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Interpretación geométrica de la derivada

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Subido el 11 de octubre de 2019 por Pablo Jesus T.

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Vamos a hacer una construcción geogebra para enseñar a nuestros alumnos el concepto de derivada como pendiente de la recta tangente en el punto. 00:00:13
Vamos a elegir la función x cuadrado partido por 4, vamos a elegir el punto 2,1 y el punto 6,9, vamos a cambiar algunas propiedades, 00:00:25
vamos a poner la función en azul 00:00:46
y vamos a poner 00:00:54
ahora vamos a hacer una recta 00:00:58
que pase por los dos puntos 00:01:01
y esa recta la vamos a poner en rojo 00:01:05
¿de acuerdo? 00:01:09
bueno, pues ahora ya sabéis 00:01:12
que el tema es que cuando yo vaya acercando el punto B al A, la recta secante se convierte en tangente 00:01:15
y eso es a lo que pasamos a llamar derivada de la función en el punto A. 00:01:23
Si nosotros cogiéramos la herramienta pendiente sobre la recta, pues ahí la tendríamos, 00:01:31
pero no es eso lo que vamos a querer pintar 00:01:38
así que la vamos a ocultar 00:01:45
y ahora vamos a coger la herramienta recta paralela 00:01:46
y vamos a trazar una paralela por A al eje X 00:01:51
y una paralela por B al eje Y 00:01:58
marcamos el punto C 00:02:01
sabéis que no hace falta elegir interseca 00:02:03
porque GeoGebra ha evolucionado en ese sentido mucho 00:02:06
Y ahora, pues elegiríamos la herramienta segmento, marcaríamos de A hasta C, desde B hasta C, y ya tenemos las que queríamos. 00:02:10
Bueno, podemos ocultar las dos rectas, el punto C, lo podríamos hacer con J y K a la vez, pero lo voy a hacer primero con una, de acuerdo, le voy a quitar que se vea la etiqueta, y ahora que ya, digamos, tengo hecho la línea que quería, pues voy a coger la herramienta copiar estilo visual para tenerlo en el otro lado. 00:02:24
Bueno, pues ya tenemos esto, ahora vamos a escribir tres textos, el primero pues va a ser incremento de i igual y aquí vamos a jugar con idb, 00:02:54
de acuerdo 00:03:21
le vamos a restar IDA 00:03:25
otra vez, casilla vacía 00:03:28
pincho dentro 00:03:33
IDA 00:03:34
igual 00:03:37
y ahora otra vez casilla vacía 00:03:40
pero ahora dentro vamos a poner 00:03:42
que nos haga ya la operación 00:03:44
IDB 00:03:46
menos IDA 00:03:47
bueno, pues esto parece que ya está 00:03:49
lo vamos a poner aquí 00:03:53
lo elegimos 00:03:57
vamos a ver sus propiedades 00:04:00
vamos a hacerlo un poquito más grande 00:04:02
hay que dar ok para que vuelva a hacerlo 00:04:06
si os gusta más le podéis dar fórmula látex 00:04:09
que queda yo creo que bastante mejor 00:04:12
ponen sans serif y eso 00:04:16
el color le vamos a elegir rojo 00:04:19
Y en posición, pues vamos a poner simplemente B más C partido por 2, para que lo tenga siempre en el punto medio de B y C. 00:04:22
Lo podemos alejar un poquito, ¿de acuerdo? Y ya está. 00:04:35
Ahora vamos a repetir lo mismo con la X, así que podéis así ensayarlo. 00:04:41
ensayarlo, casilla vacía, dentro x de b, menos casilla vacía, dentro x de a, muy bien, 00:04:51
Igual, casilla vacía, x de b menos x de a. 00:05:11
Bueno, perfecto, porque ahora yo le cojo el estilo visual, se lo copio, lo pincho, 00:05:21
en posición ahora va a ser 00:05:32
A más C partido por 2 00:05:35
y en texto 00:05:38
lo vamos a poner también como fórmula látex 00:05:43
y lo vamos a poner 00:05:47
ahí 00:05:50
bueno, ya tenemos 00:05:51
entonces incremento de Y 00:05:56
incremento de X, me voy a permitir poner dos textos más 00:06:00
uno va a ser la pendiente de la recta 00:06:03
aquí si no sabéis látex de memoria 00:06:08
pues siempre se puede elegir ahí 00:06:12
vamos a elegir incremento de y 00:06:13
partido por incremento de x 00:06:17
vemos como queda en vista previa 00:06:24
igual y ahora vamos a poner el valor m 00:06:28
que es lo que vale 00:06:33
Esto es. Vamos a escribir otro texto, ahora lo cambiaremos. Vamos a escribir otro texto donde antes de escribirlo vamos a definir la derivada de f, lo vamos a ocultar para que después utilizarla en el paso este. 00:06:35
Aquí vamos a poner la definición de derivada, f' de x, vamos a poner fórmula látex, igual, vamos a elegir límite, aquí vamos a poner delante el incremento, cuando incremento de x tiende a 0, y vamos a ir viendo como queda, muy bien, perfecto. 00:07:01
Aquí puedo, como ya me lo he aprendido, poner frac, incremento de y partido por incremento de x, muy bien, ahí lo tenéis, y ahí vamos a escribir ya la derivada, ¿de acuerdo? 00:07:34
Entonces vamos a poner casilla vacía y dentro vamos a escribir f' de x de a, ¿de acuerdo? 00:07:57
Y aquí vemos que nos queda 1. 00:08:11
Vamos a copiar el estilo visual, ¿de acuerdo? 00:08:16
Si vemos que se nos ha ido el látex, se supone que aquí en propiedades deberíamos poderlo volver a poner, aquí estamos, muy bien, y este, pues lo mismo, vale, está perfecto. 00:08:23
M lo vamos a poner aquí, por ejemplo, y esto que se nos ha ido lo vamos a poner más abajo, pero vamos a hacer que se muestre solo, y así aprendemos a utilizarlo. 00:08:47
Cuando x de b menos x de a sea menor que 0.01, es decir, ya estemos muy cerca, como vemos ha desaparecido porque todavía estamos lejos. 00:09:08
Bueno, lo vamos a mover un poquito para la izquierda y lo vamos a bajar un poquito más, porque ahora vamos a hacer que se vea la vista 2, aquí la tenemos, y vamos a hacer que se vea lo más parecido posible. 00:09:27
Aquí está la cuadrícula, coincide. Muy bien, pues ahora seleccionamos la función, los puntos, la recta, y lo que vamos a hacer es, podemos también seleccionar los segmentos, 00:09:55
en propiedades 00:10:16
vamos a hacer nada menos que 00:10:19
se vean en la vista gráfica 2 00:10:23
¿vale? así que ahí 00:10:29
digamos que lo tenemos como duplicado 00:10:32
¿de acuerdo? lo que pasa es que ahora vamos a hacer que la derecha 00:10:35
sea un zoom 00:10:39
para eso 00:10:41
pues se me ha ocurrido 00:10:43
Lo primero de todo es en la vista gráfica ver la relación que hay entre la X y la Y. 00:10:46
Entonces, con una calculadora, voy a dividir la I máxima, serían 18, 19, 34 entre 15, 44. 00:10:57
Bueno, esto es por acertar un poco más, vemos 1,253 para después ponerlo, ¿vale? 00:11:23
Bien, pues este 1,253 me va a servir para una pequeña formulita que se me ha ocurrido 00:11:36
Aquí, bueno, primero vamos a ver que estemos en la 2, efectivamente 00:11:45
Bueno, aquí vamos a poner X de A menos X de B, que es nuestro ancho, menos X de A por 0.05, porque si pusiéramos solamente X de A quedaría demasiado pegado. 00:11:51
¿Veis lo que ha hecho? Bueno, aquí vamos a poner x de b más x de b menos x de a por 0. 00:12:19
punto 00:12:47
pues vamos a poner 00:12:47
o 45 00:12:53
vale 00:12:56
muy bien 00:12:58
aquí 00:13:00
en la i vamos a poner 00:13:01
idA 00:13:04
menos también 00:13:04
idB 00:13:08
menos idA 00:13:10
esto es lo único que estoy haciendo 00:13:12
me lo podía haber saltado con vosotros 00:13:13
y haberlo explicado 00:13:16
es hacer que funcione después cuando me aleje o cuando me acerque la gráfica. 00:13:17
Y en I máxima, que de momento vamos a dejar 11,58, porque aquí voy a escribir otra, la fórmula de, si os acordáis del 1,253, 00:13:32
Pues vamos a definir una K que va a ser igual a 1.5 por 1.253 menos 1.05M y dividido por todo, vale. 00:13:45
Vamos a ponerlo todo entre paréntesis 00:14:14
Borramos esta 00:14:17
Ahora 00:14:24
Partido por M 00:14:25
Y esa va a ser una K 00:14:28
De acuerdo 00:14:32
Aquí está 00:14:35
Que voy a utilizar en la I 00:14:37
En la I voy a poner IDB 00:14:39
Más 00:14:41
IDB 00:14:46
Menos IDA 00:14:48
repito que lo único que he hecho es poner los números para que me salga un rectángulo 00:14:50
donde las unidades sean cuadradas 00:14:56
y aquí es donde voy a poner K 00:14:58
si lo he hecho bien, pues ahora cuando cierre 00:15:06
pues se ve que deberíamos tener el punto 00:15:10
pasa una cosa curiosa, que es que la función 00:15:16
todo lo que habíamos generado que se viera en A y en B 00:15:19
pues resulta 00:15:25
que ha pasado a verse de otra manera 00:15:30
bueno, lo que ha pasado es que 00:15:38
he llamado K, he renombrado K y K era un segmento 00:15:42
entonces lo que voy a hacer es, me voy a poner en K 00:15:46
a ver si puedo 00:15:49
voy a copiar la definición de K 00:15:52
con control X 00:15:55
y voy a ir echando para atrás 00:15:57
así vemos la función deshacer 00:16:04
a ver que tal funciona 00:16:06
hasta que K sea el segmento 00:16:07
muy bien 00:16:12
lo que voy a llamar va a ser L 00:16:13
voy a ver si funciona el control V 00:16:16
perfecto 00:16:20
muy bien 00:16:22
Voy a ver aquí si está puesto lo que tenía que tener 00:16:23
Voy a poner L 00:16:32
Se nos ha ido todo 00:16:34
Así que lo siento, pero hay que modificarlo todo 00:16:37
Bueno, pues lo he rehecho con los datos que os he dicho 00:16:41
Y aquí lo tenemos 00:16:45
Ya prácticamente hemos terminado 00:16:47
Porque ahora ya lo único que queremos es ver que al acercar B, vamos a ver que se ve aquí, al principio no se ve, pero ahora va a aparecer ahí B, la pendiente va disminuyendo, la diferencia entre la secante y la tangente va disminuyendo. 00:16:50
Ahora en la izquierda ya hasta parece igual la tangente que la secante, pero aquí se ve todavía diferencia. 00:17:08
Si yo ahora empiezo a acercar B, de acuerdo, como veis, cada vez el eje, o sea, la lupa va haciéndose cada vez más grande, 00:17:18
eso se ve a partir de los ejes y simplemente pues ahora cuando lleguemos a estar a una distancia menor que 0,01 00:17:28
nos aparece la derivada y como veis ni siquiera con este nivel de amplitud o de ampliación 00:17:42
se puede ver diferencia entre la tangente y la secante. 00:17:51
Hay un momento en que ya GeoGebra, en la izquierda, nos dice que la variación de Y y la variación de X es 0, la pendiente, sin embargo, el cociente no es indeterminación porque no da 0 partido por 0, todavía GeoGebra lo va calculando bien. 00:17:57
Y aquí podría seguir, fijaros ya por qué orden voy, 1,0002, y en ese momento la pendiente y la derivada son iguales. 00:18:15
Podemos volver atrás, y bueno, pues así es una construcción utilizando la lupa. 00:18:28
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
507
Fecha:
11 de octubre de 2019 - 18:23
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
18′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
73.66 MBytes

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