TEMA 12 - DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD - PARTE 2.2

Para dar por terminado el tema 12 y con ello todo el temario del curso, sí, sorprendentemente, a espera de que durante el medio de mayo podamos recuperar algunas clases, algunas cosillas que se nos quedaron, pero a grosso modo llegamos al final del curso. 00:00:00

Es el apartado 4 de distribución normal un caso particular de variable aleatoria continua 00:00:14

Vamos a estudiar la normal porque seguramente sea la más importante de todas 00:00:24

Aunque en el futuro veremos que existen bastantes más 00:00:27

En el futuro me refiero a vuestro futuro académico, no el futuro de este curso por suerte 00:00:31

¿Qué podemos decir de la distribución normal? 00:00:35

Que es una distribución asociada a multitud de fenómenos naturales 00:00:38

Es decir, lo que nos vamos a fijar nace sobre todo fijándonos en procesos que se dan en la naturaleza 00:00:41

y que se distribuyen de esta manera que decimos normal. 00:00:47

Son cotidianos y tienen bastante interesantes propiedades de reproductividad. 00:00:52

¿Qué significa esto de reproductividad? 00:00:57

Es decir, que se puede reproducir bastante habitualmente en distintos fenómenos. 00:00:59

Y también qué puede servir para que otras distribuciones se aproximen. Sin ir más lejos, os adelanto un poco, la binomial, cuando tratamos 10, 15, 20 casos, podemos, con las fórmulas que sabemos, calcular la esperanza o calcular la probabilidad de algún suceso. 00:01:07

Pero si decimos que tenemos que hacerlo sobre 400 o 500 lanzamientos de moneda, por ejemplo, simplemente ya la calculadora no va a poder resolver esas probabilidades. Es por ello que nosotros tendremos que aproximarlo a una distribución normal. Así que sabemos que en la parte final veremos cómo aproximarla a otras funciones. 00:01:27

Pero bueno, seguimos. Sirve para modelizar una gran cantidad de situaciones prácticas. Fijaos en el mundo en el que vivimos, que todo está ahora mismo, fijaos en modelos matemáticos, que al fin y al cabo, cuantos más datos tengamos, mejor será el modelo. 00:01:49

Por eso, recordad que siempre os van a seguir pidiendo y cada vez más datos, datos y datos 00:02:06

Todas las aplicaciones de móviles que uséis y todo lo que sea es una recopilación total y absoluta de datos 00:02:10

Cada vez que interactuáis con ChatGPT, por ejemplo, son más datos que se siguen recogiendo 00:02:15

Esto significará que al final las máquinas van a ser capaces de modelizar nuestros comportamientos 00:02:19

¿Y qué pasa cuando se modeliza un comportamiento? 00:02:25

Que podemos nosotros predecir qué es lo que va a pasar 00:02:31

Que es lo mismo que vamos a hacer a menor escala con la distribución normal, es con una serie de datos que siguen, que se asemejan a algo, nosotros vamos a poder ver qué es lo que pasa, predecir lo que puede pasar y tomar decisiones. 00:02:34

Cuando estamos hablando de distribución normal, la mayoría de esos resultados se agrupan alrededor de la media. 00:02:48

En este caso, lo veremos luego más adelante con el gráfico, sin adelantar. 00:02:54

Definición, y que no os asuste esa función que estamos viendo ahí 00:03:01

Sea x una variable aleatoria continua 00:03:05

Diremos que tiene una distribución de probabilidad normal 00:03:08

Con media mu y desviación típica sigma 00:03:11

Es decir, que coinciden en este caso, no hay que calcularlas 00:03:14

Si su función de densidad es de la siguiente forma 00:03:17

1 partido por sigma raíz de 2pi 00:03:20

Por e elevado a menos x menos mu al cuadrado 00:03:25

Partido de 2 sigma al cuadrado 00:03:29

Pues bueno, pues como podemos ver, es una función de densidad que no vamos a trabajar mucho con ella, ya que la complejidad sería excesiva, pero sí es bueno que la sepamos. 00:03:30

La gráfica, que ya conocemos, se conoce como campana de Gauss, y lo que nos dice es que en una distribución normal, aquí justo en la mitad, tenemos nuestra media, 00:03:42

Y luego de una manera simétrica vamos generando intervalos. 00:03:55

Tened en cuenta que de aquí a aquí tendremos mu más sigma, mu menos sigma, de aquí a aquí mu más 2 sigma, mu menos 2 sigma y mu más 3 sigma, mu menos 3 sigma. 00:04:04

Todo eso veremos qué significa con el tema de los porcentajes porque al fin y al cabo cuando tenemos la función de densidad 00:04:16

Lo importante es que conozcamos el área debajo de la curva 00:04:24

Una vez que sabemos el área debajo de la curva 00:04:27

Podemos calcular la probabilidad como hemos visto anteriormente 00:04:30

Lo único es que seríamos capaces de integrar algo parecido a esto 00:04:32

Ya digo, la respuesta es no, y no lo vamos a hacer 00:04:38

Habrá algunos métodos que nosotros tengamos para poder calcularlo 00:04:40

Pero bueno, que de momento nos vayamos viendo 00:04:44

Cómo es su gráfica y cuáles son sus características 00:04:46

Lo que os he dicho anteriormente 00:04:49

que la media y la división típica coinciden con mu y con sigma 00:04:51

no hay que calcularlas de ninguna manera 00:04:56

sino que ya van dadas en el proceso 00:04:58

que la función es simétrica respecto de x igual a mu 00:05:00

es decir, que si yo doblo por aquí 00:05:04

esto y esto coincide 00:05:06

que tenemos aquí 00:05:08

a ver si soy capaz de señalarlo bien 00:05:12

aquí y aquí puntos de inflexión 00:05:14

a una distancia sigma de mu 00:05:18

Significa que aquí mi función pasa de ser, ya recordamos, ¿no? 00:05:19

Convexa, cóncava, pues pasa de ser convexa a ser cóncava. 00:05:24

Y luego lo que sí que tenemos que saber es que la integral de esa función tiene que dar 1, por definición de probabilidad. 00:05:32

¿Vale? No tenemos que comprobarlo, ni lo voy a comprobar. 00:05:38

Tenemos también que tiene un asíntota horizontal en el eje de las abscisas, ¿vale? 00:05:41

Como podéis ver, el eje de las abscisas es el eje de las X. 00:05:45

y lo que vamos a tener es que nunca jamás mi función va a cortar, se aproximará tanto como nosotros queramos, 00:05:49

pero nunca cortará el eje de las x. 00:05:57

Y ahora, fijaos, una cosa que es muy importante. 00:06:01

Nos está diciendo, voy a recordar, subo otra vez para arriba para que lo veamos, 00:06:04

lo que nos dice es que entre el intervalo mu menos sigma y mu máxima tengo el 68% de los datos. 00:06:09

que entre el intervalo, es decir, fijaos en este área que hemos definido aquí 00:06:17

si ahora nos cogemos este área 00:06:22

y decimos, oye, y entre mu menos 2 sigma y mu más 2 sigma 00:06:26

bueno, pues tenemos un 95% de los datos que se encuentran ahí 00:06:31

lo cual es muy útil luego para hacer estimaciones 00:06:35

y si nos dicen que entre mu menos 3 sigma y mu más 3 sigma 00:06:40

es decir, todo esto de aquí 00:06:45

podemos decir que el 99% de los datos 00:06:46

se encuentran en ese intervalo 00:06:51

¿vale? es lo que nos viene a decir 00:06:54

esta tablita, bueno, esta tablita 00:06:56

esto que os he marcado aquí 00:06:58

lo recordamos 00:07:00

porque en algún momento nos puede ser útil 00:07:01

y seguimos avanzando 00:07:04

vámonos con problemas, ¿no? 00:07:07

para interpretar esto de aquí 00:07:09

esto es un problema simplemente de interpretar 00:07:10

no penséis que esto va a ser 00:07:11

lo que os van a preguntar 00:07:14

lo que nos está diciendo es lo siguiente 00:07:16

supongamos que 00:07:18

supongamos que la estatura 00:07:20

en una determinada región 00:07:24

es una variable x que se distribuye 00:07:25

con mu 00:07:28

175 00:07:31

y sigma 9, vale, centímetros 00:07:32

es decir, esto de aquí 00:07:34

me preguntan, ¿qué significa que podemos saber? 00:07:36

bueno, lo que nos está diciendo es 00:07:39

que la probabilidad 00:07:40

de que sea menor 00:07:43

Si yo intento representar esto, ¿vale? Vamos a hacer aquí su capa de representarlo, ¿vale? Algo así. Y aquí estará el 175. Y voy a inventarme que aquí está 175 menos 9, que será 166, y 175 más 9, que será 184, ¿vale? Para que lo entendamos un poquillo. 00:07:45

Lo que me está diciendo esto es que en su mitad, es decir, en el 175, de aquí para acá mide lo mismo que de aquí para acá. 00:08:13

Consecuencia, por narices, la probabilidad tiene que ser 0,5. ¿Por qué? Porque es simétrica, como hemos visto anteriormente, y porque 175 se encuentra justo en la mitad. 00:08:27

¿Qué nos ha dicho el apartado anterior? El apartado anterior nos ha dicho, oye, si tú tienes el intervalo 175 menos 9, es decir, mu menos sigma y 175 más 9, mu más sigma, como vemos aquí, 00:08:41

Y significa que la probabilidad de que al elegir un suceso al azar este mida entre 166 y 184 centímetros es de un 68% de 0, bueno, en este caso hablo de probabilidad 0,6826. 00:09:01

Es decir, que nos está diciendo que el 68,26% de los habitantes de esa región miden entre esa y eso. 00:09:22

Si yo lo hiciese con menos 2 sigma, 2 por 9 y 2 por 9, lo resto y lo sumo, ¿qué me está diciendo? 00:09:29

Yo puedo asegurar, por lo anterior, que el 95% de la población mide entre 157 y 193 centímetros. 00:09:39

Eso es lo que representa esto de aquí, en un ejercicio. 00:09:48

Repito, no creo que nos lo pregunten 00:09:54

¿Vale? 00:09:57

Pero es bueno que lo sepamos porque a lo mejor nos sirve 00:09:57

En adelante 00:10:00

Pues para poder interpretar algo 00:10:02

¿Vale? 00:10:06

Que sepamos de dónde salen los datos 00:10:06

Aunque recuerdo 00:10:08

En un ejercicio en el que preguntaban algo similar en evao 00:10:08

¿Vale? 00:10:11

Seguimos con la teoría 00:10:13

Y nos dice 00:10:14

Que la variación entre la media y la desviación típica 00:10:15

Origina cambios en la curva 00:10:18

Desplazándose a la izquierda o a la derecha 00:10:20

Haciéndose más alta o más baja 00:10:22

Por ejemplo, yo aquí he recopilado, voy a intentar marcarlo, la normal 01, que sería esta de aquí, eso significa que su media es 0 y que su desviación típica es 1, 00:10:24

significa que si yo me desplazo aquí, ahí estaría el 68% de los datos. 00:10:46

La normal 2, 2, lo que me está diciendo es, que sería esta de aquí, 00:10:54

que si este es, aquí estaría el 2, su media 2, 00:11:04

y aquí sería, muévete dos unidades a la derecha, 00:11:08

llego hasta el 4, muévete dos unidades a la izquierda, llego hasta el 0, 00:11:12

y lo que me está diciendo es, entre mu menos 2 y mu más 2, 00:11:15

entre 2 menos 2, 0 y 2 más 2, 4, aquí se encontrarían el 68% de los datos, ¿vale? 00:11:20

Y vamos a ver, por ejemplo, esta de aquí, la que es más apaisada, y me está diciendo que si la media es 8, 00:11:28

y 1, 2, 3 unidades a la izquierda y 1, 2, 3 unidades a la derecha, debajo de esta curva tendré el 68% de los datos, ¿vale? 00:11:40

Pero como veis, dependiendo de los números que aparecen, de mi media y de mi desviación típica, voy a hacer que sea más acampanada o menos acampanada la representación de la distribución, ¿vale? 00:11:50

O que se desplace a la derecha o se desplace a la izquierda. 00:12:03

La desviación típica es una medida de dispersión. 00:12:09

Cuanto más grande es, más datos heterogéneos voy a tener. 00:12:13

Y con eso, lo que me genera al final son curvas más planas. 00:12:17

¿No? Fijaos aquí. 00:12:20

Que cada vez era más plana la curva. 00:12:22

Fijaos aquí que tenía un 1 que era menos plana. 00:12:24

Bueno, pues tenerlo en cuenta simplemente a la hora de interpretarlo para un futuro. 00:12:28

Bueno, empezamos ahora con lo realmente importante de verdad, que es estudiar la normal 0, 1. 00:12:37

Es la más común, bueno, y ahora os diré más características, y esto ya sí que es lo que nos van a preguntar en la EBAU sí o sí. 00:12:46

Cosas importantes. Recordad que la normal, igual que la binomial, si recordáis, era n y p, 00:12:55

donde n era el número de observación, la cantidad de observación, de experimentos que a veces realizamos en un experimento, 00:13:07

y p la probabilidad de tener éxito. Y lo enfrentamos con una b, n y p. 00:13:13

Pues la normal se representa como una n, paréntesis, la media y la desviación típica. 00:13:18

¿Qué es lo que pasa? Que en este caso mi media va a ser 0 y que mi variación típica va a ser 1. 00:13:23

Y vamos a estudiar esa y veremos el por qué. Esa y no la que sea 1, 1 o 1, 2 o 2, 1. 00:13:30

Vamos a estudiar esta. Tiene como media 0 y como variación típica 1. 00:13:38

Se designa, en vez de ponerle x pondremos z. 00:13:44

¿Vale? Y diremos que la probabilidad de que z sea menor o igual que z0, siendo z0 un valor 00:13:47

¿Vale? Es que nosotros vayamos a z0 y calculemos el área de z0 hacia atrás 00:13:53

¿Vale? A eso lo vamos a llamar con la letra, bueno, con fi 00:14:02

¿Vale? Que ya sabéis que es otra letra del alfabeto griego 00:14:08

¿Vale? Fi de z0 y veremos el significado exacto que tiene eso para nosotros 00:14:11

en algunos libros no se encuentra 00:14:17

yo lo suelo usar 00:14:19

porque me parece que la nomenclatura, aunque al principio 00:14:21

sea todo un poco 00:14:23

no se nos viene encima, pero es la manera 00:14:24

más sencilla de saber que estamos sustituyendo o no 00:14:27

ya veremos el que sustituimos 00:14:29

¿qué es lo que va a pasar? 00:14:31

que para calcular las probabilidades 00:14:33

se ha diseñado una tabla 00:14:35

recordad cómo era su función 00:14:36

de distribución, ¿no? 00:14:39

de 1 partido sigma 00:14:41

raíz de 2 pi 00:14:42

por e elevado a menos 00:14:45

Bueno, x menos mu partido de 2 sigma cuadrados 00:14:46

No puedo recordar 00:14:50

Bueno, si eso sustituimos 00:14:51

La mu por 0 y la sigma por 1 00:14:53

Pues se nos facilita un poquito 00:14:56

Pero integrar eso, ya os digo que no es nada sencillo 00:14:58

Entonces hay una serie de valores 00:15:00

Que nos van a aparecer en una tabla 00:15:02

Es decir, que vamos a necesitar una tabla 00:15:03

Sí o sí, para poder hacer estos ejercicios 00:15:06

Lo cual va a simplificar 00:15:08

Un montón los cálculos 00:15:10

Simplemente es que visualicemos 00:15:11

Y vamos a buscar en la tabla 00:15:13

Que ahora dentro de un momento nos lo comentaré 00:15:14

cómo hacerlo. Ahora, ¿cómo se manejan las tablas de la normal 0-1? Esto es muy importante, 00:15:15

porque si somos capaces de entenderlo y luego metemos la pata mirando las tablas, pues todo 00:15:21

el esfuerzo que tengamos no habrá servido de nada. Entonces, manejo las tablas de la 00:15:27

normal 0-1. Hay veces que me van a dar la probabilidad de que z sea menor o igual que 00:15:33

z0, directamente busco el valor de z0 en la tabla y ya está. Con los números 00:15:38

se va a saber mucho mejor. Pero quedad con esto. Si yo tengo un menor o un menor 00:15:45

igual, ¿vale? Porque aunque aparezca un menor o igual, con el menor prácticamente 00:15:50

no hay... Bueno, en estos momentos de aprendizaje en el que estáis con esto, 00:15:54

podéis mirar la tabla exactamente igual, no nos afecta el menor o el menor igual, 00:15:59

¿vale? Pues vamos a quedarnos con esto. Se busca directamente. Si no, yo voy a 00:16:02

tener que buscarlo y se pone como un phi de z0. Si nos están diciendo, me están dando 00:16:07

un valor que es negativo, phi de menos z0 se convierte en 1 menos phi de z0. ¿Por qué 00:16:13

hacemos eso? Porque, ahora cuando hagamos la tabla lo explicaré un poquito mejor, porque 00:16:21

el menos z0, este número no nos va a aparecer en las tablas. Y puesto que la función es 00:16:27

simétrica, yo voy a poder utilizar esa simetría que coincide con este valor. Entonces, cuando 00:16:33

aparezca un número menor o igual que un número negativo, ponemos eso. Y por último, si yo 00:16:38

tengo que esto está entre dos valores, será la probabilidad menor o igual que este, que 00:16:49

ya sabemos que es phi de z0, y este de aquí, perdón, lo he dicho al revés, z1, que es 00:16:56

este menos la de este, ¿vale? 00:17:07

Recordad que es como a b menos a. 00:17:12

Como siempre estamos haciendo siempre lo de último, 00:17:13

no lo del principio. 00:17:16

Y esto coincide con el valor phi de z1 00:17:17

y esto coincide con el valor phi de z0. 00:17:19

Ahora nos dice, usando la tabla de la normal, 00:17:22

y aquí vamos a entenderlo un poquito mejor, 00:17:25

explico la tabla de la normal, 00:17:26

calcula todas estas cosas. 00:17:29

Y ahora voy a pasar este ejercicio, 00:17:30

me voy a ir un poquito más para abajo 00:17:32

y voy a explicar la tabla de la normal que la tenemos aquí. 00:17:33

Bueno, aquí la vemos, ¿no? Que en vez de calcular esto para el valor de x, ¿no? 00:17:35

Si yo tuviese un valor de x, pues tendría que calcular todo esto cada vez, pues lo vamos a buscar. 00:17:42

Ojo con la tabla que os den. Esto, z menor o igual que z0, significa que estoy obteniendo esta parte de aquí, que es como funciona la tabla. 00:17:47

He visto tablas en las que te están dando esto, y entonces la representación que te hacen así a ojo es esta. 00:17:56

Y te darían el valor de 1 menos el que apareciese aquí. 00:18:05

Total, ¿es habitual? No. 00:18:10

¿Os lo van a poner? Imagino que no. 00:18:13

Lo habitual es poner una tabla, pero tendremos que vigilarlo, 00:18:15

en el cual, fijaos muy bien cómo funciona el dibujo. 00:18:17

El dibujo es todo lo que viene hacia atrás. 00:18:20

Es decir, va con un menor o igual. 00:18:23

¿Cómo haremos nosotros? 00:18:27

Por si no lo dan, si yo lo que quiero es calcular la probabilidad de que z sea menor o igual que 0,93, 00:18:28

yo lo que haré será venirme aquí y decir, vale, 0,93, busco los ceros, 0. 00:18:51

