Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Problemas de integral definida - Ejercicio 6

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 16 de marzo de 2020 por Manuel D.

97 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bueno, y a petición también de algunos de vosotros, vamos a calcular un par de integrales que se hagan mediante cambios trigonométricos. 00:00:02
Imaginaos, y ya le paso, pues vamos a aprovechar a hacerle integrales, pues, definidas, ya que estamos con el tema integral definida, 00:00:15
y hacemos un poco de integral indefinida y un poco de integral indefinida. 00:00:23
Os había dicho que cuando la función trigonométrica es impar en el seno hay que hacer justo lo contrario coseno de x igual a t y eso porque va a ser porque cuando hagamos esto al calcular los diferenciales pues la cosa va a quedar muy bien. 00:00:25
Si no calculamos los diferenciales va a quedar reguleras. Entonces, por ejemplo, tenemos esta y al calcular el diferencial sería menos seno de x diferencial de x y luego como tenemos que calcular el seno, pues habría que calcular desde aquí el seno y eso se hace con la ecuación fundamental. 00:00:43
y desde aquí tenemos que despejar seno de x, que es lo que yo necesito, porque aquí tengo seno de x y aquí tengo seno de x, así que tengo que calcular seno de x. 00:01:01
Entonces, ¿qué es lo que hago? Pues despejar de aquí seno de x será raíz de 1 menos coseno cuadrado de x, es decir, como coseno de x es t, 1 menos t cuadrado. 00:01:13
Y ya con este cambio sí que puedo deshacer toda la integral y ponerla fácil. Fijaos, va a quedar la integral, ojo, entre 0 y pi no, ahora entre 0 y pi no, ahora veremos entre qué valores hay que calcular los límites, ahora lo vemos. 00:01:27
Luego, seno de x al cubo, pues tendrá que ser raíz cuadrada de 1 menos t cuadrado al cubo. 00:01:45
Diferencial de x, el diferencial de x lo tengo que despejar desde aquí. 00:01:52
Es diferencial de t partido por menos seno de x, es decir, diferencial de t partido por menos, y ahora seno de x vale raíz de. 00:01:56
Correcto, y ahora vemos los límites. 00:02:08
Si la x vale 0, pues ¿cuánto vale la t? 00:02:11
Pues lo de siempre, si la x es 0, la t va a valer coseno de 0, es decir, pues 1. 00:02:14
Y si la x es pi, pues la t va a valer coseno de pi, es decir, menos 1. 00:02:21
Entonces, aquí vamos a tener que el seno va a ir, la t, perdón, va a ir desde, lo diré bien, desde 1 hasta menos 1. 00:02:29
Aquí va a quedar cambiado, normalmente vemos que el límite inferior es superior al límite superior 00:02:40
Aquí ha dado así, pues ha dado así, lo que nos dé 00:02:46
Luego veréis que como la función seno es positiva entre 0 y pi 00:02:48
Porque seno siempre es positivo para valores que van de 0 a pi 00:02:54
Tened en cuenta que el seno es la coordenada i, os recuerdo el seno 00:02:58
De 0 a pi, el seno es este valor, el seno es positivo 00:03:02
entonces esta integral tiene que dar positivo 00:03:07
así que esta integral nos tiene que quedar positivo 00:03:10
si no, lo hemos hecho mal 00:03:12
venga, vamos con ello, vamos a simplificar 00:03:13
aquí tenemos un cubo, aquí tenemos una raíz 00:03:15
pues la raíz se me va con el cubo 00:03:18
aquí me queda un 2 00:03:20
y entonces pues como el 2 se me va a ir con la raíz 00:03:21
¿y qué voy a tener? 00:03:28
pues lo siguiente 00:03:29
la integral entre 1 y menos 1 00:03:31
de 1 menos t cuadrado 00:03:33
diferencial de t y ojo que me ha saltado un signo menos 00:03:35
y este signo menos lo ponemos fuera 00:03:40
y ahora está chupada, ¿veis? 00:03:43
lo importante que es hacer el cambio correcto 00:03:45
el cambio correcto es el que es justo 00:03:48
pues si el seno es impar, pues t igual a coseno 00:03:51
si hubiese hecho seno de x igual a t 00:03:54
no me habría salido tan redonda como aquí 00:03:57
me habría salido de hecho bastante más complicado 00:03:59
Y ahora integro la integral de 1 es t, la integral de menos t cuadrados menos t cubo partido por 3 y ahora tengo que evaluar entre 1 y menos 1. 00:04:01
Con mucho cuidado que hay mil signos menos aquí, así que tenemos que ir contiento. 00:04:13
la cosa queda de la siguiente forma 00:04:18
menos 00:04:20
menos uno 00:04:22
ese sería evaluado 00:04:24
en el uno, en el menos uno 00:04:29
y ahora evalúo 00:04:31
de otro color para que lo veáis 00:04:33
en el uno 00:04:34
y esto con signo menos en medio 00:04:36
menos paréntesis 00:04:39
en el uno sería uno menos 00:04:40
uno al cubo partido por tres 00:04:43
¿vale? 00:04:45
y ahora hacemos esa cuenta con mucho mucho mucho cuidado 00:04:50
Y ya digo, si quiero comprobar que está bien como mínimo, me tiene que quedar positivo el resultado. 00:04:52
Pues tenemos menos 1, menos menos 1 al cubo, pues sería más un tercio, menos 1 menos un tercio, que son dos tercios. 00:04:58
Efectivamente, vamos a ver, menos menos 1 más un tercio son menos dos tercios, menos dos tercios, menos dos tercios. 00:05:11
Pues va a dar justo 4 tercios, que es positivo, que como mínimo sabíamos que nos tenía que dar positivo y parece que nos da eso. 00:05:22
Entonces, con esto del cambio de variable, con integral definida no os agobiéis, porque tiene una ventaja. 00:05:29
Como estamos haciendo el cambio del rango aquí, todo vamos a escribirlo en función de t, al hacer la integral indefinida, 00:05:34
luego no tenemos que deshacer el cambio, no tenemos que escribir que t sea coseno de x. 00:05:44
si escribiésemos y decisimos el cambio aquí t igual a coseno de x 00:05:47
pues podría sustituir la x por 0 y la x por pi 00:05:52
pero así lo que me estoy haciendo es evitar el deshacer el cambio de variable 00:05:54
y así sustituyo con los valores de t correspondientes 00:05:58
y la integral sale mucho más rápido 00:06:01
bueno pues esto ha sido todo 00:06:03
nos vemos en la siguiente integral 00:06:05
hasta luego 00:06:07
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
97
Fecha:
16 de marzo de 2020 - 15:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
06′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
145.64 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid