P.F2 Balística | Mediateca de EducaMadrid

¡Hola a todos! Soy Raúl Corraliza, profesor de física y química de primero de bachillerato 00:00:00

en el IES Arquitecto Pedro Gumial de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta 00:00:22

serie de videoclases dedicada a las prácticas de laboratorio virtual. 00:00:26

En la práctica de hoy estudiaremos la balística. 00:00:35

Los objetivos de esta segunda práctica de física son los mismos que la primera que 00:00:47

les sirve de introducción. En primer lugar, queremos estudiar la balística, el movimiento 00:00:52

bidimensional de un proyectil en el seno de un campo gravitatorio, ya sea el generado 00:00:57

por la Tierra o el generado por otro cuerpo. A la balística nos aproximamos a través 00:01:01

de dos de las unidades de la física y química de primero de bachillerato, las dos de cinemática. 00:01:06

En la primera de ellas, en la número 8, estudiamos los sistemas de referencia y aquellas magnitudes 00:01:11

que, definidas respecto de estos, nos permiten describir el movimiento de los cuerpos, como 00:01:16

son el tiempo, la posición, la velocidad y la aceleración. En la siguiente unidad, 00:01:21

en la número 9, pasamos a estudiar movimientos concretos, empezando por movimientos unidimensionales, 00:01:27

como son el movimiento rectilíneo y uniforme, el movimiento rectilíneo y uniformemente 00:01:34

acelerado, para luego pasar a estudiar movimientos bidimensionales. La balística es la composición 00:01:38

de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección vertical, siendo 00:01:44

la aceleración la de la gravedad del cuerpo en el cual nos encontremos, con un movimiento 00:01:48

rectilíneo uniforme en la dirección horizontal. Este estudio de la balística lo podemos realizar 00:01:52

desde dos vertientes. En primer lugar, desde una vertiente más experimental y utilizaremos 00:01:59

en el laboratorio virtual un sistema de lanzamiento de proyectiles que podremos configurar a través 00:02:05

del ángulo de elevación, la velocidad de lanzamiento y la altura con respecto al nivel 00:02:11

del suelo, para poder seguir ciertos proyectiles. Nos plantearemos en un momento dado determinar 00:02:15

cuál es el ángulo de elevación con el que debemos lanzar un proyectil para alcanzar 00:02:21

un objetivo o cuál es el ángulo de elevación y la velocidad con la cual deberemos lanzar 00:02:25

un proyectil para alcanzar otro cierto objetivo. Asimismo, además de desde el punto de vista 00:02:30

experimental, podemos aproximarnos a la balística desde un punto de vista analítico y resolveremos 00:02:36

esos mismos ejercicios. Además de plantearnos desde un punto de vista experimental cuál 00:02:41

debe ser el ángulo de elevación, etcétera, lo haremos desde un punto de vista analítico 00:02:46

resolviendo las ecuaciones del movimiento para esos casos concretos. Complementaremos 00:02:50

todo esto con el estudio gráfico de una trayectoria. Tenemos la trayectoria de un proyectil en 00:02:55

un cierto cuerpo que no sabemos en principio cuál pueda ser y necesitaríamos calcular 00:03:01

cuál es la aceleración de la gravedad para comprobar si se trata o no de la Tierra y 00:03:06

el ángulo de lanzamiento a partir de datos geométricos, puesto que sobre la trayectoria 00:03:10

podremos medir la altura máxima, la coordenada horizontal que corresponde a la altura máxima 00:03:15

o el alcance del lanzamiento. El segundo de los objetivos supone comparar los resultados 00:03:21

experimentales y analíticos a través de los errores absolutos y relativos que se han 00:03:27

estudiado en las matemáticas de educación secundaria obligatoria. En la introducción 00:03:33

teórica voy a comenzar hablando de los sistemas de referencia y las magnitudes que permiten 00:03:39

describir un movimiento bidimensional, movimiento balístico. La primera de estas magnitudes 00:03:44

es el tiempo. Nosotros en todas las experiencias vamos a considerar que iniciamos un cronómetro 00:03:48

en el instante en el que la experiencia se inicia y a partir de aquí el tiempo comienza 00:03:55

a correr. Ese instante de tiempo en el cual comienza la experiencia es lo que se denomina 00:04:00

origen de tiempo. En nuestra experiencia concreta, donde tenemos un sistema de lanzamiento 00:04:05

como este que tenemos en la figura, en el cual se produce el lanzamiento de un proyectil 00:04:09

que saldrá emitido por la boca de este cañón, vamos a elegir como origen de tiempo T0 igual 00:04:14

a 0 el instante en el cual se produce el lanzamiento del proyectil. La segunda de las magnitudes 00:04:19

importantes para caracterizar el movimiento de los cuerpos es la posición. La posición 00:04:27

es una magnitud vectorial y esos vectores señalan los puntos del espacio que son ocupados 00:04:32

sucesivamente a lo largo del tiempo por el objeto cuyo movimiento estamos estudiando. 00:04:37

Puesto que el movimiento balístico es un movimiento bidimensional, para caracterizar 00:04:44

las posiciones necesitamos de un sistema de referencia bidimensional formado por un punto 00:04:48

que denominaremos origen de coordenadas y dos ejes de coordenadas perpendiculares entre 00:04:53

sí que llamaremos X e Y que se pueden caracterizar con los vectores unitarios I y J. Nosotros 00:04:59

en esta práctica utilizaremos un sistema de lanzamiento como el que vemos aquí en 00:05:06

esta figura, elevado por encima de la superficie del cuerpo en el cual nos encontremos mediante 00:05:10

una plataforma. Pues bien, nosotros en todos los casos situaremos el origen de coordenadas 00:05:16

sobre la superficie del cuerpo planetario en la vertical del punto que ocupa el proyectil 00:05:22

en el instante de lanzamiento, en el instante inicial. Utilizaremos como eje Y un eje vertical 00:05:27

con sentido positivo hacia arriba. Utilizaremos como eje X un eje horizontal que se corresponderá 00:05:35

con la proyección de la trayectoria sobre la superficie con sentido positivo el sentido 00:05:42

del movimiento. En relación con la posición podemos hablar de la trayectoria. Ya dije 00:05:47

hace un momento que la posición es una magnitud vectorial y que estos vectores señalan a 00:05:54

los puntos del espacio que son sucesivamente ocupados por el proyectil a lo largo del tiempo. 00:05:59

Pues bien, la trayectoria supone precisamente esa colección de puntos, esa colección de 00:06:04

posiciones que son ocupados por el proyectil. Asimismo, también he hablado de puntos y 00:06:08

he hablado de tiempo. Bueno, pues la ecuación de posición es un objeto algebraico, es una 00:06:15

ecuación como su propio nombre indica, que nos va a permitir relacionar para cada instante de 00:06:21

tiempo las posiciones de los puntos que son ocupados por el proyectil. La siguiente magnitud 00:06:26

de importancia es la velocidad. También es una magnitud vectorial y lo que hace es caracterizar 00:06:34

la forma en la que cambia la posición a lo largo del tiempo. En el caso en el que el movimiento 00:06:40

se caracterizara porque el objeto mantiene una posición fija, constante, a lo largo del tiempo, 00:06:46

la velocidad sería el vector idénticamente nulo. Al igual que existe una ecuación de posición que 00:06:52

relaciona las posiciones sucesivas con los instantes de tiempo, nosotros también utilizaremos 00:06:59

desde el punto de vista analítico una ecuación de velocidad que lo que va a hacer es ligar las 00:07:04

velocidades sucesivas con los distintos instantes de tiempo. Dentro de las velocidades, una va a 00:07:09

ser especialmente importante para nosotros y es la velocidad inicial, la velocidad con la que se 00:07:16

produce el lanzamiento. Aquí tenemos en esta representación gráfica nuestro sistema de 00:07:22

lanzamiento. Tenemos el proyectil ubicado para ser lanzado y lo que tenemos aquí representado en color 00:07:27

verde es el vector velocidad inicial v sub 0, que tendrá una cierta inclinación con respecto a la 00:07:33

horizontal, con respecto al eje de las x, que viene dada por este ángulo que aquí representamos por 00:07:40

alfa. A este ángulo alfa se le domina ángulo de elevación, puesto que la velocidad está dirigida 00:07:44

hacia arriba. Se denominaría ángulo de depresión si la velocidad estuviera dirigida hacia abajo. 00:07:50

Nosotros en general no utilizaremos el vector velocidad, sino que utilizaremos las componentes 00:07:57

cartesianas, las proyecciones de la velocidad en el eje de las x, este vector v0x, y en el eje de 00:08:02

las y es este vector v0y. Nosotros podremos calcular las componentes cartesianas de la 00:08:08

velocidad, v0x y v0y, conocidas el módulo de la velocidad inicial y el ángulo de elevación 00:08:14

mediante las fórmulas que tenemos aquí a la izquierda, y análogamente podríamos operar en 00:08:21

sentido inverso a partir de las componentes cartesianas de la velocidad. Podríamos calcular 00:08:27

el módulo de la velocidad inicial utilizando el termo de Pitágoras o bien utilizando 00:08:34

trigonometría el ángulo de elevación a través de la tangente, teniendo siempre en cuenta que 00:08:38

el ángulo de elevación, si es así, tiene que estar comprendido entre 0 y 90 grados, y el ángulo 00:08:44

de depresión, si es así, tendrá que estar comprendido entre menos 90 y 0 grados. La última de estas 00:08:50

magnitudes relevantes es la aceleración, también vectorial, que caracteriza la forma en la que 00:08:58

cambia la velocidad a lo largo del tiempo, de tal forma que si un movimiento es uniforme, con 00:09:03

velocidad constante, la aceleración será nula. En lo que a nosotros respecta, estudiando un 00:09:09

movimiento balístico, lo que tendremos es un movimiento acelerado únicamente en la dirección 00:09:15

vertical, donde la aceleración se corresponderá a la aceleración de la gravedad en el cuerpo 00:09:21

planetario en el cual nos encontremos. Para el estudio analítico de un movimiento balístico 00:09:26

necesitamos de un conjunto de ecuaciones las ecuaciones del movimiento de posición y de 00:09:32

velocidad que he mencionado anteriormente. El movimiento balístico es un movimiento 00:09:37

bidimensional, es la composición de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección 00:09:42

vertical, siendo la aceleración la de la gravedad, y un movimiento rectilíneo y uniforme en la 00:09:47

dirección horizontal. Aquí podemos ver las ecuaciones generales de un movimiento rectilíneo 00:09:53

y uniforme. Se correspondería con la componente horizontal del movimiento, ya tenemos la 00:09:59

coordenada de posición x y la velocidad vx, y debajo tenemos las ecuaciones generales de un 00:10:04

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se corresponde con la componente vertical, y aquí 00:10:10

tenemos la componente vertical y, la posición y, y la velocidad v sub i. En estas ecuaciones de 00:10:15

movimiento aparecen distintos parámetros que tendríamos que determinar o que deberíamos 00:10:22

conocer. Tenemos x0 y i0, la posición inicial del proyectil, v0x, v0i, la velocidad inicial del 00:10:26

proyectil, a sub 0i, la componente vertical de la aceleración, puesto que en el eje de las x se trata 00:10:35

de un movimiento uniforme, la aceleración es idénticamente nula, y t sub 0, el instante inicial. 00:10:41

Hemos ido describiendo a lo largo de esta introducción cuál es el sistema de referencia 00:10:47

que vamos a utilizar. Hemos mencionado que el instante inicial t sub 0 va a ser 0. Dado donde 00:10:51

hemos ubicado el origen del sistema de referencia, justo en la vertical del punto que ocupa el 00:10:58

proyectil, el instante inicial, la coordenada inicial x0 va a ser igual a 0, y 0 estará 00:11:03

determinada por la altura. La velocidad v0x y v0i se determinará a partir de la velocidad inicial del 00:11:09

módulo de la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento, como hemos mencionado anteriormente. 00:11:17

Y en cuanto a la aceleración, se corresponde con la aceleración de la gravedad. Ahora pensaremos 00:11:21

por g, y únicamente hemos de tener cuidado en que hemos definido positivo el sentido hacia arriba, 00:11:25

y la gravedad siempre actúa hacia abajo. Luego deberemos sustituir la gravedad con signo negativo. 00:11:31