0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 6, 7, 8 y 9 00:18:55

y ahora busco el 3 00:19:01

0,90, 91, 92, 93 00:19:03

entonces yo sé que directamente si me queda este resultado 00:19:08

su probabilidad es 0,8238 00:19:11

y acabáis el ejercicio 00:19:16

fijaros que aquí ya no hay que hacer operaciones 00:19:17

solamente ya os digo que tendré que jugar sobre todo 00:19:19

con estas inequaciones, ¿vale? 00:19:22

Pero lo que es, en los resultados no hay que hacer cálculos. 00:19:26

No tengamos resquemor a todo esto porque no os vais a equivocar con los cálculos. 00:19:29

Si tengo que hacer una integral o tengo que hacer un sumatorio o una combinación, nada. 00:19:34

Es simplemente buscar en la tabla. 00:19:38

Entonces, para ello, si veis este primer ejercicio, 00:19:40

nos va diciendo, iré subiendo y bajando, aun a pesar de mareados. 00:19:44

Que la probabilidad sea menor o igual que 0 00:19:48

Significa que yo tengo que buscar fi de 0 00:19:51

Ojo con poner todos estos pasos 00:19:53

Porque son pasos muy cortos 00:19:55

Y ya sabéis, la penalización 00:19:56

¿Vale? 00:19:59

No ya la que os pueda dar yo 00:20:01

Sino la que os puedan dar luego también en la corrección 00:20:02

Entonces, fi de 0 es 0,5 00:20:05

Yo me vendría aquí 00:20:09

Perdón, fi de 0 es 0,5 00:20:10

Y diría el 0,0 00:20:14

Ah, mira, pues da 0,5 00:20:16

Es por eso que nos aparece así 00:20:18

Z menor o igual que 1 00:20:21

Es decir, que esto significa 00:20:23

Mira en la tabla el valor del 1 00:20:25

Una vez que tengo esto y me voy a ir al valor del 1 00:20:28

Eso será 1,00 00:20:32

Pues me iré al 1,00 00:20:33

El 1,00 00:20:36

Y es el valor 0,8413 00:20:39

0,8413 00:20:43

La probabilidad de que z sea menor o igual que 2 es fi de 2 00:20:47

Y se iría a buscar el valor en la tabla del 2,00 00:20:51

Entonces yo me iría para acá al 2,00 00:20:55

2,00 que va a ser este 00:20:58

0,9772 00:21:02

0,9772 00:21:05

Me hubiera metido el 5 este, bueno 00:21:09

Por ser un poquito más completos 00:21:12

¿Vale? Pero no voy a liar ahora por el por qué he puesto eso 00:21:14

¿Recordáis que yo decía lo de los 4 decimales? 00:21:17

O por algo de eso. 00:21:22

Para que luego en la tabla nos vayamos acostumbrando con los cuatro decimales. 00:21:23

Ahora, oh, cambia. 00:21:27

Probabilidad de que z sea mayor que 1. 00:21:29

Y aquí tengo que recordar reglas que ya sé. 00:21:30

Es decir, que la probabilidad de que z sea mayor que 1 es igual a 1 menos la probabilidad de que z sea menor o igual que 1. 00:21:33

Una vez que ya tengo... 00:21:41

Pues recordad que yo siempre quiero el menor o igual para poder mirar en la tabla. 00:21:42

Tengo que buscármelas de alguna manera para buscar en la tabla. 00:21:45

Y que además el valor sea positivo. 00:21:48

Entonces esto será igual. 00:21:50

le he dado la vuelta, esto ya si lo puedo mirar en la tabla, que me da este valor, y esto es 1 menos 0,1587, que viene a ser, imaginaos, lo intento representar, 00:21:51

a ver si soy capaz, imaginemos que esto es el 1, lo que la tabla me está diciendo es que de aquí para la izquierda z menor o igual que 1, esto da 0,8413, 00:22:05

Luego, ¿cuánto va a ser lo que me faltaría aquí? 00:22:25

Pues será, como yo sé que debajo de toda la curva es 1 00:22:31

Pues yo a 1 le voy a restar esto de aquí 00:22:34

¿Vale? Para que entendáis el por qué se hace así 00:22:37

Ahora, entendido o no entendido, lo que necesito siempre es que pongáis estas fórmulas 00:22:40

¿Vale? Que habrá que ir practicando 00:22:45

No os preocupéis porque en este tema he puesto muchísimos ejemplos 00:22:47

Y nos iremos acostumbrando a ello cuando lo vayáis viendo 00:22:52

Otro problema puede ser, oye, y si me encuentro con un menos 1 00:22:55

Y además, primero, el mayor lo tengo que convertir en menor o igual 00:22:58

Para ello, 1 menos el menor o igual 00:23:02

Luego hemos dicho que esto es 1 menos fi de menos 1 00:23:05

Y esto de aquí, cuando hay un número negativo 00:23:09

Dentro, siempre se transforma en 1 menos el positivo 00:23:13

Recordad, por lo que os he dicho antes 00:23:18

Es simétrica, luego con respecto al menos 1 y al 1, lo mismo 00:23:20

Entonces, ¿cuánto será este trocito de aquí? 00:23:30

Pues este trocito de aquí coincide con este trocito de aquí 00:23:35

Porque es simétrico 00:23:38

Aquí tenía el menos 1 y aquí ya tengo el 1 00:23:40

Pero para poder obtener este trocito 00:23:43

Es como hacer al 1 quitarle todo esto 00:23:45

¿Vale? Y por eso es lo que nos aparece así 00:23:51

Recordad, primero, convertirlo en un número igual 00:23:55

Una vez que lo tengo, si hay negativos 00:23:58

Lo tengo que pasar a positivo 00:24:00

Y se pasa con el 1 menos 00:24:01

Una vez que tengo ya todo eso, pues calculo 00:24:02

Si hago 1 menos 1 se me va, menos con menos es más 00:24:08

Y fi de 1 queda 0,84 00:24:12

Probabilidad entre el 0 y el 2 00:24:13

Pues esta es fi de 2 menos fi de 0 00:24:19

Como los dos son positivos, busco su valor en las tablas y ya lo tengo 00:24:27

Entre el menos 1 y el 1, pues lo mismo 00:24:30

el 1 aquí, el menos 1 aquí 00:24:35

y como este es negativo 00:24:38

pues lo transformo en 1 menos phi de 1 00:24:40

y ya simplemente sustituir estos valores 00:24:43

resultado 0,6826 00:24:46

y eso puede ser cierto, ¿no? 00:24:49

¿recordáis lo que teníamos? 00:24:53

vale, así que ahora en mi variable 00:24:55

si estamos a una normal 0,1 00:24:58

Significa que entre mu más sigma y mu menos sigma 00:25:06

Que no quiere pintar 00:25:21

Tenía el 68% de los datos 00:25:23

Claro, 0 menos 1 y 0 más 1 00:25:28

Es decir, entre el menos 1 y el 1 00:25:30

Tengo que tener 0,6826 00:25:34

Luego, parece que estaba bien aquello que habíamos dicho antes 00:25:36

a modo de comprobación 00:25:41

bueno, pues aquí tenéis la tabla de distribución normal 00:25:44

intentaré, no sé si está subida ya 00:25:49

o si no, de todas formas, intentaré subirla 00:25:52

para que la tengáis a disposición, que la podáis imprimir 00:25:55

he cogido esta, pero podéis coger cualquier otra 00:25:58

que la podéis buscar en internet 00:26:00

siempre, eso sí, recordad 00:26:02

que esté pintada hacia la izquierda 00:26:04

si es hacia la derecha, pues es todo lo que estamos haciendo al revés 00:26:08

Oye, y al revés, si me dicen que yo quiero saber qué número su probabilidad es 0,7019, es decir, esto significa que fi de 0,0 es 0,7019 y tengo que buscar al revés, entonces me iré a buscar a la tabla el 7019, pero ese 7019, como esto está ordenado, lo tendré que buscar aquí dentro. 00:26:11

Entonces, si me pongo a buscar, mira, el primero que había metido en el círculo estaba por ahí. 00:26:39

Y ahora ya simplemente, ¿y esto a quién equivale? 00:26:44

Al 0,53. 00:26:46

Y ya podré decir que Z0 era 0,5. 00:26:49

Es decir, estoy haciendo el proceso inverso. 00:26:53

¿Quién da 0,8997? 00:26:56

Pues busco 0,89. 00:26:58

Voy buscando. 00:27:00

88, 89, 97. 00:27:02

¿Quién es? 00:27:06

Es 1,20. 00:27:07

y lo que va a dejar arriba, que será el 8, pues 1,28, y lo mismo pasará con este. 00:27:08

Todo esto está muy bien, pero si trabajamos y siempre nos dan la normal 0,1, 00:27:21

¿qué pasa si no me dan la normal 0,1? Pues que hay un proceso que se llama tipificación, 00:27:27

vamos a ver ahora qué es tipificar una variable normal, y es que yo cualquiera de las normales que me den 00:27:31

la puedo convertir en una normal 0,1. 00:27:39

¿Qué tendré que hacer? 00:27:43

Por eso es tan importante trabajarla, porque yo lo que voy a hacer es 00:27:45

reducir todas las normales a la 0,1. 00:27:48

Como ya tengo las tablas, ahí ya podré mirarlo. 00:27:50

Yo tengo mi variable, es si le resto mu y lo divido entre sigma, 00:27:55

ya estoy en la normal 0,1. 00:27:59

Es decir, que la probabilidad de x menos igual que x,0 00:28:01

coincide con la probabilidad, en vez de en x, en z, 00:28:06

de que z sea menor o igual que x0 menos mu partido sigma. 00:28:10

Y esto así queda muy bonito, pero nos va a quedar un poquito mejor si lo vemos con un ejemplo. 00:28:15

