 00:08:31
igual que antes u 00:08:33
a la trigonométrica 00:08:34
seno de x 00:08:36
por lo tanto diferencial de u 00:08:37
va a ser la derivada del seno 00:08:40
coseno de x diferencial de x 00:08:43
y mi diferencial de v 00:08:45
es elevado a x 00:08:47
diferencial de x 00:08:49
y por lo tanto 00:08:50
la v es 00:08:52
elevado a x 00:08:54
venga pues sustituimos 00:08:56
otra vez 00:08:59
tengo elevado a x 00:09:00
coseno de x 00:09:02
más 00:09:04
como es un más no me hace falta el paréntesis 00:09:05
u por v 00:09:07
Pues, elevado a x, seno de x, menos la integral de v diferencial de u, que es elevado a x, coseno de x, diferencial de x. 00:09:08
¿Y qué hemos obtenido? Pues, hemos vuelto a obtener esta integral de aquí, es exactamente la integral inicial que teníamos. 00:09:22
Luego hemos obtenido la ecuación, si yo a esta integral le llamo y, la ecuación que obtenemos es y es igual a, y aquí voy a sacar el elevado a x factor común, ¿vale? 00:09:36
elevado a x que multiplica al coseno de x más el seno de x menos la y, ¿vale? 00:09:53
Pasamos la y al otro miembro sumando, serían dos y, y por lo tanto, ¿qué me va a quedar? 00:10:06
Que la y va a ser elevado a x que multiplica al coseno de x más seno de x, 00:10:11
Todo ello partido de 2 00:10:19
Más k 00:10:22
¿Vale? 00:10:25
Ya sé que me estoy comiendo todo el tiempo 00:10:27
Este paso lo escribo aquí 00:10:29
Esto sería y más y 00:10:30
Igual a e elevado a x 00:10:31
Por el coseno de x 00:10:34
Más el seno de x 00:10:37
¿Vale? 00:10:40
Pero ese paso lo podemos hacer de cabeza 00:10:40
Y más y son dos y 00:10:42
Y luego ya de aquí 00:10:43
Llegaríamos a la misma solución 00:10:45
¿Vale? 00:10:49
Otra cíclica 00:10:50
Venga, vamos con el 57 00:10:51
El último ya de este vídeo 00:10:53
Venga, el 57 es un arco tangente 00:10:56
Volvemos a lo mismo, solo tenemos una función 00:11:00
Pues, ¿qué es lo que tenemos que hacer? 00:11:02
Tenemos que aplicar el cambio 00:11:05
A ver, ¿dónde escribo? 00:11:06
U va a ser el arco tangente de X 00:11:08
Y por lo tanto su derivada 00:11:13
Va a ser 1 partido por 1 más 00:11:15
X cuadrado diferencial de X, ¿vale? 00:11:18
Ya os dije que la del arco tangente sí que nos la tenemos también que saber porque también se utiliza bastante. 00:11:21
Venga, ¿y quién va a ser mi diferencial de v? 00:11:27
Pues simplemente el diferencial de x, es decir, v va a ser x. 00:11:30
Pues sustituimos u por v, pues esto será x por el arco tangente, a ver si sigue escribiendo, 00:11:37
arco tangente de x menos la integral de v diferencial de u. 00:11:45
Es decir, estamos multiplicando x por 1 partido de 1 más x cuadrado 00:11:49
Luego me queda en el numerador x y en el denominador 1 más x cuadrado diferencial de x 00:11:55
¿Y qué ocurre? Que ahora esta integral sí que es inmediata 00:12:00
¿Por qué? Porque en el numerador tengo prácticamente la derivada del denominador 00:12:03
¿Quién es la derivada de 1 más x cuadrado? Pues 2x 00:12:07
Tengo la x, solo me falta un 2 00:12:11
Como lo que me falta es una constante, ya lo tendríamos 00:12:13
Esto es x por el arco tangente de x menos el logaritmo neperiano de 1 más x cuadrado partido por el 2 que me falta, ¿vale? 00:12:17
Más k. 00:12:33
Y ya estaría. 00:12:35
No tenemos que hacer nada más, ¿vale? 00:12:38
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
12
Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 10:35
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
12′ 43″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
29.70 MBytes

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