Si hacemos estas sustituciones, obtenemos este conjunto de cuatro ecuaciones para la posición 00:11:36

x, y en función del tiempo, y para la velocidad vx y uy, también en función del tiempo. 00:11:42

Los movimientos balísticos se caracterizan por tener trayectorias que son parábolas. Aquí 00:11:48

tenemos en azul un ejemplo de una trayectoria de un proyectil que ha sido lanzado desde este 00:11:56

sistema de lanzamiento. Conforme va avanzando, sube, alcanza este punto de altura máxima que 00:12:01

discutiremos dentro de un momento, hasta que alcanza el suelo, en lo que llamaremos alcance 00:12:08

máximo, que también discutiremos a continuación. El vértice de esta parábola se corresponde con 00:12:13

el punto de altura máxima, se corresponde con el punto de la trayectoria más alejado hacia arriba 00:12:20

del suelo. En un momento dado nosotros queremos calcular analíticamente cuál es esta altura 00:12:26

máxima utilizando las ecuaciones del movimiento que hemos discutido hace unos instantes. ¿Cómo 00:12:32

lo vamos a hacer? Pues de la siguiente manera. Este punto, el punto de altura máxima, se caracteriza 00:12:38

por ser el único en el cual la velocidad vertical es idénticamente nula. En todos los puntos 00:12:43

anteriores en la trayectoria, el cuerpo, el proyectil, se encuentra ascendiendo y tal y como 00:12:50

hemos definido en nuestro sistema de referencia, la velocidad vertical será positiva. A partir de aquí, 00:12:55

el cuerpo está descendiendo y en este caso la velocidad vertical será negativa. Pues bien, 00:13:01

siendo la velocidad una función continua para pasar de positivo a negativo, necesariamente tiene 00:13:07

que pasar por el valor de velocidad igual a cero y ese es el valor que permite definir este punto 00:13:12

de altura máxima. Así pues, vamos a definir esta altura máxima como el valor de la coordenada 00:13:17

vertical que podemos calcular a partir de la ecuación de posición vertical en un cierto instante 00:13:25

de tiempo que vamos a llamar tiempo de altura máxima que se corresponde con la condición 00:13:30

velocidad vertical en ese tiempo de altura máxima igual a cero. Podríamos calcular igualmente cuál 00:13:35

es la coordenada horizontal de este punto de altura máxima sin más que, teniendo el tiempo en el cual 00:13:42

se alcanza la altura máxima, sustituir en la coordenada, en este caso en la ecuación para la 00:13:47

coordenada horizontal, x, el tiempo en el que se alcanza esa altura máxima. En cuanto al alcance 00:13:52

que también mencionábamos, se corresponde con el único punto en toda la trayectoria en la cual 00:13:59

el objeto alcanza la superficie del cuerpo planetario. La superficie viene caracterizada 00:14:04

por coordenada vertical y igual a cero. Así pues, vamos a hacer algo similar. Vamos a determinar el 00:14:09

alcance, x máxima, utilizando la ecuación para la coordenada x, suponiendo que existe un cierto 00:14:15

instante de tiempo que llamaremos tiempo de vuelo, en el cual la coordenada vertical es igual a una 00:14:22

cierta coordenada vertical de destino, en el caso más general, en nuestro caso estamos centrados 00:14:28

con alcanzar el suelo, pues lo que haremos es que la coordenada de destino sea cero. Así pues, 00:14:33

en nuestro caso, el alcance se corresponde con el valor de la coordenada x que corresponde al 00:14:39

tiempo de vuelo, siendo el tiempo de vuelo aquel en el cual la coordenada vertical es igual a cero. 00:14:44

Vamos a finalizar esta introducción teórica discutiendo los errores absoluto y relativo. 00:14:52

Vamos a denominar errores a las diferencias que podamos obtener entre las magnitudes que 00:14:57

obtengamos experimentalmente, valores que vamos a considerar aproximados, y los que obtengamos 00:15:03

analíticamente, haciendo uso del álgebra, valores que vamos a considerar exactos. El error absoluto 00:15:08

se representa e sub a y se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor aproximado 00:15:14

y el valor real, y tomamos el valor absoluto porque no nos interesa saber cuál de los dos es mayor. 00:15:20

Tiene las mismas unidades que la magnitud estudiada, así que si estamos determinando el 00:15:25

error absoluto en una distancia, tendremos como unidades metros. Si estamos estudiando el 00:15:30

error absoluto de un ángulo, tendremos como unidades grados hexagesimales. El error absoluto nos permite 00:15:36

determinar qué aproximación es mejor siempre y cuando estemos comparando magnitudes equivalentes. 00:15:43

Podemos comparar errores de dos distancias entre sí, pero no el error de una distancia con un ángulo, 00:15:48

porque las unidades no son equivalentes. Para evitar esto, utilizaremos el error relativo, 00:15:55

que se define R como el valor absoluto del cociente entre el error absoluto y el valor real. 00:16:01

Habitualmente se va a expresar como un porcentaje, por lo cual aquí tenemos este por 100 para poder 00:16:09

expresarlo de esta manera. Dado que es el cociente de dos magnitudes con iguales unidades, el error 00:16:15

relativo es adimensional y por eso ya sí permite la comparación de qué aproximación es mejor entre 00:16:22

magnitudes que no tengan las mismas unidades. En cualquiera de los casos, tanto si estudiamos el 00:16:29

error absoluto como el error relativo, si la aproximación coincidiera con el valor real, 00:16:34

en cualquiera de los dos casos, el error absoluto o el error relativo serían 00:16:39

idénticamente nulos y eso lo que señalaría es la mejor posible de las aproximaciones. 00:16:44

Nuestro espacio de trabajo es el laboratorio virtual de la Universidad de Colorado al que 00:16:49

se accede pulsando este hipervínculo y presionando sobre este botón introducción. Aquí tenemos el 00:16:57

sistema de lanzamiento que hemos estado describiendo anteriormente. Es un cañón sobre una plataforma 00:17:06

horizontal de altura variable. Podemos modificar la altura sin más que pinchar sobre el cañón y 00:17:11

arrastrar hacia abajo o hacia arriba. La lectura de cuál es la altura inicial la tenemos aquí. En 00:17:17

este caso son 6 metros. Se corresponde con la coordenada y sub 0 en nuestras ecuaciones de 00:17:23

movimiento. En lo que respecta al ángulo de elevación o de depresión, aquí tenemos en 00:17:29

este caso la lectura de 0 grados. Podemos aumentarlo pinchando la boca del cañón y 00:17:35

arrastrando hacia arriba. Vemos 45 grados de elevación. O bien hacia abajo y en este caso 00:17:39

estamos viendo menos 30 grados. Ese menos indica depresión. Vamos a dejar una elevación de 25 00:17:44

grados por ejemplo. La velocidad inicial del lanzamiento la podemos modificar. La tenemos 00:17:51

aquí 15 metros partido por segundo. O bien moviendo este deslizador a la derecha aumenta, 00:17:57

hacia la izquierda disminuye. O presionando estos botoncitos para ir aumentando o disminuyendo 00:18:04

paulatinamente esta velocidad inicial. Vamos a dejar configurado este sistema de lanzamiento 00:18:10

así por ejemplo una altura de 6 metros, un ángulo de elevación de 25 grados, una velocidad inicial, 00:18:16

módulo de velocidad inicial v0 igual a 10 metros por segundo y vamos a producir el lanzamiento, 00:18:22

para lo cual hay que presionar este botón rojo. Y aquí podemos ver la trayectoria de color azul 00:18:27

hasta alcanzar este punto sobre la superficie del cuerpo planetario. Si hubiéramos producido un 00:18:35

lanzamiento con una mayor velocidad, por ejemplo 15 metros partido por segundo, volvemos a presionar 00:18:42

el botón obtenemos un segundo lanzamiento, obtenemos una segunda trayectoria superpuesta sobre la 00:18:47

primera. El objeto que estamos lanzando es una cosa anaranjada. Se trata de esta calabaza que 00:18:53

estamos viendo aquí seleccionada. Podemos elegir cualquier otro objeto. Nosotros por ejemplo vamos 00:18:59

a utilizar una bala de cañón porque en el lanzamiento obtendremos aquí un objeto mucho 00:19:05

más claro. Veremos una llegada mucho más clara. Podemos borrar todas las trayectorias pulsando 00:19:12

sobre la goma de borrar, repetir el último lanzamiento y podemos comprobar cómo efectivamente 00:19:17

podemos averiguar más fácilmente dónde ha caído el proyectil porque tiene una forma mucho más 00:19:22

fácil de discriminar. En la trayectoria estamos viendo una serie de puntitos. Tenemos una serie 00:19:27

de puntitos más o menos equiespaciados de color azul, un puntito verde y algunos puntitos, en 00:19:35

este caso tenemos solamente uno, que son círculos abiertos. Este círculo verde lo que indica es el 00:19:41

vértice de la parábola. Es el punto de altura máxima. La posición del proyectil de 0,1 00:19:48

segundos. Así que 0,1, 0,2, 0,3 segundos y así. Este puntito abierto representa lo mismo que el 00:19:56

resto de la traza de tiempos pero representa un segundo para simplificarnos a la hora de contar. 00:20:03

Otros elementos que nosotros tenemos dentro del laboratorio virtual y que vayamos a utilizar, 00:20:09

aparte de los que ya he indicado, son este blanco móvil que se puede desplazar horizontalmente y 00:20:15

aquí tenemos 23,9. Por ejemplo, en este caso la lectura de cuál es la distancia que separa 00:20:21

este blanco móvil del sistema de lanzamiento se correspondería con la coordenada x de este 00:20:26

blanco móvil. También querremos medir distancias no horizontales con el blanco. Esta cinta métrica 00:20:34

funciona exactamente igual que una cinta métrica real. Si estiramos lo que obtenemos es una mayor 00:20:40

longitud que nosotros tenemos aquí reflejada, en este caso 6,19 metros. La utilidad de la cinta 00:20:46

métrica es que nos permite medir en cualquier dirección. Podemos desplazar la cinta métrica 00:20:52

presionando sobre ella y después podemos utilizar este extremo para medir cualquier longitud. Por 00:20:57

ejemplo, podemos producir este lanzamiento y podemos medir la altura máxima, si quisiéramos 00:21:05

hacerlo, sin más que colocar la cinta en posición vertical, ubicarla justo debajo del punto de 00:21:12

altura máxima y colocando el extremo justo en el vértice de la parábola. Y podemos ver cómo 00:21:20

aproximadamente la altura máxima en el caso de este lanzamiento es 8,01 metros. En esta primera 00:21:29

parte de la práctica se nos pide que configuremos el sistema de lanzamiento colocándolo a 7 metros 00:21:37

de altura por encima del nivel del suelo, que la velocidad de lanzamiento, la velocidad inicial sea 00:21:44

16 metros partido por segundo y que determinemos cuáles son los dos ángulos de elevación o de 00:21:49

depresión con los cuales alcanzaríamos un objetivo situado sobre el suelo, una coordenada ahí igual a 00:21:56

0 a 15 metros del sistema de lanzamiento. Vamos a comenzar configurando el laboratorio virtual y el 00:22:02

sistema de lanzamiento con la configuración que se nos dice en el enunciado. Lo primero vamos a cambiar 00:22:10

el proyectil para que no sea una calabaza sino una bala de cañón y veamos mucho mejor el lugar 00:22:15

donde alcanza la superficie del terreno, puesto que es lo que estamos buscando. Se nos dice que 00:22:19

lancemos el proyectil desde una altura de 7 metros, así que vamos a bajar el sistema de lanzamiento 00:22:25

hasta esa altura, con una velocidad inicial de 16 metros partido por segundo, así que la vamos a 00:22:30

incrementar hasta ese valor, para alcanzar un objetivo situado sobre el suelo a 15 metros del 00:22:35

sistema de lanzamiento. Bueno, el blanco ya lo tenemos a la distancia en la que esperamos. Tenemos que 00:22:40

buscar dos ángulos, porque así se nos dice en el enunciado, de depresión o de elevación, con los cuales el 00:22:45

proyectil alcanzará este blanco. Puesto que en principio no tenemos idea de qué es lo que puede 00:22:51

pasar, vamos a probar qué es lo que pasa con este tiro horizontal, con un ángulo de 0 grados, y vemos 00:22:55

cómo el proyectil se pasa. Si queremos alcanzar un blanco que está más cerca que este alcance, 00:23:01

podemos probar reduciendo el ángulo. Vamos a bajar la boca del cañón y vamos a tener un ángulo de 00:23:08

depresión, puesto que estamos haciendo un tiro hacia abajo de 5 grados, y vemos cómo efectivamente 00:23:13

el alcance se aproxima a nuestro blanco. Todavía nos hemos quedado lejos. Vamos a aumentar el ángulo 00:23:18

de depresión, y con un ángulo de depresión de 10 grados vemos que llegamos al blanco. Igual no es 00:23:25

exactamente al centro, pero es una aproximación francamente muy buena. Si continuáramos aumentando 00:23:30

el ángulo de depresión, por ejemplo, 15 grados, el tiro continúa acercándose al sistema de lanzamiento y 00:23:35

en este caso no llegamos al blanco. Así pues, una primera solución, determinada experimentalmente, 00:23:40

supone un ángulo de depresión de 10 grados, un ángulo de menos 10 grados, para alcanzar este blanco. 00:23:46

Vamos a buscar un nuevo ángulo, pero esta vez de elevación. Recordemos que con el ángulo, con el 00:23:52

tiro horizontal, con el ángulo de 0 grados, nos pasábamos. Vamos a ir aumentando el ángulo de 00:24:00

elevación a ver qué es lo que ocurre. Con un ángulo de elevación de 10 grados tenemos un alcance mayor, 00:24:04

nos estamos alejando del blanco. Vamos a probar con 20 grados y vemos que seguimos alejándonos 00:24:11

del blanco. Vamos a probar con 30 grados. Seguimos alejándonos del blanco, pero cada 00:24:18

vez una distancia un poco menor. Esperamos que en algún momento se produzca un retroceso. 00:24:26

Aquí vemos con 40 grados que aumenta el alcance, pero como decíamos anteriormente, 00:24:34

una distancia cada vez menor. Vamos a probar con 50 grados. 00:24:40

Y aquí vemos el retroceso que comentaba anteriormente. Llega un momento en el que el 00:24:44

alcance es el máximo posible y a partir de aquí, conforme aumentamos el ángulo de elevación, 00:24:50

el alcance retrocede y nos iremos aproximando al blanco, que es nuestro objetivo. Vamos a seguir 00:24:54

con 60 grados. Efectivamente, seguimos aproximándonos. La trayectoria cada vez alcanza una 00:24:59

altura mayor por el hecho de aumentar el ángulo de elevación. Para que no se nos salga de la 00:25:10

pantalla, vamos a reducir el zoom. Vamos a probar. Teníamos 60 grados. ¿Qué es lo que pasa con 70? 00:25:15

Tenemos la trayectoria completa. Vemos que seguimos aproximándonos al blanco. Vamos a probar con 80 00:25:24

y con 80 nos hemos pasado. Estábamos aproximándonos al blanco. Todavía no llegábamos con 70 grados y 00:25:32

con 80 nos hemos pasado y estamos demasiado cerca del sistema de lanzamiento. Entre 70 y 80 el 00:25:43

sistema de lanzamiento nos deja ir de 5 en 5 grados. Podemos probar con 75 y en el caso de 75 00:25:49

grados vemos un alcance intermedio al caso de 70 y 80 y de hecho con 75 grados llegamos al blanco. 00:25:55

Consecuentemente hemos determinado dos ángulos, uno de elevación y uno de depresión, de forma 00:26:02

experimental, con los cuales el proyectil alcanza el blanco. Tenemos en primer lugar este ángulo de 00:26:09

elevación de 75 grados y también tenemos un ángulo de depresión de 10 grados, como podemos observar. 00:26:16

A continuación, con la única indicación acerca de la configuración del sistema de lanzamiento de que 00:26:28

éste se encuentre situado a 7 metros sobre la superficie del terreno, se nos pide que determinemos 00:26:33

cuál es el ángulo de elevación o de depresión y el módulo de la velocidad inicial de lanzamiento 00:26:39

para que el proyectil alcance una altura máxima de 15 metros a una distancia de 12 metros del 00:26:44

sistema de lanzamiento y que en estas condiciones determinemos cuál va a ser el alcance máximo que 00:26:51

se va a obtener. Al igual que antes vamos a configurar el laboratorio virtual y el sistema 00:26:58

de lanzamiento con la configuración que se nos indica en el enunciado. Vamos a cambiar la clavaza 00:27:04

por la pala de cañón. Se nos dice que el proyectil tiene que ser lanzado desde una altura de 7 00:27:10

metros, así que vamos a bajar el sistema de lanzamiento y que tiene que alcanzar como punto 00:27:15

de altura máxima la altura de 15 metros a 12 metros del sistema de lanzamiento. Para ubicar ese 00:27:20

punto correctamente lo que vamos a hacer es lo siguiente. En primer lugar, marcar o seleccionar 00:27:27

los 12 metros en el blanco móvil sobre la superficie del suelo. Este punto, el centro del 00:27:32

blanco, se encuentra a 12 metros del sistema de lanzamiento. Para medir por encima de este punto 00:27:40

los 15 metros que se nos indica vamos a utilizar como herramienta auxiliar la cinta métrica que 00:27:45

podemos poner en vertical. Para que la vertical sea de verdad vertical y no así a ojo, lo que 00:27:51

vamos a hacer es aprovecharnos de que tenemos aquí el eje de las IS que es vertical. Vamos a 00:27:57

colocar la cinta métrica debajo y vamos a estirarla para que alcance esa altura de 15 metros y que 00:28:03

esta línea sea vertical, quiere decir que sea paralela al eje de las IS. En este caso la he 00:28:10

superpuesto. Lo que tengo que hacer es estirarla y no pasarme ni por la derecha ni por la izquierda. 00:28:15

Veamos, 15,50, me voy aproximando, 14,95, justo, y 15 metros. 00:28:21

Como estoy viendo en la dirección vertical. Me voy a llevar la cinta métrica y la voy a colocar con 00:28:30

el centro, exactamente en el centro del blanco. Y el punto que queremos localizar será este que 00:28:38

viene aquí marcada con el extremo de la cinta métrica que se encuentra a 15 metros de altura 00:28:47

sobre el suelo y separado 12 metros del sistema de lanzamiento. Lo que tenemos que hacer es 00:28:51

determinar la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento para alcanzar como punto de altura 00:28:58

máxima, el vértice de la parábola, este punto que tenemos aquí. En este caso tenemos dos parámetros 00:29:05

con los cuales jugar. Con un lanzamiento horizontal, con independencia de cuál sea la 00:29:11

velocidad inicial, mayor o menor, no vamos a conseguir nunca un punto de altura máxima que 00:29:17

se encuentre situado aquí, puesto que por definición el punto de altura máxima va a ser el punto de 00:29:25

lanzamiento. Así que lo primero que tenemos que tener en mente es que el ángulo tiene que ser de 00:29:30

elevación, así que tendríamos que subir la boca del cañón por encima de estos cero grados. Vamos a 00:29:35

dejar una velocidad inicial, por ejemplo, no de 26 metros partido por segundo, que me parece un 00:29:42

poquito elevada, sino de 20, que es algo bastante redondito, y lo que vamos a hacer es empezar a 00:29:47

producir lanzamientos con ángulos de elevación cada vez mayores. Vamos a empezar con 5, 00:29:53

10. El punto de altura máxima sería este que está aquí dibujado en verde. Vemos cómo va 00:29:59

ascendiendo y no solamente ascendiendo, sino que se va alejando del sistema de lanzamiento. Queremos 00:30:08

que este punto B, del punto de altura máxima, se encuentre en esta vertical. De hecho, más 00:30:14

concretamente queremos que se encuentre aquí. Aumentamos a 15 grados, 20 grados, y vemos cómo nos 00:30:19

hemos pasado en la distancia horizontal, en la posición en la que se encuentra el vértice, el 00:30:31

punto de altura máxima. Para conseguir que este punto se encuentre más arriba, lo que vamos a 00:30:37

hacer es aumentar la velocidad de lanzamiento. En este momento tenemos 20. Bueno, pues vamos a 00:30:42

aumentar la velocidad a 24. Vamos a ver qué es lo que ocurre. Pues vemos que efectivamente el punto de 00:30:48

altura máxima se aleja, perdón, sube, pero se aleja. Así que lo que vamos a hacer es simultáneamente 00:30:56

aumentar el ángulo de elevación. Y vemos que es demasiado alejado en la horizontal. Vamos a 00:31:03

reducir una vez más la velocidad de lanzamiento. Tenemos aquí el punto de altura máxima. Vamos a 00:31:10

aumentar un poquito el ángulo de elevación. Vemos que aumentando el ángulo de elevación estamos 00:31:18

aumentando el punto donde se encuentra la altura máxima. Vamos a poner 40. 00:31:26

Uf, nos hemos pasado. Vamos a bajar la velocidad. 00:31:32

Bueno, poco a poco nos vamos aproximando. Con 17 metros partido por segundo y un ángulo de elevación 00:31:35

de 40 grados, tenemos el vértice aquí situado. Nos estamos pasando en la horizontal y no estamos 00:31:44

llegando en la vertical. Tenemos que subir un poco más y quedarnos un poquito más cortos. Vamos a 00:31:51

aumentar el ángulo de elevación. Simultáneamente vamos a bajar la velocidad. 00:31:56

Fijaos, nos estamos aproximando. Vamos a volver a aumentar el ángulo de elevación. Vamos a volver a 00:32:04

bajar la velocidad. Tengo la sensación de que tenemos que hacer estas dos cosas y ahora nos 00:32:11

hemos quedado cortos. Voy a volver a subir la velocidad. Y fijaos, voy a borrar todas las 00:32:18

trayectorias. Voy a dejar la anterior. Estamos a punto. Estamos realmente próximos en la vertical. 00:32:24

Tendríamos que subir un poquito el punto de altura máxima y tendríamos que acercarnos en la 00:32:33

horizontal al sistema de lanzamiento. Voy a aumentar el ángulo de elevación a 55 grados. 00:32:37

Fijaos, en la horizontal estoy aproximándome mucho. En la vertical me he pasado. Voy a 00:32:48

disminuir la velocidad. Y entonces, veamos, con estos 55 grados y esta velocidad de 15, tengo el 00:32:53

vértice de la parábola situado aquí. Me he quedado corto en la vertical y en la horizontal pues me 00:33:06

he pasado. Me he quedado corto también, perdón. Con 16 metros partido por segundo es esta trayectoria que 00:33:15

tenía antes aquí. Veo que estoy un poquito por encima y que en la horizontal, bueno, estoy bastante más 00:33:23

próximo que en el caso anterior. Esto es con 55 grados. Con la velocidad de 16 estoy más próximo del 00:33:31

objetivo. Tengo la sensación que con la velocidad de 15, con 16 me paso tanto en la horizontal como 00:33:41

la vertical. Con 15 me quedo corto tanto en la horizontal como en la vertical. Así pues, con 55 00:33:48

grados de ángulo de elevación, en principio, me quedaría con una velocidad de 16 metros partido 00:33:55

por segundo como la combinación que me permite obtener el vértice más próximo al punto que 00:34:00

sería mi objetivo. Igual no consigo el objetivo porque 55 grados de ángulo de elevación es poco. Voy a probar con 60. 00:34:08

Con 60... 00:34:18

Uf, fijaos, con 16 metros partido por segundo estoy mucho más lejos de mi objetivo. Me quedo corto en la horizontal y me paso 00:34:22

muchísimo en la vertical. Si bajo la velocidad a 15, no tiene sentido porque este vértice va a retroceder. 00:34:30

Estoy mucho más alejado de lo que estaba anteriormente y si aumentara la velocidad a 17, 00:34:43

pues fijaos, el vértice se escapa incluso del zoom que yo tengo. Así que 60 grados no me convence. 00:34:50

Es una elevación demasiado grande. Con 55 grados y 16 metros partido por segundo de velocidad, 00:34:57

tenía de momento mi mejor opción. Voy ahora a probar con un ángulo menor. A ver si no consigo 00:35:08

el objetivo porque el ángulo es demasiado grande. Con 60, perdón, era excesivo de todas las luces. 00:35:15