Ejercicio 4. Me dan la normal 5, 2. 00:28:25

Y yo quiero calcular cuál es la probabilidad de que x tome valores menores que 8. 00:28:29

Bueno, pues lo que voy a hacer es, y esto es el proceso siempre igual. 00:28:35

Bueno, yo si yo hago lo mismo a la izquierda y a la derecha, la desigualdad no cambia, salvo que divida entre un número negativo, recordad eso, ¿vale? 00:28:38

Las desigualdades, entonces se le da la vuelta. Bueno, pues si yo, me están diciendo, restale mu y divide entre sigma, pues si mu es 5, resto 5, y si sigma es 2, divido entre 2. 00:28:51

y si lo hago a un lado, lo hago al otro 00:29:05

esto 00:29:08

se transforma automáticamente en la variable z 00:29:09

es decir, ya pongo una z 00:29:12

eso significa, estoy avisando al corrector 00:29:14

oye, que ya estoy en la normal 0,1 00:29:16

porque es una z 00:29:18

y el número que me ha dado es 1,5 00:29:20

y ahora ya sabemos 00:29:23

cómo hacer, esto es igual a 00:29:24

fi, fijaos que no tiene igual 00:29:26

lo vamos a obviar 00:29:27

que tenga el igual o no, no debería ser así, pero lo vamos a obviar 00:29:30

porque habría que hacer una 00:29:32

interpolación, habría que hacer otro tipo de cosas 00:29:34

o sumar y restarle 00:29:36

muy cerquita con unos deltas 00:29:38

y eso no lo vamos a hacer 00:29:40

entonces, fi de 1,5 00:29:41

lo miro en la tabla y me dice que es 0,9332 00:29:44

¿vale? 00:29:47

no nos interviene lo del menor o igual o el igual 00:29:50

porque al fin y al cabo en una función 00:29:52

es un infinitésimo lo que le íbamos a quitar 00:29:54

es decir, que no afectaría prácticamente al resultado final 00:29:56

así que tenemos 00:29:58

que dentro de esta normal 00:30:01

la probabilidad 00:30:03

de que x sea menor que 8 00:30:05

0,9332 00:30:07

no, no, parece lógico 00:30:10

lo que me está diciendo esto es 00:30:11

si tú tienes de media 5 00:30:13

y de desviación típica 2 00:30:14

vale, es decir 00:30:16

ha llegado hasta el 7, ¿no? 00:30:19

5 más 2 es 7 00:30:20

oye, ¿cuál es el área que hay aquí debajo? 00:30:21

no, bueno, no es cuál es el área que hay aquí debajo 00:30:27

sino que 00:30:29

ni siquiera está llegando al 8 00:30:30

vale, porque yo sabía 00:30:32

que aquí tenía el 60 y pico. El 68% lo tengo entre el 5 más 2 y el 5 menos 2. Y aquí 00:30:35

hay un 68, un 0,68. Tendré que sumarle este trocito y este trocito. Entonces parece lógico 00:30:42

pensar que el 0,93% de los datos se encuentra a la izquierda del 8. ¿No? Parece bastante 00:30:48

lógico. Sigamos. Ejercicio 5. Me dan la normal 5,2 como antes y me están diciendo, ¿cuál 00:30:56

la probabilidad de que x sea menor que 2 y de que esté entre 2 y 8. Bueno, empezamos 00:31:11

primero con x menor que 2. Hacemos lo mismo. Le resto 5 y divido entre 2. Le resto 5 y 00:31:16

divido entre 2, ¿vale? Que salen de estos valores. Y ahora ya a este de aquí le llamo 00:31:21

z y hago esta operación. Es decir, 2 menos 5 entre 2 me da menos 1 con 5. Como ya tengo 00:31:26

O el menor, esto directamente es fi de menos 1,5, pero ojo, este no puede ser negativo. 00:31:39

¿Con quién coincide? Con el 1 menos, pero aquí ya en positivo. 00:31:44

¿Por qué? Porque este valor sí que aparece en la tabla. 00:31:48

El más 1,5. 00:31:51

Si busco en la tabla da 0,9,3,3,2. 00:31:54

Y 1 menos 0,9,3,3,2 me da 0,0668. 00:31:58

Ahora, con este dato y el obtenido anteriormente, voy a poder calcular el otro apartado. 00:32:04

Porque me dice, oye, ¿cuál es la probabilidad de que el x esté entre el 2 y el 8? 00:32:11

Bueno, pues esto es, lo hago, 2 menos 5 entre 2, x menos 5 entre 2, 8 menos 5 entre 2, para mantener la igualdad. 00:32:17

Este da menos 1,5, este da 1,5, y aquí ya me aparece la z. 00:32:29

Y esto es fi de 1,5 menos fi de menos 1,5. 00:32:33

Si nos vamos, como habéis visto antes, en el primer apartado he obtenido este y en este ejercicio 5 he obtenido este valor. 00:32:37

Si no lo buscáis en la tabla, hacemos un proceso similar y me queda que es 0, 8, 6, 6, 4. 00:32:47

Espero que vaya cogiendo un poquito de lógica todo esto. 00:32:56

Ahora, para que trabajéis 00:33:00

Me dan una normal 18, 4 00:33:02

Y queremos calcular esta, esta, esta, esta, esta y esta 00:33:07

¿Vale? Habrá algunos que salgan directos 00:33:11

Este, esto y este que es mayor 00:33:15

Habrá que darle la vuelta primero 00:33:22

¿O no? O tipificar y luego darle la vuelta, mejor aún 00:33:23

¿Vale? Así que nada, lo que hay que hacer es tipificar 00:33:26

Y luego ir viendo lo que me va dando cada uno de ellos 00:33:29

vale, y este ejercicio 00:33:33

que creo que lo he duplicado 00:33:41

vale, la página 9 aparece por duplicado 00:33:49

no me encargaré de quitarla, vámonos ya a un ejercicio 00:33:52

vale, este se os ha quedado para que practiquéis 00:33:55

el 6, y ahora vamos al 7, no, el 7 es un ejercicio 00:33:59

que se asemeja ya de BAU, bueno, pues no del todo 00:34:03

vale, pero ya estamos cerquita 00:34:05

nos da la estatura de 500 estudiantes y se distribuye según la normal 00:34:08

172,5. Quiero el número de estudiantes que miden 00:34:12

entre 170 y 175 centímetros y los que miden más que 180. 00:34:16

Número de estudiantes. Primero tengo que calcular la probabilidad, luego ver 00:34:21

cómo saco el número. Entonces en el apartado A me dice, oye, los que están entre 175 00:34:24

y 170. Esta variable la tengo que convertir 00:34:28

en una normal 0,1 para poder mirar en las tablas. 00:34:34

¿Para eso qué hago? Resto 172 00:34:38

y entre 5, resto 172 y entre 5, recordad que de aquí 00:34:42

y de aquí salen esos dos números, y resto 172 y entre 5 00:34:46

una vez que he hecho eso, me da los resultados, me da esto 00:34:49

una vez que tengo esto de aquí, automáticamente esto es 00:34:56

fi de 0,6 menos fi de menos 0,4, como este es negativo 00:35:00

lo pongo como 1 menos fi de 0,4 y ya 00:35:05

es buscar en la tabla el 0,6, buscar en la tabla el 0,4 00:35:09

Una vez que busco estos valores en la tabla, los encuentro y como resultado me queda 0,3811 00:35:13

Ya sé lo probable que es encontrarme individuos que me vean entre 170 y 175 centímetros 00:35:21

Pero nosotros también lo que podemos hacer es multiplicarlo por 500 00:35:29

¿Por qué por 500? Porque 500 es el número de estudiantes que hay 00:35:42

y con eso aproximo el número de estudiantes que estarán entre esa estatura. 00:35:46

Fijaos lo útil que puede empezar a hacer esto. 00:35:52

Es decir, yo si soy capaz de modelizar, tener un modelo, en este caso es la normal, 00:35:54

ahora hay modelos mucho más avanzados. 00:36:01

Si yo soy capaz de modelizar mediante números, en este caso una estatura, 00:36:02

pues ya con eso puedo ver tallas para fabricar de ropa. 00:36:08

¿Por qué? Porque estoy intuyendo que si los estudiantes entre tal edad y tal edad se distribuyen de esta manera y cuantos más datos estáis dando a internet, pues mejor estén en la publicidad, ya se puede ir dirigida hacia distinto tipo, o más que nada las tiendas pueden saber cuánto ir pidiendo, porque os van a decir cómprate este pantalón, cómprate esta camiseta, y a partir de ahí poder sacar números. 00:36:12

Y dirá, pues voy a sacar de la talla L tantas, de la talla XL tantas, de la M tantas 00:36:38

¿Cómo lo van haciendo? Pues a partir de este tipo de cosas 00:36:43

Porque, o no os habéis parado nunca a pensar en por qué hay 00:36:47

Es más difícil encontrar tallas muy muy pequeñas o tallas muy muy grandes que hay menos 00:36:51

O sea, las tiendas compran menos que de las M, L y XL 00:36:56

¿Por qué? Porque están en la normal, en la normalidad tenemos la M, L y XL 00:37:02

¿Vale? Habitualmente 00:37:06

Y luego tenemos 00:37:08

Que nos vamos a ir abriendo a SXL 00:37:09

O XSXXL 00:37:12

De que de esos, normalmente las fábricas van a pedir 00:37:14

Menos talla, o sea, menos talla 00:37:16

Menos unidades 00:37:18

¿Por qué? Porque suele vender más de las otras 00:37:19

Entonces ya estamos directamente 00:37:22

Utilizando todo esto 00:37:24

Pues para nuestro día a día 00:37:26

Ahora me dicen, hay alumnos entre 00:37:29

170 y 175 00:37:30

Hecho, alumnos mayores que 00:37:31

180 00:37:34

bueno, pues tipifico 00:37:35

resto 172 entre 5 00:37:38

resto 172 entre 5 00:37:40

y me queda, probabilidad de que z sea mayor 00:37:41

que 1,6, ojo, que yo con el mayor no puedo 00:37:44

sustituir, necesito 00:37:46

aquí dentro un menor, un menor igual 00:37:48

pues esto coincide con 00:37:50

1 menos 00:37:51

la probabilidad de que z sea menor o igual, ahora ya sí 00:37:52

esto es fi de 1,6 00:37:55

y automáticamente 00:37:57

miro en la tabla este valor 00:37:59

y hago el cálculo 00:38:01

luego si quiero saber 00:38:04

cuántos alumnos son mayores que 180 00:38:07

más de 180 centímetros, multiplico 00:38:10

los que hay por la probabilidad de encontrarlos 00:38:13

y aproximadamente me va a devolver 00:38:15

que son 27, ¿vale? un dato más 00:38:16

para que practiquéis 00:38:21

esto, ahora lo dejo ahí 00:38:23

parado un poco, aunque me imagino que subiré 00:38:25

no en no 00:38:29

mucho tiempo el pdf con 00:38:31

todos los apuntes que habéis visto aquí 00:38:33

¿vale? sin las marcas en rojo, por supuesto 00:38:35

pero lo voy leyendo 00:38:37

porque ya sabéis que mil letras veces se entiende entre mal y regular. 00:38:39

La duración en días de unos focos se distribuye según una normal de media 780 días 00:38:42

y desviación típica 40 días. 00:38:47

Probabilidad que los focos duren más de 800 días. 00:38:50

¿Vale? Sabemos lo que nos están preguntando. 00:38:53

La probabilidad de que la duración sea más de 800. 00:38:55

Tengo que sonar, esto es mu y esto es sigma. 00:39:03

Pues a partir de ahí a tipificar 00:39:05

Y mirad en la tabla los resultados 00:39:09

El 9 nos dice 00:39:11

La distribución de la duración de un embarazo en mujeres se aproxima a una normal 00:39:14

Mu igual a 266 días 00:39:17

Y sigma 16 días 00:39:23

¿Vale? 00:39:25

Mi variación típica de media 00:39:26

266 días 00:39:27

Lo que dura el embarazo de las mujeres 00:39:28

¿Cuál es la probabilidad de que un embarazo dure más de 242? 00:39:30

días, ¿vale? Para el apartado A, ¿vale? Tipificaremos y luego pues veremos que es 00:39:38

lo que tenemos que hacer. Y ahora, el 20% de los embarazos dura menos de ¿cuántos 00:39:44

días? Ojo, lo que nos están diciendo es que la probabilidad de X, de que X sea menor 00:39:52

que un número de días que no sé, es 0,2. Ojo, ahora me están dando esto. ¿Qué tendría 00:40:10

que decir, hombre, primero tipificar, ¿vale? Habrá que restarle y sumarle y tengo 00:40:20

que calcular este x sub cero. Es muy 00:40:24

interesante este ejercicio, pues luego me voy a encontrar en dos casos, ¿vale? 00:40:28

Si hago un caso, recordad que me puedo encontrar con un 00:40:33

no menos fi, así que ando con una pista de algo, o que en fi de menos algo. 00:40:37

¿Vale? Aquí esto siempre me hace cambios, ¿no? Porque este fi de menos 00:40:43

algo está jugando uno menos fi de algo. Entonces 00:40:45

Entonces habrá que ver un valor que suponga directamente que da esto, y si me sale lógico lo tomo, y habrá otro valor en el que a lo mejor tenga que trabajar y hacer uno menos ese halo. 00:40:49

Pero lo dejo así un poquito en el aire, sin explicar mucho, porque creo que os enfrentéis a ese problema. 00:41:06

Estos ejercicios que os pongo aquí 00:41:09

Pues podrían ser, si nos preguntáis un ejercicio normal 00:41:12

Solamente el apartado A 00:41:15

O A y B, es decir, un punto 00:41:16

Un punto y medio del ejercicio, sería resolver esto 00:41:18

Que habéis visto que es tipificar 00:41:20

Y mirar en las tablas 00:41:22

Si son muy benevolentes 00:41:25

Pues podría ser algo relacionado y sacar ahí 00:41:26

De los dos puntos y medio, cosa que no creo 00:41:28

¿Por qué no creo? 00:41:30

Quizás aquí dejo un hueco 00:41:33

¿Vale? 00:41:34

Porque siempre os van a preguntar alguna cosilla 00:41:37

O bien de esto o bien de lo siguiente 00:41:39

Me quedan poquitas páginas, sé que este vídeo va a ser un poco más pesado 00:41:41

Lo suyo sería que hicieseis un parón aquí 00:41:44

Yo no lo voy a hacer porque quiero terminarlo ya 00:41:47

Y que lo tengáis lo antes posible 00:41:50

Pero os aconsejaría parar 00:41:52

Hacer esos ejercicios que os he mandado 00:41:56

Ver en qué falláis 00:42:00

Ver si los hacemos completamente bien, si lo hemos entendido 00:42:01

Y luego, otro día o en otro momento 00:42:04

Continuar el vídeo 00:42:08

Y, sin embargo, sigo con el apartado 10. 00:42:09

Uy, apartado 10, ejercicio 10. 00:42:14

Nos dicen, cierto tipo de bacteria dura un promedio de 3 años. 00:42:16

Una derivación típica de 0,5. 00:42:19

Es decir, esta es la información que saco. 00:42:21

Que se distribuye una normal 3, 0,5. 00:42:25

El apartado A es muy directo, igual que los anteriores. 00:42:28

Me dicen, oye, ¿cuál es la probabilidad de que se duren entre 2 y 4 años? 00:42:32

Es decir, probabilidad entre que la x sea mayor que 2 y menor que 4 00:42:38

Pues lo mismo que lo demás 00:42:42

Tipifico, es decir, resto 3 y divido entre 0,5 00:42:44

Lo hemos estado haciendo en los anteriores casos 00:42:48

Me da estos valores 00:42:52

Que son phi de 2 menos phi de menos 2 00:42:56

Como este no puede ser negativo, hago lo del 1 menos phi de 2 00:43:00

A ver, aquí puedo bien coger los valores y sustituir aquí y sustituir aquí 00:43:04

Y ya hacer las operaciones 00:43:07

O bien, puedo decir menos por 1 es menos 1, menos por menos es más, pues sigma de fi de 2 y fi de 2 son 2 fi de 2. 00:43:08

Que si busco esto en la tabla, lo multiplico por 2 y le resto 1, obtengo 0.95. 00:43:24

¿Cómo nos pide? Ojo, porcentaje. No nos pide probabilidad, nos pide porcentaje. 00:43:29

Pues el porcentaje es 95.44. Vale, respondamos bien a lo que nos piden. 00:43:34

Y ahora, la mala leche. Si una bacteria tiene 3 años, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 4,5? Pues aquí estamos con la condicionada. Es decir, ¿qué es lo que yo sé? Que ya sabemos que X es mayor que 3, ¿no? Que tiene 3 años, ¿vale? 00:43:40

No sabemos si va a vivir más o no, podemos poner también un igual 00:44:04

Pues sabiendo que ha durado hasta 3 años 00:44:08

O más de 3 años, por eso es el x mayor que 3 00:44:12

¿Cuál es la probabilidad de que dure menos de 5 años? 00:44:16

Pues menos de 5 años es que dure más de 3 y menos de 5 00:44:20

Bueno, pues vamos allá 00:44:23

Recordad que esto era la intersección de este con este 00:44:27

Entre esto 00:44:30

Eso es lo que nos decía la formulita 00:44:34

una vez que tengo eso es simplemente calcular 00:44:36

esto, resto 3 se divide entre 0,5 00:44:39

y me da estos números, esto es phi de 3 menos phi de 0 00:44:43

que si busco esto en la tabla y esto en la tabla 00:44:48

yo obtengo este valor 00:44:50

y luego la probabilidad de que x sea mayor que 3 00:44:52

recordad que no es mayor nunca 00:44:54

sino con 1 menos la probabilidad de x menor o igual que 3 00:44:56

que si yo esto lo tipifico 00:44:58

aquí lo he hecho directamente 00:45:02

me quedaría la probabilidad de z menor o igual que 0 00:45:03

¿Vale? Pues sería 3 menos 3 entre 0,5 00:45:10

Pues 0 entre 0,5 es 0 00:45:14

Esto es fi de 0, ya buscaron la tabla 0,5 00:45:16

¿Vale? Pues una vez que tengo esto 00:45:19

Sustituyo aquí arriba 00:45:23

Voy a borrar porque esto ya es en Dios 00:45:26

Aquí arriba tengo este valor 00:45:29

Y aquí abajo tengo este valor 00:45:34

Es decir que 00:45:35

¿Cuál es la probabilidad? 00:45:39

Si, aquí lo he dejado en probabilidad 00:45:43

0,9975 00:45:45

No le he puesto un porcentaje, pues no me lo pide bien 00:45:47

Probabilidad 00:45:49

0,99, esa bacteria 00:45:49

Casi seguro 00:45:52

Que va a durar menos de 4,5 años 00:45:57

Muy raro será 00:45:59

Que esa bacteria dure más 00:46:01

Sería una superbacteria 00:46:02

Que ese es otro tema que hablaremos 00:46:05

Y ahora llegamos a la última parte 00:46:07

¿Vale? Y esto es lo que nos distingue 00:46:09

entre tener los dos puntos y medio, casi seguro, o no tenerlos. 00:46:11

O de tener un dominio ya completo de esto o no. 00:46:16

Fijaos que aunque sea un poco enrevesado por letras, signos y porque realmente es teórico, 00:46:18

a la hora de operaciones no nos estamos complicando la vida. 00:46:24

Son sumas, restas y me da en una tabla. 00:46:26

Y bueno, hay divisiones. 00:46:28

¿Vale? 00:46:31

Otra multiplicación se nos irá también por ahí. 00:46:31

Pues ahora lo que vamos a hacer es lo que os he dicho antes. 00:46:34

¿Cómo aproximar una binomial por una normal? 00:46:36

Aquí os digo lo teórico y luego ya nos vamos a revisar los ejercicios. 00:46:38

Nos está diciendo que para valores grandes de n, calcular esto de aquí, ¿no? 00:46:45