Con 55 me he aproximado muchísimo. Voy a ver con 50. Con 16 metros partido por segundo 00:35:21

tengo... veamos, me paso un poquito, algo más de lo que me pasaba con la mejor opción con 55, 00:35:29

pero en la vertical pues me quedo un poco corto. Tendría que ver si esta separación es mayor o 00:35:36

menor que esta separación. Yo la sensación que tengo es que la distancia con el caso anterior 00:35:44

es menor que la distancia en este caso. De todas formas, igual es que 16 metros partido por segundo 00:35:51

no es una velocidad adecuada. No obstante, veamos, si yo hago una velocidad menor, 00:35:58

pues veo que me estoy separando mucho más del objetivo de lo que me gustaría. 00:36:06

Y si aumento la velocidad, también me estoy pasando mucho más de lo que yo quisiera. 00:36:12

Entonces parece que tengo dos opciones. Voy a borrar. Tengo con un ángulo de 50 grados y una 00:36:20

velocidad de 16 metros partido por segundo el vértice aquí situado y con 55 grados y la misma 00:36:26

velocidad de 16 metros partido por segundo tengo este otro vértice. En cualquiera de los dos casos, 00:36:37

estas son mis dos mejores opciones. La velocidad inicial de lanzamiento va a ser 16 metros partido 00:36:45

por segundo y lo único que me queda por decidir es cuál de los dos ángulos, 55 o 50, me quedaría. 00:36:50

Puedo estar tentado de decidir 57 o un valor intermedio, pero ese valor no es admisible, 00:36:56

puesto que el sistema de lanzamiento no se puede configurar así. Yo tengo que dar un valor con el 00:37:03

que pueda configurar realmente el sistema de lanzamiento, o 55 o 60, porque el ángulo de 00:37:08

elevación únicamente se puede marcar de 5 en 5 grados. Y aquí lo que tendría que hacer es decidir 00:37:14

si esta diferencia es mayor, menor o igual que esta otra. A mí personalmente me da la sensación de que 00:37:21

esta posibilidad con el ángulo de 55 grados produce una mejor aproximación a mi objetivo, 00:37:28

así que voy a tomar como solución experimental, como resultado experimental, que para alcanzar 00:37:36

ese objetivo de altura máxima 15 metros a una distancia del objetivo de 12 metros, la mejor 00:37:42

opción es configurar un ángulo de lanzamiento de 55 grados y una velocidad de lanzamiento de 00:37:48

16 metros partido por segundo. Lo siguiente que se nos pedía es que en estas condiciones, 00:37:54

este lanzamiento que tengo aquí, determinamos a qué distancia se produce el alcance, 00:38:00

cuál es la distancia a la cual el proyectil alcanza la superficie del terreno. Tengo distintas opciones 00:38:09

para medir esta distancia y tal vez la mejor sea no utilizar la cinta métrica, sino utilizar el 00:38:15

propio blanco. Y lo que voy a hacer es desplazarlo hacia la derecha hasta situarlo justo centrado 00:38:21

con el proyectil. Aquí. Y lo que voy a decir es que la distancia a la cual se produce el 00:38:30

alcance con el terreno, el alcance máximo, es estos 28,7 metros que estoy leyendo con la ayuda 00:38:39

de mi blanco móvil. En esta segunda parte de la práctica se nos pide que hagamos desde el punto 00:38:46

de vista analítico lo mismo que hicimos en la primera parte desde el punto de vista experimental. 00:38:51

Vamos a comenzar determinando analíticamente los dos ángulos de elevación o de depresión con los 00:38:57

cuales un proyectil que es lanzado desde una altura de siete metros respecto de la superficie del 00:39:03

terreno con una velocidad inicial de 16 metros partido por segundo alcanza un objetivo situado 00:39:07

sobre el suelo a una distancia del sistema de lanzamiento de 15 metros. Lo que vamos a hacer 00:39:13

es, como siempre, partir de las ecuaciones del movimiento que habíamos discutido previamente 00:39:18

en la introducción teórica. Aquí tenemos las ecuaciones para la posición y un poco más abajo 00:39:22

tenemos las ecuaciones para la velocidad. Os recuerdo que la posición horizontal inicial era 00:39:28

cero, tal y como hemos situado el sistema de lanzamiento, y en nuestro caso lo que vamos a 00:39:35

considerar es que la altura inicial, la coordenada y inicial, es siete metros. También tenemos dentro 00:39:40

de las ecuaciones del movimiento la velocidad inicial. Nosotros tenemos conocido el módulo de 00:39:46

la velocidad inicial pero no conocemos el ángulo de elevación. De hecho, esa es la incógnita que 00:39:52

trataremos de resolver con nuestros sistemas de ecuaciones. Lo que vamos a hacer es sustituir, 00:39:57

puesto que en las ecuaciones tenemos las componentes x e y, estas componentes por, en cada caso, lo que 00:40:02

procede de la descomposición a través de la trigonometría. La componente x es el módulo de 00:40:08

velocidad por el coseno del ángulo de elevación o de depresión, mientras que la componente y es el 00:40:13

módulo de la velocidad por el seno del ángulo de elevación o de depresión. Por último, en la 00:40:18

ecuación también tenemos menos la aceleración de la gravedad. Puesto que nos encontramos sobre la 00:40:23

superficie de la Tierra, este valor de gravedad es conocido 9,81 metros partido por segundo al cuadrado. 00:40:28

Vamos a comenzar trabajando con las ecuaciones para la posición. En primer lugar sustituimos, 00:40:34

como podéis ver, las componentes de la velocidad por v0 coseno de alfa, v0 seno de alfa. Tenemos 00:40:40

estas expresiones y, a continuación, vamos a sustituir los parámetros por los valores que 00:40:46

nosotros conocemos. En concreto, conocemos la altura del lanzamiento, conocemos el módulo de 00:40:51

la velocidad inicial y conocemos la aceleración de la gravedad. Y obtenemos para la posición estas 00:40:56

ecuaciones x de t igual a 16 por coseno de alfa y por t, e y de t igual a 7 más 16 seno de alfa por t, 00:41:02

menos 4,905 por t al cuadrado. De forma análoga operamos con las ecuaciones para la velocidad que 00:41:09

tenemos aquí. Sustituimos las componentes de la velocidad por las expresiones que obtenemos a 00:41:15

partir de la trigonometría, en función del módulo de la velocidad y el ángulo de elevación o de 00:41:21

depresión, y sustituimos en este caso sólo el módulo de la velocidad y la aceleración de la 00:41:25

gravedad como valores conocidos. Y obtenemos estas ecuaciones. Para la componente x de la velocidad, 00:41:30

16 por coseno de alfa, un valor constante. Para la componente y de la velocidad, en función del 00:41:35

tiempo, 16 por el seno de alfa menos 9,81 por t. Nosotros tenemos que utilizar la condición de que 00:41:40

se alcanza la superficie del terreno cuando ha pasado un cierto tiempo, que llamaremos tiempo 00:41:50

de vuelo, y que ese punto se encuentra a 15 metros del nuestro sistema de lanzamiento. De tal forma 00:41:55

que, para determinar el ángulo de lanzamiento, lo que tenemos que hacer es imponer las condiciones. 00:42:01

Si alcanza un valor de x en el tiempo de vuelo igual a 15 metros, el valor de x máxima, y ese 00:42:07

tiempo de vuelo va a venir caracterizado porque en ese instante de tiempo el proyectil alcanza 00:42:13

el suelo. De tal forma que la coordenada y en el tiempo de vuelo va a valer 0. Si sustituimos estas 00:42:18

condiciones en las ecuaciones para la posición que teníamos anteriormente, x de tiempo de 00:42:24

vuelo igual a 15 y de tiempo de vuelo igual a 0, obtenemos estas ecuaciones, donde podemos ver que 00:42:30

tenemos como incógnitas el tiempo de vuelo y el ángulo de elevación. Tenemos un sistema de dos 00:42:36

ecuaciones no lineales, marcadamente no lineales, puesto que aquí tenemos la función trigonométrica 00:42:41

seno de alfa y coseno de alfa, y aquí tenemos el tiempo de vuelo al cuadrado, para esas dos incógnitas, 00:42:46

el tiempo de vuelo y el ángulo de elevación. No nos piden que determinemos el tiempo de vuelo, 00:42:51

se nos pide que determinemos el ángulo de elevación. Y lo que vamos a hacer es lo siguiente. De la 00:42:57

primera ecuación vamos a despejar el tiempo de vuelo. 16 por coseno de alfa lo vamos a pasar 00:43:02

dividiendo al otro miembro, y lo que tenemos es tiempo de vuelo igual a 15 partido por 16 00:43:07

coseno de alfa. Podríamos estar preocupados por si estamos dividiendo entre coseno de alfa una 00:43:13

magnitud que se hiciera 0, y algo entre 0 no está determinado, pero dado que el ángulo de elevación 00:43:19

está comprendido entre menos 90 y 90 grados, el denominador no se va a anular nunca. El coseno de 00:43:25

alfa se haría 0 si alfa fuera 90 o menos 90 grados. Eso no va a ocurrir, así que esta expresión es 00:43:31

correcta y podemos continuar. ¿Para qué despejamos el tiempo de vuelo en la primera ecuación? Pues 00:43:36

para sustituirlo en la segunda. Si hacemos eso, escribimos 7 más 16 por seno de alfa por el tiempo 00:43:42

de vuelo, que he dejado aquí entre paréntesis, menos 4,905 por el tiempo de vuelo al cuadrado, 00:43:48

que está aquí entre paréntesis al cuadrado, igual a 0. Y observad que lo que nos queda es una única 00:43:53

ecuación, un tanto compleja, pero una única ecuación con una única incógnita, que es el ángulo de elevación, 00:43:58

que es alfa. ¿Cómo vamos a operar? Bueno, pues lo primero que vamos a hacer es ir término a término. 00:44:02

Vamos a escribir 7. Este 16 que está aquí multiplicando con este 16 que está dividiendo se 00:44:11

simplifica, así que me queda 15 por seno de alfa partido de coseno de alfa. Y ahora lo que voy a 00:44:16

hacer es operar toda la parte numérica menos 4,905 por 15 al cuadrado entre 16 al cuadrado y poner 00:44:22

4,3110 entre coseno al cuadrado de alfa. Veo seno de alfa partido por coseno de alfa y eso me recuerda 00:44:30

algo. Veo 1 partido por coseno cuadrado de alfa, si extraigo este valor numérico que tengo aquí, 00:44:40

y también me recuerda algo. Me recuerdan a las fórmulas fundamentales de la trigonometría. Resulta 00:44:46

que seno de alfa entre coseno de alfa es igual a la tangente de alfa, mientras que 1 partido de coseno al 00:44:52

cuadrado es igual a 1 más tangente al cuadrado de alfa. Si sustituyo estas expresiones complejas 00:44:56

por aquí tangente de alfa y aquí 1 más tangente de alfa, 1 más tangente cuadrado de alfa, perdón, 00:45:02

lo que veo es que me va a quedar una ecuación que sería esta, 7 más 15 tangente de alfa menos 4,3110 00:45:08

por 1 más tangente cuadrado de alfa, que es algo más sencilla. De hecho, tengo el ángulo de elevación 00:45:15

dentro de una única función trigonométrica que es tangente de alfa. Lo que voy a hacer es operar 00:45:22

un poquito para obtener una ecuación en tangente de alfa. No es una ecuación sólo en tangente, 00:45:28

sino que va a quedar una ecuación cuadrática en tangente de alfa. Vamos a verlo. Lo que voy a 00:45:33

dejar es 7 más 15 tangente de alfa. Voy a multiplicar menos 4,3110 por este paréntesis, primero por 1 00:45:38

y luego por tangente de alfa. Aquí lo tengo. Y lo que voy a hacer es colocar esto como si fuera 00:45:45

un polinomio en tangente de alfa. Voy a poner primero el término con tangente cuadrado de alfa, 00:45:50

luego el término con tangente de alfa y, por último, voy a agrupar, voy a sumar estos dos 00:45:55

términos independientes. Lo que me queda, cambiando todo de signo para que me quede más mono, es esta 00:45:59

expresión que tengo aquí. Menos 4,311 por tangente cuadrado de alfa menos 15 por tangente de alfa 00:46:05

menos 2,6890 igual a 0. Esto es una ecuación de segundo grado en tangente de alfa y la voy a 00:46:11

resolver con la fórmula de siempre. La incógnita, que en este caso es tangente de alfa, igual a menos 00:46:18

el segundo término más menos la red cuadrada de etcétera. Sería este término al cuadrado menos 00:46:24