Recordad que era n sobre k igual a, ¿no? 00:46:50

Porque ahora el número de éxitos que queríamos era p elevado a k por q elevado, 00:46:55

la encuesta que viene del borde de la pantalla, n menos k. 00:47:08

Si yo aquí tengo un número 200 y este, por ejemplo, 38 00:47:10

Fijaos que luego tengo que sustituir aquí por 38 y por 200 menos 38 00:47:16

Pero es que directamente, si lo ponéis en la calculadora 00:47:22

Lo normal es que hoy dé más error 00:47:24

¿Por qué? 00:47:31

Porque hay muchas calculadoras que hacer 00:47:33

200 factorial entre 38 factorial 00:47:35

por 200 menos 38 factorial 00:47:39

para empezar la calculadora en sí, algunas lo van a calcular 00:47:44

porque las modernas, algunas hacen estos cálculos, pero hay otras 00:47:48

de hecho la manera que tenéis vosotros, si ponéis 00:47:52

70 factorial os va a dar error directamente 00:47:56

y si ponéis 69 factorial, que son calculadoras muy antiguas 00:48:00

se va a quedar un momentito con la pantalla en blanco y luego va a devolver el valor, porque son los cálculos más brutales para los que están preparados 00:48:04

vuestras calculadoras. Pues imaginaos si utilizan la fórmula, el pi de la letra y te ponen un 200 factorial, pues lógicamente revienta. 00:48:10

Es por eso que esto ahora se complica, no porque la fórmula sea muy complicada, sino porque las calculadoras a lo mejor no le pueden devolver el valor. 00:48:17

Bueno, una cosa positiva, que para esos valores de n grandes, la binomial se aproxima muy bien a una normal. 00:48:26

¿Vale? Es decir, de hecho, diremos que es una aproximación buena para valores superiores a 50 00:48:33

y que al hacer n por p, la probabilidad por el número de valores, me da mayor o igual que 5. 00:48:40

O n por q mayor o igual que 5. ¿Vale? Con que a los dos me pasaría. 00:48:46

Hay veces, ya os digo, porque hubo un ejercicio de Bao en el que no se cumplía esto exactamente, 00:48:51

es decir, la aproximación no será buena, pero es una de otras maneras de hacerlo. 00:48:56

¿Vale? Lo indicaríamos 00:48:59

En plan de que aunque 00:49:01

N o uno de estos 00:49:02

Que n igual a un jor 38 00:49:05

O n igual a 43, no llego a 50 00:49:07

Pero es que se me queda luego la calculadora 00:49:09

Y pillada 00:49:11

Pues bueno, que aún así lo hagamos 00:49:12

Pero vamos, que no queda de más que pongamos 00:49:15

Siempre estos resultados que luego veremos 00:49:17

Pues el teorema de Moivre 00:49:19

Que es el que me lo permite, no hace falta 00:49:21

Aprendérselo, pues si queréis ponerlo pues muy bien 00:49:22

Me dice que si yo tengo 00:49:25

Una binomial np 00:49:27

con esto si hay que sabérselo 00:49:28

recordad que la media es n por p 00:49:30

y la división típica es n por p por q 00:49:33

su raíz cuadrada 00:49:35

significa que yo la puedo aproximar 00:49:36

por esto 00:49:39

y esta luego después la vamos a tipificar 00:49:40

y la convertiremos en una normal 00:49:42

0,1 y miraremos en las tablas 00:49:44

es decir que de aquí voy a pasar aquí 00:49:46

y de aquí voy a pasar aquí 00:49:48

esos son los ejercicios que me esperan ahora 00:49:49

pero no todo es tan bonito como parece 00:49:53

porque es una aproximación 00:49:58

¿vale? 00:50:02

hay que hacer una corrección por continuidad 00:50:04

estamos pasando de una variable discreta 00:50:06

a una continua 00:50:08

luego hay cosas que no se van a ajustar bien 00:50:09

obligatoriamente 00:50:12

vamos a perder algo, pues hacemos lo que se llama 00:50:13

corrección de Yates 00:50:16

esto se hace antes de tipificar 00:50:17

¿vale? 00:50:20

y si me pidiesen que la probabilidad de X 00:50:22

sea igual a K 00:50:24

me estarían pidiendo 00:50:24

Ojo que hay que poner un x' porque es otra variable 00:50:27

Que eso es como estar entre k más 0,5 y k menos 0,5 00:50:29

¿Recuerdas antes que os he dicho? 00:50:33

A ver, que esto sería un valor súper pequeño 00:50:35

¿Vale? 00:50:37

Irrelevante prácticamente 00:50:39

Es por eso 00:50:40

Por lo que antes yo decía que a la hora de mirar en las tablas 00:50:41

Me da igual o no 00:50:45

Pero a la hora de hacer la corrección de y es súper importante 00:50:47

Que nos fijemos en esto de aquí 00:50:49

¿Por qué? 00:50:51

Porque si aparece un menor igual que k 00:50:54

le toque sumar a la k, 0,5 00:50:56

si aparece un menor que k 00:50:58

le toque restar a la k, 0,5 00:51:00

si aparece un mayor 00:51:03

igual que k, le toque restar a la k 00:51:04

un 0,5, y si aparece un mayor que k 00:51:06

le toque sumar a la k, un 0,5 00:51:08

¿vale? podríamos entenderlo 00:51:11

podría estar un tiempo explicándolo 00:51:13

pero, vamos a ir 00:51:15

a la operatividad, que es, os lo aprendéis 00:51:17

y ahora, vamos a ver 00:51:18

un par de ejercicios, y ya os dejo en paz 00:51:20

bueno, o alguno más 00:51:23

un ejercicio muy completo 00:51:25

calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda 00:51:28

100 veces, el número de caras 00:51:31

esté entre 46 y 55 00:51:33

¿vale? 00:51:34

son valores grandes 00:51:37

yo lo que tengo aquí 00:51:39

es una binomial 00:51:40

en el que lanzo 100 veces 00:51:43

y la probabilidad de al lanzar una moneda 00:51:44

recordad que la probabilidad de cara 00:51:46

es igual a la probabilidad de cruz 00:51:48

que es un medio 00:51:51

0.5 00:51:54

Si preferís 00:51:55

Porque la moneda no está cargada 00:51:57

No está truncada 00:52:00

Entonces yo lo que tengo que poner es 00:52:01

Que estoy ante una binomial 100, 0, 5 00:52:03

Porque es éxito o fracaso 00:52:07

Vamos a ver si la puedo aproximar 00:52:08

¿N es mayor o igual que 50? Sí 00:52:10

Y aparte si yo hago N 00:52:12

Por la probabilidad 00:52:13

Me da 50 que es mayor o igual que 5 00:52:15

Así que esto se puede aproximar 00:52:20

Mediante una normal 00:52:22

¿Y cuánto vale esa normal? 00:52:23

N por P para calcular mu 00:52:26

y la raíz de n por p por q para calcular sigma. 00:52:28

Recordad que aquí, si la p era 0,5, la q es 1 menos 0,5, que es 0,5 también. 00:52:33

Si hacemos estas operaciones, 100 por 0,5 por 0,5 me queda 25 y la raíz de 25 es 5. 00:52:43

¿Qué significa? Que he conseguido pasar de una binomial 100, 0,5, la he convertido en una normal 55. 00:52:50

Y ahora sí, sobre esta normal me pregunto, oye, entre 46 y 55, ¿qué probabilidad tengo de obtenerlo? 00:52:57

En este caso hemos tomado un menor igual. Cuidado porque, claro, este enunciado podría dar lugar a tomar un menor solo. 00:53:10

Que a efecto de calcular una normal no afectaba prácticamente lo que os he dicho. 00:53:18

Pero a la hora de hacer la corrección de Yates sí que nos afecta. 00:53:23

¿Vale? Entonces en este caso, comprendido se podría entender 00:53:26

Oye, yo es que lo he entendido como esto 00:53:32

Porque es comprendido, no me has dicho yo que tengo que coger esos números 00:53:35

Bueno, pues si me lo justificas, lo tendré en cuenta 00:53:37

¿Vale? Pero esperemos que en el ensayo nos lo marquen perfectamente bien 00:53:40

Bueno, seguimos con el ejercicio 00:53:44

Tengo que hacer la corrección de Yates 00:53:46

Y la corrección de Yates me decía 00:53:50

Si X es menor o igual, voy a mirarlo 00:53:52

Si X es menor o igual, sumarle 0,5 00:53:54

Sumarle 0,5 00:53:57

si la x es mayor, recordad que estamos 00:54:00

liendo hacia acá, x es mayor o igual que 00:54:03

46, x es mayor 00:54:05

o igual, resta 0,5 00:54:07

vale 00:54:09

pues yo lo que hago es 00:54:10

en este caso 00:54:12

restar 0,5 00:54:15

con lo cual he llegado a esto de aquí 00:54:16

y una x prima, ¿por qué? porque ya no estoy 00:54:18

con x 00:54:21

la he corregido, será otra 00:54:21

x prima distinta 00:54:25

vale, muy similar, y luego una vez 00:54:26

todos estos valores, eso sí, tipificamos 00:54:29

todos entre 50 00:54:31

partido 5, o sea, perdón, menos 50 00:54:33

partido 5, menos 50 partido 5 00:54:35

que sale de ahí 00:54:36

en vez ya de poner 00:54:37

x' menos tal tal, pongo la z 00:54:41

los valores que me ha dado 00:54:43

y ahora es fi de este menos fi de este 00:54:44

este positivo se queda como está, este 00:54:47

no me vale negativo, luego tendré 00:54:51

que poner 1 menos 00:54:53

fi de 0,9 con el menos 00:54:54

delante que teníamos 00:54:57

miro la tabla, sustituyo valores 00:54:57

y este es el resultado 00:55:00

y esto sí ya es un ejercicio de condiciones 00:55:02

¿vale? esto ya es lo más complicado 00:55:04

lo pueden poner más enrevesado con el problema 00:55:10

más lioso, que no entendamos bien 00:55:12

pero lo que hay dificultad, esta es la dificultad 00:55:14

que me puedo llegar a encontrar, que como voy 00:55:16

repitiendo varios, no será mucha 00:55:18

vamos a otro 00:55:19

lanzamos una moneda 00:55:20

200 veces, ¿cuál es la probabilidad 00:55:23

de obtener como máximo? 95 00:55:26

caras, ¿y cuál es la probabilidad de obtener? 00:55:28

más de 110 caras 00:55:30

este sería el momento 00:55:32

de que paraseis el vídeo 00:55:34

descansaseis un poco de mi voz 00:55:36

imagino que este parón 00:55:38

es para que lo estéis haciendo 00:55:47

y ahora yo continúo 00:55:48

como si hubieseis parado, yo que sé, 5 o 10 minutos 00:55:51

y si hubiese salido o no 00:55:53

vamos a resolverlo 00:55:54

nos dice, lanzar una moneda 00:55:57

200 veces, como es una moneda ya sabemos 00:55:59

que la probabilidad es 0,5 00:56:01

¿vale? 00:56:02

Y ya me están hablando de obtener como máximo 95 caras o obtener más de 110 caras. 00:56:04

Vamos a ver qué significa eso. 00:56:10

Pero primero, de la binomial tengo que pasar una normal. 00:56:10

200 lanzamientos, vale, más que 5. 00:56:14

Perdón, 5, 50. 00:56:19

n por p es igual a 200 por 0,5. 00:56:21

200 por 0,5 da más que 5. 00:56:25

Vale, ya queda 100. 00:56:31

y ahora ya que tenemos eso vamos a calcular cuánto vale mu que es n por p que es 100 00:56:32

y sigma es la raíz de n por p y por q 00:56:37

n es 100, p es 0,5 y q es 0,5 también 00:56:41

total raíz de 50 00:56:47

es decir, que estoy entre una normal 100 raíz de 50 00:56:49

y una vez que tengo eso ya puedo calcular 00:56:55

Vamos a interpretar el enunciado 00:56:59

Probabilidad de obtener como máximo 95 caras 00:57:02

Como máximo, que es 95 o menos 00:57:07

Ahí está claro, un menor o igual 00:57:10

¿Por qué? Porque tengo que hacer la corrección de Yates 00:57:13

Antes de tipificar 00:57:15

Por favor, marcarlo siempre entre los iguales 00:57:16

¿Vale? Corrección de Yates, tipificar 00:57:20

Para indicar lo que estáis haciendo 00:57:21

Y eso va a ser la probabilidad de X' 00:57:23

Menor o igual, la corrección me dice 00:57:26

Que si es un menor o igual, le tengo que sumar 0,5 00:57:27

Se me queda así 00:57:29

Y ahora, resto 100 y divido entre raíz de 50 00:57:32

Resto 100, raíz de 50 00:57:35

Resto 100, raíz de 50 00:57:36

Esto se transforma en z 00:57:38

Y esto se transforma en este número 00:57:40

Como ya tengo el menor o igual 00:57:42

Pues esto es fi de ese número 00:57:45

Como es negativo, uno menos 00:57:46

Busco en la tabla 00:57:48

Solución 00:57:50

¿Qué me decía ahora el enunciado del b? 00:57:51

Dice, oye 00:58:02

¿Cuál es el problema de obtener más de 110 caras? Pues más de 110 caras, más de 110 caras. Mayor. Primero, corrección de J. 100 mayor, y 1 es mayor o igual, sumarle 0,5. Se transforma en este número. 00:58:03

Ahora, si lo tengo a tipificar, le resto 100 y divido entre raíz de 50. Me queda que Z es mayor que esto. Para mirar en la tabla yo necesito un menor o menor o igual. 00:58:23

esto la única manera de darle la vuelta es con el 1 menos 00:58:33

1 menos 00:58:36

esto de aquí, este valor 00:58:37

ya lo puedo mirar en la tabla 00:58:40

y este es el resultado que me da 00:58:41

pensad luego 00:58:43

si son resultados lógicos o no 00:58:46

es decir 00:58:47

si lo normal 00:58:50

es sacar 00:58:51

100 y raíz 00:58:54

de 50, pues estaremos en 7 00:58:56

es decir que si nos 00:58:57

pasamos a nuestros intervalos 00:59:01

me invento, aquí está el 100 00:59:02

Y aquí tenemos el 107, recuerda que mi normal de 107 para acá, a ver, en este intervalo estaría en el 68%, no el 0,68, 00:59:04

si le tengo que sumar esto, y encima me tengo que ir hasta el 110, y que me digan, oye, ¿cuánto es el trocito que hay aquí? 00:59:17

Pues que sea un 0,0694, es decir, si vamos a porcentaje, un 6,94% me parece lógico 00:59:28

Eso es a lo que me refiero con que pensemos, si el resultado es lógico o no es lógico 00:59:36

Vamos ya por el 13, este es un poquillo raro como os he dicho 00:59:43

Y nos dice que el 4% de la reserva de un vuelo no son utilizadas 00:59:48

Según esta observación una compañía vende 150 billetes para 140 plazas 00:59:54

con la probabilidad de que no se produzca overbooking 00:59:59

¿ves? aquí es un ejemplo de lo que significa overbooking 01:00:02

que es por encima de las reservas que tenemos 01:00:04

¿qué significa? 01:00:06

¿vale? ¿qué quiere decir esto en la vida real? 01:00:08

en la vida real, normalmente 01:00:10

tanto en restaurantes como 01:00:12

a la hora de vender billetes de avión 01:00:14

o billetes de tren, hay muchas veces 01:00:16

que una compañía prefiere asegurarse 01:00:18

que se venden todos antes de tener que fletar 01:00:20

pues otro avión, otro tren, lo que sea 01:00:22

o ocupar una mesa 01:00:24

¿para ello qué hace? pues calculan, recordad que 01:00:25

cuantos más os estáis usando 01:00:28

internet, más datos tienen 01:00:29

las empresas de vosotros, pues nada 01:00:32

se calcula más o menos el porcentaje de reservas 01:00:34

que se anulan 01:00:36

y luego viendo eso, a lo mejor usando 01:00:37

la probabilidad, usando la esperanza, como os dije 01:00:40

si esto lo tomásemos como un juego 01:00:42

si viesen que tienen una esperanza 01:00:44

mayor que cero, significaría que a la larga 01:00:46

ganan dinero, aunque tengan que 01:00:48

compensar, porque ya sabéis que a los viajeros que sufren 01:00:49

overbooking, a veces les compensan 01:00:52

con una noche de hotel esperando a que salga el siguiente vuelo 01:00:54

o con una cantidad económica 01:00:56

o con un vuelo inmediatamente después, pero en una categoría superior. 01:00:57

Ellos lo tienen totalmente estudiado para que esos gastos extra hagan que al final, a la larga, ganen dinero, ¿vale? 01:01:04

O para que puedan como surge lo del overbooking, que son conscientes las compañías de que han vendido más que las plazas que tienen. 01:01:10

Bueno, si nos centramos ya en este ejercicio, nos dice, billetes vendidos, son los 150. 01:01:18

cuenta. ¿Cuál es la probabilidad de cancelar? Pues un 4%. Luego estoy resumiendo mi x, al final lo que 01:01:24

va a ser son las cancelaciones. Tenemos x van a ser mis cancelaciones. Tened esto en cuenta para 01:01:32

luego después, para entender bien el problema. Pues nada, pues x será una binomial que se distribuye 01:01:49

según 150.004 porque estamos con éxito o fracaso, cancelar o no cancelar, cancelar 01:01:57

004, de ahí mi Q sería 1 menos 0.04, es decir 0.96. Una vez que tengo esto, compruebo 01:02:03

que tengo más de 25 datos, que n por p es mayor que 5, con lo cual como mu es n que 01:02:13

que es 150 por 004 y me da 6, y sigma, que es la raíz de n por pi por q, me da 2,4, 01:02:19

puedo decir que mi función se distribuye, bueno, sí, que se distribuye, 01:02:27

esta binomía se puede distribuir como una normal 6, 2,4. 01:02:35

Bueno, y ahora vamos a entender bien el enunciado. 01:02:40

Para que no se produzca el overbooking, tiene que haber 10 anulaciones o más. 01:02:42