4 por primero y por último término dividido entre 2 por el primer, perdón, coeficiente. 00:46:32

Opero adecuadamente. La ecuación de segundo grado en tangente de alfa tiene dos soluciones. Una, con 00:46:38

el signo positivo de la raíz. Otra, con el signo negativo de la raíz. Y resulta que obtengo dos 00:46:46

soluciones para tangente de alfa. Tangente de alfa igual a menos 0,1708. Tangente de alfa igual a 00:46:52

3,650. Tangente perteneciente a este conjunto con dos valores. Tengo dos valores para tangente de 00:46:59

alfa porque tengo dos valores para alfa, ángulo de elevación o de depresión. ¿Cómo determino alfa? 00:47:08

Tomando arco tangente de estos valores que tengo aquí. Voy a tomar en primer lugar el valor negativo. 00:47:13

Alfa igual a arco tangente de menos 0,1708. Pregunto a la calculadora. Tengo que quedarme con el 00:47:21

valor de alfa que esté comprendido entre menos 90 y 90 grados. Yo obtengo el valor de menos 9,7 00:47:29

grados. A continuación tangente de alfa igual a 365, el valor positivo. Pregunto a la calculadora. 00:47:35

¿Cuál es el arco tangente de 3,65? Igualmente me debo quedar con un valor de alfa entre menos 90 y 90 00:47:42

grados y la calculadora me devuelve un valor del ángulo de 74,7 grados. En la segunda experiencia 00:47:49

se nos pide que determinemos cuáles son el ángulo de elevación o depresión y el módulo de la 00:47:58

velocidad inicial para que un lanzamiento desde una altura de 7 metros sobre la superficie del 00:48:03

terreno alcance un punto de altura máxima. En este caso el objetivo no está sobre la superficie 00:48:10

del terreno sino que se corresponde con el punto de altura máxima que debe estar a 15 metros sobre 00:48:15

la superficie y a 12 metros del sistema de lanzamiento. Así que en este caso x del destino 00:48:20

debe ser 12 metros y de destino debe ser 15 metros y esta y de destino es la altura máxima y esta x 00:48:26

de destino es la x de la altura máxima. Una vez que hayamos determinado el ángulo de elevación y la 00:48:31

velocidad de lanzamiento se nos pide que además calculemos cuál es el alcance máximo, cuál es la 00:48:37

coordenada x que se alcanzará cuando el proyectil alcance el suelo. Vamos a partir de las mismas 00:48:43

ecuaciones del movimiento que habíamos desarrollado en la introducción teórica y vamos a operar de 00:48:49

forma análoga como hicimos en el caso anterior. La única diferencia está en que en este caso el 00:48:55

módulo de la velocidad inicial también es un parámetro desconocido que queremos determinar. 00:49:00

Salvo por esto haremos lo mismo. Lo que vamos a hacer es, tanto en las ecuaciones de posición 00:49:04

como de velocidad, sustituir las componentes de la velocidad v0x y v0y por su desarrollo en función 00:49:09

de la trigonometría v0 coseno de alfa v0 por seno de alfa y los parámetros conocidos por sus valores. 00:49:16

En este caso conocemos la altura inicial 7 metros y la aceleración de la gravedad 9,81 metros partido 00:49:22

por segundo al cuadrado. Y alcanzamos ecuaciones para la posición, estas dos que tenemos aquí, y 00:49:28

para la velocidad, estas dos que tenemos aquí, análogas a las anteriores pero algo más complejas 00:49:34

porque en este caso el módulo de la velocidad inicial también es una incógnita. Tenemos que 00:49:39

operar como siempre. Tenemos que imponer unas ciertas condiciones para determinar los parámetros 00:49:46

desconocidos. En este caso las condiciones se corresponden con el punto de altura máxima que se 00:49:50

alcance un punto de altura máxima se corresponde con imponer que existe un determinado instante de 00:49:57

tiempo que llamamos tiempo de altura máxima en el cual la componente vertical de la velocidad se 00:50:03

anula. Esa condición es esta que tenemos aquí. Existe un instante de tiempo en el cual se alcanza 00:50:09

la altura máxima. Las dos que la preceden se corresponden con y la altura máxima se corresponde 00:50:14

con un valor de altura de 15 metros. La coordenada y en ese tiempo de altura máxima es 15 metros y esa 00:50:20

altura máxima se alcanza a 12 metros del sistema de lanzamiento. La coordenada x en ese tiempo de 00:50:27

altura máxima es igual a 12 metros. Imponemos estas tres condiciones en las tres ecuaciones 00:50:32

correspondientes x en el tiempo de altura máxima 12 metros y en el tiempo de altura máxima 15 metros 00:50:38

la componente vertical de la velocidad en el tiempo de altura máxima igual a 0 y obtenemos estas tres 00:50:44

ecuaciones. Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. El módulo de la velocidad inicial, 00:50:50

el ángulo de elevación o depresión y el tiempo en el cual se alcanza la altura máxima. Tres 00:50:55

ecuaciones claramente no lineales con tres incógnitas. Para resolverlo lo que vamos a 00:51:00

hacer es utilizar una técnica similar a la que utilizamos en el caso anterior. Tomamos esta 00:51:05

primera ecuación que es la más sencilla y de ella despejamos el tiempo en el cual se alcanza la 00:51:11

altura máxima Td máxima igual a este 12 dividido entre este v0 y coseno de alfa que pasarían 00:51:15

dividiendo. Esta operación es matemáticamente correcta puesto que v0 no va a ser cero y el 00:51:22

coseno de alfa tampoco puesto que alfa nunca va a ser ni menos 90 ni 90 grados. Despejamos este 00:51:28

tiempo de altura máxima para sustituirlo en las dos ecuaciones restantes esta segunda y esta 00:51:33

tercera y reescribimos 7 más v0 por seno de alfa por el tiempo de altura máxima que aquí está ante 00:51:38

paréntesis menos 4,905 por el tiempo de altura máxima al cuadrado que aquí tenemos igual a 15 00:51:44

y v0 por seno de alfa menos 9,81 por el tiempo de altura máxima aquí entre paréntesis igual a 0. 00:51:50

Con esto tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas y hemos eliminado el tiempo de altura máxima en 00:51:58

el cual por cierto no estábamos interesados. Vamos a operar en estas ecuaciones para dejarlas 00:52:03

un poco más sencillas de una forma similar a lo que hacíamos en el caso anterior 7 más y veamos 00:52:09

este v0 con este v0 se va a simplificar y va a poner 12 por seno de alfa partido por coseno de 00:52:15

alfa a continuación en el siguiente término voy a operar toda la parte numérica menos 4,905 por 00:52:20

2 al cuadrado es este menos 706,32 y qué me queda pues dividido entre el coseno cuadrado de alfa 00:52:27

aquí lo tengo y voy a separar 1 partido de v0 al cuadrado luego veremos por qué igual a 15. 00:52:34

En cuanto a la segunda ecuación igualmente voy a pelar la parte numérica reescribo v0 por seno 00:52:40

de alfa menos 9,81 por 12 es este menos 117,72 entre v0 y coseno de alfa igual a 0. Voy a continuar 00:52:46

empleando el método de sustitución voy a despejar una incógnita para sustituir en otra ecuación lo 00:52:55

único que si os fijáis despejar de cualquiera de las dos alfa o seno de alfa o coseno de alfa es 00:53:00

una pesadilla lo que voy a hacer es despejar v0. No voy a despejar v0 al cuadrado de esta ecuación 00:53:06

porque es una ecuación muy compleja voy a ver si pudiera despejar v0 o mejor v0 cuadrado para 00:53:12

poder sustituirlo aquí en esta segunda ecuación. La forma de hacerlo consiste en eliminar este 00:53:19

denominador multiplicando toda la ecuación entera miembro a miembro por v0 por coseno de alfa que se 00:53:24

puede hacer porque tal y como discutía anteriormente v0 y coseno de alfa no es 0 no puedo multiplicar 00:53:31

una ocasión por 0 porque la estaría eliminando. Bien, multiplico la ecuación entera por v0 por coseno de alfa 00:53:36

y me queda v0 al cuadrado por seno de alfa por coseno de alfa aquí lo tenemos y en cuanto a 00:53:41

este término cuando multiplica por v0 por coseno de alfa desaparecerá el denominador me queda 00:53:48

sencillamente menos 117,72 igual a 0. Tal y como había dicho anteriormente puedo despejar fácilmente 00:53:52

de esta ecuación v0 al cuadrado. Este menos 117,72 lo pasaré al miembro de la derecha sumando seno de alfa 00:54:00

por coseno de alfa lo voy a pasar dividiendo cosa que puedo hacer porque una vez más alfa no se va 00:54:08

a anular en este caso para el coseno de alfa alfa no va a ser ni menos 90 ni 90 grados y para seno de 00:54:14

alfa alfa no va a ser 0. Un tiro horizontal no es posible que alcance ese punto de altura máxima por 00:54:19

encima del punto de lanzamiento. Esto ya lo habíamos discutido en la parte experimental. 00:54:25

Así que una vez que he despejado de esta segunda ecuación operando adecuadamente el cuadrado de la 00:54:29

velocidad inicial lo que voy a hacer es sustituirlo en esta primera ecuación. Cuidado que tengo uno 00:54:35

partido de v0 al cuadrado así que cuando vaya a sustituir tengo que tener cuidado con esa forma 00:54:40

en la que tengo v0 al cuadrado. Lo único que tengo que hacer es sustituir la expresión anterior girada 00:54:45

de la vuelta. Si vuelvo atrás v0 al cuadrado es 117,72 entre seno de alfa coseno de alfa. Uno 00:54:51

partido de v0 al cuadrado el recíproco será el recíproco de este seno de alfa por coseno de alfa 00:54:59

entre 117,72. Eso es lo que tengo aquí. Veo que tengo una única ecuación con alfa. Tiene pinta 00:55:03

de ser bastante complicada pero voy a ver si pudiera agrupar todas estas funciones trigonométricas 00:55:13

para obtener algo más sencillo. Los dos primeros términos ya eran muy sencillos. La sustitución la 00:55:20

he realizado en el tercer término y veo que tengo en el numerador un coseno de alfa que puedo 00:55:25

simplificar con uno de los cosenos de alfa que tengo aquí en este cuadrado en el denominador y 00:55:30

lo que me queda es 7 más 12 seno de alfa partido por coseno de alfa. Si divido 706,32 entre 117,72 00:55:35

me queda idénticamente 6 por seno de alfa partido por coseno de alfa igual a 15. En este caso veo 00:55:43

que tengo seno de alfa y coseno de alfa pero adoptando la misma expresión seno de alfa partido 00:55:51

por coseno de alfa. Es incluso más sencillo que lo que tenía anteriormente. Se me traduce en una 00:55:55

única función trigonométrica. Tangente de alfa es seno de alfa partido por coseno de alfa. Así que 7 más 00:56:00

12 tangente de alfa menos 6 tangente de alfa igual a 15. 12 menos 6 son 6. Este 7 que está aquí 00:56:06

sumando lo paso a mi hombro de la derecha me queda un 8 y veo que me queda una ecuación de 00:56:13

primer grado sencilla para tangente de alfa. 6 por tangente de alfa igual a 8. De aquí despejo tangente 00:56:17

de alfa como 8 partido por 6 y lo único que tengo que hacer es despejar alfa como el arco tangente 00:56:23

de 8 sextos. Se lo voy a preguntar a la calculadora. Sabiendo que alfa va a estar entre 0 y 90 grados, 00:56:29

puesto que se debe tratar de un ángulo de elevación, obtengo un valor único para el ángulo de elevación 00:56:36

igual a 53,13 grados. Ahora que ya tengo el ángulo de elevación necesito calcular la velocidad inicial, 00:56:41

que es el otro parámetro por el cual me preguntaban. Anteriormente había despejado no v0 sino v0 00:56:49

al cuadrado. Vuelvo atrás. Tenía que v0 al cuadrado es igual a este valor numérico entre seno de alfa 00:56:55

coseno de alfa. Pues bien, lo que voy a hacer es despejar v0 como la red cuadrada de esta expresión, 00:57:01

como podéis ver, y voy a sustituir alfa por el valor numérico que acabo de calcular. Pregunto a la 00:57:07

calculadora cuánto es todo esto. Me ha quedado con el valor positivo puesto que esto es el módulo 00:57:13

de la velocidad inicial y obtengo para la velocidad inicial un módulo de 15,66 metros partido por 00:57:18

segundo. Una vez conocidos estos valores del ángulo de elevación y de la velocidad de lanzamiento, 00:57:24

se nos pide que determinemos el alcance máximo. Para ello lo que vamos a hacer es imponer las 00:57:31

condiciones correspondientes. Debe existir un instante de tiempo al que denominamos tiempo de 00:57:36

vuelo en el cual se alcanza el suelo y eso quiere decir que la coordenada vertical es igual a cero. 00:57:41