Como x es el número de anulaciones, lo que yo necesito es que x sea mayor o igual que 10, que haya 10 o más 01:02:46

Una vez que hemos llegado aquí, aplicamos yates porque hemos pasado de una binomial a una normal 01:02:52

Entonces obligatorio yates mayor o igual a restar 0.5 01:02:58

Y una vez que tengo esto, a tipificar que es restarle 6 y dividir entre 2.4 y restarle 6 y dividir entre 2.4 01:03:04

Esto ya lo puedo llamar Z 01:03:12

Y al hacer esa operación 01:03:14

Me queda esto 01:03:17

Aproximo 01:03:18

Porque recordad que para ver los datos de entrada de la tabla 01:03:19

De la norma 01 01:03:22

Son hasta dos cifras decimales 01:03:23

Entonces aproximo 01:03:27

1.46 01:03:28

Lo miro en la tabla 01:03:29

Pongo su valor 01:03:30

Y ya con eso puedo decir que 0.0721 01:03:32

Es la probabilidad 01:03:36

De que no se produzca overbooking 01:03:38

Ahora ya es la compañía 01:03:40

La que tiene que ver si las indemnizaciones con respecto a la venta, de más que ha tenido, le vale la pena o no le vale la pena. 01:03:42

Ejercicio 14. Meta. Uno de aplicación también. 01:03:54

La edición de esa metipotés tiene 80 preguntas con 4 opciones. 01:03:57

De esas opciones, una es la correcta y el resto no. 01:04:02

Si contestamos al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener 25 o más? Bueno, acercar 25 o más preguntas. 01:04:04

Tenemos claro que muy variables son los aciertos, que la probabilidad de acierto es 1 entre 4, ¿no? 01:04:13

Porque si tengo 4 opciones y solo una es correcta, pues es una de 4, que es 0.25. 01:04:20

La probabilidad de fallar será 0.75 y el número de preguntas es 80. 01:04:24

Puesto que n es mayor o igual que 25 y n por p es igual a 20 01:04:29

Esta binomial 80, 0, 25, que me sale de estos datos 01:04:34

La puedo transformar o la puedo aproximar mediante una normal 23, 0, 87 01:04:39

El 20 sale de calcular la media y el 3, 87 de calcular su desviación típica 01:04:44

Puesto que nos dicen acertar 25 o más, tenemos la probabilidad de que x sea mayor o igual que 25 01:04:51

corrección de Yates 01:04:58

¿vale? como es mayor o igual 01:05:01

resto 0,5 01:05:03

tipificar 01:05:04

resto 20 01:05:06

dividido entre 3,87 01:05:09

como esto es mayor o igual 01:05:11

lo pongo con 1 menos 01:05:13

esto lo aproximo 01:05:16

y ya puedo buscar en la tabla este valor 01:05:19

y obtenerlo 01:05:20

bueno, pues para terminar 01:05:22

después de borrar todo esto 01:05:23

un ejercicio un poco raro que espero que no lo pongan 01:05:27

primero vamos a analizarlo 01:05:35

Empezamos mal cuando me dan la función de densidad y además me dan un seno 01:05:37

En este caso es k por seno de x que se mueve en el intervalo 0pi 01:05:44

Si hay k, tenemos que calcularla, como si fuese una a, una b o lo que fuese, una t 01:05:48

Después nos dicen que hayamos la expresión de la función de distribución 01:05:54

Y la probabilidad de que x tome valores que son menores que pi tercios 01:06:00

es decir, que tenemos que calcular la función de distribución 01:06:08

que es la fx de x 01:06:12

que va a ser como una probabilidad menor o igual 01:06:14

de x menor o igual que x 01:06:17

veremos luego la x que es, en este caso será pi tercios 01:06:20

pero lo siguiente sería primero calcularla entre 0 y x 01:06:24

hacer esa integral, obtener el valor y sustituir luego por pi tercios 01:06:27

y por último calcular la media 01:06:31

recordad que en este caso 01:06:34

la media era la integral 01:06:36

de x f de x 01:06:38

diferencial de x 01:06:40

así que nos aparecerá la integral 01:06:41

ya es un repaso a lo que me va a pedir el ejercicio por encima 01:06:44

a ver si somos capaces de resolverlo 01:06:46

venga, yo creo que sí 01:06:49

primer paso, venga, vamos a asegurar la k 01:06:50

una cosa que sé es que 01:06:53

esta integral tiene que ser 1, pues estamos en probabilidad 01:06:58

como se movía de 0 a pi 01:07:00

los límites 01:07:02

de integración son 01:07:04

0 y pi 01:07:05

de la función, y eso me tiene que dar 1. Mi objetivo, averiguar, es acá. 01:07:07

Bueno, pues parto de esta integral, es igual a sacar la k fuera, porque la k es una constante, 01:07:14

la integral entre 0 y pi del seno de x. La integral del seno es el menos el coseno, 01:07:19

es inmediata, y hay que sustituir por 0 pi. Pues hago menos coseno de pi y menos menos coseno de 0. 01:07:24

coseno de pi, menos 1, con el menos delante, más 1 01:07:31

coseno de 0, 1, con este menos, menos 1, y con este menos, más 1 01:07:36

resultado, 2k 01:07:40

y ahora sé como esta integral tenía que ser 1 01:07:43

y da 2k, pues 2k tiene que ser 1 01:07:46

consecuencia de acá es 1 medio 01:07:50

y con eso, llego 01:07:52

a que mi f de x es igual a 1 medio por el seno de x 01:07:55

Luego ya lo tengo todo. 01:08:04

¿Vale? Ya tengo todo lo que quería. 01:08:05

Del apartado A. 01:08:07

Pasamos al B. 01:08:09

Le habrás dicho que ahora me piden la función de distribución. 01:08:10

Y esto me va a llevar a calcular la probabilidad de X menor o igual que X, 01:08:13

que es la integral entre 0, porque nacíamos de 0, 01:08:18

y no llego hasta pi, sino que llegaría hasta un valor X. 01:08:21

¿De quién? 01:08:24

Como ella es un medio, el seno de T diferencial de T. 01:08:25

El un medio sale fuera y esta es inmediata. 01:08:29

Si sustituyo luego por x y por cero, me queda menos coseno de x menos coseno de cero. 01:08:33

El coseno de cero, recordad que es uno, con el menos delante menos uno, con el menos delante más uno. 01:08:40

Y esto es menos coseno de x. 01:08:45

Si lo he quedado un poquito mejor, más bonito, un medio por uno es un medio, 01:08:47

y un medio por menos coseno de x es menos un medio coseno de x. 01:08:51

Todo ello entre cero y pi. 01:08:55

Ya he calculado fx de x, que es una manera de calcular mi probabilidad. 01:08:57

Ahora me dicen, oye, y para pi tercios, ¿cuál es la probabilidad de que x sea menor que pi tercios? 01:09:01

La fórmula me dice, o la teoría me dice, que eso es sustituir en la función pi tercios 01:09:06

Pues me voy a la función y sustituyo 01:09:11

Como pi tercios es 60, y el coseno de 60 es un medio, un medio por un medio es un cuarto 01:09:14

Y un medio menos un cuarto me da un cuarto 01:09:23

Luego ya hemos obtenido el resultado, que era un cuarto 01:09:28

Por último, me queda calcular la media, que ya os he dicho. La media en este caso era x por la función. La función es un medio seno de x. 01:09:33

El un medio fuera. Y me queda una integral por partes. Recordad que siempre voy a coger lo polinómico, lo que toque bajarlo de grados, para hacerlo cada vez más sencillo, como u, para derivarlo. 01:09:42

Si lo cogeis como diferencial de v, va a tener que ser luego un x al cuadrado, luego la siguiente integral sería más difícil, y recuerda que es, o bien la tengo que mantener con la misma dificultad para hacerlo de y y el menos y, y luego despejarlo, etcétera, pero eso es cuando bailan, es decir, cuando tengo una exponencial con un seno o una exponencial con un coseno, ya os lo voy diciendo, y cuando es este caso, lo que tengo que hacer, que es, pues cogerme la potencial e ir bajando los grados. 01:09:55

le bajo un grado al derivarlo 01:10:23

eso que me genera, que u por v 01:10:26

es esto de aquí, entre 0 y pi 01:10:29

y dentro voy a tener 01:10:31

menos coseno de x diferencial de x 01:10:35

que esta es inmediata, hago un paso intermedio 01:10:37

porque menos por menos es más 01:10:40

y la integral del coseno es el seno 01:10:47

y ahora ya si sustituyo por los valores 01:10:50

entre pi y 0, este de aquí 01:10:53

pi, 0 01:10:55

de otras operaciones 01:10:57

y me queda esto 01:10:59

entre pi y 0 01:11:00

el siguiente, y me queda esto 01:11:03

al final 01:11:05

un medio por pi 01:11:06

y mi media es 01:11:08

un medio por pi 01:11:11

bueno, sorprendentemente 01:11:14

podemos decir que hemos llegado 01:11:17

al fin del temario 01:11:22

a esperar de repasar 01:11:25

un poquito 01:11:27

bueno, no ha sido la mejor manera 01:11:28

pero espero que esto por lo menos os sirva 01:11:31

recordad, tenemos que seguir estudiando 01:11:34

tenemos un mes por delante más o menos 01:11:38

con la Semana Santa que es muy importante 01:11:40

para poder matizar esas notas 01:11:42

porque lo suyo es que no tengáis nada de lo que arrepentíos 01:11:45

ni que os dejéis ninguna décima por el camino 01:11:48

porque todo es importante 01:11:50

seguimos en contacto 01:11:52

espero que nos veamos lo antes posible 01:11:54

¡Ánimo! 01:11:57

TEMA 12 - DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD - PARTE 2.2 - Contenido educativo

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