Simultáneamente en ese instante de tiempo la coordenada horizontal, la coordenada x, 00:57:46

se corresponderá con ese valor de x máxima que queremos determinar con el alcance. Lo que vamos 00:57:52

a hacer es, como siempre, partir de las ecuaciones del movimiento que teníamos anteriormente e imponer 00:57:58

estas condiciones junto con los valores de los parámetros que ya son conocidos. Tenemos el 00:58:02

valor del ángulo de elevación y tenemos el valor de la velocidad inicial. Lo que obtenemos son estas 00:58:07

dos ecuaciones. La primera para la coordenada de posición 15,66 por el coseno del ángulo de 00:58:13

elevación por el tiempo de vuelo igual al alcance y la segunda para la coordenada vertical 7 más 00:58:19

15,66 por el seno del ángulo de elevación por el tiempo de vuelo menos 4,905 por el tiempo de 00:58:25

vuelo cuadrado igual a cero. Puesto que no estamos interesados en conocer el valor del tiempo de 00:58:31

vuelo hemos optado por hacer lo siguiente. De la primera ecuación vamos a despejar el tiempo de 00:58:37

vuelo para poder despejarla en la segunda. Si despejamos la primera, que es la más sencilla, 00:58:42

obtenemos la expresión tiempo de vuelo igual al alcance entre 15,66 por el coseno del ángulo de 00:58:46

elevación que pasarían dividiendo. Aquí lo tenemos. Esta expresión, como he dicho, se sustituye en la 00:58:53

segunda ecuación. Reescribimos 7 más 15,66, el seno del ángulo de elevación por el tiempo de 00:58:58

vuelo, que aquí tenemos entre paréntesis, menos 4,905 por el tiempo de vuelo al cuadrado, que aquí 00:59:04

también tenemos, igual a cero. Lo que vamos a hacer es reagrupar un poco los términos y operar con 00:59:10

este cuadrado. Este 15,66 en el segundo término con este 15,66 que está dividiendo se simplifica 00:59:16

y nos queda esta expresión que tenemos aquí. Y en cuanto al tercer término vamos a recolocar 00:59:24

menos 4,905 entre 15,66 al cuadrado, el coseno al cuadrado del ángulo de elevación, por la x 00:59:30

máxima, por el alcance máximo al cuadrado. Operamos numéricamente todos estos valores y lo que vamos 00:59:38

a hacer en última instancia es obtener esta ecuación de segundo grado para el alcance. Aplicamos la 00:59:44

fórmula conocida para la ecuación de segundo grado. De las dos soluciones nos vamos a quedar 00:59:50

únicamente con la positiva, que es la única que tiene sentido físico, y obtenemos para el alcance 00:59:55

el valor de 28,42 metros. A continuación se nos pide que comparemos los resultados experimentales 01:00:00

y analíticos obtenidos anteriormente mediante el correspondiente estudio de errores. Para ello 01:00:07

partimos de esta tabla en la cual reflejamos los resultados que hemos obtenido. Realizamos una 01:00:12

primera experiencia en la cual teníamos el sistema de lanzamiento configurado a 7 metros sobre el 01:00:18

nivel del terreno y con una velocidad de lanzamiento de 16 metros partido por segundo. Nuestro objetivo 01:00:23

era alcanzar un blanco situado sobre el suelo a 15 metros del sistema de lanzamiento y teníamos que 01:00:29

determinar el ángulo de elevación o de depresión con el cual podíamos alcanzar el objetivo. 01:00:34

Determinamos experimentalmente un ángulo de depresión de 10 grados y de elevación de 75 01:00:38

grados, analíticamente un ángulo de depresión de 9,7 grados de elevación de 74,7 grados. En una 01:00:44

segunda experiencia teníamos el sistema de lanzamiento a 7 metros sobre el nivel del 01:00:52

terreno y nos planteábamos alcanzar una altura máxima determinada a una distancia determinada 01:00:57

del sistema de lanzamiento. Experimentalmente determinamos que eso se producía con un ángulo 01:01:03

de elevación de 55 grados y una velocidad de lanzamiento de 16 metros partido por segundo, 01:01:10

mientras que analíticamente determinamos un ángulo de elevación de 53,13 grados y una velocidad de 01:01:15

lanzamiento de 15,66 metros partido por segundo. Además se nos pedía que determinaramos el alcance 01:01:21

máximo en estas condiciones. En las condiciones experimentales, de forma experimental, medíamos un 01:01:27

alcance máximo de 28,7 metros, mientras que analíticamente, a partir de los datos 01:01:32

analíticos determinados anteriormente, determinábamos un alcance de 28,42 metros. Vamos a 01:01:39

determinar en todos los casos el error absoluto mediante la diferencia en valor absoluto entre el 01:01:46

valor experimental y el valor analítico, el error relativo como el valor absoluto del cociente entre 01:01:52

el error absoluto y el correspondiente valor analítico, multiplicado por 100 porque queremos 01:01:58

obtener el error relativo expresado como un porcentaje. Los resultados que obtenemos son los 01:02:03

que muestran los siguientes cálculos. Para la primera experiencia, el error absoluto en la 01:02:09

determinación del ángulo de depresión es 0,3 grados, que corresponde con un error relativo del 01:02:14

3,1%. En cuanto a la determinación del ángulo de elevación, tiene un error absoluto de 0,3 grados 01:02:19

y un error relativo del 0,4%. En la segunda experiencia, teníamos tres magnitudes que 01:02:27

determinar, el ángulo de elevación, la velocidad de lanzamiento y el alcance máximo. El error 01:02:33

absoluto del ángulo de elevación es 1,9 grados, que corresponde con un error relativo del 3,6%. 01:02:39

Para la velocidad de lanzamiento, el error absoluto es 0,34 metros partido por segundo, que equivale 01:02:45

a un error relativo del 2,2%. Para el alcance máximo, el error absoluto es 0,28 metros, que corresponde 01:02:52

con un error relativo de 0,98%. Todos estos resultados se recogen en esta tabla. 01:03:00

Podemos comparar los errores, la aproximación que supone el error, perdón, el valor experimental 01:03:09

por el analítico en la primera experiencia, directamente comparando el error absoluto, 01:03:16

puesto que se refiere a una misma magnitud medido en unas mismas unidades. Y podemos decir que, en la 01:03:21

determinación del ángulo de depresión y del ángulo de elevación, se comete el mismo error absoluto. 01:03:27

Podemos afinar un poco más comparando errores relativos. En este caso, el error relativo para 01:03:31

el ángulo de depresión es mayor, significativamente mayor que el error relativo para el ángulo de 01:03:37

depresión, sin más porque estamos comparando 0,3 grados con aproximadamente 5 grados, mientras que 01:03:43

en este caso estamos comparando con, en valor absoluto, 10 grados. Un error de 0,3 grados en 75 es 01:03:50

menos importante que un error de 0,3 grados en 10 grados. Eso es lo que refleja, en este caso, el 01:03:57

error relativo y la utilidad del error relativo frente al error absoluto. En la segunda experiencia, 01:04:03

si quisiéramos comparar los errores en la determinación de las tres magnitudes, vemos que en 01:04:09

el caso del error absoluto no es posible, puesto que son magnitudes diferentes con unidades distintas. 01:04:15

Tendríamos que recurrir necesariamente, en este caso, al error relativo y podríamos concluir que 01:04:19

la aproximación del alcance máximo experimental por la analítica es mejor porque el error relativo 01:04:24

es mucho más pequeño que en el caso de la aproximación del ángulo de elevación experimental 01:04:31

por el analítico, donde el error absoluto es mucho mayor. Para finalizar esta práctica, se nos pide 01:04:37

que realicemos el análisis geométrico de esta trayectoria que tenemos en la imagen. Nos dicen 01:04:44

que se ha producido el lanzamiento de un proyectil. Vemos que, desde la superficie de un cierto cuerpo 01:04:49

planetario, el proyectil asciende y desciende hasta que vuelve a tocar la superficie del cuerpo. Nos 01:04:54

dicen que, tomando como referencias exclusivas la altura de la estatua igual a 2 metros, que vamos 01:05:00

a utilizar como patrón para medir longitudes, y conocida la velocidad inicial del lanzamiento, v0, 01:05:05

igual a 16 metros partido por segundo, tenemos que determinar la aceleración de la gravedad en 01:05:11

este cuerpo planetario, que no tiene por qué ser la Tierra, así que no tiene por qué ser 9,81 01:05:16

metros partido por segundo al cuadrado, y este ángulo, el ángulo de elevación con el cual se ha 01:05:20

producido el lanzamiento del proyectil. ¿Qué es lo que vamos a utilizar para ayudarnos? Pues medidas 01:05:25

sobre esta imagen. En concreto, vamos a tomar como referencia este punto de color verde, que es el 01:05:31

vértice de la trayectoria de la parábola, que es la trayectoria, se corresponde con el punto de 01:05:38

altura máxima, y este punto negro, que representa el alcance máximo, es el punto que alcanza sobre la 01:05:42

superficie del cuerpo planetario el proyectil una vez que ha producido todo este tramo de vuelo. 01:05:48

Vamos a llamar y máxima a la altura de este punto, se va a corresponder con la altura del punto con 01:05:54

respecto a la superficie del cuerpo. Vamos a llamar x de y máxima a la coordenada x que corresponde a 01:06:00

este punto de altura máxima, y vamos a llamar x máxima al alcance, a la coordenada x que corresponde 01:06:06

a este punto donde el proyectil vuelva a tocar la superficie del cuerpo planetario. Para ello, lo que 01:06:12

he hecho es tomar la imagen y trazar una serie de líneas. En primer lugar, he marcado el eje de las 01:06:18

x, horizontal, pasando por el punto inicial del lanzamiento del proyectil, pasando por los 01:06:24

pies de la estatua. He vuelto a trazar el eje de las y, vertical, pasando por el punto inicial, el 01:06:31

punto de origen del lanzamiento del proyectil, y luego dos líneas auxiliares, una horizontal y una 01:06:36

vertical, que pasan por el punto de altura máxima, que venía marcado en la trayectoria con color verde, 01:06:43

hasta tocar con los ejes de coordenadas. Puesto que tengo que tener en consideración como escala 01:06:48

que la altura de la estatua es dos metros, he trazado una nueva línea auxiliar pasando por la 01:06:55

cabeza de la estatua, en horizontal, hasta tocar a este eje auxiliar. Puede haber hecho lo mismo 01:07:00

hacia la izquierda hasta tocar el eje de las y, pero me ha parecido más limpio hacerlo así hacia 01:07:06

la derecha. Por definición, dado que la estatua nos dicen que mide dos metros, la separación entre 01:07:10

este punto de intersección y este otro debe ser dos metros. Para poder utilizar como unidad de 01:07:16

medida un metro, lo que he hecho ha sido dividir este segmento por la mitad, y entonces la separación 01:07:21

entre este punto y este, o bien, entre este punto y este otro, es un metro, y lo que he hecho ha sido tomar 01:07:28

este un metro como unidad de medida y lo he trasladado a lo largo del eje de las x y a lo largo 01:07:34

del eje de las y, con objeto de poder determinar todas las medidas que me hacen falta. A partir de 01:07:41

aquí, lo único que tengo que hacer es contar. Para determinar la altura máxima, lo único que tengo que 01:07:46

hacer es, a partir del origen del sistema de referencia, ir contando unidades a lo largo del eje 01:07:51

de las y es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Bien, es algo más de 10 metros. No es 10, no es 11. Este segmento no toca 01:07:55

justamente a la mitad entre 10 y 11, así que no voy a decir 10,5 metros. La sensación que tengo es 01:08:09

que es una cuarta parte, así que voy a estimar la altura máxima como 10,25 metros. Para determinar 01:08:15

la x de la altura máxima voy a hacer lo mismo, pero contando unidades en el eje de las x. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Bueno, 01:08:21

estamos en las mismas que antes. Entre 13 y 14. No es justamente el centro, no voy a decir 13,5. Tengo 01:08:36

la sensación de que es aproximadamente una cuarta parte, así que voy a estimar la x de y máxima como 01:08:43

13,25 metros. Si quisiera también podría determinar de la misma manera el alcance. Lo único que tengo que hacer es seguir contando a partir de aquí. 01:08:48

Esto eran 13 metros, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26. Bueno, entre 26 y 27 metros. Y aquí sí tengo la sensación de que el proyectil 01:08:56

alcanza el centro de este segmento entre 26 y 27 metros. Así que voy a estimar el alcance x máxima como 26,5 metros. 01:09:13

En este momento voy a pararme a pensar un poquito. La parábola como tal es una función simétrica y en 01:09:25

este caso tiene que ser completamente simétrica, puesto que el punto inicial se encuentra sobre la 01:09:33

superficie y el punto final también se encuentra sobre la superficie. Eso quiere decir que desde el 01:09:39

punto de altura máxima hacia la izquierda y hacia la derecha la parábola debe ser simétrica, tiene 01:09:44

simetría especular. Eso lo que quiere decir es que la distancia que corresponde al alcance debe ser 01:09:49

el doble de la distancia de la x de y máxima, puesto que esta distancia por simetría debe ser igual a esta 01:09:56

otra. Hemos estimado la x de y máxima como 13,25 metros. Hemos estimado la x máxima como 26,5 metros y 01:10:04

efectivamente esta x máxima es el doble de la x de y máxima. Así que, por lo menos, de momento las 01:10:12

estimaciones que estamos haciendo son convincentes desde el punto de vista en el que por lo menos 01:10:18

cumplen con esas propiedades geométricas de las parábolas. Para realizar el estudio analítico 01:10:24

que se nos pide partimos, como siempre, de las ecuaciones del movimiento que hemos deducido en la 01:10:30

introducción teórica, en las cuales vamos a sustituir todo aquello respecto a los parámetros que 01:10:35

nosotros conocemos. Nosotros conocemos, para empezar, que el lanzamiento se produce desde la superficie 01:10:42

del cuerpo planetario, así que y0 tiene que ser igual a 0. Nosotros también sabemos cómo expresar 01:10:47

las componentes de la velocidad inicial en función del módulo de la velocidad inicial que se nos dice 01:10:53

en el enunciado que es 16 metros partido por segundo y el ángulo de elevación a través de las funciones 01:10:58

trigonométricas coseno de alfa para la componente x, seno de alfa para la componente y. Pues bien, 01:11:03

haciendo estas sustituciones, obtenemos estas cuatro ecuaciones del movimiento, estas dos primeras 01:11:09

para la posición x e y en función del tiempo, estas dos últimas para la velocidad en el eje x y en el 01:11:14

eje y en función del tiempo. ¿Cómo trabajamos con las ecuaciones del movimiento? Imponiendo condiciones. 01:11:21

Nosotros nos vamos a centrar en el estudio de o en la caracterización de la altura máxima. 01:11:27

Las condiciones son estas tres que tenemos aquí. La primera, lo que nos indica, es que existe esa 01:11:33

altura máxima. Existe un instante de tiempo que vamos a llamar t de y máxima en el cual la componente 01:11:39

vertical de la velocidad se hace cero. Eso es lo que expresa esta primera condición. Existe ese 01:11:45

punto de altura máxima. Y ahora, a continuación, las otras dos lo que nos indica es dónde se 01:11:51

encuentra. Nosotros hemos medido y máxima y x de y máxima. Bien, ¿cómo vienen caracterizados esos 01:11:56

valores con estas ecuaciones? Bueno, pues la coordenada y en ese tiempo de altura máxima debe 01:12:02

ser precisamente la altura máxima, mientras que la coordenada x en ese tiempo de altura máxima debe 01:12:07

ser esa x de y máxima que hemos medido nosotros. Sustituyendo estas tres condiciones en las 01:12:13

correspondientes ecuaciones, obtenemos este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que son el 01:12:19

ángulo de elevación, alfa, que se encuentra expresado en forma de seno de alfa o coseno de alfa, la 01:12:26

aceleración de la gravedad en este cuerpo planetario, en principio desconocida, que es esta g que 01:12:31

tenemos aquí, y el tiempo en el cual se alcanza ese punto de altura máxima, t de y máxima. Tres 01:12:36

ecuaciones con tres incógnitas, claramente no lineales las ecuaciones. Vamos a ver cómo podemos 01:12:42

resolverlo. Y vamos a utilizar una técnica similar a la que hemos estado utilizando continuamente. El 01:12:47

tiempo en el cual se alcanza la altura máxima es un parámetro en el cual no estamos interesados, 01:12:53

así que lo que vamos a hacer es despejarlo de una de las ecuaciones, de aquella en la que sea más 01:12:58

sencillo despejarlo, y lo vamos a sustituir en las otras dos. En este caso lo que vamos a hacer es 01:13:02

despejar el tiempo de y máxima de la tercera ecuación, pasando este 16 y coseno de alfa que está 01:13:07

multiplicando, dividiendo al miembro de la derecha. No nos preocupa dividir entre coseno de alfa, 01:13:12

porque como hemos discutido ya, alfa no va a tomar valor ni menos 90 ni 90 grados, así que el 01:13:17

denominador no se va a hacer nunca cero. Y lo que vamos a hacer es sustituir esta expresión en la 01:13:23

primera y en la segunda ecuación. Obtenemos lo que vemos aquí, 16 por seno de alfa menos g por el 01:13:28

tiempo de altura máxima igual a cero. Y por otro lado, 16 por seno de alfa por el tiempo de altura 01:13:36

máxima, aquí entre paréntesis, menos g partido por 2 por el tiempo de altura máxima al cuadrado, igual a 01:13:42

10,25. Vamos a simplificar estas ecuaciones para poder trabajar con ellas. A la primera lo que le 01:13:48

vamos a hacer es, para eliminar este denominador, multiplicar todos los términos por 16 por coseno 01:13:55

de alfa, cosa que podemos hacer porque alfa no va a tomar, como hemos dicho antes, valores menos 90 o 01:14:01

90 grados, así que no estamos multiplicando por cero, cosa que no podríamos hacer. Lo que obtenemos 01:14:06

es, consecuentemente, 16 al cuadrado por seno de alfa por coseno de alfa menos 13,25 por g igual a 01:14:11

cero. Esta es esta primera ecuación que tenemos aquí. En la segunda ecuación vamos a hacer algo 01:14:18

diferente, vamos a hacer algo que ya hemos hecho anteriormente. Vamos a simplificar este 16 01:14:23

multiplicando con este 16 dividiendo y en el primer término se nos va a convertir 13,25 por seno de 01:14:28

alfa partido por coseno de alfa y aquí lo que vamos a hacer es expresar menos g por 13,25 al 01:14:34

cuadrado partido de 2 16 al cuadrado y coseno al cuadrado de alfa igual a 10,25. Vamos a separar 01:14:41

coseno de alfa de esta manera y vamos a separar también por delante esta g de esta manera. ¿Por qué? 01:14:48

Porque de esta primera ecuación vamos a despejar g en función del resto de parámetros para 01:14:55

sustituirlo en esta segunda ecuación. Si despejamos g vamos a pasar 13,25 g al miembro de la derecha 01:15:01

sumando, luego pasaremos el 13,25 que está multiplicando la g dividiendo al otro miembro y 01:15:08

obtenemos esta expresión que tenemos aquí 16 seno de alfa coseno de alfa partido por 13,25. Como 01:15:14

decía, esta expresión para g es la que vamos a sustituir aquí en esta segunda ecuación en la 01:15:21

esperanza de que se nos simplifique lo suficiente. Vamos a obtener 13,25 por seno de alfa partido 01:15:27

por coseno de alfa que volvemos a escribir menos, en lugar de g, 16 cuadrado seno de alfa coseno de 01:15:33

alfa entre 13,25 y el resto que teníamos 13,25 al cuadrado entre 2 16 al cuadrado y coseno al 01:15:40

cuadrado de alfa igual a 10,25. ¿Por qué no hemos operado con todos los valores numéricos que 01:15:48

teníamos aquí? Pues en la esperanza de comprobar cómo realmente, como podéis comprobar, hay muchas 01:15:54

cosas que se nos van a simplificar. Tenemos 16 al cuadrado y 16 al cuadrado que se nos va a simplificar 01:15:59

y tenemos 13,25 al cuadrado que con uno de estos 13,25 también se nos va a simplificar. Asimismo 01:16:05

aquí tenemos un coseno de alfa en el numerador que con uno de estos coseno de alfa que tenemos 01:16:12

al cuadrado en el denominador también se nos va a simplificar. ¿Al final qué es lo que nos va a 01:16:18

quedar? Bien, el primer término lo volvemos a reescribir 13,25 seno de alfa partido de coseno de alfa menos 01:16:23

13,25 partido por 2 por seno de alfa partido por coseno de alfa igual a 10,25. 13,25 menos la mitad de 01:16:29

13,25 es la mitad de 13,25. Podemos pensarlo de esta manera. ¿Y qué es lo que nos queda cuando sumamos 01:16:40

13,25 seno de alfa entre coseno de alfa menos 13,25 medios de seno de alfa partido por coseno de alfa? 01:16:47

Pues 13,25 medios de seno de alfa partido por coseno de alfa. Estamos a punto. Este 2 que está aquí 01:16:53

dividiendo lo vamos a pasar al otro miembro donde tenemos valores numéricos multiplicando. Este 13,25 01:17:01

que está multiplicando lo vamos a pasar dividiendo y nos damos cuenta de que seno de alfa partido de 01:17:07

coseno de alfa, como ya nos ha salido en un montón de ocasiones, es en realidad la tangente de alfa. 01:17:11

Podemos expresarlo como la tangente de alfa. ¿Qué nos queda? Una única ecuación donde podemos 01:17:17

calcular alfa que está expresado en forma de tangente de alfa sin más que considerar que alfa 01:17:22

es el arcotangente de 10,25 por 2 entre 13,25 que es el valor numérico 1,5472. Le preguntamos a la 01:17:28

calculadora cuál es el arcotangente de este valor numérico sabiendo que alfa es un ángulo de elevación 01:17:38

tiene que estar entre 0 y 90 grados y obtenemos el valor único de 57,1 grados. Este es uno de los dos 01:17:43

parámetros por los que se nos preguntaba el ángulo de elevación. El otro era la aceleración de la 01:17:50

gravedad en ese cuerpo planetario. Pues bien, lo que vamos a hacer es retomar esta expresión de la que 01:17:55

habíamos despejado el alfa y lo que vamos a hacer es retomarla y sustituir en ella, en lugar de alfa, 01:18:01

este valor 57,1 grados que acabamos de calcular. Si hacemos eso, sustituimos en la expresión anterior 01:18:06

para g alfa por 57,1 grados y operamos, obtenemos para la aceleración de la gravedad 8,811 metros 01:18:12

partido por segundo al cuadrado. Así que no nos encontramos, parece ser, sobre la superficie de la 01:18:19

Tierra. Tras los cálculos y el procedimiento experimental vamos a exponer los resultados 01:18:24

obtenidos a lo largo de esta práctica. En primer lugar, teníamos que determinar experimental y 01:18:31

analíticamente ciertos parámetros de lanzamiento en dos experiencias. En primer lugar, teníamos un 01:18:37

lanzamiento desde una altura de 7 metros por encima de la superficie del cuerpo planetario, con una 01:18:43

velocidad inicial de lanzamiento de 16 metros partido por segundo, y tratábamos de alcanzar 01:18:48

un objetivo situado sobre la superficie del cuerpo a una distancia de 15 metros. Teníamos que 01:18:54

determinar los dos ángulos de elevación o de depresión con los cuales se iba a alcanzar ese 01:19:00

objetivo. Experimentalmente determinamos un ángulo de depresión de 10 grados, un ángulo de elevación 01:19:05

de 75 grados. Analíticamente determinamos un ángulo de depresión de 9,7 grados y un ángulo 01:19:11

de elevación de 74,7 grados. Asimismo, teníamos una segunda experiencia en la cual también teníamos 01:19:17

un lanzamiento desde una altura de 7 metros por encima de la superficie del terreno y en este 01:19:25

caso teníamos que alcanzar un punto de altura máxima a 15 metros sobre la superficie del 01:19:30

terreno a una distancia de 12 metros del sistema de lanzamiento. Para obtener ese punto de altura 01:19:36

máxima teníamos que determinar experimental y analíticamente tanto el ángulo de elevación o 01:19:42

de depresión como la velocidad del lanzamiento. Experimentalmente determinamos un ángulo de 01:19:47

lanzamiento de 55 grados y una velocidad inicial de lanzamiento de 16 metros partido por segundo 01:19:53

mientras que analíticamente determinamos un ángulo de lanzamiento, un ángulo de elevación de 53,13 01:19:59

grados y una velocidad de lanzamiento de 15,66 metros partido por segundo. En este segundo caso 01:20:05

adicionalmente se nos pedía que en esas condiciones determináramos cuál iba a ser el alcance máximo, 01:20:12

cuál iba a ser la coordenada x máxima que corresponde con el punto en el cual el proyectil 01:20:18

vuelva a alcanzar la superficie del planeta. Bien, experimentalmente medimos un alcance de 28,7 01:20:23

metros y analíticamente calculamos un alcance de 28,42 metros. A continuación queríamos comparar 01:20:29

estos resultados experimentales y analíticos determinando los errores absoluto y relativo 01:20:37

cometidos en cada una de estas experiencias, considerando como exacto el resultado analítico 01:20:44

y como aproximado el resultado experimental. En la primera experiencia, tanto para el cálculo, 01:20:50

para la determinación del ángulo de elevación como para el ángulo de depresión, obteníamos 01:20:57

igualmente un error absoluto de 0,3 grados. El error relativo difería. Para el caso del ángulo 01:21:03

de depresión era 3,1%, para el valor del ángulo de elevación era 0,4%. Ya habíamos discutido en 01:21:09

su momento que esto se debía, teniendo igual valor absoluto la diferencia de los errores relativos, 01:21:16

al hecho de que estos 0,3 grados, en comparación con casi 75 grados, supone un error mucho más 01:21:22

pequeño que estos 0,3 grados en un ángulo de aproximadamente unos 10. En el caso de la segunda 01:21:28

experiencia, para el ángulo de elevación tenemos un error absoluto de 1,9 grados, para la velocidad 01:21:34

inicial un error absoluto de 0,34 metros partido por segundo, para el alcance, la x máxima, un error 01:21:41

absoluto de 0,28 metros. Habíamos comentado asimismo que no podíamos comparar estos errores absolutos, 01:21:49

puesto que corresponden a magnitudes diferentes con unidades de medida diferentes, y entonces 01:21:56

determinábamos los errores relativos. Para el ángulo de elevación 3,6%, para la velocidad de 01:22:00

lanzamiento 2,2%, para el alcance 0,98%. Y ahora sí podríamos comparar, y en este caso podríamos 01:22:06

deducir que la aproximación experimental de 55 grados por 53,13 grados para el ángulo de elevación 01:22:13

supone una aproximación mucho peor, porque el error relativo es mucho mayor, que la aproximación de 01:22:20

28,7 metros como alcance máximo experimental frente a los 28,42 metros del alcance analítico, 01:22:26

puesto que el error relativo es mucho menor. La práctica finalizaba con el análisis geométrico 01:22:34

de esta trayectoria que tenemos en la imagen, en la cual se produce el lanzamiento de un proyectil 01:22:41

desde la superficie de un cierto cuerpo planetario, el proyectil asciende y desciende, y tomando como 01:22:45

exclusivas referencias la altura de la estatua igual a 2 metros, conocida la velocidad de 01:22:51

lanzamiento igual a 16 metros partido por segundo, teníamos que determinar analíticamente la 01:22:57

aceleración de la gravedad en este cuerpo planetario y el ángulo de elevación con el que se produce 01:23:02

el lanzamiento. Sobre la imagen, tomando como referencia la altura de la estatua igual a 2 01:23:07

metros, medíamos la altura máxima de este punto en la trayectoria igual a 10,25 metros, medíamos la 01:23:12

coordenada horizontal que le corresponde, este x de máxima igual a 13,25 metros, y también 01:23:20

determinábamos, medíamos el alcance máximo igual a 26,5 metros. Con estos datos y las ecuaciones del 01:23:25

movimiento, determinábamos analíticamente la aceleración de la gravedad en la superficie del 01:23:32

cuerpo planetario, que debe ser 8,811 metros partido por segundo al cuadrado, y el ángulo de elevación 01:23:37

igual a 57,1 grados. Con la información de la que disponemos no podemos hacer nada más, no podemos 01:23:43

determinar errores ni absoluto ni relativo, puesto que en principio no conocemos los valores reales 01:23:49

únicamente estos valores. Yo en realidad sí conozco los valores con los cuales se ha generado la 01:23:55

imagen, puesto que la imagen la he generado yo. Os puedo decir que la aceleración de la gravedad 01:24:01

real con la cual he simulado este lanzamiento es 8,85 metros partido por segundo al cuadrado, la 01:24:06

que corresponde al valor medio en la superficie de Venus. En estas condiciones, conociendo el valor 01:24:12

real, podríamos haber calculado el error absoluto igual a 0,039 metros partido por segundo al cuadrado, 01:24:17

y el error relativo igual al 0,4 por ciento, bastante pequeño. En cuanto al ángulo de elevación, el ángulo 01:24:23

de elevación real con el que se ha generado el lanzamiento es de 57 grados, el error absoluto 01:24:29

cometido es de 0,1 grados y el error relativo del 0,2 por ciento, nuevamente un error relativo muy 01:24:35

pequeño. Ambas aproximaciones para la aceleración de la gravedad y el ángulo de elevación son 01:24:42

francamente buenas. Para finalizar, podemos concluir que hemos alcanzado los objetivos que nos 01:24:46

habíamos planteado al inicio de esta práctica. En primer lugar, nos planteábamos estudiar el 01:24:52

movimiento balístico, el movimiento bidimensional de un proyectil en el seno de un campo gravitatorio, 01:24:58

y eso lo hemos hecho tanto experimental como analíticamente. Nos hemos planteado cuál debía 01:25:02

ser la configuración de un determinado sistema de lanzamiento para alcanzar un cierto objetivo. 01:25:07

En un primer caso, ese objetivo se encontraba sobre la superficie del cuerpo planetario en el 01:25:11

cual nos encontrábamos, y en el segundo caso nos planteamos alcanzar un punto de altura máxima 01:25:17

concreto en una posición muy concreta, y esto lo hicimos tanto experimental como analíticamente. 01:25:21

Asimismo, también realizamos el análisis de una trayectoria de una imagen, en la cual 01:25:27

determinamos de una forma analítica, a partir de ciertas medidas, cuál era la aceleración de la 01:25:33

gravedad en el cuerpo planetario que producía esa trayectoria, y el ángulo de elevación con el cual 01:25:38

se había producido el lanzamiento. Como segundo objetivo, nos planteábamos estudiar errores 01:25:43

absolutos y relativos, y esto lo hemos hecho aprovechando que en la primera parte teníamos 01:25:49

medidas experimentales y también analíticas, denominando aproximadas a las medidas experimentales 01:25:53

y exactas a las medidas analíticas, determinamos los errores absolutos y relativos cometidos en 01:26:00

todos los casos y pudimos utilizarlos para poder comparar cuál de las aproximaciones era mejor y 01:26:07

cuál era peor. En lo que respecta a la metodología de trabajo dentro del laboratorio virtual, a mi 01:26:12

modo de ver es suficientemente realista. Como ya he comentado en la práctica anterior, los parámetros 01:26:19

del lanzamiento se van a corresponder con los reales, los que son necesarios para realmente 01:26:24

producir la experiencia. Necesitamos medir el ángulo de elevación, y podemos hacerlo. Necesitamos medir 01:26:28

la altura a la cual situamos el sistema de lanzamiento con respecto del sistema de referencia 01:26:34

o con respecto a la superficie del terreno, y eso podemos hacerlo. La única excepción, una vez más, 01:26:39

es la velocidad inicial. No siempre tenemos un sistema de lanzamiento con el cual podemos 01:26:45

seleccionar una cierta velocidad, sino que en función de cuál sea el sistema propulsor, podemos 01:26:50

alterar los parámetros que lo caracterizan para a su vez obtener una cierta velocidad inicial. Por 01:26:56

otra parte, los parámetros de lanzamiento, tal y como los podemos manipular en el laboratorio 01:27:03

virtual, podrían tener una precisión algo mayor, con la cual podríamos obtener resultados 01:27:08

experimentales algo mejores, más próximos a los analíticos. Sobre todo en el caso del ángulo de 01:27:13

elevación, donde podríamos manipular el sistema de lanzamiento de 5 en 5 grados, y podríamos hacerlo 01:27:20

de uno en uno, obtendríamos resultados mejores. Pero no solo eso, también en la elevación del 01:27:25

sistema de lanzamiento, en lugar de uno en un metro, de 10 en 10 centímetros, nos permitiría 01:27:30

obtener resultados experimentales mucho más próximos a los analíticos. En cuanto a la 01:27:36

realización de medidas sobre la imagen de la trayectoria, para poder determinar los parámetros 01:27:41

analíticos, analíticamente, estas medidas se corresponden con las reales que nosotros tendríamos 01:27:46

que realizar si dispusiéramos realmente de una imagen. Tendríamos que utilizar como patrón de 01:27:51

escala la longitud de algo conocido para a partir de ahí poder realizar todas las demás medidas. Es 01:27:57

cierto que la precisión de las medidas es mejorable. En este caso he utilizado como escala la mitad de 01:28:03

la altura de la estatua y he dicho que eso es un metro, puesto que conocíamos que la estatua era 01:28:08

de dos metros. Podríamos haberlo hecho de una forma mucho más precisa, con un poco más de paciencia, 01:28:13

contando los píxeles en la imagen que corresponden a esos dos metros, para así decidir cuál es la 01:28:18

longitud a la que equivale uno de esos píxeles, y a partir de ahí utilizar como unidad de medida el 01:28:25

píxel, que es la menor que nosotros podríamos utilizar dentro de la imagen que se nos ha dado. 01:28:29

No obstante, no es necesario utilizar esa precisión tan extrema. Requiere mucho trabajo y los errores 01:28:35

relativos que hemos obtenido son suficientemente buenos como para que las aproximaciones que hemos 01:28:41

hecho sean realmente buenas. En cualquier caso, como siempre he dicho en todas las 01:28:46

discusiones de todas las prácticas anteriores, la manipulación en un laboratorio real no puede 01:28:52

sustituirse por este tipo de laboratorios virtuales. La capacidad manual o la capacidad de decisión que 01:28:59

tomamos cuando nos encontramos ante objetos reales no es algo que se pueda entrenar por 01:29:07

completo mediante un laboratorio virtual. Aunque de todas formas, como ya hemos visto, o como en 01:29:12

algunas ocasiones vosotros lo habéis comentado, el laboratorio virtual supone un buen sustituto, 01:29:17

aun teniendo en cuenta que la manipulación, una vez más, de objetos en laboratorio real no puede 01:29:23

entrenarse directamente o por completo de esta manera. En el aula virtual de la asignatura 01:29:28

tenéis disponibles otros recursos, ejercicios y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información 01:29:35

en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a 01:29:41

clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 01:29:46

P.F2 Balística - Contenido educativo

Del mismo autor…

Vídeo resumen "Proteínas, enzimas y vitaminas" Biología 2º Bachillerato

Vídeo resumen "Lípidos" Biología 2º de Bachillerato

Vídeo resumen "Glúcidos", Biología 2º Bachillerato

Vídeo resumen "Anabolismo", Biología 2º de Bachillerato

Vídeo resumen "Catabolismo", Biología 2º Bachillerato

Vídeo resumen "El ciclo celular, Biología 2º Bachillerato

Vídeo resumen "Bioelementos, El agua y las sales minerales", Biología 2º de Bachillerato